다항식

Polynomial✔

• \(n\) 을 차수(degree)라 하고 \(\deg (f) = n\) 이라 표기한다. 차수는 음이 아닌 정수이다. 차수는 계수가 \(0\) 이 아닌 항의 \(x\) 의 지수 중 가장 큰 값으로 정의된다.

• \(a_k\) 를 \(x ^{k}\) 의 계수(coefficient)라 한다. 계수는 \(\mathbf{F}\) 의 원소이다.

• \(f(x) = 0\), 즉 \(a_n = a _{n-1} = \dots = a_0 = 0\) 이면 \(f(x)\) 를 영 다항식(zero polynomial)이라 한다. 영 다항식의 차수는 \(-1\) 로 정의한다.

• 함수 \(f(x) = a_nx ^{n} + a _{n-1} x ^{n-1} + \dots + a_1x + a_0\) 의 \(c \in \mathbf{F}\) 에서의 함숫값은 다음 스칼라이다.

  \[ f(c) = a_nc ^{n} + a _{n-1} c ^{n-1} + \dots + a_1c + a_0 \]

• \(\mathbf{F}\) 가 무한집합일 때 \(\mathbf{F}\) 에서 계수를 가져온 다항식을 \(\mathbf{F}\) 에서 \(\mathbf{F}\) 로 가는 함수로 볼 수 있다. 아래에서 정리 10 을 보자.

Vector Space of Polynomials✔

• 체 \(\mathbf{F}\) 에서 계수를 가져온 일변수 다항식 공간을 \(\mathbf{F}[x]\) 또는 \(\mathbf{P}_{}(\mathbf{F})\) 라고 표기한다. \(n\)차 다항식 공간을 \(\mathbf{P}_{n}(\mathbf{F})\) 라고 표기한다. 다변수 다항식 공간은 \(\mathbf{F}[x_1, x_2, \dots, x_n]\) 으로 표기한다.

• 예시

  실수체 \(\R\) 에서 계수를 가져온 다항식 공간을 \(\mathbf{P}_{}(\R )\) 또는 \(\R [x]\) 으로 표기한다.

  복소수체 \(\Bbb{C}\) 의 이변수 다항식 공간은 \(\Bbb{C}[x, y]\) 로 표기한다.

  유리수체 \(\Bbb{Q}\) 의 3차 다항식 공간을 \(\mathbf{P}_{3}(\Bbb{Q})\) 라고 표기한다.

• \(\mathbf{P}_{}(\mathbf{F})\) 에서 벡터공간의 공리가 모두 성립한다.

• 차수가 \(n\) 인 다항식 집합을 \(\mathbf{P}_{n}(\mathbf{F}) (\subset \mathbf{P}_{}(\mathbf{F}))\) 라 한다.

• 벡터공간 \(\mathbf{P}(\mathbf{F})\) 와 다음 예제에서 보이는 벡터공간은 본질적으로 같다.

• 예시

  임의의 체 \(\mathbf{F}\) 위에서 정의된 수열(sequence)은 \(\N \to \mathbf{F}\) 인 함수이다. 보통 수열 \(\sigma (n) = a_n\) 을 \((a_n)\) 으로 표기한다. 체 \(\mathbf{F}\) 에서 정의된 모든 수열의 집합을 \(\mathbf{V}\) 라고 하자. 두 수열 \((a_n),(b_n)\) 을 다음과 같이 합과 스칼라곱으로 정의하면 \(\mathbf{V}\) 는 벡터공간이다.

  \[ (a_n)+(b_n)=(a_n+b_n) \qquad t(a_n) = (ta_n) \]

Division of Polynomial✔

• \(q(x), r(x)\) 를 각각 \(f(x)\) 를 \(g(x)\) 로 나누었을 때의 몫(quotient) 과 나머지(remainder) 라 한다.

• 증명

  \(\deg (f) < \deg (g)\) 일 때 \(q(x) = 0, r(x) = f(x)\) 로 두면 정리가 성립한다. ▲

  \(0 \leq \deg (g) < \deg (f) \land \deg (f) = 0\) 이면 \(f, g\) 는 상수 다항식이므로 \(q(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}, r(x) = 0\) 으로 두면 정리가 성립한다. ▲

  \(0 \leq \deg (g) < \deg (f) \land \deg (f) > 0\) 일 때 \(\deg (f) = n, \deg (g) = m\) 으로 잡자. \(n\) 미만의 차수를 갖는 다항식에서 정리가 성립함을 가정하자. \(n\)차 다항식 \(f\) 와 \(m\)차 다항식 \(g\) 와 또 다른 다항식 \(h\) 를 다음과 같이 정의하자.

  \[ f(x) = a_n x ^{n} + a _{n-1}x ^{n-1} + \dots + a_1x + a_0 \]
  \[ g(x) = b_m x ^{m} + a _{m-1}x ^{m-1} + \dots + b_1x + b_0 \]
  \[ h(x) = f(x) - \frac{a_n}{b_m}x ^{n-m}g(x) \tag{1} \]

  \(h\) 는 \(\deg (h) < \deg (f)\) 인 다항식이다. 귀납법의 가정에 의하여 \(g, h\) 에 대하여 정리가 성립하므로 다음을 만족하는 다항식 \(q_1, r\) 이 유일하게 존재하고, \(\deg (r) < \deg (m)\) 이다.

  \[ h(x) = q_1(x)g(x) + r(x) \tag{2} \]

  \((1), (2)\) 를 \(f(x)\) 에 대하여 풀면 \(q(x) = a_nb_m ^{-1}x ^{n-m} + q_1(x)\) 에 대하여 \(f(x) = q(x)g(x) + r(x)\) 이다. 존재성 증명이 끝났으므로 유일성 증명만 하면 모든 증명이 끝난다. ▲

  이제 본 정리의 존재성을 가정할 수 있으므로 다음을 만족하는 다항식 \(q_1,q_2,r_1,r_2\) 가 존재하고, \(\deg (r_1) < \deg (g), \deg (r_2) < \deg (g)\) 이다.

  \[ f(x) = q_1(x)g(x) + r_1(x) = q_2(x)g(x) + r_2(x) \]

  식을 정리하면 다음이 성립한다.

  \[ \{q_1(x) - q_2(x)\}g(x) = r_2(x) - r_1(x) \]

  \(\deg (r_2(x) - r_1(x))<\deg (g)\) 이므로 만약 \(\deg (q_1(x) - q_2(x))\geq 0\) 이면 모순이다. 따라서 \(\deg (q_1(x) - q_2(x)) = -1\) 이다. 따라서 \(q_1(x) - q_2(x) = 0 \implies q_1 = q_2\) 이다. 그러면 \(0 = r_2(x) - r_1(x) \implies r_1 = r_2\) 도 성립한다. ■

• 이 정리는 다항식이 해를 가지면 완전히 인수분해됨을 말해준다.

• 증명

  \(x-a\) 가 \(f(x)\) 를 나눈다고 하면 \(f(x) = (x-a)q(x)\) 인 다항식 \(q(x)\) 가 존재하므로 \(f(a) = 0\) 이다. ▲

  \(f(a) = 0\) 을 가정하자. 다항식의 나눗셈 정리에 의하여 \(f(x) = q(x)(x-a) + r(x)\) 를 만족하는 다항식 \(q,r\) 이 존재한다. \(\deg (r) < 1\) 이다. 즉, \(c \in \mathbf{F} : r(x) = c\) 이다. 그러면 \(f(a) = 0 + r(a) = 0\) 이 성립하므로 \(c = 0\) 을 얻는다. ■

• 증명

  \(n = 1\) 인 경우는 자명하다. ▲

  \(n\) 에 대하여 성립함을 가정하고 \(n + 1\) 의 경우를 증명하자. \(\deg (f) = n+1\) 인 \(f(x)\) 의 해가 없다면 정리가 자동으로 성립한다. ▲

  \(f(x)\) 의 해가 있다고 가정하면 정리 1 따름정리 1 에 의하여 \(a \in \mathbf{F}\) 에 대하여 \(f(x) = (x - a)q(x)\) 가 성립한다. \(\deg (q) < n+1\) 이다. 귀납법의 가정에 의하여 \(q\) 는 최대 \(n\) 개의 해를 가진다. \(f\) 의 해는 \(a\) 와 \(q\) 의 해이므로 \(f\) 는 최대 \(n+1\) 개의 해를 가진다. ■

relatively prime✔

• 예시

  다항식 \(f(x) = x(x-1)\) 와 \(h(x) = (x-1)(x-2)\) 은 서로소가 아니다. 다항식 \(f(x)\) 와 \(g(x) = (x-2)(x-3)\) 은 서로소이다.

• 아래의 정리 9 는 다항식의 인수분해가 유일함을 말해준다. 즉, 위 예시에서 다항식 \(f, g\) 가 또 다른 형태로 인수분해되어 서로소가 아니게 될 가능성이 없다는 것이다.

• 증명

  \(\deg (f_1) \geq \deg (f_2)\) 를 가정해도 일반성이 보존된다.

  \(\deg (f_2) = 0\) 이면 \(c \in \mathbf{F}\setminus \{0\} : f_2(x) = c\) 이므로 \(q_1(x) = 0, q_2(x) = \dfrac{1}{c}\) 로 두면 정리가 성립한다. ▲

  자연수 \(n\) 미만의 차수 다항식에서 정리가 성립함을 가정하고 \(n\) 에 대하여 증명하자. \(\deg (f_2) = n > 0\) 으로 잡자. 다항식의 나눗셈 정리에 의하여 다음을 만족하는 다항식 \(q,r\) 이 유일하게 존재하고, \(\deg (r) < \deg (f_2) = n\) 이다.

  \[ f_1(x) = q(x)f_2(x) + r(x) \tag{1} \]

  \(f_1, f_2\) 가 서로소이므로 \(\deg (r) \geq 0\) 이다. 즉, \(0 \leq \deg (r) < \deg (f_2)\) 이다.

  \(f_2(x)\) 와 \(r(x)\) 가 서로소가 아니면 이 둘을 나누는 다항식 \(g(x)\) 가 존재하므로 \((1)\) 에 의하여 \(g\) 는 \(f_1\) 도 나눈다. \(g\) 가 \(f_1, f_2\) 를 동시에 나누므로 \(f_1, f_2\) 가 서로소라는 가정에 모순이다. 따라서 \(f_2, r\) 은 서로소이다.

  \(\deg (r) < n\) 이므로 귀납법의 가정에 의하여 \(f_2, r\) 에 대하여 다음을 만족하는 다항식 \(g_1, g_2\) 가 존재한다.

  \[ g_1(x)f_2(x) + g_2(x)r(x) = 1 \tag{2} \]

  \((1), (2)\) 에 의하여 다음이 성립한다.

  \[ \begin{align}\begin{split} 1&= g_1(x)f_2(x) + g_2(x) \{f_1(x) - q(x)f_2(x)\} \\ &= g_2(x)f_1(x) + \{g_1(x) - g_2(x)q(x)\}f_2(x) \\ \end{split}\end{align} \tag*{} \]

  ■

• 증명

  다항식의 개수를 \(n\) 으로 두고 수학적 귀납법을 사용하자.

  \(n = 2\) 의 경우는 보조정리에서 증명되었다. ▲

  \(n \geq 3\) 일 때 \(n-1\) 개의 다항식에 대하여 정리가 성립함을 가정하고 \(n\)개의 다항식에서 정리를 증명하자. 처음 \(n-1\)개의 다항식이 서로소라고 가정하면 귀납법의 가정에 의하여 다음을 만족하는 다항식 \(q_1, q_2, \dots, q _{n-1}\) 이 존재한다.

  \[ q_1(x)f_1(x) + q_2(x)f_2(x) + \dots + q _{n-1}(x)f _{n-1}(x) = 1 \]

  \(q_n(x) = 0\) 으로 두면 \(q_1(x)f_1(x) + q_2(x)f_2(x) + \dots + q _{n}(x)f _{n}(x) = 1\) 이므로 증명이 끝난다. ▲

  처음 \(n-1\)개의 다항식이 서로소가 아니라고 가정하면 이들을 모두 나누고 가장 큰 차수를 가지고 최고차항의 계수가 \(1\)인 다항식 \(g(x)\) 가 존재한다. 따라서 \(k \in \{1,\dots,n-1\}\) 에 대하여 \(f_k(x) = g(x)h_k(x)\) 인 다항식 \(h_k\) 가 존재하고, \(h_1, h_2, \dots, h _{n-1}\) 은 서로소이다. 귀납법의 가정에 의하여 다음을 만족하는 다항식 \(\phi _1, \phi _2, \dots, \phi _{n-1}\) 이 존재한다.

  \[ \phi _1(x)h_1(x) + \phi _2(x)h_2(x) + \dots + \phi _{n-1}(x)h _{n-1}(x) = 1 \]

  이 식에 \(g(x)\) 를 곱하면 다음이 성립한다.

  \[ \phi _1(x)f_1(x) + \phi _2(x)f_2(x) + \dots + \phi _{n-1}(x)f _{n-1}(x) = g(x) \]

  정리의 가정에 의하여 \(g(x)\) 는 \(f_n(x)\) 과 서로소이다. 서로소가 아니면 정리의 가정에 위배된다. 보조정리에 의하여 \(p(x)g(x) + q_n(x)f_n(x) = 1\) 인 다항식 \(p(x), q_n(x)\) 이 존재한다. \(i \in \{1, \dots, n-1\}\) 에 대하여 \(q_i(x) = p(x)\phi _i(x)\) 라 하면 다음이 성립한다.

  \[ \begin{align}\begin{split} 1 &= p(x)g(x) + q_n(x)f_n(x) \\ &= p(x)\{\phi _1(x)f_1(x) + \phi _2(x)f_2(x) + \dots + \phi _{n-1}(x)f _{n-1}(x)\} + q_n(x)f_n(x)\\ &=q_1(x)f_1(x) + q_2(x)f_2(x) + \dots + q _{n}(x)f _{n}(x) \end{split}\end{align} \tag*{} \]

  ■

Polynomial and Linearity✔

• 예시

  \(\R ^{2}\) 의 선형연산자 \(\operatorname{T}(a, b) = (2a+b,a-b)\) 와 \(f(x) = x ^{2}+2x-3\) 를 가정하자. \(\operatorname{T}^{2}(a,b) = (5a+b,a+2b)\) 이다. 다음이 성립한다.

  \[ \begin{align}\begin{split} f(\operatorname{T})(a, b)&= (\operatorname{T}^{2}+2 \operatorname{T}-3 \operatorname{I})(a, b)\\ &= (5a+b,a+2b)+(4a+2b,2a-2b)-3(a,b)\\ &= (6a+3b,3a-3b) \end{split}\end{align} \tag*{} \]

  행렬 \(A = \begin{pmatrix} 2&1\\ 1&-1\\ \end{pmatrix}\) 에 대하여 다음이 성립한다.

  \[ f(A)=A ^{2}+2A-3I_2=\begin{pmatrix} 5&1\\ 1&2\\ \end{pmatrix}+2 \begin{pmatrix} 2&1\\ 1&-1\\ \end{pmatrix}-3 \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 6&3\\ 3&-3\\ \end{pmatrix} \]

• 증명

  1:

  선형연산자 의 정의가 충족되는지 살펴보자. \(f\) 를 다음과 같이 정의하자.

  \[ f(x) = a_0 + a_1x + \dots + a_nx ^{n} \]

  \(f(\operatorname{T})\) 는 다음과 같다.

  \[ f(\operatorname{T}) = a_0 \operatorname{I} + a_1 \operatorname{T} + \dots + a_n \operatorname{T}^{n} \]

  선형변환의 합과 스칼라곱도 선형이다. 따라서 \(f(\operatorname{T})\) 는 선형이다. ▲

  \(\operatorname{im}(\operatorname{T})\) 는 \(\operatorname{T}\)-불변이므로 \(n \in \N : \operatorname{im}(\operatorname{T}^{n}) \in \mathbf{V}\) 이다. \(\operatorname{im}(\operatorname{T})\) 는 \(\mathbf{V}\) 의 부분공간이므로 덧셈에 대하여 닫혀있다. 따라서 \(f(\operatorname{T})\in \mathbf{V}\) 이다. ▲

  2:

  선형변환의 행렬표현은 덧셈과 스칼라곱에 대하여 선형적이므로 다음이 성립한다.

  \[ \begin{align}\begin{split} [f(\operatorname{T})]_{\beta } &= [a_0 \operatorname{I} + a_1 \operatorname{T} + \dots + a_n \operatorname{T}^{n} ]_{\beta }\\ &= a_0[ \operatorname{I}]_{\beta } + a_1[ \operatorname{T}]_{\beta } + \dots + a_n[ \operatorname{T}^{n} ]_{\beta }\\ \end{split}\end{align} \tag*{} \]

  선형변환의 행렬표현은 선형변환의 합성을 보존하여 행렬곱으로 표현할 수 있게 해주므로 \([\operatorname{T}^{2}]_{\beta }=[\operatorname{T}]_{\beta }[\operatorname{T}]_{\beta }\) 이다. 즉, 다음이 성립한다.

  \[ [f(\operatorname{T})]_{\beta } = a_0I + a_1A + \dots + a_nA^{n} = f(A) \tag*{■} \]

• 증명

  1:

  \(f_1, f_2\) 를 다음과 같이 정의하자.

  \[ f_1(x) = a_0 + a_1x + \dots + a_nx ^{n} \]
  \[ f_2(x) = b_0 + b_1x + \dots + b_mx ^{m} \]

  \(n \geq m\) 을 가정하고 \(b_n = b _{n-1} = \dots = b _{m+1} = 0\) 으로 정의하면 \(f_2\) 는 다음과 같다.

  \[ f_2(x) = b_0 + b_1x + \dots + b_nx ^{n} \]

  \(f_1(\operatorname{T}), f_2(\operatorname{T})\) 는 다음과 같다.

  \[ f_1(\operatorname{T}) = a_0 \operatorname{I} + a_1 \operatorname{T} + \dots + a_n \operatorname{T}^{n} \]
  \[ f_2(\operatorname{T}) = b_0 \operatorname{I} + b_1 \operatorname{T} + \dots + b_n \operatorname{T}^{n} \]

  선형변환의 합성의 성질에 의하여 다음이 성립한다.

  \[ \begin{align}\begin{split} f_1(\operatorname{T})f_2(\operatorname{T})&=(a_0 \operatorname{I} + a_1 \operatorname{T} + \dots + a_n \operatorname{T}^{n})(b_0 \operatorname{I} + b_1 \operatorname{T} + \dots + b_n \operatorname{T}^{n}) \\ &=(b_0 \operatorname{I} + b_1 \operatorname{T} + \dots + b_n \operatorname{T}^{n})(a_0 \operatorname{I} + a_1 \operatorname{T} + \dots + a_n \operatorname{T}^{n}) = f_2(\operatorname{T})f_1(\operatorname{T})\\ \end{split}\end{align} \tag*{} \]

  ▲

  2:

  행렬곱의 성질 에 의하여 1) 의 증명과 비슷하게 쉽게 증명 가능하다. ■

• 증명

  보조정리에 의하여 서로소인 다항식 \(f_1, f_2\) 에 대하여 \(q_1(x)f_1(x) + q_2(x)f_2(x) = 1\) 를 만족하는 다항식 \(q_1, q_2\) 가 존재한다. 따라서 \(q_1(\operatorname{T})f_1(\operatorname{T})+q_2(\operatorname{T})f_2(\operatorname{T}) = \operatorname{I}\) 가 성립하고, \(q_1(A)f_1(A) + q_2(A)f_2(A) = I\) 가 성립한다. ■

monic, irreducible✔

• 즉, 상수가 아닌 다항식 \(f(x) \in \mathbf{P}_{}(\mathbf{F})\) 가 상수가 아닌 다항식으로 인수분해되지 않으면 \(f(x)\) 를 기약이라 한다.

• 차수가 \(1\) 인 다항식도 기약이다. 대수적으로 닫힌 체의 원소로 구성된 다항식은 차수가 \(1\) 인 다항식만 기약다항식이다. 대수학의 기본정리에 의하여 복소수체에서는 차수가 \(1\) 인 다항식만 기약다항식이다.

• 다항식은 그것이 속한 체에 따라 기약인지, 기약이 아닌지가 결정된다.

• 예시

  다항식 \(f(x) = x ^{2} + 1\) 은 \(\mathbf{P}_{}(\R )\) 위에서 기약이다. 하지만 \(\mathbf{P}_{}(\Bbb{C})\) 위에서는 \(x ^{2} + 1 = (x + i)(x - i)\) 이 되어 기약이 아니다.

  다항식 \(f(x) = x ^{2} - 2\) 는 \(\mathbf{P}_{}(\Bbb{Z})\) 위에서 기약이다. 하지만 \(f(x) = (x-\sqrt[]{2})(x+\sqrt[]{2})\) 이므로 \(\mathbf{P}_{}(\R )\) 위에서 기약이 아니다.

• 증명

  정리의 가정이 모두 충족되었는데도 두 다항식이 서로소가 아니면 다음을 만족하는 다항식 \(g\) 가 존재하고 \(\deg (g) \geq 1\) 를 만족한다.

  \[ \phi (x) = g(x)q_1(x) \]
  \[ f(x) = g(x)q_2(x) \]

  \(\phi\) 는 기약이므로 \(\deg (g) = 0 \lor \deg (q_1) = 0\) 이다. 따라서 \(\deg (q_1) = 0\) 이다. 그러면 \(c \in \mathbf{F} : q_1(x) = c \implies \phi (x) = c \cdot g(x)\) 이므로 \(\phi\) 가 \(f\) 를 나누게 되어 모순이다. ■

• 증명

  서로 다른 기약 모닉 다항식 \(f, g\) 가 서로소가 아니라고 해보자. 그러면 다음을 만족하는 다항식 \(h\) 가 존재하고 \(\deg (h) \geq 1\) 를 만족한다.

  \[ f (x) = h(x)q_1(x) \]
  \[ g(x) = h(x)q_2(x) \]

  \(f, g\) 가 기약이므로 \(\deg (q_1) = 0, \deg (q_2) = 0\) 이다. \(f, g\) 가 모닉이므로 \(q_1(x) = 1, q_2(x) = 1\) 이다. 따라서 \(f(x) = h(x) = g(x)\) 이고, 이는 모순이다. ■

• 증명

  \(\phi\) 가 \(f\) 를 나누지 않으면 정리 6 에 의하여 이 둘은 서로소이다. 그러면 보조정리에 의하여 \(1 = q_1(x)\phi (x) + q_2(x)f(x)\) 인 다항식 \(q_1, q_2\) 가 존재한다. 이 식에 \(g(x)\) 를 곱하면 다음을 얻는다.

  \[ g(x) = q_1(x)\phi (x)g(x) + q_2(x)f(x)g(x) \]

  \(\phi(x)\) 는 \(f(x)g(x)\) 를 나누므로 \(g(x)\) 도 나눈다. ▲

  \(\phi\) 가 \(g\) 를 나누지 않는다고 가정하면 똑같은 논리로 \(f\) 를 나누는 것을 보일 수 있다. ■

• 증명

  \(n = 1\) 이면 정리 7 에 의하여 성립한다. ▲

  \(n > 1\) 일 때 \(n - 1\) 개의 기약 모닉 다항식에 대하여 정리가 성립함을 가정하자. 정리에 따라 \(\phi (x)\) 가 다음 식을 나눈다고 가정하자.

  \[ \phi _1(x)\dots \phi _{n}(x) = \{\phi _1(x)\dots \phi _{n-1}(x)\}\phi _n(x) \]

  정리 8 에 의하여 \(\phi (x)\) 는 \(\phi _1(x)\dots \phi _{n-1}(x)\) 를 나누거나 \(\phi _n(x)\) 를 나눈다. 전자의 경우 귀납법의 가정에 의하여 \(\exists i \in \{1,\dots,n-1\} : \phi (x) = \phi _i(x)\) 이고, 후자의 경우 \(\phi (x) = \phi _n(x)\) 이다. ■

Uniqueness of Polynomial Factorization✔

• 지금까지의 정리들의 결론이 이 정리이다. 이 정리에 선형대수학의 특성다항식 이론과 표준형 이론이 많이 의존한다.

• 증명

  인수분해의 존재성:

  \(f(x) \in \mathbf{P}_{}(\mathbf{F})\) 의 차수에 대한 수학적 귀납법을 사용하자.

  \(n = 1\) 일 때 \(\deg (f)=1\) 이면 \(f(x) = ax + b\) 를 만족하는 \(a \neq 0, b \in \mathbf{F}\) 가 존재한다. \(\phi (x) = x + \dfrac{b}{a}\) 로 두면 \(f(x)=a \phi (x)\) 이다. ▲

  \(n > 1\) 일 때 \(\deg (f) < n\) 인 다항식 \(f\) 에 대하여 인수분해의 존재성을 가정하고 \(\deg (f) = n\) 로 잡자. 그러면 \(f(x) = a_nx ^{n} + \dots + a_1x+a_0\) 을 만족하는 \(a_n \neq 0, a _{n-1}, \dots, a_0 \in \mathbf{F}\) 가 존재한다. \(f\) 가 기약이면 다음이 성립하므로 인수분해가 존재한다.

  \[ f(x) = a_n \bigg (x ^{n} + \sum_{i=n-1}^{0}\dfrac{a _{i}}{a_n}x ^{i} \bigg ) \tag*{▲} \]

  \(f(x)\) 가 기약이 아니면 \(f(x) = g(x)h(x)\) 인 다항식 \(g, h\) 가 존재한다. \(\deg (g) < n, \deg (h)<n\) 이므로 귀납법의 가정에 의하여 \(g, h\) 의 인수분해가 존재한다. 즉, \(g, h\) 는 상수와 기약 모닉 다항식의 곱으로 표현된다. 따라서 \(f\) 의 인수분해가 존재한다. ▲

  인수분해의 유일성:

  다음을 만족하는 상수 \(c, d\), 기약 모닉 다항식 \(\phi _i(x), \psi _j(x)\), 자연수 \(n_i, m_j\) 의 존재를 가정하자. \(i \in \{1, \dots, k\}, j \in \{1, \dots, r\}\) 이다.

  \[ \begin{align}\begin{split} f(x)&= c \{\phi _1(x)\}^{n_1}\{\phi _2(x)\}^{n_2}\dots \{\phi _k(x)\}^{n_k} \\ &= d \{\psi _1(x)\}^{m_1}\{\psi _2(x)\}^{m_2}\dots \{\psi _r(x)\}^{m_r} \\ \end{split}\end{align} \tag*{} \]

  \(c, d\) 는 \(f(x)\) 의 최고차항의 계수이므로 \(c = d\) 이다. ▲

  위 식을 \(c\) 로 나누면 다음을 얻는다.

  \[ \{\phi _1(x)\}^{n_1}\{\phi _2(x)\}^{n_2}\dots \{\phi _k(x)\}^{n_k} = \{\psi _1(x)\}^{m_1}\{\psi _2(x)\}^{m_2}\dots \{\psi _r(x)\}^{m_r} \tag{1} \]

  정리 8 따름정리에 의하여 \(\forall i \in \{1, \dots, k\}, \exists j \in \{1, \dots, r\} : \phi _i(x) = \psi _j(x)\) 이다. \(\phi _i, \psi _j\) 들은 모두 서로 다르므로 \(r = k\) 이다. 또한 \(\forall i \in \{1, \dots,k\} : \phi _i = \psi_i\) 로 두어도 상관없다. 상수의 유일성, 기약 모닉 다항식의 유일성을 보였으니 거듭제곱을 하는 자연수의 유일성만 마저 보이면 된다. ▲

  \(\exists i \in \{1,\dots,k\} : n_i \neq m_i\) 를 가정하자. \(i = 1, n_1 > m_1\) 이라고 가정해도 일반성이 보존된다. \((1)\) 을 \(\{\phi _1(x)\}^{m_1}\) 으로 나누면 다음이 성립한다.

  \[ \{\phi _1(x)\}^{n_1 - m_1}\{\phi _2(x)\}^{n_2}\dots \{\phi _k(x)\}^{n_k} = \{\phi _1(x)\}^{m_2}\dots \{\phi _r(x)\}^{m_r} \]

  따라서 \(\phi _1(x)\) 는 좌변도 나누고 우변도 나눈다. 그러면 정리 8 따름정리에 의하여 \(\exists i \in \{1, \dots,k\} : \phi _1(x) = \phi _i(x)\) 이다. 이는 모순이다. 따라서 \(\forall i \in \{1, \dots, k\} : n_i = m_i\) 이다. ■

Polynomial Function✔

• \(\mathbf{P}_{}(\mathbf{F})\) 위의 다항식을 \(\mathbf{F}\to \mathbf{F}\) 에서 정의된 함수로 보면 다항함수가 된다. 다항식을 다항함수로 볼 때 편한 상황들이 많이 있다.

• 예시

  \[ f(x, y) = 2x ^{3} + 4x ^{2}y +xy ^{5} + y ^{2} -y \]

• 유한체 \(\mathbf{F}\) 와 \(\mathbf{F}\to \mathbf{F}\) 위에서 정의된 모든 함수 집합 \(\mathcal{F}(\mathbf{F}, \mathbf{F})\) 에 대한 대응 \(\mathbf{P}_{}(\mathbf{F})\to \mathcal{F}(\mathbf{F},\mathbf{F})\) 은 단사가 아닐 수도 있다. 쉽게 말해서 서로 다른 다항식인데도 같은 다항함수가 될 수도 있다는 것이다.

• 예시

  유한체 \(\Bbb{Z}_{2} = \{0, 1\}\) 를 다음과 같이 정의하자.

  \[ 0 + 0 = 0, \qquad 0+1 = 1+0 = 1, \qquad 1+1 = 0, \]
  \[ 0 \cdot 0 = 0, \qquad 0 \cdot 1 = 1 \cdot 0 = 0, \qquad 1 \cdot 1 = 1 \]

  다항식 \(f(x) = x ^{2}, g(x) = x \in \mathbf{P}_{}(\Bbb{Z}_{2})\) 을 다항함수 \(f: \Bbb{Z}_{2} \to \Bbb{Z}_{2}, g: \Bbb{Z}_{2} \to \Bbb{Z}_{2}\) 로 만들자. 그러면 다음이 성립한다.

  \[ f(x) \neq _{\mathbf{P}_{}(\Bbb{Z}_{2})} g(x) \]
  \[ f(x) = _{\mathcal{F}(\Bbb{Z}_{2},\Bbb{Z}_{2})} g(x) \]

  즉, \(f, g\) 가 다항식으로써는 서로 다르지만 다항함수로써는 서로 같다는 것이다. 다항식의 상등 의 정의와 함수의 상등의 정의 를 참고하자.

• 그러나 이 정리는 무한한 원소를 가진 무한체에서는 이러한 이상한 일이 일어나지 않는다는 것을 보장해준다.

• 증명

  단사 의 정의에 의하여 다음이 성립함을 보여야 한다.

  \[ f, g \in \mathcal{F}(\mathbf{F},\mathbf{F}) : f = _{\mathcal{F}(\mathbf{F},\mathbf{F})} g \implies f = _{\mathbf{P}_{}(\mathbf{F})} g \]

  함수의 상등의 정의 에 의하여 이는 다음을 보이는 것과 같다.

  \[ \forall a \in \mathbf{F} : f(a) = g(a) \implies f =_{\mathbf{P}_{}(\mathbf{F})} g \]

  \(f \neq _{\mathbf{P}_{}(\mathbf{F})} g\) 라고 하고 모순을 이끌어내면 증명이 끝난다. 다항식 \(h(x) = f(x) - g(x)\) 을 정의하면 \(\deg (h) = -1 \implies f = _{\mathbf{P}_{}(\mathbf{F})} g\) 이므로 \(\deg (h) \geq 0\) 이어야 한다.

  \(\deg (h) = 0\) 이라 하면 \(f, g\) 가 상수항에서 서로 다르다. 따라서 \(\forall a \in \mathbf{F}: f(a) = g(a)\) 에 모순이다. 체의 임의의 원소에 \(0\) 을 곱하면 \(0\) 이 되므로 \(f(0) \neq g(0)\) 이기 때문이다. ▲

  \(\deg (h) \geq 1\) 이라 하자. 정리 1 따름정리 2 에 의하여 \(h\) 는 최대 \(\deg (h)\) 개의 해를 갖는다. 그런데 \(\forall a \in \mathbf{F}:h(a) = 0\) 이므로 \(h\) 의 해는 무한히 많다. 따라서 모순이다. ▲

  그러니까 반드시 \(\deg (h) = -1\) 이어야 하고 이로써 \(f \neq _{\mathbf{P}_{}(\mathbf{F})}g\) 라는 가정이 틀렸다는 것을 알 수 있다. ■

Lagrange Interpolation Formula✔

• 라그랑주 다항식의 정의에 의하여 자명하게 성립한다. 크로네터 델타의 정의를 참고하자.

• 증명

  \(i\)번째 라그랑주 다항식 \(f_i\) 에 대하여 \(f_i(x) \in \mathbf{P}_{n}(\mathbf{F})\) 이다. 즉, \(f_i\) 는 차수가 \(n\)인 다항식이다.

  집합 \(\beta = \{f_0, f_1, \dots, f_n\}\) 가 \(\mathbf{P}_{n}(\mathbf{F})\) 의 일차독립인 부분집합임을 증명하기 위해 다음 함수가 스칼라 \(a_0, a_1, \dots, a_n\) 에 대하여 영함수라 가정하고 \(a_0 = a_1 = \dots = a_n = 0\) 임을 보이자.

  \[ \sum_{i=1}^{n}a_if_i = 0 \]

  스칼라 \(c_0, c_1, \dots, c_n\) 에 대하여 \(\displaystyle \bigg (\sum_{i=0}^{n} a_if_i\bigg )(c_j) = \sum_{i=0}^{n}a_if_i(c_j) = 0\) 이다. 한편 \(f_i(c_j) = \delta _{ij}\) 이므로 \(\displaystyle \sum_{i=0}^{n}a_if_i(c_j) = a_j\) 이다. 따라서 모든 \(a_i\) 들은 \(a_i = 0\) 이고 \(\beta\) 는 일차독립이다. \(\dim (\mathbf{P}_{n}(\mathbf{F})) = n + 1\) 이므로 대체정리 따름정리 2 에 의하여 \(\beta\) 는 \(\mathbf{P}_{n}(\mathbf{F})\) 의 기저이다. ■

• 집합 \(\beta = \{f_0, f_1, \dots, f_n\}\) 가 \(\mathbf{P}_{n}(\mathbf{F})\) 의 기저이므로 \(\mathbf{P}_{n}(\mathbf{F})\) 의 모든 다항식 \(g\) 를 정리 1.8 에 의하여 다음과 같이 유일한 스칼라 \(b_0, b_1, \dots, b_n\) 에 대한 \(\beta\) 의 일차결합으로 표현할 수 있다.

  \[ g = \sum_{i=0}^{n}b_if_i \]

  이 식의 양변에 \(c_j\) 를 입력하면 다음을 얻는다.

  \[ g(c_j) = \sum_{i=0}^{n}b_if_i(c_j) = \sum_{i=0}^{n}b_i \delta _{ij} = b_j \]

  따라서 \(b_i\) 를 소거하여 다음과 같이 임의의 다항식 \(g\) 를 순수하게 라그랑주 다항식으로 표현할 수 있다.

  \[ g = \sum_{i=0}^{n}g(c_i)f_i \]

  이 표현식을 사용하면 일차결합의 스칼라 \(b_i\) 를 구하지 않아도된다. 이 식을 라그랑주 보간법이라 한다.

  이러한 논의는 임의의 스칼라 \(b_0, b_1, \dots, b_n\) 와 \(c_0, c_1, \dots, c_n\) 가 주어지면 다항식 \(\displaystyle g = \sum_{i=0}^{n}b_if_i \in \mathbf{P}_{n}(\mathbf{F})\) 가 \(g(c_j) = b_j\) 인 유일한 다항식임을 말해준다. 즉, 입력이 \(c_j\) 일 때 출력이 \(b_j\) 인 \(n\)차 다항식이 유일하게 존재하고, 그것을 라그랑주 보간법으로 쉽게 찾을 수 있다. 라그랑주 보간법은 이 형태로 많이 사용된다. 즉, 체 \(\mathbf{F}\) 에서 가져온 입력 스칼라 집합과 출력 스칼라 집합이 주어졌을 때 그것을 입력과 출력으로 가지는 유일한 다항식을 찾을 수 있다 는 것이다. 아래의 예시를 참고하자.

  애초에 보간법 또는 내삽법이란 이미 알고 있는 값으로 그 사잇값을 추정하는 방법이다. 라그랑주 보간법도 사이사이가 비워져있는 이산적인 데이터를 연속적인 데이터로 보내는 사상이다.

• 예시

  세 점 \(A = (1, 8), B= (2, 5), C= (3, -4)\) 을 지나는 이차 이하의 다항함수 \(g\) 를 찾는 문제에 라그랑주 보간법을 적용해보면 \(c_0 = 1, c_1 = 2, c_2 = 3, b_0 = 8, b_1 = 5, b_2 = -4\) 이고, \(c_1, c_2 ,c_3\) 에 대한 라그랑주 다항식은 다음과 같다.

  \[ f_0(x) = \dfrac{(x - 2)(x - 3)}{(1 - 2)(1 - 3)} = \frac{1}{2}(x ^{2}- 5x + 6) \]
  \[ f_1(x) = \dfrac{(x - 1)(x - 3)}{(2 - 1)(2 - 3)} = -1(x ^{2}- 4x + 3) \]
  \[ f_2(x) = \dfrac{(x - 1)(x - 2)}{(3 - 1)(3 - 2)} = \frac{1}{2}(x ^{2}- 3x + 2) \]

  라그랑주 보간법에 의하여 \(g(x)\) 는 다음과 같다.

  \[ \begin{align}\begin{split} g(x) &= \sum_{i=0}^{2}g(c_i)f_i(x) = 8f_0(x) + 5f_1(x) -4f_2(x) \\ &= -3x ^{2}+6x+5 \end{split}\end{align} \tag*{} \]

  세 점 \(A, B, C\) 와 라그랑주 보간법으로 추정한 \(g\) 를 기하학적으로 나타내보면 다음과 같다.

  

• 현실적인 예시는 가령 비행기의 특정 시간과 특정 위치로 이루어진 이산적인 데이터가 있을 때 비행기의 연속적인 시간에 따른 이동 경로를 추정할 때 쓰일 수 있다.

Fundamental Theorem of Algebra✔

• 17세기부터 수학자들이 옳으리라고 추측했던 유명한 정리이다.

• 증명

• 이 정리는 복소내적공간의 선형연산자의 특성다항식이 반드시 완전히 인수분해됨을 말해준다.

• 체의 원소를 계수로 가지고 차수가 자연수인 다항식이 일차식의 곱으로 표현되는 체를 대수적으로 닫힌(algebraically closed) 체라 한다. 이 정리는 복소수체가 대수적으로 닫혀있음을 말해준다.

• 증명

  대수학의 기본정리에 의하여 \(p(z) \in \mathbf{P}_{}(\Bbb{C})\) 는 해 \(c_1 \in \Bbb{C}\) 를 가진다. 정리 1 따름정리 1 에 의하여 \(z - c_1\) 가 \(p(z)\) 를 나누므로 차수가 \(n-1\) 이고 최고차항의 계수가 \(1\) 인 다항식 \(f(z)\) 에 대하여 다음이 성립한다.

  \[ p(z) = a_n(z - c_1)f(z) \]

  \(f(z)\) 처럼 \(p(z)\) 를 나누는 다항식의 차수가 \(1\) 이상인 한 대수학의 기본정리에 의하여 항상 해가 존재하여 위와 같은 일차식 \(z - c_1\) 으로 \(p(z)\) 를 나눌 수 있다. 따라서 다음이 성립한다.

  \[ p(z) = a_n(z - c_1)\dots(z-c_n) \tag*{■} \]