위상공간

Space✔

• 구조(structure)란 집합에 부여되는 성질로써 대수 구조(군, 체 등), 위상, 관계(순서 관계, 동치 관계 등), 거리 등을 말한다.

  

  수학에서 특별히 주목하는 주제는 공간의 구조를 보존하는 사상들이다. 가령 위상구조를 보존하는 위상동형사상, 대수구조를 보존하는 준동형사상 등이 있다.

  다음은 다양한 수학적 구조들의 관계를 보여준다.

  

  가령 여기에서 실수 집합 \(\R\) 에 표준적으로 부여되어 있는 수학적 구조를 볼 수 있다.

• 공간은 점과 점들의 관계로 구성된다. 점이란 공간에 속하는 수학적 대상을 뜻한다. 따라서 점은 집합, 함수, 수, 집합의 모임, 공간, 부분공간 등등이 될 수 있다. 공간과 다른 공간 사이에 점들과 점들의 관계를 보존하는 전단사 사상이 존재할 경우, 이 사상을 동형사상이라 하고 두 공간을 동형이라 한다. 동형사상은 공간의 형태에 따라 다양하게 정의된다. 가령 벡터공간에서의 동형사상, 위상공간에서의 위상동형사상, 거리공간에서의 등장사상, 미분다양체 사이의 미분동형사상 등이 있다. 한편, 이 모든 동형사상을 포괄하는 동형사상이 카테고리 이론을 통하여 정의된다.

• 수학에는 유클리드 공간, 벡터 공간, 위상 공간, 힐베르트 공간, 확률 공간 등 많은 공간이 있지만 공간이라는 단어 자체는 엄밀하게 정의하지 않고 무정의 술어로 남겨둔다. 수에는 실수, 정수, 복소수, 초월수 등등 여러 수가 있지만 수라는 개념 자체는 정의하지 않고 무정의 술어로 남겨두는 것과 똑같다. (무정의 술어를 도입하게 된 이유는 모든 개념을 엄밀하게 정의하려다 보면 반드시 순환논리에 빠지기 때문이다. 부모의 부모를 무한히 거슬러 올라가면서 확인할 수 없는 것과 같은 이유이다.)

• 고대 그리스에서 공간이란 3차원 유클리드 공간의 추상적 형태로 여겨졌다. 유클리드는 이 공간에 공리를 부여있고, 이것이 기하학의 기본이 되었다. 데카르트는 해석기하학을 시작하게 한 좌표의 개념을 공간에 도입했다. 이때까지만 해도 기하학적 정리는 자연과학을 설명할 수 있는 진리라고 여겨졌고 공리는 정의들에 함축되어 있었다. 기하학에서는 합동과 닮음이라는 동치관계만 있었다. 그런데 몽주는 세번째 동치관계인 중심닮음변환(다음 그림을 보자)을 발견하고 사영기하학을 개발했다.

  

  기존의 유클리드 기하학과 사영기하학의 관계는 수학자들에게 수학적 대상이 그것의 구조와 함께 주어지지 않는다는 것을 알려주었다. 이때부터 수학 이론은 이론의 근간이 되는 공리를 통하여 부여되는 수학적 대상을 표현하는 것이라는 인식이 생기기 시작했다. 가령 거리와 각이라는 개념은 사영기하학에서 등장하지 않는다. 한편 세 각의 합이 180도가 되지 않는 비유클리드 기하학도 개발되기 시작했다. 이러한 발견들은 유클리드 기하학을 신이 내려준 유일한 진리라는 인식을 바꾸었다.

  이에 따라 공리(axiom)가 명백한 사실이나 함축된 정의가 아니라 단지 가정에 불과하다는 것이 알려졌다. 따라서 유클리드 기하학도 더 이상 현실세계를 표현하는 기하학이 아니라 유클리드가 설정한 몇 가지 가정(공리)에 의하여 도출된 정리 집합이었다. 이는 물리학적으로 꽤 심각한 문제였다. 유클리드 기하학이 신이 내려준 진리가 아니라 인간이 설정한 몇 가지 공리에 의하여 산출된 규칙 집합이라면, 유클리드 기하학은 현실 세계를 어느정도까지 잘 설명할 수 있는가? 이후에 실제로 지구에서 국소적으로는(평평한 공간) 유클리드 기하학이 성립하지만, 지구 전체를 기하학적으로 따지거나 행성과 행성(휘어 있는 공간)을 기하학적으로 따질 때는 세 각의 합이 180도가 아닌 비유클리드 기하학이 적용된다는 한다는 사실이 밝혀졌다.

  기하학이라는 용어는 더 이상 현실 세계를 표현하는 개념이 아니라 이론에 불과하다는 것이 밝혀졌고, 해석기하학은 수치적 계산을 통하여 유클리드 기하학의 정리들을 밝혀내었다. 지금까지 기하학을 수학의 기초로 여겨왔지만, 이렇게 기하학이 권위를 잃어버리자 수학자들은 수를 수학의 기초로 삼기 시작했다. 데데킨트는 실수를 엄밀하게 정의하여 선(line)을 실수 집합으로부터 도출해내었다.

  이제 공간이란 단지 점(수학적 대상)과 점 사이의 관계를 포함하는 집합으로 여겨진다.

• 다음 그림들은 다양한 공간들의 관계를 보여준다.

  벡터공간, 위상공간 등의 관계:

  

  아핀공간, 사영공간 등의 관계:

  

  거리공간, 균등공간 등의 관계:

  

  노름 공간, 내적 공간 등의 관계:

  

Topological Space✔

• 위상공간이란 러프하게 말해서, 점들의 가까움이 정의되었지만 그것을 수치적으로 측정할 수는 없는 기하학적 공간이다. 즉, 위상공간은 어떤 점의 근처(근방)에 대한 정보를 갖지만 점 사이의 거리/넓이/부피 등의 정보는 갖지 않는 공간이다. 위상이란 위치와 형상이다. 위상공간에서는 거리, 넓이, 각도 등의 크기를 배제하고 점들의 위치관계(근처 관계)만을 생각한다. 따라서 위상수학에서 도형을 자르거나 붙이는 것이 아니라 늘이거나 줄이거나 구부리는 방식으로 서로 같아지는 도형을 구분할 수 없다. 그래서 위상공간을 처음 소개할 때 가장 자주 쓰이는 예시가 도넛과 컵을 구분할 수 없다는 것이다.

  

  이러한 위상공간은 극한, 연속성, 연결성의 개념을 정의할 수 있는 가장 추상적인 공간이다.

• 3) 은 위상 \(\mathcal{T}\) 의 유한 부분모임의 교집합이 \(\mathcal{T}\) 에 속한다는 뜻이다.

• 예시

  집합 \(X = \{a, b, c\}\) 은 다음과 같이 다양한 위상들에 의하여 위상공간이 될 수 있다.

  

  그러나 부분집합이 다음과 같이 구성되면 위상공간이 되지 않는다.

  

Open Set✔

• 즉, 위상공간 \((X, \mathcal{T})\) 이란 \(X\) 의 열린 집합의 모임이다.

• 위상공간의 정의에 의하여 열린 집합의 합집합이나 교집합은 열려있다.

• 열린 집합은 \(\R\) 에서의 열린구간에서 추상화된 개념으로써, 거리가 정의되지 않은 공간에서 점들 사이의 가까움을 정의하기 위하여 선택된다. 아래의 이산위상과 비이산위상을 보면 알겠지만, 위상을 어떻게 선택하느냐에 따라서 부분집합이 열린집합이 되기도 하고 열려있지 않은 집합이 되기도 한다.

  두 점 중에서 한 점만을 포함하는 열린 집합이 있으면 위상적으로 구분가능하다 고 한다. 이 방식으로 거리가 정의되지 않은 공간에서 두 점의 가까움을 정의할 수 있다.

  가령 자연스러운 유클리드 거리 \(d(x, y) = |x - y|\) 가 부여된 \(\R\) 을 생각해보자. 점 \(x = 0\) 와 가까운 점들을 정의하려 할 때 양수 \(\epsilon > 0\) 에 대하여 \(x\) 로부터 \(\epsilon\) 이내에 있는 점들 \((-\epsilon, \epsilon)\) 을 \(x\) 에 정확도 \(\epsilon\) 만큼 가까운 점 집합이라고 정의할 수 있다. 이로보아 열린구간 \((- \epsilon, \epsilon)\) 은 \(x\) 와 가까운 점들에 대한 정보를 제공해준다. 그러므로 \(x\) 의 근방을 설명할 때 구체적인 거리 측정법을 설명하는 것이 아니라 \(x\) 와 가까운 점 집합을 말할 수도 있다.

  이렇게 \(0\) 을 근사하는데 사용되는 집합(열린 구간)의 모임을 근방 기저(neighborhood basis)라고 하고, 이 근방 기저의 원소를 열린 집합이라 한다. 그렇다면 당연하게 점 \(x\) 가 포함되어 있는 공간 \(X\) 자체는 \(x\) 를 어떤 정확도로 근사하는(물론 가장 낮은 정확도로 근사하는) 열린 집합임이 분명하다. 반면 \(x\) 를 포함하는 열린 집합이 작으면 작을수록 가장 높은 정확도로 \(x\) 를 근사하는 점 집합이 되는 것이다.

  이 관점에서 \(n\)차원 유클리드 공간 \(\R^n\) 에서 어떤 점 \(x\) 의 \(\epsilon\)-열린집합이란 \(\epsilon\)-열린 공이다. 물론 \(\R\) 에서 어떤 점 \(x\) 의 \(\epsilon\)-열린집합이란 열린구간 \((x - \epsilon, x + \epsilon)\) 이다.

  위에서 이미 설명했듯이 이러한 열린집합의 개념에는 거리라는 개념이 굳이 필요하지는 않다. 따라서 거리 개념을 배제하여 공간을 한단계 더 추상화시킬 수 있고, 그렇게 거리가 배제된 공간을 위상공간이라 한다. 위상공간은 위상이 부여된 집합이며, 위상은 단지 열린집합의 모임이다. 열린집합이 공간의 점들의 가까움의 개념을 정의하기 위한 개념이라는 것을 이해했다면 위상공간의 3가지 공리가 어느정도 이해 될 것이다.

Discrete Topology✔

Finite Complement Topology✔

• \(X - X = \varnothing\) 은 유한하므로 \(X \in \mathcal{T}_{f}\) 이고, \(X - \varnothing = X\) 이므로 \(\varnothing \in \mathcal{T}_{f}\) 이다. 또한 \(\mathcal{T}_f\) 의 공집합이 아닌 원소로 이루어진 첨수족 \(\{U _{\alpha}\}\) 는 다음을 만족한다.

  \[ X - \bigcup_{}^{}U_{\alpha} = \bigcap_{}^{}(X - U_{\alpha}) \]

  \(X - U_{\alpha}\) 가 유한이고, 유한집합의 교집합은 유한이므로 \(\bigcup_{}^{}U_{\alpha}\in \mathcal{T}_f\) 이다.

  공집합이 아닌 \(U_1, \dots , U_n \in \mathcal{T}_f\) 에 대하여 다음이 성립한다.

  \[ X - \bigcap_{i=1}^{n}U_i = \bigcup_{i=1}^{n}(X - U_i) \]

  유한집합 \(X - U_i\) 의 합집합은 유한하므로 \(\bigcap_{}^{}U_i \in \mathcal{T}_f\) 이다.

Finer and Coarser Structure✔

• \(\mathcal{T}\subset \mathcal{T}'\) 일 때 어떤 수학자들(주로 위상수학자)은 \(\mathcal{T}'\) 가 \(\mathcal{T}\) 보다 크다고 하고, \(\mathcal{T}\) 가 \(\mathcal{T}'\) 보다 작다고 한다.

• \(\mathcal{T}\subset \mathcal{T}'\) 일 때 어떤 수학자들(주로 해석학자)은 \(\mathcal{T}'\) 가 \(\mathcal{T}\) 보다 강하다고, \(\mathcal{T}\) 가 \(\mathcal{T}'\) 보다 약하다고 한다.

Basis✔

• 예시

  \(\mathcal{B}\) 를 좌표평면 \(\R ^{2}\) 의 모든 원의 내부 영역의 모임이라고 하자. 가령 \(\{(x, y) : x ^{2} + y ^{2} \leq 4 \} \in \mathcal{B}\) 이다. 좌표평면의 점 \((x, y) \in \R ^{2}\) 마다 \((x, y)\) 를 포함하는 원 \(O \in \mathcal{B}\) 이 존재하기 때문에 1) 이 성립한다.

  또한 만약 두 원이 겹쳐있는 부분의 점 \(x\) 가 존재하면 이 점 \(x\) 를 포함하면서 두 원이 겹쳐있는 부분 안에 포함되는 원이 존재한다. 즉, 다음 그림과 같다. 따라서 2) 도 성립한다.

  

  그러므로 \(\mathcal{B}\) 는 \(\R ^{2}\) 위의 위상의 기저이다.

Topology Generated by Basis✔

• 이 정리와 다음의 Lemma 13.1 이 기저로 어떻게 위상을 표현할 수 있는지 알려준다.

• 증명

  기저 \(\mathcal{B}\) 에 의하여 생성된 위상 \(\mathcal{T}\) 가 정말로 위상인지 검증해보자.

  (위상공간 조건 1):

  \(U = \varnothing\) 이면 공진리에 의하여 \(U \in \mathcal{T}\) 이다. 기저의 조건 1) 에 의하여 각 \(x \in X\) 마다 \(x \in B \subset X\) 인 \(B \in \mathcal{B}\) 가 존재하므로 \(X \in \mathcal{T}\) 이다. ▲

  (위상공간 조건 2):

  \(\mathcal{T}\) 의 원소로 구성된 첨수족 \(\{U_{\alpha}\}_{\alpha \in J}\) 에 대하여 다음을 검증하자.

  \[ U = \bigcup_{\alpha \in J}^{}U_{\alpha} \in \mathcal{T} \]

  \(x \in U\) 가 주어지면 어떤 \(\alpha\) 에 대하여 \(x \in U_{\alpha}\) 가 존재한다. \(U_{\alpha}\) 는 열려있으므로 \(x \in B \subset U _{\alpha} \subset U\) 인 \(B \in \mathcal{B}\) 가 존재한다. 따라서 \(U\) 는 열려있다. ▲

  (위상공간 조건 3):

  마지막으로 \(U_1, U_2 \in \mathcal{T} \implies U_1 \cap U_2 \in \mathcal{T}\) 를 보이자. \(x \in U_1 \cap U_2\) 에 대하여 \(x \in B_1 \subset U_1\) 와 \(x \in B_2 \subset U_2\) 를 만족하는 \(B_1, B_2\) 를 선택하자. 기저의 조건 2) 에 의하여 \(x \in B_3 \subset B_1 \cap B_2\) 인 \(B_3\) 를 잡을 수 있다.

  그러면 \(B_1 \subset U_1, B_2 \subset U_2 \implies B_1 \cap B_2 \subset U_1 \cap U_2 \implies B_3 \subset U_1 \cap U_2\) 이다. 즉, \(x \in B_3 \subset U_1 \cap U_2\) 이다. 따라서 \(U_1 \cap U_2 \in \mathcal{T}\) 이다. ■

• 이 보조정리는 \(X\) 모든 열린 집합 \(U\) 를 기저의 원소의 합집합으로 나타낼 수 있다는 것을 말해준다. 그러나 열린집합을 표현하는 합집합 표현은 유일하지 않다. 따라서 주어진 벡터를 유일한 선형결합으로 표현하는 선형대수학의 기저와는 아주 다른 개념이다.

• 증명

  \(\mathcal{B}\) 들의 원소는 \(\mathcal{T}\) 에 속한다. \(\mathcal{T}\) 가 위상이므로 이들의 모든 합집합은 \(\mathcal{T}\) 에 속한다. ▲

  이제 역으로 \(\mathcal{T}\) 가 \(\mathcal{B}\) 의 원소의 모든 합집합의 모임에 속한다는 것을 증명하자. 주어진 \(U \in \mathcal{T}\) 에 대한 각각의 \(x \in U\) 에 대하여 \(x \in B_x \subset U\) 인 \(B_x \in \mathcal{B}\) 를 잡자. 그러면 \(U = \displaystyle \bigcup_{x \in U}^{} B_x\) 이므로 \(U\) 는 \(\mathcal{B}\) 의 원소의 합집합과 같다. ■

• 지금까지 기저로 위상을 표현하는 2가지 방법을 알아보았는데, 이 정리는 위상을 통해 기저를 얻을 수 있는 방법을 말해준다.

• 증명

  주어진 \(x \in X\) 에 대하여 \(X\) 는 그 자체로 열린집합이므로 \(x \in C \subset X\) 를 만족하는 \(C \in \mathcal{C}\) 가 존재한다. 따라서 \(\mathcal{C}\) 는 기저의 조건 1) 을 만족한다.

  \(C_1, C_2 \in \mathcal{C}\) 에 대하여 \(x \in C_1 \cap C_2\) 를 잡자. \(C_1, C_2\) 가 열려있으니까 \(C_1 \cap C_2\) 도 열려있다. 따라서 \(x \in C_3 \subset C_1 \cap C_2\) 인 \(C_3 \in \mathcal{C}\) 가 존재한다. 즉, \(\mathcal{C}\) 는 기저의 조건 2) 를 만족한다. ▲

  이제 \(X\) 의 열린집합 모임 \(\mathcal{T}\) 에 대하여 \(\mathcal{C}\) 에 의하여 생성된 위상 \(\mathcal{T}'\) 이 \(\mathcal{T}\) 와 같은지 보이자. (\(\mathcal{T}\) 를 통하여 만든 기저 \(\mathcal{C}\) 로 위상을 만들면 그것이 \(\mathcal{T}\) 가 되는지 확인하는 절차인듯. 정리의 가정을 보면, 각 열린집합 \(U\) 에 대하여 라는 조건이 있는데 이것 자체가 \(X\) 의 모든 열린집합으로 이루어진 위상 \(\mathcal{T}\) 로 기저 \(\mathcal{C}\) 를 만드는 과정인듯.)

  열린집합 \(U \in \mathcal{T}\) 와 \(x \in U\) 에 대하여 \(c \in C \subset U\) 인 \(C \in \mathcal{C}\) 가 존재한다. 그러면 기저에 의해 생성된 위상에 의하여 \(U \in \mathcal{T}'\) 이다. 즉, \(\mathcal{T} \subset \mathcal{T}'\) 이다.

  반대로 \(W \in \mathcal{T}'\) 는 Lemma 13.1 에 의하여 \(\mathcal{C}\) 의 원소의 합집합과 같다. \(\mathcal{C}\) 의 각 원소가 \(\mathcal{T}\) 에 속하고 \(\mathcal{T}\) 가 위상이므로 \(W\) 도 \(\mathcal{T}\) 에 속한다. 즉, \(\mathcal{T}' \subset \mathcal{T}\) 이다. 따라서 \(\mathcal{T}' = \mathcal{T}\) 이다. ■

• 이 정리는 각 기저에 의한 위상들이 주어지면 기저만으로 어떤 위상이 더 섬세한지 판별할 수 있게 해준다.

• 증명

  \(2 \implies 1\):

  \(U \in \mathcal{T}\) 와 \(x \in U\) 에 대하여 \(\mathcal{B}\) 가 \(\mathcal{T}\) 를 생성하므로 \(x \in B \subset U\) 인 \(B \in \mathcal{B}\) 가 존재한다. 그러면 \(x \in B' \subset B\) 인 \(B' \in \mathcal{B}'\) 가 존재한다. 즉, \(x \in B' \subset U\) 이므로 기저에 의해 생성된 위상에 의하여 \(U \in \mathcal{T}'\) 이다. 따라서 \(\mathcal{T}\subset \mathcal{T}'\) 이다. ■

  \(1 \implies 2\):

  주어진 \(x \in X\) 와 \(x \in B \in \mathcal{B}\) 인 \(B\) 에 대하여 \(B \in \mathcal{T}\) 인데 \(\mathcal{T}\subset \mathcal{T}'\) 이므로 \(B \in \mathcal{T}'\) 이다. \(\mathcal{T}'\) 은 \(\mathcal{B}'\) 에 의해 생성되었으므로 \(x \in B' \subset B\) 인 \(B' \in \mathcal{B}'\) 이 존재한다. ■

• 예시

  이 정리를 통하여 좌표평면의 모든 원의 모임인 기저 \(\mathcal{B}\) 와 모든 직사각형의 모임인 기저 \(\mathcal{B}'\) 가 같은 위상을 생성한다는 것을 알 수 있다. 왜냐하면 다음 그림처럼 좌표평면의 어떤 점 \(x\) 가 주어지면 \(x\) 를 포함하는 원에 포함되는 직사각형이 항상 존재하고, 반대로 \(x\) 를 포함하는 직사각형에 포함되는 원이 항상 존재하기 때문이다.

  

Standard Topology, Lower Limit Topology, K-topology✔

• 특별한 언급이 없다면 \(\R\) 을 표준 위상이 주어진 위상공간이라고 생각하자.

• \(\mathcal{B}''\) 는 다음과 같다. 한편, 이 3가지 모임들이 위상의 기저임을 보이는 것은 쉽다.

  \[ \mathcal{B}'' = \{(a, b) : a < b \in \R\} \cup \{(a, b) \setminus K : a < b \in \R\} \]

• \(\mathcal{B}, \mathcal{B}', \mathcal{B}''\) 중에서 둘의 기저의 원소의 교집합을 취하면 다른 하나의 기저의 원소이거나 공집합이다.

• 증명

  \(\R, \R_l, \R_K\) 의 각각의 위상을 \(\mathcal{T},\mathcal{T}',\mathcal{T}''\) 라고 하자.

  \(\mathcal{T}\) 의 기저의 원소 \((a, b)\) 와 \(x \in (a, b)\) 에 대하여 \(\mathcal{T}'\) 의 기저의 원소 \([x, b)\) 는 \(x\) 를 포함하고 \((a, b)\) 에 포함된다. Lemma 13.3 에 의하여 \(\mathcal{T}\subset \mathcal{T}'\) 이다. 그러나 \(\mathcal{T}'\) 의 기저의 원소 \([x, d)\) 에 대하여 \(x\) 를 포함하고 \([x, d)\) 에 포함되는 열린구간 \((a, b)\) 는 존재하지 않는다. 따라서 \(\mathcal{T} \subsetneq \mathcal{T}'\) 이다.

  \(\mathcal{T}\)의 기저의 원소 \((a, b)\) 와 \(x \in (a, b)\) 에 대하여 \(x\) 를 포함하고 \((a, b)\) 에 포함되는 \(\mathcal{T}''\) 의 기저의 원소를 항상 찾을 수 있다. 그러나 \(\mathcal{T}''\) 의 기저의 원소 \(B = (-1, 1) - K\) 와 \(0 \in B\) 에 대하여 \(0\) 을 포함하면서 \(B\) 에 포함되는 열린구간은 존재하지 않는다. 따라서 \(\mathcal{T}\subsetneq \mathcal{T}''\) 이다. ▲

  \(B\) 와 \(0 \in B\) 에 대하여 \(0\) 을 포함하면서 \(B\) 에 포함되는 반열린구간은 존재하지 않는다. 따라서 \(\mathcal{T}'' \not \subset \mathcal{T}'\) 이다.

  \([x, b)\) 와 \(x\) 에 대하여 \(x\) 를 포함하고 \([x, d)\) 에 포함되는 열린구간이나 \((a, b) - K\) 형태의 집합은 존재하지 않는다. 따라서 \(\mathcal{T}' \not \subset \mathcal{T}''\) 이다. ■

Subbasis✔

• 부분기저 \(\mathcal{S}\) 에 의하여 생성된 모임 \(\mathcal{T}\) 가 위상인지 검증해보자. 이를 위하여 \(\mathcal{S}\) 의 원소의 모든 유한 교집합의 모임 \(\mathcal{B}\) 가 기저라는 것을 증명하자. 그러면 Lemma 13.1 에 의하여 \(\mathcal{T}\) 가 위상이라는 것이 보장된다.

• 증명

  주어진 \(x \in X\) 는 \(\mathcal{S}\) 의 원소에 포함되므로 \(\mathcal{B}\) 의 원소에 포함된다. 이로써 기저의 조건 1) 이 성립한다. ▲

  \(\mathcal{B}\) 의 원소 \(B_1 = S_1 \cap \dots \cap S_m\), \(B_2 = S'_1 \cap \dots \cap S'_n\) 에 대한 교집합

  \[ B_1 \cap B_2 = (S_1 \cap \dots \cap S_m) \cap (S'_1 \cap \dots \cap S'_n) \]

  도 \(\mathcal{S}\) 의 원소의 유한 교집합이므로 \(\mathcal{B}\) 에 포함된다. 이로써 기저의 조건 2)가 성립한다. 따라서 \(\mathcal{B}\) 는 기저이다. ■

Order Topology✔

Interval✔

• 실선에서의 열린구간과 닫힌구간에 익숙하지만, 이 정의는 임의의 순서집합에 대한 구간의 정의이다.

• \(X\) 의 열린구간은 \(X\) 에 위상을 부여하면 항상 열린집합이 되기 때문에 열려있다고 표현한다.

• \(X\) 의 최소 원소는 2) 의 집합에 포함되고, 최대 원소는 3) 의 집합에 포함되며, 나머지 원소들은 1) 의 집합에 모두 포함된다. 즉, \(\mathcal{B}\) 는 기저의 조건 1) 을 만족한다. \(\mathcal{B}\) 의 두 원소의 교집합을 취하면 1), 2), 3) 의 집합 중 하나가 되거나 공집합이 되므로 다시 \(\mathcal{B}\) 에 속한다. 즉, \(\mathcal{B}\) 는 기저의 조건 2) 를 만족한다.

• \(X\) 가 최소원소를 가지지 않으면 2) 의 집합은 없고, 최대원소를 가지지 않으면 3) 의 집합이 없다.

• 예시

  우리에게 익숙한 \(\R\) 의 순서를 그대로 가지고 표준위상을 부여하면 순서위상이 된다.

Ray✔

• \(X\) 의 열린 반직선도 순서 위상에서 열린 집합이 되므로 열려있다고 표현한 것이다.

  \((a, \infty )\) 는 \(X\) 에 최대원소 \(b_0\) 가 있을 경우 \((a, b_0]\) 가 되므로 순서위상의 기저에 속한다. 최대원소가 없을 경우 순서위상의 기저의 \((a, x)\) 꼴의 모든 원소의 합집합이 되므로 위상에 포함된다. 따라서 \((a, \infty )\) 는 열려있다.

Product Topology✔

• 곱 위상은 곱집합에서 위상을 정의하는 표준적인 방법이다.

• \(X\) 와 \(Y\) 의 각각의 모든 열린부분집합 \(U\) 와 \(V\) 에 대한 \(U \times V\) 의 모임 \(\mathcal{B}\) 가 위상의 기저인지 검증해보자.

  \(X\) 와 \(Y\) 의 위상은 각각 \(X\) 와 \(Y\) 를 원소로 갖는다. 따라서 \(X \times Y \in \mathcal{B}\) 이고, 기저의 조건 1) 이 성립한다.

  \(\mathcal{B}\) 의 두 원소 \(U_1 \times V_1, U_2 \times V_2\) 에 대하여 다음이 성립한다.

  \[ (U_1 \times V_1) \cap (U_2 \times V_2) = (U_1 \cap U_2) \times (V_1 \cap V_2) \]

  위상공간의 조건에 의하여 열린집합의 교집합은 열려있다. 따라서 \(U_1 \cap U_2\) 와 \(V_1 \cap V_2\) 는 열려있고, 이에 따라 기저의 조건 2) 도 성립한다.

• 증명

  \(X \times Y\) 의 열린집합 \(W\) 와 점 \(x \times y \in W\) 에 대하여 \(x \times y \in U \times V \subset W\) 를 만족하는 곱 위상의 기저 \(U \times V\) 가 존재한다.

  \(X, Y\) 의 각각의 기저 \(\mathcal{B}\) 와 \(\mathcal{C}\) 에 대하여 \(x \in B \subset U, y \in C \subset V\) 를 만족하는 \(B \in \mathcal{B}, C \in \mathcal{B}\) 를 잡을 수 있다. 그러면 \(\mathcal{D}\) 는 Lemma 13.1 을 만족하여 \(X \times Y\) 의 기저가 된다. ■

• 예시

  \(\R\) 의 표준위상의 곱집합이 \(\R^2\) 의 표준위상이 된다. \(\R^2\) 의 표준위상은 \(\R\) 의 열린집합의 모든 곱집합 모임이 된다.

Projection✔

• 사영은 전사이다.

• \(X\) 의 열린부분집합 \(U\) 에 대하여 \(\pi _1 ^{-1}(U) = U \times Y\) 이고, 이 곱집합은 \(X \times Y\) 에서 열려있다.

  \(Y\) 의 열린부분집합 \(V\) 에 대하여 \(\pi _2 ^{-1}(V) = X \times V\) 이고, 이 곱집합은 \(X \times Y\) 에서 열려있다.

  이 두 곱집합의 교집합 \(U \times V\) 은 다음 그림과 같다.

  

  이에 따라 다음 정리가 나온다.

• 증명

  \(X \times Y\) 위의 위상 \(\mathcal{T}\) 와 \(\mathcal{S}\) 에 의하여 생성된 위상 \(\mathcal{T}'\) 가 같음을 보이자. \(\mathcal{S}\) 의 모든 원소는 열려있으므로 \(\mathcal{T}\) 에 속한다. 따라서 \(\mathcal{S}\) 의 원소의 유한 교집합의 임의의 합집합도 \(\mathcal{T}\) 에 속한다. 즉, \(\mathcal{T}' \subset \mathcal{T}\) 이다. ▲

  \(\mathcal{T}\) 의 기저의 원소 \(U \times V\) 는 다음이 성립하므로 \(\mathcal{S}\) 의 원소의 유한 교집합이다.

  \[ U \times V = \pi _1 ^{-1}(U) \cap \pi _2 ^{-1}(V) \]

  즉, \(U \times V \in \mathcal{T}'\) 이다. 따라서 \(\mathcal{T} \subset \mathcal{T}'\) 이다. ■

  • 부분기저임을 보이기 위하여 생성된 위상이 기존의 위상과 같다는 것을 증명했다. 이것으로 충분한가보네

Subspace Topology✔

• \(\mathcal{T}_{Y}\) 가 위상임을 보이는 것은 쉽다.

• 다수의 위상을 다룰 때, 특히 위상공간과 부분공간을 다룰 때 단순히 열린 집합이라는 명칭은 모호하다. 본 공간에서 열려있는 열린집합인지, 부분공간에서 열려있는 집합인지 꼭 명시해야 한다.

• 증명

  \(X\) 의 열린집합 \(U\) 와 점 \(y \in U \cap Y\) 에 대하여 \(y \in B \subset U\) 인 \(B \in \mathcal{B}\) 를 잡을 수 있다. 그러면 \(y \in B \cap Y \subset U \cap Y\) 이다. 그렇다면 Lemma 13.2 에 의하여 \(\mathcal{B}_{Y}\) 는 \(Y\) 의 부분공간 위상의 기저이다. ■

• 증명

  \(U\) 가 \(Y\) 에서 열려있으면 \(X\) 에서 열려있는 어떤 \(V\) 에 대하여 \(U = Y \cap V\) 이다. \(Y, V\) 가 \(X\) 에서 열려있으므로 \(Y \cap V\) 도 열려있다. ■

• 그러나 순서집합 \(X\) 의 부분집합 \(Y\) 에 대하여 \(Y\) 의 순서위상은 \(Y\) 의 부분공간 위상과 같다는 보장은 없다.

• 예시

  \(Y = [0, 1) \cup \{2\} \subset \R\) 의 부분공간 위상에서 \(\{2\}\) 는 \(\left( \frac{3}{2}, \frac{5}{2} \right) \cap Y\) 이므로 열려있다. 그러나 \(\{2\}\) 는 \(Y\) 의 순서위상에서 열려있지 않다. \(2\) 가 \(Y\) 의 최대원소이므로 \(2\) 를 포함하는 순서위상의 기저는 어떤 \(a \in Y\) 에 대하여

  \[ \{x \in Y : a < x \leq 2\} \]

  의 형태이다. 이 집합에는 \(2\) 보다 작은 점이 반드시 포함된다.

• 증명

  \(X, Y\) 에서 각각 열려있는 집합 \(U, V\) 에 대하여 \(U \times V\) 는 곱 위상의 정의에 의하여 \(X \times Y\) 의 기저의 원소이다. 그러면 Lemma 16.1 에 의하여 \((U \times V) \cap (A \times B)\) 는 \(A \times B\) 위의 부분공간 위상의 기저의 원소이고, 다음이 성립한다.

  \[ (U \times V) \cap (A \times B) = (U \cap A) \times (V \cap B) \]

  \(U \cap A\) 와 \(V \cap B\) 는 각각 \(A, B\) 에서 열려있으므로 이 곱집합은 \(A \times B\) 위의 곱위상의 기저의 원소이다. 이는 \(A \times B\) 위의 부분공간 위상의 기저와 \(A \times B\) 위의 곱 위상의 기저가 같다는 것이다. 따라서 두 위상이 같다. ■

Convex✔

• \(X\) 의 구간과 반직선은 \(X\) 에서 볼록하다.

• \(\R^n\) 의 볼록집합

• Theorem 16.3 을 부연설명할 때 어떤 부분집합의 순서위상은 부분공간 위상과 같지 않다는 것을 일아보았다. 그러나 이 정리에 의해 볼록집합이라는 조건을 추가하면 서로 같다는 결론을 얻을 수 있다.

• 순서 위상 안에서의 순서집합 \(X\) 와 부분집합 \(Y\) 가 주어졌을 때 별다른 언급이 없으면 \(Y\) 에 부분공간 위상이 주어졌다고 생각하자. \(Y\) 가 볼록하면 이 정리에 의하여 부분공간 위상은 \(Y\) 의 순서 위상과 같다.

• 증명

  \(X\) 의 열린 반직선 \((a, \infty )\) 와 \(Y\) 의 교집합을 살펴보자. 만약 \(a \in Y\) 이면

  \[ (a, \infty ) \cap Y = \{x : Y : x > a\} \]

  은 순서집합 \(Y\) 의 열린 반직선이다. 그러나 \(a \not\in Y\) 일 경우 \(Y\) 가 볼록하므로 \(a\) 가 \(Y\) 의 하계이거나 상계이다. \(a\) 가 하계일 경우 \((a , \infty ) \cap Y = Y\) 이고, \(a\) 가 상계일 경우 \((a, \infty ) \cap Y = \varnothing\) 이 된다.

  마찬가지로 \((- \infty ,a) \cap Y\) 도 열린 반직선이 되거나, \(Y\) 가 되거나, \(\varnothing\) 이 된다. 어느 경우에든 \((a, \infty ) \cup (-\infty ,a) = Y\) 이므로 \((a, \infty )\) 와 \((- \infty , a)\) 는 \(Y\) 위의 부분공간 위상의 부분기저를 이룬다.

  한편 이 두 집합은 \(Y\) 의 순서 위상에서 열려있으므로 \(Y\) 의 순서위상은 \(Y\) 의 부분공간 위상을 포함한다. ▲

  반대로 \(Y\) 의 반직선은 항상 \(X\) 의 반직선과 \(Y\) 의 교집합으로 표현되므로 \(Y\) 의 반직선은 \(Y\) 의 부분공간 위상에서 열려있다.

  한편, \(Y\) 의 열린 반직선의 유한 교집합은 순서위상의 기저를 이루므로 \(Y\) 의 반직선은 \(Y\) 위의 순서 위상의 부분기저이다. 따라서 \(Y\) 의 부분공간 위상은 \(Y\) 의 순서 위상을 포함한다. ■

Closed Sets and Limit Points✔

Closed Sets✔

• 닫힌 집합은 자신의 극한점을 모두 포함하는 집합이다. 완비 거리 공간에서 극한 연산에 대하여 닫혀있는 집합을 닫힌 집합이라 한다. 이렇게 수학에서 어떤 집합에서 연산을 수행했을 때의 결과가 여전히 그 집합 안에 속해있을 때 닫혀있다고 표현한다. 이 관점에서 극한점과 극한에 대하여 닫혀있는 집합들을 닫힌 집합이라고 하는 것이다.

• 다음 예시에서 볼 수 있듯이 집합은 열려있으면서 닫혀있을 수 있다.

• 예시

  \([a, b] \subset \R\) 에 대하여 \(\R - [a, b] = (-\infty ,a ) \cup (b, \infty )\) 는 열려있다. 따라서 \([a, b]\) 는 닫혀있고, 닫힌구간이라 한다.

• 예시

  좌표평면 \(\R^2\) 에서 \(xy\)축을 포함하는 1사분면을 나타내는

  \[\{x \times y \in \R^2 : x \geq 0, y \geq 0\}\]

  는 이것의 여집합 \((- \infty , 0)\times \R \cup \R \times (-\infty ,0)\) 이 열려있으므로 닫혀있다.

• 예시

  이산 위상공간에서는 모든 집합이 열려있으므로 모든 집합이 닫혀있다.

• 닫힌집합의 모임은 열린집합의 모임, 즉 위상과 비슷한 성질을 갖는다.

• 이 정리를 보면 짐작할 수 있겠지만 사실은, 닫힌집합을 사용해서도 위상공간을 정의할 수 있고, 열린집합을 닫힌집합의 여집합으로 정의하여 지금까지 해온 모든 논의들을 전개할 수 있다. 그러나 열린집합 대신 닫힌집합을 사용해서 얻은 이득은 없으며, 대부분의 수학자들은 열린집합으로 위상을 정의하는 것을 선호한다.

• \(X\) 의 부분공간 \(Y\) 에서 닫혀있는 집합 \(A\) 는 \(Y\) 의 부분집합이고 \(Y\) 의 부분공간 위상에서 닫혀있는(\(Y-A\) 가 \(Y\) 에서 열려있는) 집합이다.

• 증명

  1: 자명하다. ■

  2:

  닫힌집합 모임 \(\{A _{\alpha}\}_{\alpha \in J}\) 에 대하여 드모르간의 법칙에 의하여 다음이 성립한다.

  \[ X - \bigcap_{\alpha \in J}^{}A _{\alpha} = \bigcup_{\alpha \in J}^{}(X - A _{\alpha}) \]

  \(X - A _{\alpha}\) 이 열려있으므로 이들의 합집합인 위 집합은 열려있다. 따라서 \(\bigcap_{}^{}A _{\alpha}\) 은 닫혀있다. ■

  3:

  2) 와 비슷한 방법으로 쉽게 증명가능하다. ■

• 증명

  \(A = C \cap Y\) 를 가정하면 \(X - C\) 는 \(X\) 에서 열려있고, \((X - C) \cap Y\) 는 \(Y\) 에서 열려있다. \((X - C) \cap Y = Y - A\) 이므로 \(Y - A\) 도 열려있고 \(A\) 는 닫혀있다. ▲

  \(A\) 가 \(Y\) 에서 닫혀있음을 가정하자. \(Y - A\) 가 \(Y\) 에서 열려있으므로 \(X\) 의 열린집합 \(U\) 에 대하여 \(U \cap Y = Y - A\) 이다. \(X - U\) 가 \(X\) 에서 닫혀있으므로 닫힌집합 \(X - U\) 에 대하여 \(A = Y \cap (X - U)\) 이다. ■

  \(A\) 는 \(Y \cap (X - U)\) 이다. 다음 그림을 보자.

  

• 부분공간 \(Y\) 에서 닫혀있는 \(A\) 가 더 큰 집합에서 닫혀있다는 보장은 없다. 그러나 이 정리는 어떤 조건이 추가되면 \(A\) 가 더 큰 집합에서도 닫혀있다는 것이 보장되는지 알려준다.

• 증명

Closure and Interior✔

• 즉, 폐포는 위상공간의 부분집합을 포함하는 가장 작은 닫힌 집합으로 정의된다.

• 명백하게 \(\operatorname{Int} A\) 는 열려있고, \(\operatorname{cl}A\) 는 닫혀있다. 또한 자명하게 다음이 성립한다.

  \[ \operatorname{Int} A \subset A \subset \operatorname{cl}A \]

  \(A\) 가 열려있으면 \(A = \operatorname{Int} A\) 이고, \(A\) 가 닫혀있으면 \(A = \operatorname{cl}A\) 가 된다.

  또한 일반적으로, 위상공간 \(X\) 의 부분공간 \(Y\) 의 부분집합 \(A\) 에 대하여 \(Y\) 에서의 \(A\) 의 폐포와 \(X\) 에서의 \(A\) 의 폐포는 다르다.

  이렇게 서로 다른 위상공간에서의 폐포를 구분하기 위하여 위상공간 \((X, \mathcal{T})\) 에서의 \(A\) 의 폐포를 \(\operatorname{cl} _{(X, \mathcal{T})} A\) 또는 \(\operatorname{cl} _{X}A\) 또는 \(\operatorname{cl} _{\mathcal{T}}A\) 와 같이 표기한다. 위상이 거리함수 \(d\) 로 유도되면 \(\operatorname{cl} _{(X, d)} A\) 또는 \(\operatorname{cl} _{d}A\) 와 같이 표기한다.

• 증명

  \(\operatorname{cl} _{X} A\) 가 \(X\) 에서 닫혀있으므로 Theorem 17.2 에 의하여 \(\operatorname{cl} _{X}A \cap Y\) 는 \(Y\) 에서 닫혀있다. \(\operatorname{cl}_{X}A \cap Y\) 가 \(A\) 를 포함한다. \(\operatorname{cl}_{Y}A\) 도 \(A\) 를 포함하는데 \(A\) 를 포함하는 가장 작은 닫힌집합이다. 따라서 \(\operatorname{cl}_{Y}A \subset \operatorname{cl}_{X}A \cap Y\) 이다. ▲

  \(\operatorname{cl}_{Y}A\) 가 \(Y\) 에서 닫혀있으므로 Theorem 17.2 에 의하여 \(B = C \cap Y\) 인 \(X\) 에서 닫힌 집합 \(C\) 가 존재한다. \(C\) 는 \(A\) 를 포함하는 닫힌집합이다. 따라서 \(\operatorname{cl}_{X}A \subset C\) 이다. 그러므로 \(\operatorname{cl}_{X}A \cap Y \subset C \cap Y = \operatorname{cl}_{Y}A\) 이다. ■

Intersect✔

• 폐포가 모든 닫힌집합의 교집합으로 정의되었는데, 이 정의만으로 폐포를 찾는 것은 어렵다. 이 정리는 폐포를 찾는 쉬운 방법들을 알려준다.

• 증명

  1:

  1) 의 대우인 \(x \not\in \operatorname{cl}_{}A\) 인 것은 \(x\) 를 포함하고 \(A\) 와 교차하지 않는 열린집합 \(U\) 가 존재한다는 것과 동치이다를 증명해도 된다.

  \(x \not\in \operatorname{cl}_{}A\) 를 가정하면 \(U = X - \operatorname{cl}_{}A\) 는 \(x\) 를 포함하고 \(A\) 와 교차하지 않는다.

  역으로 \(x\) 를 포함하고 \(A\) 와 교차하지 않는 열린집합 \(U\) 를 가정하면 \(X - U\) 는 \(A\) 를 포함하는 닫힌집합이다. 폐포 \(\operatorname{cl}_{}A\) 는 \(A\) 를 포함하는 가장 작은 닫힌집합이므로 \(\operatorname{cl}_{}A \subset X - U\) 이다. 따라서 \(x \not\in \operatorname{cl}_{}A\) 이다. ■

  2:

  \(x \in \operatorname{cl}_{}A\) 이면 1) 에 의해 \(x\) 를 포함하는 모든 열린집합이 \(A\) 와 교차하는데, \(B\) 가 열린집합이므로 \(x\) 를 포함하는 기저의 원소 \(B\) 와도 교차한다.

  역으로 \(x\) 를 포함하는 모든 기저의 원소 \(B\) 와 \(A\) 가 교차하면 \(x\) 를 포함하는 모든 열린집합 \(U\) 와 \(A\) 가 교차한다. \(U\) 는 \(x\) 를 포함하는 기저의 원소를 포함하기 때문이다. 그러면 1) 에 의해 \(x \in \operatorname{cl}_{}A\) 이다. ■

• 예시

  실선 \(\R\) 의 \(Y = (0, 1]\) 와 \(A = \left( 0, \frac{1}{2} \right)\) 에 대하여 \(\operatorname{cl}_{\R}A = \left[ 0, \frac{1}{2} \right]\) 이지만 \(\operatorname{cl}_{Y} A = \left[ 0, \frac{1}{2} \right] \cap Y = \left(0, \frac{1}{2}\right]\) 이다.

Neighborhood✔

• \(x\) 의 근방이 열린집합일 필요는 없지만 열린집합이면 열린근방이라 한다.

  몇몇 저자들은 근방이 열려있도록 정의하기 때문에 주의해야 한다. 특히 Munkres, Topology 에서는 근방이 열려있도록 정의한다. 여기에서도 암묵적으로 근방이 열려있다고 정의한다.

• Theorem 17.5-(1) 을 근방으로 재기술한 것이다.

  이로써 \(A\) 의 폐포가 어떤 점의 극미한 근방이 \(A\) 에 포함되는 점으로 이루어져있다는 것을 알 수 있다.

• 예시

  실선 \(\R\) 의 \(A = (0, 1]\) 에 대하여 \(0\) 의 모든 근방이 \(A\) 와 교차하므로 폐포는 \(\operatorname{cl}_{}A = [0 ,1]\) 가 된다. \([0, 1]\) 바깥에 있는 점들은 \(A\) 와 서로소인 근방을 가진다.

  \(B = \{1/n : n \in \Bbb{Z}_{+}\}\) 에 대하여 \(\operatorname{cl}_{}B = \{0\} \cup B\) 이다.

  \(C = \{0\} \cup (1, 2)\) 에 대하여 \(\operatorname{cl}_{}C = \{0\} \cup [1, 2]\) 이다.

  유리수 집합 \(\Bbb{Q}\) 에 대하여 \(\operatorname{cl}_{}\Bbb{Q}\ = \R\) 이다.

  양의 정수 집합 \(\Bbb{Z}_{+}\) 에 대하여 \(\operatorname{cl}_{}\Bbb{Z}_{+} = \Bbb{Z}_{+}\) 이다.

  양의 실수 집합 \(\R_{+}\) 에 대하여 \(\operatorname{cl}_{}\R_{+} = \R_{+} \cup \{0\}\) 이다.

Topological Indistinguishability✔

• 반대로 두 점이 위상적으로 구분가능하다는 것은 두 점 중에서 하나만 포함하는 열린집합이 존재한다는 것이다. 이 열린 집합은 두 점을 위상적으로 구분할 수 있게 해준다.

• 예시

  비이산 공간에서 두 점은 항상 위상적으로 구분불가능하다.

Limit Points✔

• 다르게 말해서, \(A\) 의 극한점 \(x\) 란 \(A - \{x\}\) 의 폐포에 속하는 점이다.

• 예시

  실선 \(\R\) 의 \(A = (0, 1]\) 에 대하여 \(\operatorname{cl}_{}A = [0, 1]\) 의 모든점이 극한점이다.

  \(B = \{1/n : n \in \Bbb{Z}_{+}\}\) 에서는 오직 \(0\) 만 \(B\) 의 극한점이다. 다른 \(\R\) 의 점들에 대해서는 점의 모든 근방이 \(x\) 와 다른 점에서 \(B\) 와 교차하지 않는다.

  \(C = \{0\} \cup (1, 2)\) 의 극한점 집합은 \([1, 2]\) 이다.

  \(\R\) 의 모든 점이 \(\Bbb{Q}\) 의 극한점이다.

  \(\R\) 에서 \(\Bbb{Z}_{+}\) 의 극한점은 없다.

  \(\R_{+}\) 의 극한점 집합은 \(\{0\}\cup \R_{+}\) 이다.

• 이 정리가 R 에서의 폐포의 정의였다.

• 이 정리는 Theorem 17.5 와 함께 폐포를 찾는 쉬운 방법을 알려준다.

• 증명

  \(x \in A'\) 이면 \(x\) 의 모든 근방이 \(x\) 와 다른 점에서 \(A\) 와 교차한다. 그러면 Theorem 17.5 에 의하여 \(x \in \operatorname{cl}_{}A\) 이다. 따라서 \(A' \subset \operatorname{cl}A\) 이다. 또한 폐포의 정의에 의하여 \(A \subset \operatorname{cl}A\) 이다. 따라서 \(A \cup A' \subset \operatorname{cl}A\) 이다. ▲

  \(x \in \operatorname{cl}A\) 일 때 \(x \in A\) 이면 자명하다. \(x \not\in A\) 일 경우 Theorem 17.5 에 의하여 \(x\) 의 모든 근방이 \(x\) 와 다른 점에서 \(A\) 와 교차한다. 즉, \(x \in A'\) 이다. 따라서 \(x \in A \cup A'\) 이고 \(\operatorname{cl}A \subset A \cup A'\) 이다. ■

• 이 정리와 Theorem 17.6 에 의하여 집합 \(A\) 가 닫혀있으면 다음이 성립한다.

  \[ \operatorname{cl}A = A \]

• 이 정리가 R 에서의 닫힌집합의 정의였다.

• 증명

  \(\operatorname{cl}A\) 은 \(A\) 를 포함하는 가장 작은 닫힌 집합이다. 즉, \(A\) 가 닫혀있는 것과 \(A = \operatorname{cl}A\) 는 동치이다. 그러면 Theorem 17.6 에 의하여 \(\operatorname{cl}A = A = A \cup A'\) 이다. 이는 \(A' \subset A\) 이 성립해야만 성립한다. ■

• 폐포는 집합을 포함하는 가장 작은 닫힌집합이다. 따라서 집합이 닫혀있으면 폐포는 자기 자신이다.

• 증명

  Theorem 17.6, Corollary 17.7 에 의하여 바로 나온다. ■

Convergence of Sequence✔

• 거리공간에서의 수열의 수렴, 그리고 R 에서의 수열의 수렴과 비교해보자. 결국 모든 수열의 수렴의 정의는 궁극적으로 임의의 오차 범위 이내로 접근하는 값을 의미하다. 거리공간이나 \(\R\) 에서의 수열의 수렴의 오차범위 이내란 무한히 작은 양수였지만, 위상공간에서의 수열의 수렴에서의 오차범위 이내란 주어진 위상이 결정한다. 그래서 위상이 오차범위를 제대로 좁혀주지 않을 경우 수열은 여러개의 극한값을 갖기도 한다. 아래의 설명을 보자.

Haousdorff Spaces✔

• 다음 그림처럼 하우스도르프 공간에서는 서로 다른 두 점을 서로소 열린 근방으로 구분할 수 있다.

  

• 일반적인 위상공간에서는 우리의 기하학적 직관에 위배되는 해괴한 사실들이 성립하곤 한다.

  가령 \(\R\) 이나 \(\R^2\) 에서 한 점 집합 \(\{x_0\}\) 는 닫혀있다. \(x_0\) 와 다른 점의 모든 근방이 \(\{x_0\}\) 와 교차하지 않기 때문에 \(\{x_0\}\) 은 폐포이기 때문이다. 그러나 가령 다음과 같은 위상공간에서의 한 점 집합 \(\{b\}\) 는 열려있다.

  

  비슷하게 \(\R\) 이나 \(\R^2\) 에서 수열은 반드시 한 점으로 수렴했다. 그러나 위와 같은 위상공간에서 수열을 \(x_n = b\) 와 같이 정의하면 \(b\) 뿐만 아니라 \(a\) 와 \(c\) 로도 수렴한다.

  수학자들은 이렇게 이상한 공간에서 드물게 발생하는 이상한 일들에 흥미가 없다. 이러한 기괴한 일들이 일어나도록 허용된 공간에서는 쓸만한 정리들이 별로 없기 때문이다. 따라서 펠릭스 하우스도르프는 우리의 기하학적 직관이 유지되도록 위상공간에 추가적인 조건을 추가하기로 했고, 그가 만든 공간을 그의 이름을 따서 하우스도르프 공간이라 한다.

  실제로 위와 같은 위상공간에서 점 \(a, b, c\) 들을 구분할 수 있는 서로소 근방은 없으므로 이 위상공간은 하우스도르프 공간이 아니다. 그러나 다음과 같이 위상을 구성하면 \(a, b, c\) 를 구분하는 서로소 근방을 찾을 수 있으므로 하우스도르프 공간이다.

  

  위와 같은 하우스도르프 공간에서는 수열이 여러 점으로 수렴하는 이상한 일이 발생하지 않는다. 가령 위와 같은 수열 \(x_n = b\) 는 더 이상 \(a\) 와 \(c\) 로 수렴하지 않는다. \(a\) 와 \(b\) 는 서로소 근방을 가지므로 \(a\) 의 임의의 근방이 \(b\) 를 포함하지 않기 때문이다. 이 사실을 아래의 Theorem 17.10 에서 증명한다.

• 한 원소 집합이 닫혀있으면 Theorem 17.1 에 의하여 유한한 점 집합이 닫혀있다. 유한 점 집합이 닫혀있다는 조건을 \(\operatorname{T}_1\) 공리라고 한다. \(\operatorname{T}_1\) 공리가 성립하는 집합을 \(\operatorname{T}_1\) 공간이라 한다.

• 이 정리는 하우스도르프 공간이 \(\operatorname{T}_1\) 공간임을 말해준다.

• \(\operatorname{T}_1\) 공리는 하우스도르프 조건보다 약하다. 즉, \(\operatorname{T}_1\) 공간이지만 하우스도르프 공간이 아닐 수도 있다.

• 증명

  Theorem 17.1 에 의하여 한 점 집합 \(\{x_0\}\) 이 닫혀있음을 보이면 된다.

  \(x \neq x_0\) 인 점에 대하여 \(x, x_0\) 는 서로소 근방 \(U, V\) 를 갖는다. \(x\) 의 근방 \(U\) 가 \(\{x_0\}\) 와 교차하지 않으므로 Theorem 17.5-(1) 에 의하여 \(x \not\in \operatorname{cl} \{x_0\}\) 이다. \(x\) 는 임의의 점이므로 Theorem 17.6 에 의하여 \(\operatorname{cl}\{x_0\} = \{x_0\}\) 이다. 따라서 폐포는 닫혀있으므로 \(\{x_0\}\) 는 닫혀있다. ■

• \(\operatorname{T}_1\) 공간은 별로 쓸만한 공간이 아니며, 이 정리에서만 언급되고 앞으로 별로 언급되지 않을 것이다. \(\operatorname{T}_2\) 공간부터 좀 쓸만한 공간이 된다. 왜냐하면 위상수학에서 대부분의 흥미로운 정리들이 \(\operatorname{T}_1\) 공리가 아니라 하우스도르프 공리의 힘을 필요로 하기 때문이다. 그리고 다른 대다수의 수학자들이 관심있어 하는 공간은 \(\operatorname{T}_1\) 공간이 아니라 하우스도르프 공간이다.

• 증명

  \(x\) 의 임의의 근방이 \(A\) 와 무한히 많은 점에서 교차하므로 \(x\) 의 근방은 \(x\) 와 다른 점에서 \(A\) 와 교차한다. 그러면 \(x\) 는 \(A\) 의 극한점이다. ▲

  \(x\) 가 \(A\) 의 극한점인데도 \(x\) 의 어떤 근방 \(U\) 이 \(A\) 와 유한히 많은 점에서 교차한다고 하자. 즉, \(U\) 가 \(A - \{x\}\) 와 유한히 많은 점 \(\{x_1, x_2, \dots, x_m\} \subset U \cap (A - \{x\})\) 에서 교차한다고 하자. \(\operatorname{T}_1\) 공간에서 유한한 점 집합은 닫혀있으므로 \(X - \{x_1, x_2, \dots, x_m\}\) 은 열려있다. 따라서

  \[ U \cap (X - \{x_1, x_2, \dots, x_n\}) \]

  는 \(A - \{x\}\) 와 교차하지 않는 \(x\) 의 근방이다. 이는 \(x\) 가 \(A\) 의 극한점이라는 가정에 모순이다. ■

• 증명

  \(X\) 의 수열 \(x_n\) 이 \(x\) 로 수렴한다고 하자. \(y \neq x\) 에 대하여 \(x, y\) 각각의 서로소 근방 \(U, V\) 가 존재한다. 어떤 \(N\) 이상의 \(x_n\) 들은 모두 \(U\) 에 포함되지만, \(V\) 는 이 \(x_n\) 들을 포함하지 않는다. 따라서 \(x_n\) 는 \(y\) 로 수렴할 수 없다. ■

• 증명

  1:

  순서위상의 두 원소 \(x, y\) 에 대하여 일반성을 잃지 않고 \(x < y\) 라고 가정할 수 있다. \(x < c < y\) 인 점 \(c\) 가 존재할 경우 \((-\infty ,c), (c, \infty )\) 는 각각 \(x, y\) 를 포함하는 서로소 근방이다. \(x < c < y\) 인 점 \(c\) 가 존재하지 않을 경우, 즉 \(x\) 다음 원소가 바로 \(y\) 일 경우 \((-\infty ,y), (x, \infty )\) 는 각각 \(x, y\) 를 포함하는 서로소 근방이다. ■

  2:

  \(\operatorname{T}_2\) 공간 \(X, Y\) 의 곱집합 \(X \times Y\) 의 서로 다른 두 원소 \(z_1, z_2\) 에 대한 서로소 근방이 존재함을 보여야 한다.

  \(z_1 = (x_1, y_1), z_2 = (x_2, y_2)\) 로 두자. 그러면 \(x_1, x_2\) 의 서로소 근방 \(X_1, X_2\) 에 대하여 \(X_1 \cap X_2 = \varnothing\) 이고, \(y_1, y_2\) 의 서로소 근방 \(Y_1, Y_2\) 에 대하여 \(Y_1 \cap Y_2 = \varnothing\) 이다. 곱집합의 정의에 의하여 \(X_1 \times Y_1\) 은 \(z_1\) 을 포함하는 근방이고 \(X_2 \times Y_2\) 은 \(z_2\) 을 포함하는 근방이며, 다음이 성립한다.

  \[ \varnothing = (X_1 \cap X_2) \times (Y_1 \cap Y_2) = (X_1 \times Y_1) \cap (X_2 \times Y_2) \]

  따라서 \(X \times Y\) 는 하우스도르프이다. ■

  3:

  하우스도르프 공간 \(X\) 의 부분집합 \(Y\) 의 두 원소 \(y_1, y_2\) 를 포함하는 \(X\) 의 서로소 근방 \(X_1, X_2\) 가 존재한다. \(X_1 \cap Y, X_2 \cap Y\) 는 각각 \(y_1, y_2\) 를 포함하는 \(Y\) 의 서로소 근방이다. ■

Functional Limit (topological space)✔

• 일변수 함수의 극한, 다변수 함수의 극한, 거리공간에서의 함수의 극한의 정의가 모두 이 정의에 포함된다.

Continuous Functions✔

• 즉, 함수의 공역의 열린집합의 역상이 열려있으면 연속함수이다.

  위 정의에서 열린집합 \(V\) 의 역상 \(f ^{-1}(V)\) 은 다음과 같다.

  \[ f ^{-1}(V) = \{x \in X : f(x) \in V\} \]

• 한 점에서 연속은 다음 그림으로 이해할 수 있다.

  

• 연속함수의 정의는 \(\R\) 에서의 연속성 이나 \(\R^n\) 이나 거리공간에서의 연속성에서나 여타 다른 공간에서 다양하게 특수화된 방식으로 정의되어있다. 그렇다면 다음과 같은 공간 사이에서 정의된 함수들의 연속성은 다 어떻게 정의될까?

  \[ f: \R \to \R^3 \]
  \[ f: \Bbb{C} \times \R ^{5} \to \Bbb{C} \]
  \[ f: \Bbb{C}^{\infty } \to \R \]

  이 정의는 이렇게 다양한 수학의 특수한 공간에서 특수하게 정의된 모든 정의들을 포함하는 일반적인 정의이다.

• 연속성의 정의를 보면 연속성이 함수 자체에 의존할 뿐만 아니라 정의역과 공역에 정의된 위상에 의존한다는 것을 알 수 있다.

• 예시

  함수 \(f: \R \to \R_l, x \mapsto x\) 는 불연속함수이다. \(\R_l\) 의 열린집합 \([a, b)\) 의 역상 \(f ^{-1}([a, b)) = [a, b)\) 이 Lemma13.4 에 의하여 \(\R\) 에서 열려있지 않기 때문이다.

  반면 함수 \(g: \R_l \to \R, x \mapsto x\) 는 연속함수이다. \(\R\) 의 열린집합 \((a, b)\) 의 역상 \(g ^{-1}((a, b)) = (a, b)\) 이 Lemma13.4 에 의하여 \(\R\) 에서 열려있기 때문이다.

• 증명

  1:

  임의의 열린집합 \(V \subset Y\) 는

  \[ V = \bigcup_{\alpha \in J}^{}B _{\alpha} \]

  와 같이 기저의 원소로 표현되기 때문에 \(V\) 의 역상이 다음과 같이 표현된다.

  \[ f ^{-1}(V) = \bigcup_{\alpha \in J}^{}f ^{-1}(B _{\alpha}) \tag*{■} \]

  2:

  부분기저로 생성되는 위상의 기저 \(B\) 는 부분기저의 유한 교집합 \(\bigcap_{i=1}^{n}S_i\) 에 의하여 표현되는데, 이에 따라 다음이 성립한다.

  \[ f ^{-1}(B) = f ^{-1}(S_1) \cap \dots \cap f ^{-1}(S_n) \tag*{■} \]

• 4) 가 어떤 \(x\) 에 대하여 성립하면 점 \(x\) 에서의 함수의 연속의 정의와 같다.

• 증명

  \(1 \implies 2\):

  \(x \in \operatorname{cl}A \implies f(x) \in \operatorname{cl}f(A)\) 를 보이자. \(f(x)\) 의 근방 \(V\) 에 대하여 \(f ^{-1}(V)\) 는 \(x\) 의 근방이다. 그러면 Theorem 17.5 에 의하여 \(f ^{-1}(V)\) 는 \(A\) 와 어떤 점 \(y\) 에서 교차한다. 그러면 \(V\) 는 \(f(A)\) 와 점 \(f(y)\) 에서 교차한다. 다시 Theorem 17.5 에 의하여 \(f(x) \in \operatorname{cl}f(A)\) 이다. ■

  \(2 \implies 3\):

  \(A = f ^{-1}(B)\) 로 두고, \(A\) 가 닫혀있음을 보이자. \(f(A) = f(f ^{-1}(B)) \subset B\) 이므로 \(x \in \operatorname{cl}A\) 이면 2) 와 닫혀있는 집합의 폐포는 자기 자신이라는 사실에 의하여 다음이 성립한다.

  \[ f(x) \in f(\operatorname{cl}A) \subset \operatorname{cl}f(A) \subset \operatorname{cl}B = B \]

  따라서 \(x \in \operatorname{cl}A \subset f ^{-1}(B) = A\) 이고, 결국 \(\operatorname{cl}A \subset A\) 이다. 그러면 Theorem 17.6 에 의하여 \(\operatorname{cl}A = A\) 이다. 폐포가 자기 자신이므로 \(A\) 는 닫혀있다. ■

  \(3 \implies 1\):

  열린집합 \(V \subset Y\) 에 대하여 \(B = Y - V\) 로 두면 다음이 성립한다.

  \[ f ^{-1}(B) = f ^{-1}(Y) - f ^{-1}(V) = X - f ^{-1}(V) \]

  \(B\) 가 닫혀있으므로 3) 에 의하여 \(f ^{-1}(B)\) 도 닫혀있다. 그러면 \(f ^{-1}(V)\) 는 열려있다. ■

  \(1 \implies 4\):

  \(x \in X\) 에 대한 \(f(x)\) 의 근방 \(V\) 에 대하여 \(U = f ^{-1}(V)\) 는 \(f(U) \subset V\) 인 \(x\) 의 근방이다. ■

  \(4 \implies 1\):

  열린집합 \(V \subset Y\) 에 대한 점 \(x \in f ^{-1}(V)\) 에 대하여 \(f(x) \in V\) 이다. 그러면 4) 에 의하여 \(f(U_x) \subset V\) 인 \(x\) 의 근방 \(U_x\) 가 존재한다. 그러면 \(U_x \subset f ^{-1}(V)\) 이다. 그렇다면

  \[ \bigcup_{x \in f ^{-1}(V)}^{}U_x = f ^{-1}(V) \]

  인데, 열린집합의 합집합은 열려있으므로 \(f ^{-1}(V)\) 는 열려있다. ■

Homeomorphisms✔

• 위상동형사상은 위상적 성질을 보존하는 동형사상이다. 두 위상공간 사이에 위상동형사상이 존재하면 위상수학의 관점에서 두 공간을 구별할 수 없다. 위상수학은 위상동형사상에 의하여 불변하는 성질을 연구한다. 도넛과 컵 사이에는 위상동형사상이 존재하여 이 둘은 서로 위상동형이며, 위상수학의 관점에서 이 둘을 구별할 수 없다.

  

• \(f ^{-1}\) 가 연속이라는 조건은 열린집합 \(U \subset X\) 의 \(f ^{-1}\) 에 의한 역상 \(\{f ^{-1}\}^{-1}(U)\) 이 열려있다는 것이다. 그런데 \(\{f ^{-1}\}^{-1}(U) = f(U)\) 이므로 이것은 \(U\) 의 \(f\) 에 의한 상과 같다. \(f\) 가 연속이려면 열린집합 \(f(U)\) 의 역상 \(U\) 가 열려있어야 한다. 따라서 전단사 사상 \(f: X \to Y\) 가 위상동형사상이라는 것을 다음과 같이 정의할 수도 있다.

  \(f(U)\) 가 열려있는 것과 \(U\) 가 열려있는 것은 동치이다.

  그러므로 우리는 이 사실을 통하여 두 공간 \(X, Y\) 사이에 위상동형사상 \(f\) 가 존재하면 \(f\) 가 집합 \(X, Y\) 사이의 전단사 사상을 제공할 뿐만 아니라 두 공간의 열린집합 모임에 대한 전단사 사상을 제공해준다는 것을 알 수 있다. 즉, 두 공간 사이에 위상동형사상이 존재하면 \(X\) 의 위상적 성질(열린집합에 의한 성질)이 결정되었을 때 \(f\) 를 통하여 똑같은 성질이 공간 \(Y\) 에도 부여된다는 것이다.

• 동형사상이란 군이나 환 사이에 정의되어 모든 대수적 구조를 보존하는 사상이었다. 이와 비슷한 위상동형사상은 두 위상공간의 위상적 구조를 보존하는 사상이다.

• 예시

  함수 \(f: \R \to \R, x \mapsto 3x + 1\) 의 역함수 \(f ^{-1}(y) = \frac{1}{3}(y - 1)\) 에 대하여 \(f (f ^{-1}(y)) = y, f ^{-1}(f(x)) = x\) 이고, \(f\) 와 \(f ^{-1}\) 의 연속성은 쉽게 확인할 수 있다. 따라서 \(f\) 는 위상동형사상이다.

Constructing Continuous Functions✔

• 증명

• 이 정리는 합집합에 대하여서도 성립한다. 합집합의 관점에서 이 정리는 Theorem 18.2 의 국소 연속성의 특수한 경우이다.

• 증명

  \(Y\) 에서 닫힌집합 \(C\) 에 대하여 다음이 성립한다.

  \[ h ^{-1}(C) = f ^{-1}(C) \cup g ^{-1}(C) \]

  \(f\) 가 연속이므로 \(f ^{-1}(C)\) 는 \(A\) 에서 닫혀있고, 곧 \(X\) 에서 닫혀있다. \(g\) 가 연속이므로 \(g ^{-1}(C)\) 는 \(B\) 에서 닫혀있고, 곧 \(X\) 에서 닫혀있다. 그러면 \(h ^{-1}(C)\) 는 \(X\) 에서 닫혀있다. ■

• \(f_1, f_2\) 를 \(f\) 의 좌표 함수(coordinate function)라 한다.

• 공역이 곱집합인 함수의 연속성 판정법은 이렇게 존재하지만, \(f: A \times B \to X\) 와 같이 정의역이 곱집합인 함수의 연속성에 대한 유용한 판정법은 없다.

• 증명

Product Topology✔

• \(\mathcal{B}\) 는 기저이다. \(\prod X _{\alpha} \in \mathcal{B}\) 이므로 기저의 첫번째 조건이 성립한다. 또한 \(\mathcal{B}\) 의 임의의 원소의 교집합에 대하여 다음이 성립하므로 기저의 두번째 조건도 성립한다.

  \[ \left( \prod_{\alpha \in J}^{}U _{\alpha} \right) \cap \left( \prod_{\alpha \in J}^{}V _{\alpha} \right) = \prod_{\alpha \in J}^{}(U _{\alpha} \cap V _{\alpha}) \]

• 즉, 사영 사상은 곱공간의 원소를 \(\beta\) 좌표로 보내는 함수이다.

• 곱위상은 위상공간의 곱집합에 표준적으로 부여되는 위상이다. 따라서 별다른 언급이 없다면 곱집합에 곱위상이 주어져있다고 생각하자.

• 이 정리에 의하여 다음 사실들을 곧바로 알 수 있다.

  1. 유한곱 \(\displaystyle \prod_{\alpha = 1}^{n}X _{\alpha}\) 에 대하여서는 두 위상이 서로 같다. 무한곱 \(\displaystyle \prod_{\alpha = 1}^{\infty }X _{\alpha}\) 에서는 상자 위상의 기저에 \(U _{\alpha} \subsetneq X _{\alpha}\) 의 무한한 곱인 \(\prod U _{\alpha}\) 형태의 원소가 존재하지만, 곱 위상의 기저에 \(U _{\alpha} \subsetneq X _{\alpha}\) 인 \(U _{\alpha}\) 들이 \(\prod U _{\alpha}\) 에 오직 유한하게밖에 존재하지 못한다.

  2. 상자 위상이 곱 위상보다 섬세하다.

  사실은 상자 위상 보다 곱 위상이 훨씬 더 중요하다. 상자 위상은 그렇게 중요하지 않다. 왜냐하면 중요한 역할을 하는 정리들이 곱 위상을 가정했을 때 유한 곱에서 성립하면, 임의의 곱에서 성립함을 보일 수 있기 때문이다. 반대로 상자 위상을 가정하면 이렇게 할 수 없다. 따라서 곱 위상은 곱 집합에서 표준위상으로 여겨진다. 그리고 별다른 언급이 없다면 곱 집합에 곱 위상이 부여되어 있다고 생각하자.

• 증명

  상자 위상에 대한 정리는 그 정의에 의하여 자명하다. ▲

  곱위상의 부분기저 \(\mathcal{S} = \displaystyle \bigcup_{\beta \in J}^{}\mathcal{S}_{\beta }\) 가 생성하는 기저 \(\mathcal{B}\) 를 생각하자. 부분기저 정리에 의하여 \(\mathcal{B}\) 는 \(\mathcal{S}\) 의 유한 교집합으로 구성된다. 만약 \(\mathcal{S}_{\beta }\) 의 두 원소의 교집합을 취하면

  \[ \pi ^{-1}_{\beta }(U _{\beta }) \cap \pi ^{-1}_{\beta }(V _{\beta }) = \pi ^{-1}_{\beta }(U _{\beta } \cap V _{\beta }) \]

  를 얻는데, 이는 다시 \(\mathcal{S}_{\beta }\) 에 속하므로 새로운 것을 얻지 못한다. 따라서 새로운 기저의 원소를 얻으려면 반드시 서로 다른 \(\mathcal{S}_{\beta }\) 의 원소로부터 교집합을 취해야 한다. 그러면 곱위상의 기저 \(\mathcal{B}\) 의 원소는 다음과 같이 표현할 수 있다. 인덱스 집합 \(J\) 의 \(\beta _1, \dots , \beta _n\) 과 \(i = 1, \dots , n\) 에 대하여 \(X _{\beta _i}\) 에서 열려있는 \(U _{\beta _i}\) 에 대하여

  \[ B = \pi _{\beta _1}^{-1}(U _{\beta _1}) \cap \dots \cap \pi _{\beta _n}^{-1}(U _{\beta _n}) \in \mathcal{B} \]

  이다.

  따라서 \(\prod X _{\alpha}\) 의 점 \(x = (x _{\alpha})_{\alpha \in J}\) 의 각 \(\beta _i\) 좌표가 \(x _{\beta _i} \in U _{\beta _i}\) 이면 \(x \in B\) 이다. \(\beta _1, \dots , \beta _n\) 에 속하지 않는 \(\alpha\) 좌표에 대하여 \(x\) 에 부여되는 제한은 없다. 따라서 \(\alpha \neq \beta _1, \dots , \beta _n\) 일 때 \(U _{\alpha} = X _{\alpha }\) 로 두면 \(B\) 는 다음과 같다.

  \[ B = \prod_{\alpha \in J}^{}U _{\alpha} \]

  이 결론은 \(\prod X _{\alpha}\) 위의 곱 위상이 유한한 \(\alpha\) 들을 제외하고 \(U _{\alpha} = X _{\alpha}\) 인 \(X _{\alpha}\) 에서 열린 집합 \(U _{\alpha}\) 에 대한 \(\prod U _{\alpha}\) 형태의 모든 집합의 모임을 기저로 갖는다는 것을 말해준다. ■

• 곱집합 \(X \times Y\) 에서 증명가능한 이 정리는 곱 위상이든, 상자 위상이든 \(\prod X _{\alpha}\) 에서 성립한다.

• 증명

• 예시

  \(\R\) 의 기저는 열린집합 모임으로 구성되어 있다. 따라서 \(n\)차원 유클리드 공간 \(\R^n\) 의 기저는 다음 형태의 모든 곱집합으로 구성된다.

  \[ (a_1, b_1) \times \dots \times (a_n, b_n) \]

  \(\R^n\) 은 유한곱이므로 상자 위상과 곱 위상이 동일하다. \(\R^n\) 을 고려할 때 별다른 언급이 없다면 이 위상이 표준적으로 부여되어 있다고 생각하면 된다.

• 곱집합 \(X \times Y\) 에서 증명가능한 이 정리는 곱 위상이든, 상자 위상이든 \(\prod X _{\alpha}\) 에서 성립한다.

• 증명

• 곱집합 \(X \times Y\) 에서 증명가능한 이 정리는 곱 위상이든, 상자 위상이든 \(\prod X _{\alpha}\) 에서 성립한다.

• 증명

• 증명

  먼저 점 \(x = (x _{\alpha}) \in \prod \operatorname{cl}A _{\alpha}\) 에 대하여 \(x \in \operatorname{cl}\left( \prod A _{\alpha} \right)\) 임을 보이자. \(U = \prod U _{\alpha}\) 가 \(x\) 를 포함하는 상자 또는 곱 위상의 기저의 원소라고 하자. \(x _{\alpha} \in \operatorname{cl}A _{\alpha}\) 이면 Theorem 17.5 에 의하여 각 \(\alpha\) 에 대하여 항상 점 \(y _{\alpha} \in U _{\alpha}\cap A _{\alpha}\) 를 잡을 수 있다. 그러면 \(y = (y _{\alpha})\) 는 \(U\) 에 속하고, \(\prod A _{\alpha}\) 에도 속한다. \(U\) 는 임의적이기 때문에 다시 Theorem 17.5 에 의하여 \(x \in \operatorname{cl}\left( \prod A _{\alpha} \right)\) 이다. ▲

  이제 역으로, \(x = (x _{\alpha}) \in \operatorname{cl}\left( \prod A _{\alpha} \right)\) 를 가정하자. \(x _{\beta}\) 를 포함하는 임의의 열린집합 \(V _{\beta} \subset X _{\beta}\) 에 대하여 \(\pi _{\beta}^{-1}(V _{\beta})\) 는 상자 위상이든 곱 위상이든 \(\prod X _{\alpha}\) 에서 열려있다. 그러면 Theorem 17.5 에 의하여 \(\pi ^{-1}_{\beta}(V _{\beta})\) 은 항상 어떤 점 \(y = (y _{\alpha}) \in \prod A _{\alpha}\) 를 포함한다. 그렇다면 \(y _{\beta} \in V _{\beta}\cap A _{\beta}\) 이다. 그러면 다시 Theorem 17.5 에 의하여 \(x _{\beta}\in \operatorname{cl}A _{\beta}\) 이다. ■

• 지금까지의 정리들은 상자 위상이든 곱 위상이든 성립했기에 왜 곱 위상이 중요하고, 상자 위상이 안 중요한지 감이 안온다. 그러나 이 정리부터 상자 위상을 가정하면 성립하지 않기 시작한다.

• 증명

  인덱스 \(\beta\) 사영사상 \(\pi _{\beta}\) 는 \(X _{\beta}\) 에서 열린집합 \(U _{\beta}\) 에 대하여 \(\pi _{\beta}^{-1}(U _{\beta})\) 가 \(X _{\alpha}\) 위의 곱 위상의 부분기저이므로 연속이다.

  \(f\) 가 연속임을 가정하자. \(f _{\beta} = \pi _{\beta}\circ f\) 이므로 Theorem 18.2 에 의하여 \(f _{\beta}\) 도 연속이다. ▲

  좌표 함수 \(f _{\alpha}\) 들이 연속임을 가정하자. 함수의 연속성 판정법에 의하여 함수의 공역의 위상의 부분기저의 원소에 대한 역상이 열려있음을 보이면 \(f\) 는 연속이다.

  \(\prod X _{\alpha}\) 위의 곱 위상의 부분기저의 원소는 어떤 인덱스 \(\beta\) 에 대한 \(X _{\beta}\) 에서 열려있는 \(U _{\beta}\) 에 대하여 \(\pi _{\beta}^{-1}(U _{\beta})\) 이다.

  \[ f _{\beta} = \pi _{\beta}\circ f \iff f ^{-1}_{\beta} = f ^{-1} \circ \pi _{\beta}^{-1} \]

  이므로 다음이 성립한다.

  \[ f ^{-1}(\pi _{\beta}^{-1}(U _{\beta})) = f _{\beta}^{-1}(U _{\beta}) \]

  \(f _{\beta}\) 는 연속이므로 \(f _{\beta}^{-1}(U _{\beta})\) 는 \(A\) 에서 열려있다. ■

• 예시

  \(\R\) 의 무한곱 \(\R ^{\omega}\) 에 대한 함수 \(f: \R \to \R ^{\omega }\) 를 다음과 같이 정의하자.

  \[ f(t) = (t, t, t, \dots ) \]

  각 \(n\)번째 좌표함수 \(f_n(t) = t\) 가 연속이므로 \(f\) 는 곱 위상에서 연속이다. 그러나 상자 위상에서 불연속이다. 상자 위상의 기저에는 다음과 같은 원소가 포함되는 것이 허용된다.

  \[ B = \left( -1, 1 \right) \times \left( - \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right) \times \left( - \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right) \times \dots = \prod_{n = 1}^{\infty }\left( - \frac{1}{n}, \frac{1}{n} \right) \]

  그러나 이 원소 \(B\) 는 유한히 많은 인덱스 \(\alpha\) 를 제외하고 \(U _{\alpha} = \R\) 인 \(X _{\alpha}\) 의 열린 집합 \(U _{\alpha}\) 에 대한 \(\prod U _{\alpha}\) 의 형태가 아니므로 곱 위상의 기저에 포함되지 않는다.

  이 상자 위상의 기저의 원소 \(B\) 에 대하여 \(f ^{-1}(B)\) 는 열려있지 않다. 만약 \(f ^{-1}(B)\) 가 열려있다면 이것은 어떤 구간 \((- \delta, \delta)\) 를 포함한다. 이는 \(f(( - \delta, \delta)) \subset B\) 를 뜻하며, 이 식에 \(\pi _n\) 를 적용하면 임의의 \(n\) 에 대하여 다음이 성립한다.

  \[ f_n(( - \delta, \delta)) = (- \delta, \delta) \subset \left( - \frac{1}{n}, \frac{1}{n} \right) \]

  그러나 이는 모순이다.

Metric Topology✔

Ball✔

• 거리공간에서의 \(\epsilon\)-근방의 정의와 같다.

• 거리함수 \(d\) 가 주어진 \(X\) 에서 문맥이 명확할 경우 \(B_d(x, \epsilon)\) 을 \(B(x, \epsilon)\) 으로 쓴다.

• 즉, 거리 위상은 각 \(x \in X\) 에 대한 모든 \(\epsilon\)-근방을 열린집합으로 삼는 위상이다.

• 모든 \(\epsilon\)-공 모임 \(\mathcal{B}\) 는 기저이다. 각 \(x \in X\) 마다 어떠한 양수 \(\epsilon\) 에 대하여 \(x \in B(x,\epsilon)\) 이므로 기저의 첫번째 조건이 성립한다.

  기저의 두번째 조건이 성립함을 보이기 위하여 점 \(y \in B(x, \epsilon) \in \mathcal{B}\) 에 대하여 \(B(y, \delta) \subset B(x, \epsilon)\) 인 \(B(y, \delta) \in \mathcal{B}\) 가 존재함을 보이자. \(\delta = \epsilon - d(x, y)\) 로 두면 \(B(y, \delta) \subset B(x, \epsilon)\) 이다.

  따라서 \(\mathcal{B}\) 의 원소 \(B_1, B_2\) 에 대하여 \(y \in B_1 \cap B_2\) 이면 \(B(y, \delta_1) \subset B_1, B(y, \delta_2) \subset B_2\) 인 양수 \(\delta_1, \delta_2\) 가 존재한다. \(\delta = \min \{\delta_1, \delta_2\}\) 로 두면 \(B(y, \delta) \subset B_1 \cap B_2\) 이다.

• 즉, 거리 위상에서 열린집합은 다음을 만족하는 집합 \(U\) 이다.

  모든 \(x \in U\) 에 대하여 \(B(x, \delta) \subset U\) 인 \(\delta > 0\) 가 존재한다.

• \(\R\) 의 표준 거리함수 \(d\) 는 다음과 같이 정의된다.

  \[ d(x, y) = |x - y| \]

  이 거리함수에 의하여 유도된 거리 위상은 \(\R\) 의 순서 위상과 같다. 순서 위상의 각 기저 원소 \((a, b)\) 는 \(x = (a + b)/2, \epsilon = (b- a)/2\) 로 두면 거리 위상의 기저의 원소 \(B(x, \epsilon)\) 와 같다. 반대로 \(\epsilon\)-공 \(B(x,\epsilon)\) 은 열린 구간 \((x - \epsilon, x + \epsilon)\) 와 같다.

Metrizability, Metric Space✔

• 거리화 가능한 공간이란 결국 어떤 거리 공간과 위상동형인 위상 공간이다. 수학에서 중요한 위치에 있는 공간들은 거리화 가능한 것들도 있고 거리화 불가능한 것들도 있다. 따라서 거리화 가능성 문제는 위상수학에서 중요하다. 우리손 거리화 정리는 어떤 조건이 성립하면 위상공간이 거리화 가능한지 알려준다. 거리화 문제가 위상수학에서 중요하지만 거리 공간에 대한 연구는 주로 해석학에서 이루어진다. 공간의 거리화 가능성 자체는 공간의 위상에 의존하지만, 거리와 관련된 성질들은 그렇지 않다. 가령 다음과 같은 유계라는 개념은 위상에 의존하는 위상적 성질이 아니라 거리함수에 의존하는 성질이다.

Functional Limit (metric space)✔

• 거리공간의 거리위상은 열린공으로 이루어지는데 열린공이 곧 근방이므로 다음과 같이 근방을 사용하여 정의할 수도 있다.

  \(L\) 의 모든 근방 \(V \subset B\) 마다 \(P\) 의 근방 \(U \subset A\) 가 존재하여 \(f(U \cap M - \{p\}) \subset V\) 를 만족한다.

  이 근방에 의한 정의는 위상공간에서의 함수의 극한의 정의와 같다. 거리 개념이 배제된 위상공간에서는 이렇게 열린집합을 사용하여 극한을 정의할 수밖에 없는 것이다.

• 일변수 함수의 극한, 다변수 함수의 극한의 정의가 이 정의에 포함된다. 이들 정의에서처럼 극한점 \(p\) 는 \(p \in M\) 여야 할 필요는 없지만 극한 \(L\) 은 \(L \in N\) 이어야 한다. 또한 \(f(p) = L\) 일 필요는 없다.

Bounded Set, Diameter✔

• 유계는 공간의 위상에 의존하는 위상적 성질이 아니다. 유계는 거리함수 \(d\) 에 의존한다.

Standard Bounded Metric✔

• 증명

  \(\bar{d}\) 가 거리함수임을 보이는 것은 쉽다. ▲

  임의의 거리 위상에서 \(\epsilon < 1\) 에 대한 \(\epsilon\)-공의 모임은 거리 위상의 기저이다. 왜냐하면 임의의 거리 위상의 기저의 원소는 반드시 이 \(\epsilon\)-공을 포함하기 때문이다. 기저의 원소의 합집합으로 열린집합이 구성되기 때문에 \(\epsilon < 1\) 으로 이루어진 \(\epsilon\)-공 모임은 충분히 기저가 된다.

  그렇다면 \(d\) 와 \(\bar{d}\) 가 생성하는 위상은 같다. 왜냐하면 \(\epsilon < 1\) 라는 조건 아래에서 \(d\) 에 의한 \(\epsilon\)-공 모임과 \(\bar{d}\) 에 의한 \(\epsilon\)-공 모임이 같기 때문이다. ■

Square Metric✔

• 체비셰프 거리를 정사각형 거리라고 한다. 다음 그림을 보면 왜 정사각형 거리라고 하는지 바로 이해가 된다.

  

• Munkres, Topology 에서는 유클리드 거리와 정사각형 거리가 거리함수임을 증명한다. 이것은 쉽다.

• 증명

  \(\mathcal{T}\subset \mathcal{T}'\) 를 가정하면 \(\mathcal{T}\) 의 기저의 원소 \(B_d(x, \epsilon)\) 에 대하여 Lemma 13.3 에 의하여 \(x \in B' \subset B_d(x, \epsilon)\) 인 \(\mathcal{T}'\) 의 기저의 원소 \(B'\) 가 존재한다. 이 \(B'\) 중에 \(B _{d'}(x, \delta)\) 가 있다. ▲

  후자를 가정하자. \(x\) 를 포함하는 \(\mathcal{T}\)의 기저 원소 \(B\) 에서 \(x\) 를 중심으로 하는 \(B_d(x, \epsilon)\) 이 있다. 가정에 의하여 \(B _{d'}(x, \delta)\subset B_d(x, \epsilon)\) 인 \(\delta>0\) 가 존재한다. 그러면 다시 Lemma 13.3 에 의하여 \(\mathcal{T}\subset \mathcal{T}'\) 이다. ■

• 이 정리는 \(\R^n\) 에서의 거리 위상과 곱 위상의 관계를 말해준다.

• 증명

  \(d\) 와 \(\rho\) 에 의하여 유도된 위상이 같음을 보이고, \(\rho\) 에 의하여 유도된 위상이 곱 위상과 같음을 보이자.

  점 \(x = (x_1, x_2, \dots, x_n), y = (y_1, y_2, \dots, y_n) \in \R^n\) 에 대하여 다음은 정사각형 거리의 정의와 유클리드 거리의 정의에 의하여 자명하다.

  \[ \rho (x, y) \leq d(x, y) \leq \sqrt[]{n}\rho (x, y) \]

  부등식의 전반부에 의하여 임의의 \(x\) 와 \(\epsilon > 0\) 에 대하여 \(d(x, y) < \epsilon \implies \rho (x, y) < \epsilon\) 이므로

  \[ B_d(x,\epsilon) \subset B_{\rho}(x,\epsilon) \]

  이다. 비슷하게 부등식의 후반부에 의하여

  \[ B_{\rho}(x,\epsilon/\sqrt[]{n}) \subset B_d(x,\epsilon) \]

  이다. 이 결과는 Lemma 20.2 에 의하여 \(d\) 에 의하여 유도된 위상과 \(\rho\) 에 의하여 유도된 위상이 서로 같다는 것을 뜻한다. ▲

  다음과 같은 곱 위상의 기저의 원소를 생각하자.

  \[ B = (a_1, b_1) \times \dots \times (a_n, b_n) \]

  점 \(x = (x_1, x_2, \dots, x_n) \in B\) 를 잡자. 각 \(i\) 에 대하여 다음을 만족하는 \(\epsilon_i\) 가 존재한다.

  \[ (x_i - \epsilon_i, x_i + \epsilon_i) \subset (a_i , b_i) \]

  \(\epsilon = \min \{\epsilon_1, \dots , \epsilon_n\}\) 으로 두면 \(B_{\rho}(x,\epsilon)\subset B\) 이다. 그러면 Lemma 13.3 에 의하여 \(\rho\)-위상이 곱 위상보다 섬세하다.

  역으로 \(\rho\) 위상의 기저의 원소 \(B_{\rho}(x,\epsilon)\) 를 잡자. \(y \in B_{\rho}(x,\epsilon)\) 에 대하여 \(y \in B \subset B_{\rho}(x,\epsilon)\) 인 곱 위상의 기저 원소 \(B\) 를 찾아야 한다. 그런데

  \[ B_{\rho}(x,\epsilon) = (x_1 - \epsilon, x_1 + \epsilon) \times \dots \times (x_n - \epsilon, x_n + \epsilon) \]

  이므로 \(B_{\rho}(x,\epsilon)\) 는 그 자체로 곱 위상의 원소이다. ■

Uniform Metric, Uniform Topology✔

• 유클리드 거리와 정사각형 거리를 \(n\)차원에서 정의해보았으니 무한차원 \(\R ^{\omega }\) 에서도 정의하려 해보자. 먼저 무한차원에서 유클리드 거리

  \[ d(x, y) = \left[ \sum_{i=1}^{\infty}(x_i - y_i) ^{2} \right]^{1/2} \]

  를 생각할 수 있다. 하지만 이 공식은 수렴성이 보장되지 않으므로 모든 상황에서 안전하게 사용할 수가 없다. 마찬가지로 무한차원에서 정사각형 거리

  \[ \rho (x, y) = \sup \{|x_i - y_i|\} \]

  도 항상 성립한다는 보장이 없다. 그러나 이 정의처럼 표준 유계 거리 \(\bar{d}\) 를 사용하면 무한차원에서도, 더 나아가 임의차원 \(\R ^{J}\) 에서 안전하게 사용할 수 있는 거리함수를 얻는다.

• 유한차원에서는 곱 위상과 상자 위상이 서로 같으므로 균등 위상도 서로 같다.

• 증명

• \(\R^J\) 의 \(J\) 가 무한이면 \(J\) 가 가산이고 \(\R^J\) 가 곱 위상을 가질 때에만 \(\R^J\) 가 거리화 가능하다.

• 증명

ε-δ definition of continuity✔

• 이 정리는 해석학에서 \(\epsilon-\delta\) 논법으로 정의한 연속성의 정의가 일반적인 거리 공간과 일반적인 위상 공간의 연속성의 정의와 통한다는 것을 말해준다.

• 증명

• 증명

• 증명

• 증명

• 이 정리는 연속함수 생성정리에 이어서 연속함수를 만드는 또 다른 방법을 알려준다.

• 증명

Uniform Convergence✔

• 수렴의 균등성은 \(Y\) 의 위상과 \(Y\) 의 거리함수에 의존한다.

• 해석학에서 정의한 균등 수렴의 정의를 일반적인 거리 공간에서 성립하도록 일반화한 것이다.

• 증명