Determinants

Determinants of 2 × 2 Matrix✔

Properties of Determinants of 2 × 2 Matrix✔

• 증명

  행렬 $A = \begin{pmatrix} 1&2\\ 3&4\\ \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 3&2\\ 6&4\\ \end{pmatrix}, A+B = \begin{pmatrix} 4&4\\ 9&8\\ \end{pmatrix}$ 에 대하여 다음이 성립한다.

  $$\det(A) = -2, \det(B) = 0 , \det(A+B) = -4$$

  따라서 다음이 성립한다.

  $$\det (A+B) \neq \det (A) + \det (B)$$

  그러므로 함수 $\det$ 은 선형이 아니다. ■

• 이 정리는 함수 $\det: \mathbf{F}^{2 \times 2} \to \mathbf{F}$ 가 선형이 아니지만, 그래도 선형적 성질을 갖는다는 것을 말해준다.

• 증명

  1:

  $u = (a_1, a_2), v = (b_1, b_2), w = (c_1, c_2) \in \mathbf{F} ^{2}$ 와 스칼라 $k$ 에 대하여 다음이 성립한다.

  $$\begin{align}\begin{split} \det \begin{pmatrix} u\\ w\\ \end{pmatrix} + k \det \begin{pmatrix} v\\ w\\ \end{pmatrix} &= \det \begin{pmatrix} a_1&a_2\\ c_1&c_2\\ \end{pmatrix} + k \det \begin{pmatrix} b_1&b_2\\ c_1&c_2\\ \end{pmatrix} \\ &= (a_1 + kb_1)c_2 - (a_2 + kb_2)c_1 \\ &= \det \begin{pmatrix} a_1+kb_1&a_2+kb_2\\ c_1&c_2\\ \end{pmatrix} \\ &= \det \begin{pmatrix} u+kv\\ w\\ \end{pmatrix} \end{split}\end{align} \tag*{}$$

  2:

  1) 과 비슷하게 증명된다. ■

• 증명

  $\det(A) \neq 0$ 이면 다음과 같이 정의된 행렬 $M$ 에 대하여 $AM=MA=I$ 가 성립함을 쉽게 확인할 수 있다.

  $$M = \frac{1}{\det(A) } \begin{pmatrix} A_{22}&-A _{12}\\ -A_{21}&A _{11}\\ \end{pmatrix}$$

  이는 $A$ 가 가역이고 $M = A ^{-1}$ 임을 뜻한다. ▲

  역으로 다음과 같은 가역행렬 $A$ 의 존재를 가정하자.

  $$A = \begin{pmatrix} A _{11}&A _{12}\\ A _{21}&A _{22}\\ \end{pmatrix}$$

  $2 \times 2$ 행렬 $A$ 가 가역이면 $\operatorname{rank} (A) = 2$ 이다. 이는 $A _{11} \neq 0 \lor A _{21} \neq 0$ 을 뜻한다. $A _{11} \neq 0$ 를 가정하면 $A$ 에 기본연산을 적용하여 다음 행렬을 얻는다.

  $$\begin{pmatrix} A _{11}& A _{12}\\ 0& A _{22} - \dfrac{A _{12} A _{21}}{A _{11}}\\ \end{pmatrix}$$

  정리 3.4 따름정리 에 의하여 기본연산은 행렬의 랭크를 보존한다. 이는 다음을 뜻한다.

  $$A _{22} - \dfrac{A _{12} A _{21}}{A _{11}} \neq 0$$

  즉, $\det(A) = A _{11}A _{22} - A _{12}A _{21} \neq 0$ 이다. $A _{21} \neq 0$ 를 가정해도 비슷한 논리로 $\det(A) \neq 0$ 를 얻는다. ■

Area of a parallelogram✔

• 예시

  다음과 그림에서 왼쪽 두 벡터가 이루는 각은 같은 크기와 방향을 가지고 시점이 원점인 두 벡터가 이루는 각이다.

  

• 이 정리와 정리 4.2 에 의하여 위 식의 분모는 $0$ 이 아니다. 그러므로 $\mathcal{O} \begin{pmatrix} u\\ v\\ \end{pmatrix} = \pm 1$ 이다.

• $\{u, v\}$ 가 일차종속(서로 평행)이면 행렬 $\begin{pmatrix} u\\ v\\ \end{pmatrix}$ 가 가역이 아니라서 $\det \begin{pmatrix} u\\ v\\ \end{pmatrix} = 0$ 이지만 편의상 $\{u, v\}$ 가 일차종속이면 $\mathcal{O} \begin{pmatrix} u\\ v\\ \end{pmatrix} = 1$ 으로 정의한다.

• 증명

• 예시

  

• 예시

  

• 증명

• 증명

  성질 1) 로부터 다음이 성립한다.

  $$\delta \begin{pmatrix} a&b\\ c&d\\ \end{pmatrix} = \delta \begin{pmatrix} a&0\\ c&d\\ \end{pmatrix} + \delta \begin{pmatrix} 0&b\\ c&d\\ \end{pmatrix} = a\delta \begin{pmatrix} 1&0\\ c&d\\ \end{pmatrix} + b\delta \begin{pmatrix} 0&1\\ c&d\\ \end{pmatrix}$$

  이때 성질 1), 2), 3) 으로부터 다음이 성립한다.

  $$a\delta \begin{pmatrix} 1&0\\ c&d\\ \end{pmatrix} = a\delta \begin{pmatrix} 1&0\\ c&0\\ \end{pmatrix} + a\delta \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&d\\ \end{pmatrix} = ac\delta \begin{pmatrix} 1&0\\ 1&0\\ \end{pmatrix} + ad\delta \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1\\ \end{pmatrix} = 0 + ad$$
  $$b\delta \begin{pmatrix} 0&1\\ c&d\\ \end{pmatrix} = b\delta \begin{pmatrix} 0&1\\ c&0\\ \end{pmatrix} + b\delta \begin{pmatrix} 0&1\\ 0&d\\ \end{pmatrix}$$
  $$= bc\delta \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0\\ \end{pmatrix} + bd\delta \begin{pmatrix} 0&1\\ 0&1\\ \end{pmatrix} = bc \delta \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0\\ \end{pmatrix} + 0$$

  또한 성질 1), 2), 3) 으로부터 다음이 성립한다.

  $$\begin{pmatrix} 1&1\\ 1&1\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0\\ 1&1\\ \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&1\\ \end{pmatrix}$$
  $$=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1\\ \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 1&0\\ 1&0\\ \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0\\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0&1\\ 0&1\\ \end{pmatrix}$$
  $$= 1 + 0 + \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0\\ \end{pmatrix} + 0 = 0$$

  그러므로 다음을 얻는다.

  $$\delta \begin{pmatrix} a&b\\ c&d\\ \end{pmatrix} = ad - bc$$

  그러므로 $\delta = \det$ 이다. 그러므로 $A \in \mathbf{F}^{2 \times 2} : \delta (A) = \det(A)$ 이다. 조건 1) 은 이것의 특수한 경우이다. ▲

  조건 2) 는 $\det(AB) = \det(A) \det(B)$ 에서 바로 나온다. ■

• 증명

  문제 4.1-11 의 증명에 의하여 증명이 끝난다.

• 증명

• $\{u, v\}$ 가 일차종속(서로 평행)이면 $u, v$ 의 평행사변형은 선분이 된다.

• 예시

  

• 예시

  $u = (-1, 5), v = (4, -2)$ 의 평행사변형의 넓이는 다음과 같다.

  $$\bigg |\det \begin{pmatrix} u\\ v\\ \end{pmatrix}\bigg | = \bigg |\det \begin{pmatrix} -1&5\\ 4&-2\\ \end{pmatrix} \bigg | = 18$$

• 다음 증명은 이 정리가 $\R ^{n}$ 에서도 성립함을 유추할 수 있게 해준다.

• 증명

  $u, v$ 의 평행사변형의 넓이를 $\mathcal{A}\begin{pmatrix} u\\ v\\ \end{pmatrix}$ 라고 두면 향(orientation)의 정의에 의하여 본 정리는 다음과 같다.

  $$\mathcal{A}\begin{pmatrix} u\\ v\\ \end{pmatrix} = \bigg |\det\begin{pmatrix} u\\ v\\ \end{pmatrix} \bigg | = \mathcal{O}\begin{pmatrix} u\\ v\\ \end{pmatrix} \cdot \det\begin{pmatrix} u\\ v\\ \end{pmatrix}$$

  $\mathcal{O}\begin{pmatrix} u\\ v\\ \end{pmatrix} = \pm 1$ 이므로 이것을 곱한 식인 다음을 증명해도 된다.

  $$\mathcal{O}\begin{pmatrix} u\\ v\\ \end{pmatrix} \mathcal{A}\begin{pmatrix} u\\ v\\ \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} u\\ v\\ \end{pmatrix}$$

  이때 $\delta \begin{pmatrix} u\\ v\\ \end{pmatrix} =\mathcal{O}\begin{pmatrix} u\\ v\\ \end{pmatrix} \mathcal{A}\begin{pmatrix} u\\ v\\ \end{pmatrix}$ 라고 정의한 다음 $\delta$ 가 문제 4.1-11 에서의 3 가지 성질을 만족함을 보이면 문제 4.1-12 에 의하여 $\delta = \det$ 이 증명되어 모든 증명이 끝난다. ▲

  먼저 벡터 $u, v$ 와 스칼라 $c$ 에 대하여 성질 1) 의 스칼라 곱이 보존됨을 성립함을 보이자. 즉, 다음을 보이자.

  $$\delta \begin{pmatrix} u\\ cv\\ \end{pmatrix} = c \delta \begin{pmatrix} u\\ v\\ \end{pmatrix}$$

  $c = 0$ 이면 $\delta \begin{pmatrix} u\\ cv\\ \end{pmatrix} = \mathcal{O}\begin{pmatrix} u\\ 0\\ \end{pmatrix} \mathcal{A}\begin{pmatrix} u\\ 0\\ \end{pmatrix} = 1 \cdot 0 = 0$ 이므로 성립한다. $\begin{pmatrix} u\\ 0\\ \end{pmatrix}$ 가 일차종속이므로 $\mathcal{O}$ 가 $1$ 로 정의되고, $u, 0$ 의 평행사변형의 넓이는 $0$ 이기 때문이다.

  $c \neq 0$ 인 경우를 살펴보자. $u, v$ 의 평행사변형의 넓이와 $u, cv$ 의 평행사변형의 넓이의 관계는 이렇다. 두 벡터 $u, v$ 가 이루는 각 $\theta = \arccos \bigg (\dfrac{a \cdot b}{\|a\|\|b\|}\bigg )$ 에 대하여 평행사변형의 높이는 $\|u\| \sin \theta$ 이다. 그러므로 평행사변형의 넓이는 밑변 $\|v\|$ 과 높이를 곱하여 $\mathcal{A}\begin{pmatrix} u\\ v\\ \end{pmatrix} = \|v\|\|u\| \sin \theta$ 이다. 반면 $u, cv$ 의 평행사변형의 넓이는 밑변 $v$ 가 $cv$ 로 변형된 것이므로 $\|cv\|\|u\| \sin \theta = |c|\|v\|\|u\| \sin \theta= |c| \mathcal{A}\begin{pmatrix} u\\ v\\ \end{pmatrix}$ 이다. 그러므로 $\mathcal{A}\begin{pmatrix} u\\ cv\\ \end{pmatrix} = |c| \mathcal{A}\begin{pmatrix} u\\ v\\ \end{pmatrix}$ 이다.

  $u, v$ 의 평행사변형의 향과 $u, cv$ 의 평행사변형의 향의 관계는 이렇다. $u = (a_1, a_2), v = (b_1, b_2)$ 로 두면 $\det \begin{pmatrix} u\\ v\\ \end{pmatrix} = a_1b_2 - a_2b_1$ 이므로 다음이 성립한다.

  $$\mathcal{O}\begin{pmatrix} u\\ v\\ \end{pmatrix} = \dfrac{a_1b_2 - a_2b_1}{|a_1b_2 - a_2b_1|}$$
  $$\mathcal{O}\begin{pmatrix} u\\ cv\\ \end{pmatrix} = \dfrac{ca_1b_2 - ca_2b_1}{|ca_1b_2 - ca_2b_1|} = \frac{c}{|c|}\dfrac{a_1b_2 - a_2b_1}{|a_1b_2 - a_2b_1|}$$

  그러므로 $\mathcal{O}\begin{pmatrix} u\\ cv\\ \end{pmatrix} = \dfrac{c}{|c|}\mathcal{O}\begin{pmatrix} u\\ v\\ \end{pmatrix}$ 이다. 따라서 다음이 성립한다.

  $$\delta \begin{pmatrix} u\\ cv\\ \end{pmatrix} = \mathcal{O}\begin{pmatrix} u\\ cv\\ \end{pmatrix}\mathcal{A}\begin{pmatrix} u\\ cv\\ \end{pmatrix} = \frac{c}{|c|}\mathcal{O}\begin{pmatrix} u\\ v\\ \end{pmatrix}|c| \mathcal{A}\begin{pmatrix} u\\ v\\ \end{pmatrix}$$
  $$= c \cdot \mathcal{O}\begin{pmatrix} u\\ v\\ \end{pmatrix}\mathcal{A}\begin{pmatrix} u\\ v\\ \end{pmatrix} = c \cdot \delta \begin{pmatrix} u\\ v\\ \end{pmatrix}$$

  이로써 $\delta$ 가 성질 1) 의 스칼라 곱에 대한 선형성을 만족한다는 것이 증명되었다. ▲

  같은 변으로 구성된 평행사변형은 선분이 되어 넓이가 $0$ 이 된다. 즉, $\mathcal{A}\begin{pmatrix} u\\ u\\ \end{pmatrix} = 0$ 이다. 그러므로 다음이 성립한다.

  $$\delta \begin{pmatrix} u\\ u\\ \end{pmatrix} = \mathcal{O}\begin{pmatrix} u\\ u\\ \end{pmatrix} \mathcal{A}\begin{pmatrix} u\\ u\\ \end{pmatrix} = 0$$

  이로써 $\delta$ 가 성질 2) 를 만족한다는 것이 증명되었다. ▲

  이제 성질 1) 의 벡터합을 증명하자. 즉 $u, v_1, v_2 \in \R ^{2}$ 에 대하여 다음이 성립함을 보이자.

  $$\delta \begin{pmatrix} u\\ v_1 + v_2\\ \end{pmatrix} = \delta \begin{pmatrix} u\\ v_1\\ \end{pmatrix} + \delta \begin{pmatrix} u\\ v_2\\ \end{pmatrix}$$

  $u = 0$ 이면 평행사변형의 넓이가 $0$ 이 되므로 자명하게 성립한다. $u \neq 0$ 를 가정하자. $u$ 와 일차독립인 벡터 $w \in \R ^{2}$ 를 아무거나 선정하면 $\dim (\R ^{2}) = 2$ 이므로 정리 1.10 따름정리 2 에 의하여 $\{u, w\}$ 는 $\R ^{2}$ 의 기저가 된다. 그러므로 $i \in \{1, 2\}$ 에 대하여 다음을 만족하는 스칼라 $a_i, b_i$ 가 존재한다.

  $$v_i = a_iu + b_iw$$

  그러므로 성질 2) 에 의하여 다음이 성립한다.

  $$\begin{align}\begin{split} \delta \begin{pmatrix} u\\ v_1 + v_2\\ \end{pmatrix} &= \delta \begin{pmatrix} u\\ (a_1+a_2)u + (b_1+b_2)w\\ \end{pmatrix} = (b_1 + b_2) \begin{pmatrix} u\\ w\\ \end{pmatrix}\\ &= \delta \begin{pmatrix} u\\ a_1u + b_1w\\ \end{pmatrix} + \delta \begin{pmatrix} u\\ a_2u + b_2w\\ \end{pmatrix} = \delta \begin{pmatrix} u\\ v_1\\ \end{pmatrix} + \delta \begin{pmatrix} u\\ v_2\\ \end{pmatrix} \end{split}\end{align} \tag*{}$$

  같은 논리로 다음을 증명할 수 있다.

  $$\delta \begin{pmatrix} v_1 + v_2\\ u\\ \end{pmatrix} = \delta \begin{pmatrix} v_1\\ u\\ \end{pmatrix} + \delta \begin{pmatrix} v_2\\ u\\ \end{pmatrix} \tag*{}$$

  이로써 $\delta$ 가 성질 1) 의 벡터합을 만족한다는 것이 증명되었다. ▲

  마지막으로 성질 3) 을 증명하자. $e_1, e_2$ 의 평행사변형은 정사각형이므로 다음이 성립한다.

  $$\delta \begin{pmatrix} e_1\\ e_2\\ \end{pmatrix} = \mathcal{O}\begin{pmatrix} e_1\\ e_2\\ \end{pmatrix}\mathcal{A}\begin{pmatrix} e_1\\ e_2\\ \end{pmatrix}= 1 \cdot 1 = 1$$

  즉, $\delta (I_2) = 1$ 이다. 이로써 모든 증명이 끝났다. ■

Determinants✔

• 예시

  $$A = \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9\\ \end{pmatrix} \implies \tilde{A} _{11} = \begin{pmatrix} 5&6\\ 8&9\\ \end{pmatrix}$$

• 즉, $A$ 의 $i$ 행에 대한 여인수 전개는 $A$ 의 $i$ 행의 각 성분에 여인수를 곱하여 더한 결과이다.

• $2 \times 2$ 행렬 $A = \begin{pmatrix} a&b\\ c&d\\ \end{pmatrix}$ 의 행렬식은 다음과 같다.

  $$\det A = ad - bc$$

  이는 연립 일차 방정식의 풀이를 연구하다가 $ad - bc$ 의 값에 따라 연립 방정식의 해가 존재할 수도 있고, 존재하지 않을 수도 있다는 관찰에 의하여 정의되었다.

• $A$ 의 $i$ 행 $j$ 열에 대한 여인수를 $c _{ij} = (-1) ^{i + j}\det(\tilde{A}_{ij})$ 로 표기하면 $A$ 의 행렬식을 다음과 같이 표현할 수 있다.

  $$\det(A) = \sum_{j=1}^{n}A _{1j}c _{1j}$$

  즉, $A$ 의 행렬식은 $A$ 의 1행의 각 성분에 여인수를 곱하여 더한 결과이다. 이는 행렬의 행렬식이란 1행에 대한 여인수 전개라는 것을 말해준다.

• 예시

  $A \in \mathbf{F}^{2 \times 2}$ 에 대한 1행의 여인수 전개는 다음과 같다.

  $$\det(A) = A _{11}(-1) ^{1 + 1}\det(\tilde{A}_{11}) + A _{12}(-1) ^{1 + 2}\det(\tilde{A}_{12}) = A _{11}A _{22} - A _{12}A _{21}$$

  $2 \times 2$ 행렬의 행렬식 정의와 같다는 것을 알 수 있다.

Determinants of Identity Matrix✔

• 증명

  $n = 1$ 일 때 $I_n = (1) \implies \det(I_n) = 1$ 이다.

  $n \geq 2$ 일 때 $\det(I _{n-1}) = 1$ 을 가정하자. $I$ 를 $n \times n$ 항등행렬이라고 하자. 그러면 $\tilde{I} _{11} = I _{n-1}$ 이다. 그러므로 다음이 성립한다.

  $$\begin{align}\begin{split} \det(I) &= (-1) ^{2}(1) \det(\tilde{I}_{11}) + (-1) ^{3}(0) \det(\tilde{I}_{12}) + \dots + (-1) ^{1+n}(0) \det(\tilde{I}_{1n}) \\ &= 1 + 0 + \dots + 0 = 1 \\ \end{split}\end{align} \tag*{}$$

  ■

Properties of Determinant✔

• 이 정리는 2형 기본행연산과 행렬식 사이의 관계를 말해준다. 즉, 위 정리에서 $u=0$ 으로 두면 정리 4.3 따름정리에 의하여 다음이 성립한다.

  $$\det \begin{pmatrix} a_1\\ \vdots \\ a _{r-1}\\ kv\\ a _{r+1}\\ \vdots \\ a_n \\ \end{pmatrix} = k \det \begin{pmatrix} a_1\\ \vdots \\ a _{r-1}\\ v\\ a _{r+1}\\ \vdots \\ a_n \\ \end{pmatrix}$$

  이는 행렬 $A$ 의 한 행에 스칼라 $k$ 를 곱하여 얻은 행렬 $B$ 에 대하여 다음이 성립함을 의미한다.

  $$\det(A) = k \det(B)$$

• 증명

  $n = 1$ 일 때 자명하게 성립한다. ▲

  $n \geq 2$ 와 $(n - 1) \times (n - 1)$ 행렬에 대하여 성립함을 가정하자.

  $n \times n$ 행렬 $A$ 의 각 행 $a_1, a_2, \dots, a_n$ 과 $1 \leq r \leq n$ 인 $r$ 과 $u = (b_1, b_2, \dots, b_n), v = (c_1, c_2, \dots, c_n)$ 와 스칼라 $k$ 에 대하여 $a_r = u + kv$ 로 두자. $A$ 의 $r$ 행을 $u, v$ 로 바꾼 행렬을 각각 $B, C$ 로 두면 $\det(A) = \det(B) + k \det(C)$ 를 보이면 증명이 끝난다.

  $r = 1$ 일 경우를 증명해보자. $A$ 의 1행은 다음과 같다.

  $$a_1 = u + kv = (b_1+kc_1, b_2+kc_2, \dots, b_n+kc_n)$$

  이는 $A _{1j} = b_j + kc_j = B _{1j} + k C _{1j}$ 임을 뜻한다. 또한 $A, B, C$ 는 $1$ 행을 제외하고 서로 같으므로 $\tilde{A}_{1j} = \tilde{B}_{1j} = \tilde{C}_{1j} \iff \det(\tilde{A}_{1j}) = \det(\tilde{B}_{1j}) = \det(\tilde{C}_{1j})$ 이다. 그러므로 $\det(A)$ 는 다음과 같다.

  $$\begin{align}\begin{split} \det(A) &= \sum_{j=1}^{n}(-1)^{1+j}A _{1j} \cdot \det(\tilde{A}_{1j}) \\ &= \sum_{j=1}^{n}(-1)^{1+j}(B _{1j} + k C _{1j}) \cdot \det(\tilde{A}_{1j}) \\ &= \sum_{j=1}^{n}(-1)^{1+j}B _{1j} \cdot \det(\tilde{A}_{1j}) + k\sum_{j=1}^{n}(-1)^{1+j}C _{1j} \cdot \det(\tilde{A}_{1j}) \\ &= \sum_{j=1}^{n}(-1)^{1+j}B _{1j} \cdot \det(\tilde{B}_{1j}) + k\sum_{j=1}^{n}(-1)^{1+j}C _{1j} \cdot \det(\tilde{C}_{1j}) \\ &= \det(B) + k \det(C) \end{split}\end{align} \tag*{}$$

  그러므로 $n \geq 2, r = 1$ 일 때 $n \times n$ 행렬에 대하여 본 정리가 성립한다. ▲

  $r > 1$ 인 경우 $1 \leq j \leq n$ 에 대하여 $\tilde{A}_{1j},\tilde{B}_{1j},\tilde{C}_{1j}$ 는 $r - 1$ 행을 제외한 나머지 행이 서로 같다. $\tilde{A}_{1j}$ 의 $r-1$ 행은 다음과 같다.

  $$(b_1+kc_1, \dots, b _{j-1}+kc _{j-1}, b _{j+1} + kc _{j+1}, \dots, b_n + kc_n)$$

  이는 $\tilde{B}_{1j}$ 의 $r-1$ 행과 $\tilde{C}_{1j}$ 의 $r-1$ 행의 $k$ 배와의 합이다. $\tilde{B}_{1j}, \tilde{C}_{1j}$ 는 $(n - 1) \times (n - 1)$ 행렬이므로 가정에 의하여 다음이 성립한다.

  $$\det(\tilde{A}_{1j}) = \det(\tilde{B}_{1j}) + k \det(\tilde{C}_{1j})$$

  $r-1$ 행을 제외하면 $A, B, C$ 는 서로 같으므로 $A _{1j} = B _{1j} = C _{1j}$ 이다. 따라서 $\det(A)$ 는 다음과 같다.

  $$\begin{align}\begin{split} \det(A) &= \sum_{j=1}^{n}(-1) ^{1+j}A _{1j} \cdot \det(\tilde{A}_{1j}) \\ &= \sum_{j=1}^{n}(-1) ^{1+j}A _{1j} \cdot ( \det(\tilde{B}_{1j}) + k\det(\tilde{C}_{1j})) \\ &= \sum_{j=1}^{n}(-1) ^{1+j}A _{1j} \cdot \det(\tilde{B}_{1j}) + k\sum_{j=1}^{n}(-1) ^{1+j} A _{1j} \cdot \det(\tilde{C}_{1j}) \\ &= \sum_{j=1}^{n}(-1) ^{1+j}B _{1j} \cdot \det(\tilde{B}_{1j}) + k\sum_{j=1}^{n}(-1) ^{1+j} C _{1j} \cdot \det(\tilde{C}_{1j}) \\ &= \det(B) + k \det(C) \end{split}\end{align} \tag*{}$$

  그러므로 $n \times n$ 행렬에 대해서도 성립한다. ■