위상수학 in Rⁿ

Algebra of Rⁿ✔

Supremum Norm of Matrix✔

• 슈프 놈의 정의를 행렬로 확장시킨 것이다.

• 행렬 \(A\) 의 행렬식을 \(|A|\) 로도 표현하지만 여기에서는 행렬의 슈프 놈을 표현하기 위하여 \(|A|\) 표기법을 사용하고, 행렬식은 \(\det(A)\) 로 표기한다.

• 증명

Column and Row Space✔

• 증명

  선형대수학 정리 3.6 따름정리 2가 보장해준다. ■

• 이 정리와 선형대수학 정리 3.5에 의하여 행렬의 랭크, 열랭크, 행랭크는 모두 같다.

  행렬의 랭크는 일반적으로 한눈에 계산하기 어렵다. 따라서 이 경우 가우스-조르당 소거법(Gauss-Jordan elimination)을 사용하여 행렬을 기약행사다리꼴(reduced echelon form)로 만들어서 랭크를 계산한다.

• 증명

  선형대수학 정리 3.6 따름정리 2에 의하여 행공간과 열공간의 차원은 같고, 이 차원이 곧 랭크이다. ■

Singular Matrix✔

• 비특이 행렬은 가역행렬이다. 즉, 특이 행렬은 역행렬이 존재하지 않는 행렬이다. 말 그대로 특이한, 이상한 행렬이다. 뭐가 특이하냐면 \(\det(A) = 0\) 이라는 게 특이하다는 것이다.

  선형대수학 정리 4.7 따름정리는 행렬의 행렬식이 \(0\) 이 아닌 것과 행렬이 가역인 것은 동치이다.

• 증명

  \(1 \iff 2\): 이 정리가 보장해준다. ■

  \(1 \iff 3\): 선형대수학 정리 3.6이 보장해준다.

  \(1 \iff 4\): 선형대수학 정리 3.6 따름정리 2와 선형대수학 정리 3.5가 보장해준다. ■

  \(2 \iff 5\): 선형대수학 정리 3.6 따름정리 3이 보장해준다. ■

  \(2 \iff 6\): 선형대수학 정리 4.7 따름정리가 보장해준다. ■

  \(1 \iff 7\): 비특이행렬의 정의이다. ■

  \(2 \iff 8\):

  정리 2.18 따름정리 2 에 의하여 \(A\) 가 가역인 것과 \(\operatorname{L}_{A}\) 가 가역인 것은 동치이다. 선형변환이 가역인 것과 전단사인 것은 동치이다. 동형사상의 정의에 의하여 \(\operatorname{L}_{A}\) 는 동형사상이다. ■

• 증명

Inverse matrix formula✔

• 증명

  \(j\) 를 고정하고, \(x = \begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{n}\\ \end{pmatrix}\) 를 \(A ^{-1}\) 의 \(j\) 열이라 하자. \(A A ^{-1} = I_n\) 이므로 \(Ax = e_j\) 이다. 크래머 룰에 의하여 다음이 성립한다.

  \[ x_i = \dfrac{\det(a_1 \enspace \dots \enspace a _{i-1} \enspace e_j \enspace a _{i+1} \enspace \dots \enspace a_n)}{\det(A)} \]

  \(\det(a_1 \enspace \dots \enspace a _{i-1} \enspace e_j \enspace a _{i+1} \enspace \dots \enspace a_n)\) 을 열에 대한 행렬식에 의하여 \(i\)열에 대한 여인수 전개로 구하면 다음과 같다.

  \[\det(a_1 \enspace \dots \enspace a _{i-1} \enspace e_j \enspace a _{i+1} \enspace \dots \enspace a_n)= 1 \cdot (-1) ^{i + j}\det(\tilde{A} _{ji})\]

  따라서 다음이 성립한다.

  \[ x_i = (A ^{-1}) _{ij} = \dfrac{(-1) ^{i + j}\det(\tilde{A}_{ji})}{\det(A)} \tag*{■} \]

Topology in Rⁿ✔

• \(d\) 는 거리함수이다.

• L2 거리 와 체비셰프 거리는 내적공간 관련된 곳에서도 정의되었다.

• \(\R^n\) 을 자주 n차원 유클리드 공간이라고 부른다.

Open Set, Closed Set✔

• 거리 위상에서의 열린집합과 같다.

• 점 \(x_0\) 를 포함하는 임의의 열린집합 \(U\) 를 \(x_0\) 의 근방(neighborhood)이라고 표현한다.

• 열린집합의 정의는 \(\R\) 의 위상수학에서의 열린집합 정의와 같다. \(\R\) 의 위상수학에서의 닫힌집합은 자기 자신의 극한점을 포함하는 집합으로 정의되었지만 해석학 정리 3.2.13 에 의하여 열린집합의 여집합과 같은 정의이다.

• 이 정리에 따라 \(A\) 가 \(Y\) 에서 열려있고 \(Y\) 가 \(X\) 에서 열려있으면 \(A\) 는 \(X\) 에서 열려있다.

  비슷하게 \(A\) 가 \(Y\) 에서 닫혀있고 \(Y\) 가 \(X\) 에서 닫혀있으면 \(A\) 는 \(X\) 에서 닫혀있다.

• 증명

Open Ball, Open Cube✔

• 증명

  먼저 \(\mathbf{x} \in \R ^{n}\) 에 대하여 다음이 성립함을 보이려 한다.

  \[ |\mathbf{x} | \leq \left\| \mathbf{x} \right\| \leq \sqrt[]{n}|\mathbf{x} | \]

  \(\max _{i=1}^{n}x_i = x_k\) 로 두자. 지수함수는 증가함수이므로 다음이 성립한다.

  \[ x_k = \sqrt[]{x_k^2} \implies x_k \leq \sqrt[]{\sum x_i^2} \]

  또한 다음이 성립한다.

  \[ \sum_{i=1}^{n}x_i^2 \leq nx_k ^{2} \]

  따라서 다음이 성립한다.

  \[ x_k \leq \sqrt[]{\sum x_i^2} \leq \sqrt[]{n}x_k \]

  그러면 열린공, 열린큐브의 정의에 따라 정리를 바로 도출할 수 있다. ■

• 일반적으로 거리공간 \(X\) 의 열린집합 모임에만 의존되고, 특정한 거리에 의존되지 않는 성질을 \(X\) 의 위상적 성질(topological property)이라 한다. 극한, 연속성, 콤팩트성들이 위성적 성질의 예시이다.

• 증명

  위의 보조정리에 의하여 다음이 성립한다.

  \[ B(\mathbf{a};\epsilon) \subset C(\mathbf{a};\epsilon) \subset B(\mathbf{a}; \sqrt[]{n}\epsilon) \]

  한쪽 부등식 \(B(\mathbf{a};\epsilon) \subset C(\mathbf{a};\epsilon)\) 의 의미는 이렇다. 상한 거리를 택하여 열린집합 \(A\) 를 만들어도, 유클리드 거리를 택하여 만든 열린집합 \(B\) 가 \(A\) 에 포함된다.

  나머지 부등식 \(C(\mathbf{a};\epsilon) \subset B(\mathbf{a}; \sqrt[]{n}\epsilon)\) 의 의미는 이렇다. 유클리드 거리를 택하여 열린집합 \(A\) 를 만들면, 상한거리를 택하여 만든 열린집합 \(B\) 에 대하여 \(B \subset A\) 가 성립한다.

  즉, 유클리드 거리를 택하든 상한 거리를 택하든 열린집합 모임은 똑같다. ▲

  닫힌집합의 정의에 의하여 서로 같은 열린집합 모임으로부터 닫힌집합 모임이 서로 같다는 사실을 쉽게 도출할 수 있다. ■

Continuity✔

• 위 조건을 \(f(U) \subset V\) 로 쓸 수 있다.

• 증명

  1: 쉽게 증명할 수 있다.

  2: 해석학 정리 4.3.9

• 이 정리들을 통하여 연속함수의 사칙연산, 합성들이 연속임을 알 수 있다. 가령 \(e ^{x}\) 와 \(\sin x\) 가 연속이므로 함수 \(f(s,t,u,v) = \sin (s + t)/e ^{uv}\) 도 연속이다.

• 증명

  2:

  해석학 정리 연속성과 사칙연산

Interior, Exterior, Boundary✔

• \(\R ^{2}\) 에서 내부, 외부, 경계

  

Rectangle✔

• 닫힌 직사각형을 단순히 그냥 직사각형이라고 한다.

• 열린 큐브는 열린 직사각형의 특수한 경우이다. 가령 다음과 같은 열린 큐브

  \[ C(a;\epsilon) = (a_1 - \epsilon, a_1 + \epsilon) \times \dots \times (a_n - \epsilon, a_n + \epsilon) \]

  는 열린 직사각형이다.

• 예시

  \(\R^2\) 에서 직사각형은 \(Q = [0, 1] \times [0, 2]\) 이다. \(Q\) 는 밑변 길이 \(1\), 높이 \(2\) 를 가지는 직사각형이다.

Compact Subspaces of Rⁿ✔

Covering, Compact Space✔

• \(\R^n\) 의 가장 중요한 부분공간은 콤팩트 공간이다. 여기에서는 다변수 해석학의 전개에 필요한 콤팩트 공간의 성질을 알아본다. 하지만 일반적인 거리 공간에서의 콤팩트성에 대한 성질과 증명들은 아니다. 그러나 대다수의 성질과 증명들이 \(\R^n\) 에서 뿐만 아니라 더욱 일반적인 거리 공간에서도 성립한다.

• 해석학의 열린 덮개의 정의와 같다.

• \(\R\) 의 해석학에서는 콤팩트성을 집합 안에서 수렴하는 부분수열이 존재하는 것 으로 정의했다. 하이네-보렐 정리에 의하여 이는 임의의 열린 덮개가 항상 유한 부분덮개를 가진다는 것과 동치이다. 따라서 콤팩트성을 규정짓는 3가지 동치 조건 중 어느 것으로 콤팩트성을 정의해도 상관없다. 여기에서는 유한 부분덮개의 정의로 콤팩트 공간을 정의한 것이다.

• 증명

  \(X\) 가 콤팩트하고, 합집합이 \(X\) 가 되는 \(X\) 의 열린 집합 모임 \(\{A _{\alpha}\}\) 를 가정하자. Theorem 3.2 에 의하여 각 \(A _{\alpha}\) 에 대하여 \(A _{\alpha} = U _{\alpha} \cap X\) 를 만족하게 하는 열린집합 \(U _{\alpha}\) 가 존재한다. 그러면 \(\{U_{\alpha}\}\) 는 \(X\) 의 열린덮개이다. \(X\) 가 콤팩트하므로 열린덮개 \(\{U_{\alpha}\}\) 의 어떤 유한 부분덮개가 \(X\) 를 포함한다. 그 유한 부분덮개 중 하나가 \(\{A _{\alpha}\}\) 이다. 그런데 이 유한부분덮개 \(\{A _{\alpha}\}\) 의 합집합은 \(X\) 이다. ▲

  그 역도 비슷한 논리로 증명가능하다. ■

• 증명

  닫힌 구간은 콤팩트하다. ■

• \(\R\) 에서의 증명 : 해석학 정리 3.3.4

• 위상수학에서의 더욱 일반적인 정리 : 위상수학 정리 27.3

• 증명

  \(X\) 가 유계이다:

  각 양의 정수 \(N\) 에 대하여 \(U_N = C(0;N)\) 으로 두면 \(U_N\) 은 열린집합이고, \(U_1 \subset U_2 \subset \dots\) 이다. \(U_N\) 들의 모임은 \(\R^n\) 을 덮고, 따라서 \(X\) 도 덮는다. \(X\) 가 콤팩트하므로 \(X\) 를 덮는 유한 부분덮개 \(N = N_1, \dots , N_k\) 가 존재한다. \(M = \max \{N_1, N_2, \dots, N_k\}\) 로 두면 \(X \subset U_M\) 이다. 따라서 \(X\) 는 유계이다. ▲

  \(X\) 가 닫혀있다:

  \(X ^{c}\) 가 열려있음을 보여서 \(X\) 가 닫혀있음을 증명하자. \(\mathbf{a} \in \R^n \setminus X\) 를 선택하자. 각 양의 정수 \(N\) 에 대하여 다음과 같은 큐브를 정의하면 \(C_1 \supset C_2 \supset \dots\) 이고, \(\bigcap_{}^{}C_i = \mathbf{a}\) 이다.

  \[ C_N = \{\mathbf{x} : |\mathbf{x} - \mathbf{a}| \leq 1/N \} \]

  \(V_N = C_N ^{c}\) 로 두자. 그러면 \(V_N\) 은 열린집합이고 \(V_1 \subset V_2 \subset \dots\) 이다. \(V_N\) 들의 집합은 \(\R^n \setminus \{\mathbf{a}\}\) 을 덮는다. 따라서 \(X\) 도 덮는다. \(X\) 가 콤팩트하므로 \(X\) 를 덮는 유한 부분덮개 \(N = N_1, \dots , N_k\) 가 존재한다. \(M = \{N_1, N_2, \dots, N_k\}\) 로 두면 \(X \subset V_M\) 이다. 그러면 \(C_M = V_M ^{c}\) 은 \(X\) 와 서로소이다. 따라서 \(C_M = C(\mathbf{a};1/M)\) 은 \(X ^{c}\) 에 속하는 열린집합이다. 그러므로 \(X ^{c}\) 은 열려있고 이에 따라 \(X\) 는 닫혀있다. ■

• 증명

  \(X\) 가 콤팩트하면 \(\sup X \in X, \inf X \in X\)이다. ■

Extreme-value Theorem✔

• 이것은 Corollary 4.4 에 의하여 \(f(X)\) 가 최댓값과 최솟값을 가진다는 의미이다.

• \(\R\) 에서의 Extreme-value theorem

• 증명

  위상공간에서의 EVT 가 이미 증명되었으므로 이 정리는 특수한 경우이다. ■

  (Munkres, Analysis on Manifold 에는 \(\R^n\) 에서의 EVT 의 증명이 수록되어있다.)

The ε-neighborhood theorem✔

• 곱공간에서 콤팩트 부분공간 \(X\) 를 포함하는 열린집합은 반드시 \(X\) 의 어떤 튜브를 포함한다는 정리이다. 위상수학에서의 tube lemma 에서 이미 살펴보았다.

  이 정리는 \(X\) 가 콤팩트하지 않으면 성립하지 않는다. 가령 \(\R^2\) 에서 \(x\)축을 \(X\) 로 두면 \(X\) 는 콤팩트하지 않다. 이 \(X\) 를 포함하는 열린집합 \(U\) 를 다음과 같이 잡자.

  \[ U = \left\{ (x, y) : y ^{2} < \frac{1}{1+x^2} \right\} \]

  그러면 이 \(U\) 는 \(x\)축의 어떠한 튜브(\(\epsilon\)-근방)도 포함하지 못한다. \(x\)축의 아무리 작은 튜브를 잡아도 다음과 같이 \(U\) 가 임의적으로 줄어들기 때문에 튜브보다 더 작아지기 때문이다.

  

• \(\epsilon\)-근방이 유클리드 거리 근방이든, 상한 거리 근방이든 모두 성립한다.

• 증명

  위상수학의 tube lemma 의 특별한 경우이다. tube lemma을 다음과 같이 특수화 시키자.

  • 곱공간의 콤팩트 부분공간 \(x_0 \times Y\) → \(\R^n\) 의 콤팩트 부분공간 \(X\)

  • \(x_0 \times Y\) 의 튜브 \(W \times Y\) → \(X\) 의 \(\epsilon\)-근방

  • \(x_0 \times Y\) 와 튜브 \(W \times Y\) 를 포함하는 열린집합 \(N\) → \(X\) 와 \(X\) 의 \(\epsilon\)-근방을 포함하는 열린집합 \(U\)

  그러면 tube lemma 에 의하여 자동으로 정리가 성립한다. ■

  (Munkres, Analysis on Manifold 에는 \(\R^n\) 에서의 증명이 수록되어있다.)

Uniform Continuity✔

• 위상공간에서 정의된 가장 일반적인 균등연속의 정의, \(\R\) 에서의 균등연속의 정의

• 위상공간에서의 UCT, \(\R\) 에서의 UCT

• 이 결과는 유클리드 거리 대신 상한 거리를 사용해도 성립한다.

• 증명

  위상공간에서의 UCT가 성립하므로 특수한 경우인 이 정리도 성립한다. ■

  (Munkres, Analysis on Manifold 에는 \(\R^n\) 에서의 증명이 수록되어있다.)

• 증명

  위상수학의 정리 콤팩트 공간의 유한 곱은 콤팩트하다 의 특수한 경우인 이 정리는 당연히 성립한다. ■

  (Munkres, Analysis on Manifold 에는 \(\R^n\) 에서의 증명이 수록되어있다.)

• 증명

  이 정리는 위상수학의 정리 Th 27.3 에서 이미 증명한 바 있다. ■

  (Munkres, Analysis on Manifold 에는 또 다른 증명이 수록되어있다.)

Connected Subspaces of Rⁿ✔

• 콤팩트 공간 다음으로 중요한 공간은 연결 공간이다.

• 증명

  위상수학의 따름정리 24.2 에 의하면 실선 \(\R\) 과 그 구간과 그 반직선은 모두 연결집합이다. ■

• 증명

  위상공간에서 성립하는 IVT 를 이미 증명했으므로 거리공간에서는 당연히 성립한다. ■