연결성과 콤팩트성

Connected Space✔

• 연결성은 위상에 의존하는 위상적 성질이다. 따라서 \(X\) 가 연결 공간일 때 \(X\) 와 위상동형인 공간들은 전부 연결 공간이다.

• 연결성을 다음과 같이 정의할 수도 있다.

  공간 \(X\) 가 연결되어있는 것은 \(X\) 에서 열려있고 닫혀있는 집합이 공집합이거나 \(X\) 라는 것은 동치이다.

  \(A \neq \varnothing\) 인 \(A \subsetneq X\) 가 열려있고 닫혀있으면 \(U = A, V = X - A\) 가 \(X\) 의 분리가 된다. 역으로 \(U, V\) 가 \(X\) 의 분리이면 \(U\) 는 열려있고 닫혀있다.

  이로써 분리는 열려있고 닫혀있는 위상공간의 진부분집합임을 알 수 있다.

• \(\operatorname{cl}_{X}A \cap B = \varnothing, A \cap \operatorname{cl}_{X}B = \varnothing\)

• 증명

  \(A, B\) 가 \(Y\) 의 분리이면 \(Y\) 에서 열려있고 닫혀있는 진부분집합이다. \(A\) 가 \(Y\) 에서 닫혀있으면 \(\operatorname{cl}_{Y}A = A\) 이므로 Theorem 17.4에 의하여 \(A = \operatorname{cl}_{X}A \cap Y\) 이다. \(A \cap B = \varnothing\) 이므로 \(\operatorname{cl}_{X}A \cap B = \varnothing\) 이다. 같은 논리로 \(A \cap \operatorname{cl}_{X}B = \varnothing\) 을 얻을 수 있다. Th 17.6 에 의하여 폐포는 집합과 집합의 극한점의 합집합이다. 따라서 이는 어느 한 집합이 다른 한쪽의 극한점을 포함하지 않는다는 것이다. ▲

  후자의 조건이 성립함을 가정하면 \(\operatorname{cl}_{X}A \cap B = \varnothing, A \cap \operatorname{cl}_{X}B = \varnothing\) 이다. \(B\) 는 \(A\) 와 서로소이므로 \(\operatorname{cl}_{X}A \cap B = \varnothing\) 은 \(Y\) 안에 있는 \(A\) 의 극한점이 모두 \(A\) 에 포함된다는 것을 의미한다. 따라서 Theorem 17.4 에 의해 \(\operatorname{cl}_{Y}A = A\) 인데, 이는 \(A\) 가 \(Y\) 에서 닫혀있음을 뜻한다. 같은 논리로 \(B\) 도 \(Y\) 에서 닫혀있다고 말할 수 있다. \(A, B\) 는 서로 여집합이므로 열려있다. 열려있고 닫혀있는 진부분집합은 분리이다. ■

• 예시

  \(\R\) 의 부분공간 \([-1, 0) \cup (0, 1]\) 은 분리 \([-1, 0), (0, 1]\) 에 의하여 분리된 공간이다.

  \(\R\) 의 부분공간 \([-1, 1]\) 에서 \([-1, 0], (0, 1]\) 은 서로소 진부분집합이지만 \([-1, 0]\) 이 열려있지 않으므로 분리가 아니다. \([-1, 1]\) 은 연결 공간이다.

  \(\Bbb{Q}\) 은 분리된 공간이다.

• 증명

Constructing Connected Space✔

• 증명

  \(X\) 의 연결부분공간 모임 \(\{A _{\alpha}\}\) 와 점 \(p \in \bigcap_{}^{}A _{\alpha}\) 에 대하여 \(Y = \bigcup_{}^{}A _{\alpha}\) 가 연결공간임을 보이면 된다.

  \(Y\) 의 분리 \(C, D\) 가 존재함을 가정하면 \(p\) 는 \(C\) 또는 \(D\) 에 속한다. \(p \in C\) 를 가정하자. \(A _{\alpha}\) 가 연결되어있으므로 Lemma 23.2 에 의하여 \(A _{\alpha} \subset C\) 또는 \(A _{\alpha}\subset D\) 이다. 그런데 \(p \in C\) 이므로 \(A _{\alpha} \subset C\) 이다. 인덱스 \(\alpha\) 는 임의적이므로 \(\bigcup_{}^{}A _{\alpha}\subset C\) 이다. 이는 \(D \neq \varnothing\) 인 것과 모순이다. ■

• 이 정리는 연결부분공간에 그것의 극한점의 일부 또는 전부를 포함시킨 집합도 연결공간이라는 것을 말해준다.

• 증명

  \(B\) 의 분리 \(C, D\) 를 가정하면 Lemma 23.2 에 의하여 \(A \subset C\) 또는 \(A \subset D\) 이다. \(A \subset C\) 를 가정하면 \(\operatorname{cl}A \subset \operatorname{cl}C\) 인데 \(\operatorname{cl}C \cap D = \varnothing\) 이므로 \(B\) 는 \(D\) 와 교차하지 않는다. 그러나 \(D \neq \varnothing\) 이므로 이는 모순이다. ■

• 증명

• 임의의 곱집합에서는 다음이 성립한다.

  연결 집합 \(\R\) 에 대하여 상자 위상이 주어진 \(\R^{\omega}\) 는 연결집합이 아니고, 곱 위상이 주어진 \(\R^{\omega}\) 는 연결집합이다.

• 증명

Connected Subspace of R✔

Linear Continuum✔

• 위에서 새로운 연결공간을 어떻게 구축하는지 알아보았는데, 문제는 최초의 연결공간을 무엇으로 설정하느냐이다. 이때 선형 연속체를 연결공간의 시초로 삼기에 좋다.

• 즉, 선형 연속체는 상한을 갖는 조밀 전순서 집합이다. 이러한 선형 연속체는 실선 \(\R\) 의 일반화된 형태이다. 그러나 무계인 \(\R\) 과 달리 선형 연속체는 유계일 수 있다. 가령 \(\R\) 의 닫힌 구간은 선형 연속체이다.

• \(\R\) 은 당연히 선형 연속체이다. \(\R\) 의 완비성 공리가 1) 을 보장하고, \(\R\) 의 조밀성은 자명하다.

• 증명

  가장 먼저 \(L\) 의 볼록부분공간 \(Y\) 가 연결집합임을 보이려 한다.

  \(Y\) 의 분리 \(A, B\) 를 가정하면 \(a \in A, b \in B\) 를 잡을 수 있다. 편의상 \(a < b\) 라고 하자. 그러면 구간 \([a, b]\) 에 대하여 \([a, b] \subset Y\) 이다. 그러면 \([a, b]\) 는 다음과 같은 서로소 집합의 합집합 \([a, b] = A_0 \cup B_0\) 이다.

  \[ A_0 = A \cap [a,b], \quad B_0 = B \cap [a, b] \]

  이들은 부분공간위상 \([a, b]\) 에서 열려있다. 또한 \(a \in A_0, b \in B_0\) 이므로 이들은 공집합이 아니다. 따라서 \(A_0,B_0\) 는 \([a, b]\) 의 분리이다.

  이제 \(c = \sup A_0\) 에 대하여 \(c \not\in A_0, c \not\in B_0\) 를 보여서 \([a, b] = A_0 \cup B_0\) 가 모순임을 보이려 한다.

  

  1. \(c \in B_0\) 를 가정하자. \(c \neq a\) 이므로 \(c = b\) 이거나 \(a < c < b\) 이다. 어느 경우에든 \(B_0\) 가 \([a, b]\) 에서 열려있으므로 \((d, c]\) 형태의 구간이 \(B_0\) 에 존재한다. \(c = b\) 일 경우 \(d\) 가 \(c\) 보다 작은 \(A_0\) 의 상계가 되므로 모순이다. \(a < c < b\) 일 경우 \((c, b]\) 가 \(A_0\) 와 교차하지 않으니 \((d, b] = (d, c] \cup (c, b]\) 도 \(A_0\) 와 교차하지 않는다. 그렇다면 또 다시 \(d\) 가 \(c\) 보다 작은 \(A_0\) 의 상계가 되어 모순이 발생한다.

  2. \(c \in A_0\) 를 가정하자. 그러면 \(c \neq b\) 이므로 \(c = a\) 이거나 \(a< c < b\) 이다. \(A_0\) 가 \([a, b]\) 에서 열려있으므로 \(A_0\) 에 \([c, e)\) 형태의 구간이 존재한다. 선형 연속체의 조밀성 때문에 \(c < z < e\) 인 점 \(z \in L\) 가 존재하여 \(z \in A_0\) 를 만족한다. 이는 \(c\) 가 \(A_0\) 의 상계라는 것에 모순이다.

  따라서 \(Y\) 의 분리는 존재하지 않고 \(Y\) 는 연결집합이다. \(L\) 의 구간과 반직선은 볼록하므로 연결집합이다.

  점 \(a \in L\) 에 대한 \(L\) 의 닫힌 반직선 \((- \infty ,a ]\) 과 \([a, \infty )\) 은 연결집합이므로 Theorem 23.3 에 의하여 이것의 합집합 \(L\) 은 연결집합이다. ■

• \(\R\) 의 어느 곳이 분리되어 있지 않고 쭉 연결되어 있는 집합이라는 사실을 엄밀하게 주장하는 정리이다.

• 증명

  실수체는 선형 연속체이므로 Theorem 24.1 에서 바로 나온다. ■

Intermediate value theorem✔

• 해석학에서의 사잇값 정리는 이 정리에서 \(X\) 를 \(\R\) 의 닫힌 구간으로 두고 \(Y\) 를 \(\R\) 로 둔 특수한 경우이다.

• 증명

  다음 집합은 서로소이다.

  \[ A = f(X) \cap (- \infty ,r), \quad B = f(X) \cap (r, \infty ) \]

  또한 어느 한 집합이 \(f(a)\) 를 포함하고 다른 집합이 \(f(b)\) 를 포함하므로 공집합이 아니다. \(A, B\) 는 \(Y\) 에서 열린 반직선과 \(f(X)\) 의 교집합이므로 열려있다.

  만약 \(f(c) = r\) 를 만족하는 \(c \in X\) 가 존재하지 않으면 \(f(X) = A \cup B\) 가 되고, 이에 따라 \(A, B\) 는 \(f(X)\) 의 분리가 된다. 그러나 Theorem 23.5 에 의하여 연결집합의 연속함수에 대한 상은 연결집합이므로 이는 모순이다. ■

Path Connected Space✔

• 경로 연결 공간이 연결 공간임을 보이는 것은 쉽다. 그러나 연결 공간이라고 해서 경로 연결 공간인 것은 아니다.

• 다음과 같은 \(\R^2\) 의 부분공간은 경로 연결 공간이다. 이 공간의 임의의 점에 대한 경로를 항상 그릴 수 있기 때문이다.

  

• 예시

  유클리드 거리공간 \(\R^n\) 의 반지름이 \(1\) 인 단위공(unit ball)

  \[ B ^{n} = \{x : \left\| x \right\| \leq 1 \} \]

  안에서 임의의 두 점을 잡으면 단위공의 두 점 \(x, y \in B ^{n}\) 에 대한 직선 경로

  \[ f: [0, 1] \to \R^n, t \mapsto (1 - t)x + ty \]

  가 항상 존재하기 때문에 단위공은 경로 연결 공간이다.

Compact Space✔

Cover✔

• 덮개가 유한집합이면 유한덮개라고 하고, 가산집합이면 가산덮개라고 한다.

• 우리는 보통 작거나 좁은 것을 콤팩트하다고 한다. 이 말의 뜻과 같게 위상공간의 콤팩트성이란 공간이 무한히 뻗어나가지 않는 작은 공간이라는 뜻이다. 그래서 콤팩트성을 유계인 닫힌 집합으로도 정의할 수 있지만 거리화 가능하지 않은 일반적인 위상공간에서도 콤팩트성을 정의해야 했다. 따라서 위상공간을 덮을 수 있는 덮개의 유한집합으로도 위상공간을 덮을 수 있다면 그 위상공간이 콤팩트하다고 정의한다.

  위상수학의 초창기에 실선 \(\R\) 의 닫힌구간 \([a, b]\) 가 어떠한 성질을 지니고 있어서 해석학 최대최소 정리 와 해석학 콤팩트 집합에서의 균등 연속 정리를 증명하는데에 핵심적인 역할을 한다는 것은 분명했다. 그러나 수학자들은 이 닫힌구간의 성질을 거리가 배제된 임의의 위상공간에서 어떻게 정의해야 하는지 고민해야 했다. 한때 닫힌구간의 이 핵심적인 성질을 \([a, b]\) 의 무한 부분집합이 극한점을 가지는 것을 콤팩트성이라고 정의하기도 했다. 그러나 이후에 이 닫힌구간의 성질이 일반적인 위상공간에서도 성립하도록 덮개를 사용하여 정의되었다.

• 예시

  실선 \(\R\) 은 컴팩트하지 않다. \(\R\) 의 열린덮개 \(\mathcal{A} = \{(n, n+2) : n \in \Bbb{Z}\}\) 는 \(\R\) 을 덮는 유한부분덮개를 가지지 않기 때문이다.

  유한한 점을 갖는 임의의 공간은 컴팩트하다.

  구간 \((0, 1]\) 은 컴팩트하지 않다. 열린덮개 \(\mathcal{A} = \{(1/n, 1] : n \in \Bbb{Z}_{+}\}\) 가 유한부분덮개를 가지지 않기 때문이다. 같은 논리로 구간 \((0, 1)\) 도 컴팩트하지 않다. 그러나 해석학에서 이미 배웠듯이 닫힌구간 \([0, 1]\) 은 컴팩트하다. 사실 당연한 것이 컴팩트성 자체가 닫힌구간이 갖는 성질을 추출해낸 것이다.

• 증명

• 닫힌 공간이라는 것은 그냥 닫힌 집합이라는 것이다. 따라서 닫힌 공간이라는 개념은 부분공간에 대하여 사용된다.

• 증명

• 예시

  \(\R\) 의 닫힌구간 \([a, b]\) 이 콤팩트하므로 \([a, b]\) 의 닫힌 부분공간은 모두 콤팩트하다.

• 증명

  하우스도르프 공간 \(X\) 의 콤팩트 부분공간 \(Y\) 에 대하여 \(X-Y\) 가 열려있음을 보이면 \(Y\) 가 닫혀있음이 자동으로 증명된다. 이를 위하여 \(X - Y\) 의 임의의 점이 \(Y\) 와 서로소인 근방을 가진다는 것을 증명하려 한다. 이것이 증명되면 \(X - Y\) 전체는 \(Y\) 와 서로소인 열린집합의 합집합이므로 열린집합임이 증명된다.

  나머지 증명은 이해하기가 꽤 쉽고 Munkres, Topology 에 수록되어 있다. ■

• 예시

  하우스도르프 공간 \(\R\) 의 구간 \((a, b], (a, b)\) 은 닫혀있지 않으므로 콤팩트하지 않다.

• 증명

  Theorem 26.3 의 증명과정에 의하여 Theorem 26.3 을 다르게 표현한 형태이다. ■

• 이 정리는 함수가 위상동형사상인지 검증할 때 유용하다.

• 증명

• 증명

Tube Lemma✔

• 증명

  먼저 두 콤팩트 공간의 곱집합이 콤팩트함을 보이려 한다.

  이를 위하여 일단 위상공간 \(X\) 와 콤팩트공간 \(Y\) 에 대한 점 \(x_0 \in X\) 와 \(x_0 \times Y\) 를 포함하는 \(X \times Y\) 의 열린집합 \(N\) 에 대하여 다음이 성립함을 보이려 한다.

  \(W \times Y \subset N\) 인 \(x_0\) 의 근방 \(W \subset X\) 가 존재한다.

  (한편 \(x_0\) 의 근방 \(W\) 에 대한 \(W \times Y\) 를 \(x_0 \times Y\) 의 튜브(tube)라고 부른다.)

  

  우선 \(x_0 \times Y\) 를 \(N\) 에 포함되는 \(X \times Y\) 위의 위상의 기저의 원소 \(U \times V\) 로 덮어보자. \(x_0 \times Y\) 는 콤팩트하므로 \(Y\) 와 위상동형이고 \(x_0 \times Y\) 를 다음과 같은 유한한 기저의 원소들로 덮을 수 있다.

  \[ U_1 \times V_1, \dots , U_n \times V_n \]

  이때 이 \(U_i \times V_i\) 들 중에 \(x_0 \times Y\) 와 교차하지 않는 불필요한 기저의 원소들이 없도록 \(U_i \times V_i\) 들을 구성하자. 그리고 \(W\) 를 다음과 같이 정의하면, \(W\) 는 열려있고 \(x_0\) 를 포함한다. 따라서 \(W\) 는 \(x_0\) 의 근방이다.

  \[ W = \bigcap_{}^{}U_i \]

  그러면 \(U_i \times Y_i\) 들은 튜브 \(W \times Y\) 를 덮는다. 이제 점 \(x \times y \in W \times Y\) 를 잡자. 그러면 점 \(x_0 \times y\) 은 어떤 \(i\) 에 대하여 \(U_i \times V_i\) 에 속하고, \(x \in W\) 이므로 \(\forall j : x \in U_j\) 이다. 따라서 \(x \times y \in U_i \times V_i\) 이다.

  \(U_i \times V_i \subset N\) 이고 \(U_i \times V_i\) 들이 \(W \times Y\) 를 덮기 때문에 \(W \times Y \subset N\) 임이 증명되었다. ▲

  이제 정리를 증명하려 한다. 콤팩트 공간 \(X, Y\) 를 두자. \(\mathcal{A}\) 를 \(X \times Y\) 의 열린 덮개라고 하자. 점 \(x_0 \in X\) 에 대한 \(x_0 \times Y\) 은 콤팩트하므로 \(\mathcal{A}\) 의 유한한 원소 \(A_1, A_2, \dots, A_m\) 에 의하여 덮힌다. 이들의 합집합 \(N = \displaystyle \bigcup_{i=1}^{m}A_i\) 는 \(x_0 \times Y\) 를 포함하는 열린집합이다. 위에서 증명한 사실에 의하여 \(N\) 은 \(x_0 \times Y\) 의 튜브 \(W \times Y\) 를 포함한다. 위에서 증명한 사실과 같이 \(A_1, A_2, \dots, A_m\) 들은 \(W \times Y\) 을 덮는다.

  이 결과는 각 \(x \in X\) 마다 \(\mathcal{A}\) 의 유한한 원소로 덮혀지는 튜브 \(W_x \times Y\) 를 잡을 수 있다는 것을 말해준다. \(W_x\) 는 \(x\) 의 근방이므로 모든 \(W_x\) 을 모으면 \(X\) 의 열린 덮개가 된다. \(X\) 은 콤팩트하므로 유한부분덮개 \(\{W_1, \dots , W_k\}\) 가 존재한다. 그렇다면 이 유한부분덮개에 대한 튜브

  \[ W_1 \times Y, \dots , W_k \times Y \]

  의 합집합은 \(X \times Y\) 와 같다. 이것은 \(X \times Y\) 를 덮는 \(\mathcal{A}\) 의 유한부분덮개이다. ▲

  두 콤팩트 공간의 곱집합이 콤팩트하다는 것이 보여졌으므로, 이제는 수학적 귀납법으로 쉽게 콤팩트 공간의 유한곱이 콤팩트하다는 것을 보일 수 있다. ■

• \(Y\) 가 콤팩트하지 않다면 이 정리는 성립하지 않는다. 가령 \(Y\) 를 \(\R^2\) 의 \(y\)축으로 두면 \(Y = \R\) 는 컴팩트하지 않다. 이때

  \[ N = \left\{ x \times y : |x| < \frac{1}{y^2 + 1}\right\} \]

  은 \(0 \times \R\) 를 포함하는 열린집합이지만 \(0 \times \R\) 의 어떠한 튜브도 포함하지 못한다. 다음 그래프를 보자.

  

  \(Y = [a, b]\) 로 두면 \(Y\) 가 컴팩트해지는데, 이 경우 분명히 \(N\) 이 \(0 \times [a, b]\) 의 어떤 튜브를 포함할 수 있다.

• 증명

  이 정리는 Theorem 26.7 의 증명과정에서 자연스럽게 증명된다. ■

Finite Intersection Property✔

• 이 정리의 특수한 경우를 생각해보자. 콤팩트 공간 \(X\) 의 닫힌 축소집합열 \(C_1 \supset C_2 \supset \dots\) 에 대하여 각 \(C_n\) 이 \(C_n \neq \varnothing\) 이면 \(\mathcal{C} = \{C_n\}_{n \in \Bbb{Z}_{+}}\) 은 유한 교차성을 갖는다. 즉,

  \[ \bigcap_{n \in \Bbb{Z}_{+}}^{} C_n \neq \varnothing \]

  이다. 이 정리의 특수한 경우가 축소구간정리 와 \(\R\) 에서의 축소 콤팩트 집합 성질이다.

• 증명

  \(X\) 의 부분집합 모임 \(\mathcal{A}\) 에 대하여 모임

  \[ \mathcal{C} = \{X - A : A \in \mathcal{A}\} \]

  을 정의하면 다음이 성립한다.

  1. \(\mathcal{A}\) 가 열린집합 모임인 것은 \(\mathcal{C}\) 가 닫힌집합 모임인 것과 동치이다.

  2. \(\mathcal{A}\) 가 \(X\) 를 덮는 것은 \(\displaystyle \bigcap_{C \in \mathcal{C}}^{} C = \varnothing\) 인 것과 동치이다.

  3. \(\mathcal{A}\) 의 유한부분모임 \(\{A_1, A_2, \dots, A_n\}\) 가 \(X\) 를 덮는 것은 \(A_i\) 에 대한 \(C_i = X - A_i \in \mathcal{C}\) 에 대하여 \(\displaystyle \bigcap_{i=1}^{n}C_i = \varnothing\) 인 것과 동치이다.

  a) 은 자명하고, b) 와 c) 는 다음과 같은 드모르간의 법칙을 생각하면 자연스럽게 이해된다.

  \[ X - \bigcup_{\alpha \in J}^{} A _{\alpha} = \bigcap_{\alpha \in J}^{}(X - A _{\alpha}) \]

  \(X\) 가 콤팩트하다는 것은 \(X\) 의 임의의 열린집합 모임 \(\mathcal{A}\) 에 대하여 다음과 같다.

  \(\mathcal{A}\) 가 \(X\) 를 덮으면 \(\mathcal{A}\) 의 유한부분덮개가 존재한다

  이것의 대우는 다음과 같다.

  \(\mathcal{A}\) 의 어떠한 유한부분모임도 \(X\) 를 덮지 못하면 \(\mathcal{A}\) 는 \(X\) 를 덮지 못한다

  이 명제에 \(\mathcal{C}\) 에 대하여 a), b), c) 를 적용하면, \(X\) 의 임의의 닫힌집합 모임 \(\mathcal{C}\) 에 대하여 다음이 성립한다.

  모든 \(\mathcal{C}\) 의 유한부분모임의 교집합이 공집합이 아니면, \(\displaystyle \bigcap_{C \in \mathcal{C}}^{}C \neq \varnothing\) 이다.

  그런데 이는 정리의 가정이다. ■

Compact Subspace of R✔

• 증명

  주어진 \(a < b\) 에 대하여 \(X\) 의 부분공간 \([a, b]\) 의 열린집합으로 이루어진 \([a, b]\) 의 덮개 \(\mathcal{A}\) 를 생각하자. \(\mathcal{A}\) 의 유한부분덮개의 존재성을 보이면 된다. 이를 위하여 먼저 \(x \neq b\) 인 점 \(x \in [a, b]\) 에 대하여 많아야 \(\mathcal{A}\) 의 원소 \(2\) 개로 덮히는 구간 \([x, y]\) 를 이루는 \(y > x\) 인 점 \(y \in [a, b]\) 가 존재한다는 것을 보이려 한다.

  \(x\) 가 \(X\) 에서 immediate successor 를 가지면 \(y\) 를 immediate successor 로 두자. 그러면 구간 \([x, y]\) 는 많아야 \(\mathcal{A}\) 의 두 점으로 덮힌다. \(x\) 가 \(X\) 에서 immediate successor 를 가지지 않으면 \(x\) 를 포함하는 \(A \in \mathcal{A}\) 를 잡자. \(x \neq b\) 이고 \(A\) 가 열려있으므로 \(A\) 는 어떤 \(c \in [a, b]\) 에 대한 구간 \([x, c)\) 를 포함한다. 구간 \((x, c)\) 에서 \(y\) 를 잡으면 구간 \([x, y]\) 는 \(A\) 한 원소로 덮힌다. ▲

  이제 구간 \([a, y]\) 가 \(\mathcal{A}\) 의 유한한 원소로 덮히게 하는 \(y > a\) 인 점 \(y \in [a, b]\) 의 집합을 \(C\) 라고 하자. \(x = a\) 인 경우를 생각하면 위에서 증명한 사실을 만족시키는 \(y\) 가 최소한 하나는 존재한다는 것을 알 수 있다. 따라서 \(C \neq \varnothing\) 이다. \(\sup C = c\) 로 두면 \(a < c \leq b\) 가 성립한다. ▲

  

  이제 \(c \in C\) 인 것을, 즉 구간 \([a, c]\) 가 \(\mathcal{A}\) 의 유한한 원소로 덮힌다는 것을 보이려 한다. \(c\) 를 포함하는 \(A \in \mathcal{A}\) 를 잡으면 \(A\) 가 열려있으므로 점 \(d \in [a, b]\) 에 대하여 \((d, c] \subset A\) 이다.

  만약 \(c \not\in C\) 이면 \(z \in (d, c)\) 인 점 \(z \in C\) 가 존재한다. 그렇지 않다면 \(d\) 가 \(c\) 보다 작은 \(C\) 의 상계가 되어서 모순이다. \(z \in C\) 이므로 \([a, z]\) 는 \(\mathcal{A}\) 의 유한히 많은, \(n\)개의 원소로 덮힌다.

  \([z, c] \subset (d, c] \subset A\) 이므로 \([z, c] \subset A\) 이다. 따라서 \([a, c] = [a, z] \cup [z, c]\) 이고 \([a, c]\) 는 \(\mathcal{A}\) 의 \(n+1\)개의 원소로 덮힌다. 따라서 \(c \in C\) 이고, 이는 모순이다. 그러므로 \(c \in C\) 이다. ▲

  이제 \(c = b\) 임을 증명하여, 구간 \([a, c] = [a, b]\) 가 \(\mathcal{A}\) 의 유한한 원소로 덮힘을 보이려 한다. 그러면 이는 정리를 증명하는 것이 된다. 이를 위하여 \(c < b\) 를 가정하자. \(x = c\) 로 두고 위에서 증명한 사실을 적용하면 \(y > c\) 인 점 \(y \in [a, b]\) 가 존재하여 구간 \([c, y]\) 가 \(\mathcal{A}\) 의 유한히 많은 원소로 덮힌다. 그런데 \(c \in C\) 이므로 \([a, c]\) 는 \(\mathcal{A}\) 의 유한히 많은 원소로 덮힌다. 따라서

  \[ [a, y] = [a, c] \cup [c, y] \]

  는 \(\mathcal{A}\) 의 유한히 많은 원소로 덮힌다. 따라서 \(y \in C\) 인데 이는 \(c\) 가 \(C\) 의 상계라는 사실과 모순이다. 따라서 \(c = b\) 이다. ■

• 이 정리는 거리공간에서 콤팩트 집합 모임이 닫힌 유계 집합 모임과 같다는 것을 말해준다. 그러나 이 사실은 언뜻보면 이상한데, 콤팩트성이 위상공간의 위상에 의존하는 반면 유계는 주어진 거리에 의존하기 때문이다.

• 이 정리의 특수한 경우가 \(\R\) 에서의 콤팩트성의 특성이다.

• 증명

  다음 부등식은 \(A\) 가 \(d\) 에서 유계인 것과 \(\rho\) 에서 유계인 것이 동치라는 것을 말해준다. 따라서 \(\rho\) 인 경우에서만 증명해도 된다.

  \[ \rho (x, y) \leq d(x, y) \leq \sqrt[]{n} \rho (x, y) \]

  \(A\) 가 콤팩트함을 가정하자. \(A\) 는 Th 26.3 에 의하여 닫혀있다. 다음과 같은 열린집합 모임을 생각하자. 이 모임의 합집합을 취하면 \(\R^n\) 이 된다.

  \[ \{B_{\rho}(0,m) : m \in \Bbb{Z}_{+}\} \]

  \(A\) 가 콤팩트하므로 이 모임의 유한 부분덮개가 존재한다. 이는 어떤 \(M\) 에 대하여 \(A \subset B_{\rho}(0,M)\) 이 성립함을 뜻한다. 따라서 임의의 \(x, y \in A\) 에 대하여 \(\rho (x, y) \leq 2M\) 이고, 이에따라 \(A\) 는 \(\rho\) 에서 유계이다. ▲

  역으로 \(A\) 가 \(\rho\) 에서 닫혀있고 유계임을 가정하자. 임의의 \(x, y \in A\) 에 대하여 \(\rho (x, y) \leq N\) 라고 하자. 점 \(x_0 \in A\) 를 잡고 \(\rho (x_0, 0) = b\) 라고 하자. 삼각부등식에 의하여 임의의 \(x \in A\) 에 대하여 다음이 성립한다.

  \[ \rho (x, 0) \leq \rho (x, x_0) + \rho (x_0, 0) \leq N + b \]

  \(P = N+b\) 로 두면 \(A \subset [-P, P]^{n}\) 이다. Corollary 27.2 에 의하여 닫힌구간은 콤팩트하고, Theorem 26.7 에 의하여 콤팩트 공간의 유한곱은 콤팩트하므로 \([-P, P]^{n}\) 은 콤팩트한데, Theorem 26.2 에 의하여 콤팩트공간의 닫힌 부분공간은 콤팩트하므로 \(A\) 도 콤팩트하다. ■

Extreme Value Theorem✔

• \(X\) 를 \(\R\) 의 닫힌구간으로 잡고 \(Y\) 를 \(\R\) 로 잡으면 이 정리의 \(\R\) 에서의 특수한 경우인 최대최소 정리를 얻는다.

• 증명

  \(f\) 가 연속이고 \(X\) 가 콤팩트하면 Th 26.5 에 의하여 \(A = f(X)\) 는 콤팩트하다. \(A\) 가 최대 원소 \(M\) 과 최소 원소 \(m\) 을 갖는다는 것을 증명하면 어떤 점 \(c, d \in X\) 가 존재하여 \(m = f(c), M = f(d)\) 를 만족한다는 것이 증명된다.

  \(A\) 가 최대원소를 갖지 않는다고 가정해보자. 그러면 모임

  \[ \{(- \infty , a) : a \in A\} \]

  은 \(A\) 의 열린덮개이다. \(A\) 가 콤팩트하므로 유한부분덮개

  \[ \{(-\infty ,a_1) , \dots , (- \infty ,a_n)\} \]

  가 존재한다. \(\max \{a_1, a_2, \dots, a_n\}= a_i\) 라고 하면 유한부분덮개의 합집합 \((-\infty , a_i)\) 가 \(A\) 를 덮는다. 그런데 이렇게 되면 \(a_i\) 가 \(A\) 의 최댓값이 된다. 이는 모순이다. 따라서 \(A\) 는 최댓원소를 갖는다. ▲

  비슷한 논증을 최소원소에 대하여 펼칠 수 있다. ■

Lebesgue Number Lemma✔

• \(\delta\) 를 덮개 \(\mathcal{A}\) 의 르베그 수(Lebesgue number)라고 한다.

• 증명

  \(X \in \mathcal{A}\) 이면 모든 양수가 르베그 수가 될 수 있으므로 정리가 자명하게 성립한다. ▲

  따라서 \(X \not\in \mathcal{A}\) 를 가정하자. \(X\) 를 덮는 \(\mathcal{A}\) 의 유한부분덮개 \(\{A_1, A_2, \dots, A_n\}\) 를 잡자. 각 \(i\) 에 대한 집합 \(C_i = X - A_i\) 에 대하여 함수 \(f: X \to \R\) 를 다음과 같이 정의하자.

  \[ f(x) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}d(x, C_i) \]

  주어진 \(x \in X\) 에 대하여 \(x \in A_i\) 가 되도록 \(i\) 를 잡고, \(x\) 의 \(\epsilon\)-근방 이 \(A_i\) 에 포함되도록 \(\epsilon\) 을 잡자. 그러면 \(d(x, C_i) \geq \epsilon\) 이고, 이에따라 \(f(x) \geq \epsilon/n\) 이다.

  \(f\) 가 연속함수이므로 EVT 가 성립하여 \(f\) 가 최솟값 \(\delta\) 를 갖는다. 이 \(\delta\) 가 르베그 수임을 증명하려 한다. \(\delta\) 보다 지름이 작은 집합 \(B \subset X\) 에서 점 \(x_0 \in B\) 를 잡으면 \(B\) 는 \(x_0\) 의 \(\delta\)-근방에 포함된다.

  이제 \(f\) 는 모든 \(d(x, C_i)\) 들의 평균이고, 이는 \(d(x, C_i)\) 들의 최댓값 \(d(x_0, C_m)\) 보다 작으므로 다음이 성립한다.

  \[ \delta \leq f(x_0) \leq d(x_0, C_m) \]

  \(x_0\) 로부터 닫힌집합 \(C_m\) 까지의 거리가 \(\delta\) 보다 크기 때문에 \(x_0\) 의 \(\delta\)-근방은 \(A_m = X - C_m\) 에 포함된다. ■

Uniform Continuity Theorem✔

• 이 정리의 \(\R\) 에서의 경우가 해석학 콤팩트 집합에서의 균등 연속이다.

• 증명

  \(X, Y\) 모두 거리 위상이므로 공 모임을 기저로 갖는다. 주어진 \(\epsilon>0\) 에 대하여 공 \(B(y, \epsilon/2)\) 를 \(Y\) 의 열린 덮개로 두자. 이 공 모임의 \(f\) 에 의한 역상의 모임을 \(X\) 의 열린 덮개 \(\mathcal{A}\) 로 두자. \(X\) 가 콤팩트 공간이므로 \(\mathcal{A}\) 에 대한 르베그 수 \(\delta\) 를 잡을 수 있다.

  그러면 \(d_X(x_1, x_2) < \delta\) 인 두 점 \(x_1, x_2 \in X\) 에 대한 집합 \(\{x_1, x_2\}\) 은 \(\operatorname{diam} \{x_1, x_2\} < \delta\) 이다. 이 집합은 \(\mathcal{A}\) 의 어떤 원소에 의하여 포함되므로, 이 집합의 상 \(\{f(x_1), f(x_2)\}\) 은 어떤 공 \(B(y, \epsilon/2)\) 에 포함된다. 따라서 \(d_Y(f(x_1), f(x_2)) < \epsilon\) 이다.

  \(\epsilon\) 과 두 점 \(x_1, x_2\) 가 주어졌을 때 균등연속의 조건을 만족하게 하는 \(\delta\) 를 항상 찾을 수 있으니 \(f\) 는 균등연속이다. ■

Isolated Point✔

• \(\R\) 에서의 고립점 정의의 일반화된 형태이다.

• 증명

  먼저 \(X\) 의 공집합이 아닌 열린집합 \(U\) 와 임의의 점 \(x \in X\) 에 대하여 \(x \not\in \operatorname{cl}V\) 인 공집합이 아닌 열린집합 \(V \subset U\) 가 존재한다는 사실을 증명하려 한다.

  

  \(x \in U\) 이든 \(x \not\in U\) 이든 점 \(y \in U \setminus \{x\}\) 를 잡을 수 있다. \(x \in U\) 일 경우 고립점이 존재하지 않으므로 가능하고, \(x \not\in U\) 인 경우 \(U\) 가 공집합이 아니므로 가능하다.

  \(X\) 가 하우스도르프이므로 각각 \(x, y\) 를 포함하는 서로소 열린집합 \(W_1, W_2\) 를 잡을 수 있다. 그러면 \(V = W_2 \cap U\) 가 우리가 원하던 열린 집합이다. \(V\) 는 \(y\) 를 포함하므로 공집합이 아니고, 이것의 폐포 \(\operatorname{cl}V\) 는 자명하게 \(x\) 를 포함하지 않는다. ▲

  이제 함수 \(f: \Bbb{Z}_{+}\to X\) 가 전사가 아닌 것을 보임으로써 \(X\) 가 비가산임을 증명하려 한다. \(x_n = f(n)\) 으로 두고 \(U = X\) 로 두고, 위에서 증명한 사실을 적용하면 \(x_1 \not\in \operatorname{cl}V_1\) 인 공집합이 아닌 열린집합 \(V_1 \subset X\) 를 잡을 수 있다. 이때 \(U = V _{n-1}\) 로 두고 위에서 증명한 사실을 적용하면 \(x_n \not\in \operatorname{cl}V_n\) 인 공집합이 아닌 열린집합 \(V_n \subset V _{n-1}\) 를 잡을 수 있다. 이 집합열 \(V_n\) 은 공집합이 아닌 열린 축소집합열이며, 이 집합열의 폐포를 취한 다음 집합열은 공집합이 아닌 닫힌 축소집합열이다.

  \[ \operatorname{cl}V_1 \supset \operatorname{cl}V_2 \supset \dots \]

  Th 26.9 에 의하여 점 \(x \in \bigcap_{}^{}\operatorname{cl}V_n\) 를 잡을 수 있다. \(x\) 는 모든 \(n\) 에 대하여 \(x \neq x_n\) 이다. 따라서 \(f\) 는 전사가 아니고, \(X\) 는 비가산이다. ■

• 이 정리가 재밌는 점은 정리가 실수체에 관련된 어떠한 대수적 성질이나 정리를 사용하지 않고 오직 \(\R\) 의 순서와 위상적 성질만을 사용하여 증명되었다는 것이다.

Limit Point Compactness✔

• 원래 이 성질을 콤팩트성이라고 했고, 열린덮개에 의한 정의를 bicompactness 라 했다. 이 성질은 콤팩트성보다 약한 조건이지만 좀 더 직관적이고 거리공간에서의 콤팩트성과 일치한다.

• 그러나 극한점 콤팩트 공간이 콤팩트 공간이라는 보장은 없다.

• 증명

  콤팩트 공간 \(X\) 의 부분집합 \(A\) 가 무한집합이면 \(A\) 가 극한점을 갖는다는 것을 보이기 위하여, 이것의 대우인 \(A\) 가 극한점을 갖지 않으면 유한집합임을 보이려 한다.

  \(A\) 가 극한점을 갖지 않으면 \(A\) 의 극한점이 \(A\) 안에 포함되므로 Th 17.6 에 의하여 \(A\) 는 닫혀있다. 또한 \(A\) 의 극한점이 없으므로 각 \(a \in A\) 에 대하여 \(A\) 와 오직 \(a\) 에서 교차하는 \(a\) 의 근방 \(U_a\) 를 잡을 수 있다. 그러면 공간 \(X\) 를 열린집합 \(X-A\) 와 열린집합들 \(U_a\) 로 덮을 수 있다. \(X\) 가 콤팩트하므로 이 열린덮개는 유한부분덮개를 가진다. \(X-A\) 는 \(A\) 와 교차하지 않으므로 \(A\) 를 덮기 위해서는 순수하게 \(U_a\) 들만 필요하다. 이런 일이 유한한 \(U_a\) 들로 가능한데, \(U_a\) 는 \(A\) 에서 오직 \(a\) 하고만 교차한다. 이것은 \(A\) 가 유한집합이라는 뜻이다. ■

Subsequence✔

• \(\R\) 에서의 부분수열 정의를 위상공간으로 일반화시킨 것이다.

Sequentially Compact Space✔

• 증명

Local Compactness✔

• 콤팩트 공간은 국소 콤팩트 공간이다.

• 수학을 다루기 위한 가장 좋은 두 공간은 거리화 가능 공간과 콤팩트 하우스도르프 공간이다. 이 공간에서는 다양한 유용한 성질들이 성립하여 정리를 증명하거나 수학적 대상을 만들고 다루기에 좋다. 그러나 다뤄야하는 공간이 거리화 가능 공간도 아니고, 콤팩트 하우스도르프 공간도 아니라면 이들의 부분공간을 취하는 방법을 택할 수 있다. 그러나 거리화 가능 공간의 부분공간은 거리화 가능 공간이므로 별 의미가 없다. 그렇지만 콤팩트 하우스도르프 공간의 부분공간은 콤팩트할 필요가 없으므로 유의미하다. 그렇다면 콤팩트 하우스도르프의 부분공간은 어떤 공간과 위상동형인가? 그 대답은 이 장의 결론인 아래의 따름정리 29.4(Corollary 29.4)에 나와있다.

• 예시

  실선 \(\R\) 은 국소 콤팩트 공간이다. 점 \(x \in (a, b)\) 의 근방 \((a, b)\) 를 콤팩트 공간 \([a, b]\) 가 포함하기 때문이다.

• 증명

  먼저 유일성부터 보이려 한다. 즉, \(Y \cong Y'\) 부터 보이자. 함수 \(h: Y \to Y'\) 를 \(Y - X = \{p\}\) 와 \(Y' - X = \{q\}\) 에 대하여 다음과 같이 정의하자.

  \[ h(x) = \begin{cases} q & x = p\\ x & x \in X\\ \end{cases} \]

  \(Y\) 의 열린집합 \(U\) 에 대하여 \(h(U)\) 가 \(Y'\) 의 열린집합임을 보이면 \(h\) 의 대칭성으로 인하여 위상동형사상임이 자동으로 증명된다.

  1. \(p \not\in U\) 일 경우 \(h(U) = U\) 이다. \(U\) 가 \(Y\) 에서 열려있고 \(U \subset X\) 이므로 \(U\) 는 \(X\) 의 열린집합이다. Th 17.8 에 의하여 \(X\) 가 \(Y'\) 에서 열려있으므로 Th 16.2 에 의하여 \(U\) 는 \(Y'\) 에서 열려있다.

  2. \(p \in U\) 일 경우 \(C = Y - U\) 는 \(Y\) 의 닫힌 집합이므로 \(C\) 는 Th 26.2 에 의하여 콤팩트 부분공간이다. \(C \subset X\) 이므로 \(C\) 는 \(X\) 의 콤팩트 부분공간이다. \(X \subset Y'\) 이므로 \(C\) 의 \(Y'\) 의 콤팩트 부분공간이다. \(Y'\) 이 하우스도르프이므로 Th 26.3 에 의하여 \(C\) 는 \(Y'\) 에서 닫혀있다. 따라서 \(Y' - C = h(U)\) 는 \(Y'\) 에서 열려있다.

  어느 경우에든 \(Y\) 의 열린집합 \(U\) 에 대하여 \(h(U)\) 는 \(Y'\) 에서 열려있다. 따라서 \(h\) 는 위상동형사상이고 \(Y \cong Y'\) 이다. ▲

  이제 \(X\) 가 국소 콤팩트 공간임을 가정하고 공간 \(Y\) 를 구축해보자. 일다은 \(X\) 에 포함되어 있지 않은 점을 편의상 \(\infty\) 라고 표기하고, 이것을 \(X\) 와 합쳐서 집합 \(Y = X \cup \{\infty \}\) 를 만들자. \(Y\) 를 위상공간화하기 위하여 \(Y\) 의 열린집합을 다음과 같이 정의하자.

  1. 모든 \(X\) 에서 열린집합 \(U\)

  2. 모든 \(X\) 의 콤팩트 부분공간 \(C\) 에 대한 집합 \(Y - C\)

  이제 이 열린집합 모임이 위상을 이루는지 검증하자. 공집합 \(\varnothing\) 은 a) 에 의하여 포함된다. \(Y\) 는 b) 에 의하여 포함된다. 열린집합의 교집합은 다음 세 가지 경우와 다시 a) 또는 b) 에 포함된다.

  \[ U_1 \cap U_2 \]
  \[ (Y - C_1) \cap (Y - C_2) = Y - (C_1 \cup C_2) \]
  \[ U_1 \cap (Y - C_1) = U_1 \cap (X - C_1) \]

  열린집합의 임의의 합집합도 다음 세 가지 경우와 같이 다시 a) 또는 b) 에 포함된다.

  \[ \bigcup_{}^{}U _{\alpha} = U \]
  \[ \bigcup_{}^{}(Y - C _{\beta}) = Y - \bigcup_{}^{}C _{\beta} = Y - C \]
  \[ \left( \bigcup_{}^{}U _{\alpha} \right) \cup \left( \bigcup_{}^{}(Y - C _{\beta}) \right) = U \cup (Y - C) = Y - (C - U) \]

  마지막 경우에 대해서는 다음 그림과 같이 \(U \cup (Y - C) = Y - (C - U)\) 가 성립하고, \(C - U\) 가 \(C\) 의 닫힌 부분공간이므로 \(C - U\) 는 콤팩트하다.

  

  이제 \(X\) 가 \(Y\) 의 부분공간임을, 즉 \(Y\) 의 열린집합과 \(X\) 의 교집합이 \(X\) 에서 열려있음을 보이려 한다. \(Y\) 에서 열린집합 \(U\) 가 a) 타입이면 \(U \cap X = U\) 이다. \(Y\) 에서 열린집합 \(Y - C\) 가 b) 타입이면 \((Y - C) \cap X = X - C\) 인데 이것도 \(X\) 에서 열려있다. 역으로 \(X\) 에서 열려있는 집합은 모두 a) 타입이므로 \(Y\) 에서 열려있다. 즉, \(X\) 는 \(Y\) 의 부분공간이다.

  \(|Y - X| = 1\) 은 \(Y = X \cup \{\infty \}\) 와 같이 정의된 것에서 자명하다.

  이제 \(Y\) 가 콤팩트하다는 것을 증명하려 한다. \(Y\) 의 열린덮개 \(\mathcal{A}\) 를 가정하자. 그러면 \(\mathcal{A}\) 는 반드시 b) 유형의 집합을 포함한다. 왜냐하면 a) 유형의 집합은 점 \(\infty\) 을 포함하지 않기 때문이다. b) 유형을 \(Y - C\) 라고 하자. \(\mathcal{A}\) 에서 \(Y - C\) 가 아닌 모든 원소와 \(X\) 의 교집합을 취하면 이것은 \(C\) 를 덮는 \(X\) 의 열린집합 모임이 된다. \(C\) 는 콤팩트하므로 이것의 유한한 원소가 \(C\) 를 덮는다. \(C\) 를 덮는 이 유한한 원소들과 원소 \(Y - C\) 가 \(Y\) 전체를 덮는다. 즉, \(Y\) 는 콤팩트하다.

  이제 \(Y\) 가 하우스도르프인 것을 증명하려 한다. \(Y\) 의 두 점 \(x \neq y\) 를 생각하자. \(x, y \in X\) 이면 \(X\) 가 하우스도르프이므로 두 점을 각각 포함하는 서로소 열린집합이 존재한다. \(x \in X\) 이고 \(y = \infty\) 이면 \(x\) 의 근방 \(U\) 를 포함하는 콤팩트 집합 \(C\) 에 대하여 \(U\) 와 \(Y- C\) 는 각각 \(x, y\) 를 포함하는 서로소 근방이다. Th 26.3 에 의하여 하우스도르프의 콤팩트 부분공간은 닫혀있으므로 \(Y-C\) 는 열려있다.

  이로써 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 \(X\) 로부터 \(Y\) 를 만들어내었다. ▲

  이제 역으로 \(Y\) 를 가정하고 \(X\) 가 국소 콤팩트 하우스도르프임을 보이려 한다. 일단 \(X\) 가 \(Y\) 의 부분공간인데 \(Y\) 가 하우스도르프이므로 \(X\) 는 하우스도르프이다. \(x \in X\) 에 대하여 각각 \(x, \infty\) 를 포함하는 서로소 열린집합 \(U, V\) 를 잡을 수 있다. 그러면 닫힌집합 \(C = Y - V\) 은 Th 26.2 에 의하여 \(Y\) 의 콤팩트 부분공간이다. \(C \subset X\) 이므로 \(C\) 는 \(X\) 의 콤팩트 부분공간이다. \(U, V\) 가 서로소임으로 \(C\) 는 \(x\) 의 근방 \(U\) 를 포함한다. ■

Compactification✔

• 콤팩트화란 위상공간을 콤팩트 공간으로 만드는 과정이다. 콤팩트화의 다양한 변형들이 있지만, 결국 모든 콤팩트화는 무한대로 향하는 점들을 통제한다는 공통점이 있다. 무한대로 향하는 점을 통제하는 방법은 위상공간에 무한대를 뜻하는 점 \(\infty\) 을 포함시켜서 무한대로의 탈출을 막는 것이다.

• 한 점 콤팩트화란 위상 공간에 한 점을 추가하여 콤팩트 공간으로 만드는 방법이다. 한 점 콤팩트화는 콤팩트화 중에서 가장 작은 콤팩트화이다.

• 위 정리는 \(X\) 가 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이면 한 점 콤팩트화 \(Y\) 를 갖는다는 것을 말해준다. 또한 한 점 콤팩트화로 얻어진 \(Y\) 는 유일하다.

• 예시

  실선 \(\R\) 의 한 점 콤팩트화는 원과 위상동형이다. \(\R\) 에 무한대에 위치해 있는 점 \(\infty\) 를 추가하면 무한대로 발산하는 모든 수열이 \(\infty\) 로 수렴하여 콤팩트성을 얻는다.

  \(\R\) 은 다음과 같은 위상동형사상인 탄젠트 함수에 의하여 열린구간과 위상동형이다.

  

  이를 이용하여 먼저 \(\R\) 을 열린구간 \((- \pi , \pi )\) 로 수축하자. 그리고 이 열린구간의 양 옆 끝을 y축 방향으로 구부려서 서로 만나게 하여 원을 만들 수 있다. 이 원은 가장 높은 점이 비어있는 원인데, 이 비어있는 점이 \(\infty\) 로 채워지는 것이다. 따라서 \(\R\) 의 한 점 콤팩트화를 (자르거나 붙이는 것이 아닌 늘이거나 줄이거나 구부리는 방식으로 서로 같아지는 동형은 위상동형이므로) 원과 위상동형이라고 할 수 있다.

  비슷하게 \(\R^2\) 의 한 점 콤팩트화는 구 \(S ^{2}\) 와 위상동형이다. 유클리드 공간 \(\R^n\) 의 한 점 콤팩트화는 초구 \(S ^{n}\) 과 위상동형이다.

  확장된 실선 \(\R \cup \{- \infty, \infty\}\) 은 두 점 콤팩트화이다.

• 국소 콤팩트성을 2) 처럼 모든 점 \(x \in X\) 가 임의적으로 작은 근방을 가지는 것으로 정의하는 곳도 있다. 따라서 국소 콤팩트성이 어떻게 정의되는지 잘 살펴보아야 한다.

• 증명

• 증명

• 이 정리가 이 장의 결론이다. 이 정리는 콤팩트 하우스도르프 공간의 부분공간이 어떤 공간과 위상동형인지 말해준다.

• 증명

  Theorem 29.1 과 Corollary 29.3 에 의하여 증명된다. ■