Matrix Operation

Elementary Operation✔

• 행연산과 열연산을 기본연산(elementary operation)이라 한다. 또한 기본연산 1), 2), 3) 을 1형(type), 2형, 3형이라 한다.

Elementary Matrix✔

• \(I_n\) 에 1형, 2형, 3형 연산을 하여 얻은 행렬을 각각 1형, 2형, 3형이라 한다.

• 예시

  \(I_3\) 의 1행, 2행을 교환하여 다음 기본행렬을 얻는다.

  \[ E = \begin{pmatrix} 0&1&0\\ 1&0&0\\ 0&0&1\\ \end{pmatrix} \]

• 교환연산은 역연산이 동일하다.

• \(I_n\) 에 기본연산을 적용하여 기본행렬 \(E\) 를 얻었다면, \(E\) 에 기본역연산을 적용하여 다시 \(I_n\) 을 얻을 수 있다.

Properties of Elementary Operation, Elementary Matrix✔

• 이 정리는 어떤 행렬에 기본행연산을 가하는 것이 그 행렬에 적절한 기본행렬을 곱하는 것과 같다는 것을 말해준다.

  첫번째, 두번째 명제는 기본연산에 대응되는 기본행렬이 항상 존재한다는 것과 그 기본행렬을 구하는 방법을 말해준다. 세번째 명제는 기본행렬이 존재할 때 그것이 기본연산과 대응된다는 것을 말해준다.

• 증명

  1형, 2형, 3형 기본행연산에 대하여 정리가 참임을 증명한 다음 전치행렬으로 열연산을 행연산으로 바꾸면 기본열연산에 대한 증명도 끝난다.

• 증명

  \(E\) 를 \(n \times n\) 기본행렬이라 하면 기본행렬의 정의에 의하여 \(I_n\) 에 기본행연산을 적용하여 \(E\) 를 얻을 수 있다.

  이 기본행연산에 대한 기본행역연산을 적용하여 \(E\) 로부터 \(I_n\) 을 얻을 수 있다. 이는 동일한 형(type) 의 행연산에 의하여 \(E\) 를 \(I_n\) 로 변환할 수 있다는 것이다.

  \(E\) 를 \(I_n\) 으로 바꾸는 기본행연산은 정리 3.1 에 의하여 행렬 \(\bar{E}\) 로 표현할 수 있다. 그러므로 \(\bar{E}E = I_n\) 인 기본행렬 \(\bar{E}\) 가 존재한다.

  행렬곱 결과가 항등행렬인 두 정사각행렬은 모두 가역이므로 \(E\) 는 가역이고, \(E ^{-1} = \bar{E}\) 이다. ■

Matrix Rank✔

• 선형변환의 랭크에 대한 성질을 기반으로 행렬의 랭크에 대한 많은 정보를 얻을 수 있다.

Properties of Matrix Rank✔

• 증명

  \(n \times n\) 행렬 \(A\) 와 \(\operatorname{L}_{A}: \mathbf{F} ^{n} \to \mathbf{F} ^{n}\) 는 정리 2.18 따름정리 2 에 의하여 \(A\) 가 가역인 것과 \(\operatorname{L}_{A}\) 가 가역인 것은 동치이다. \(\operatorname{L}_{A}\) 가 가역인 것과 \(\operatorname{rank} (\operatorname{L}_{A}) = \dim (\mathbf{F} ^{n}) = n\) 인 것은 동치이다. 그러므로 행렬의 랭크의 정의에 의하여 \(\operatorname{rank} (A) = n\) 인 것과 \(A\) 가 가역인 것은 동치이다. ■

• "\(n \times n\) 가역행렬의 랭크는 \(n\) 이다" 의 증명

  \(A\) 가 \(n \times n\) 가역행렬이면 다음이 성립한다.

  \[ A ^{-1}A = A ^{-1}A = I_n \]

  정리 3.4 는 임의의 행렬에 가역행렬을 곱하는 것이 행렬의 랭크를 보존한다는 것을 말해준다. 이는 역으로 가역행렬이 곱해진 행렬곱에 가역행렬을 제거해도 행렬의 랭크가 보존됨을 뜻한다. 따라서 다음이 성립한다.

  \[ \operatorname{rank} (I_n) = \operatorname{rank} (A ^{-1}A) = \operatorname{rank} (A) \]

  항등행렬 \(I_n\) 의 랭크는 \(n\) 이다. ■

• 증명

  이 정리 에 의하여 증명이 끝난다. ■

• 이 정리는 가역행렬에 대한 행렬곱 연산이 행렬의 랭크를 보존한다는 것을 말해준다.

  선형변환의 랭크를 찾는 문제는 행렬의 랭크를 찾는 문제로 귀결되는데, 이 정리가 유용한 도구를 제공해준다.

• 증명

  1:

  \(Q\) 가 가역이므로 \(\operatorname{L}_{Q}\) 는 동형사상이다. 따라서 다음을 얻는다.

  \[ \operatorname{im} (\operatorname{L}_{AQ}) = \operatorname{im} (\operatorname{L}_A \operatorname{L}_{Q}) = \operatorname{L}_{A}\operatorname{L}_{Q}(\mathbf{F} ^{n}) = \operatorname{L}_{A}(\operatorname{L}_{Q}(\mathbf{F} ^{n})) = \operatorname{L}_{A}(\mathbf{F} ^{n}) = \operatorname{im} (\operatorname{L}_A) \]

  그러므로 \(AQ\) 의 랭크는 행렬의 랭크의 정의에 의하여 다음과 같다.

  \[ \operatorname{rank} (AQ) = \operatorname{rank} (A) \tag*{▲} \]

  2:

  \(\operatorname{L}_{PA} = \operatorname{L}_{P}\operatorname{L}_{A}\) 에서 \(\operatorname{im} (\operatorname{L}_A)\) 은 \(\mathbf{F} ^{m}\) 의 부분공간이므로 다음이 성립한다.

  \[ \dim (\operatorname{im} (\operatorname{L}_A) ) = \dim (\operatorname{L}_{P}(\operatorname{im} (\operatorname{L}_A) )) = \dim (\operatorname{im} (\operatorname{L}_{P}\operatorname{L}_{A}) ) = \dim (\operatorname{im} (\operatorname{L}_{PA})) \]

  그러므로 \(\operatorname{rank} (A) = \operatorname{rank} (PA)\) 이다. ▲

  3:

  \[ \operatorname{rank} (PAQ) = \operatorname{rank} (AQ) = \operatorname{rank} (A) \tag*{■} \]

• 증명

  행렬에 기본행[열]연산을 적용하는 것은 정리 3.2 에 의하여 기본행렬에 대한 행렬곱을 취하는 것이다. 기본행렬은 가역이므로 정리 3.4 에 의하여 랭크가 보존된다. ■

• 우리는 행렬의 랭크를 보존하는 행렬연산 하나를 밝혀내었다. 따라서 랭크를 구하기 쉽게 변형된 행렬을 알아본다.

• 보통 행렬 \(A\) 의 랭크를 구할 때 \(A\) 에 기본행[열]연산을 적용하여 일차독립인 열의 개수를 구할 수 있도록 만든 다음 이 정리를 사용한다.

  기본연산을 적용하여 일차독립인 열을 어떻게 구할 수 있게 하냐면, 그냥 \(0\) 인 성분이 최대한 많이 나오게 하면 된다.

• 예시

  행렬 \(A = \begin{pmatrix} 1&2&1\\ 1&0&3\\ 1&1&2\\ \end{pmatrix} \implies \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&-2&2\\ 0&-1&1\\ \end{pmatrix}\) 이므로 \(\operatorname{rank} (A) = 2\) 이다.

• 증명

  \(A \in \mathbf{F}^{m \times n}\) 에 대하여 다음이 성립한다.

  \[ \operatorname{rank} (A) = \operatorname{rank} (\operatorname{L}_{A}) = \dim (\operatorname{im} (\operatorname{L}_A) ) \]

  \(\mathbf{F} ^{n}\) 의 표준 순서기저 \(\beta\) 는 \(\mathbf{F} ^{n}\) 를 생성한다. 정리 2.2 에 의하여 다음이 성립한다.

  \[ \operatorname{im} (\operatorname{L}_A) = \operatorname{span} (\operatorname{L}_{A}(\beta )) = \operatorname{span} (\{\operatorname{L}_{A}(e_1), \operatorname{L}_{A}(e_2), \dots, \operatorname{L}_{A}(e_n)\}) \]

  정리 2.13 - 2 에 의하여 \(A\) 의 \(j\) 열 \(a_j\) 에 대하여 \(\operatorname{L}_{A}(e_j) = Ae_j = a_j\) 이다. 따라서 다음이 성립한다.

  \[ \operatorname{rank} (A) = \dim (\operatorname{im} (\operatorname{L}_A)) = \dim (\operatorname{span} (\{a_1, a_2, \dots, a_n \})) \tag*{■} \]

• 예시

  행렬 \(A = \begin{pmatrix} 1&0&1\\ 0&1&1\\ 1&0&1\\ \end{pmatrix}\) 의 1열과 2열은 일차독립이고 3열은 두 열의 일차결합이다. 그러므로 다음이 성립한다.

  \[ \operatorname{rank} (A) = \dim \Bigg (\operatorname{span} \Bigg (\Bigg \{\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 1\\ \end {pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0\\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1\\ \end{pmatrix} \Bigg \}\Bigg ) \Bigg ) = 2 \]

• 증명

  \(\operatorname{rank} (A) = 0\) 을 가정하자. \(A\) 의 \(j\) 번째 열벡터 \(a_j\) 에 대하여 \(a_j \neq 0\) 이면 스칼라 \(c\) 에 대하여 \(ca_j = 0\) 가 되기 위해서는 반드시 \(c = 0\) 이어야 한다. 그러면 일차독립의 정의에 의하여 집합 \(\{a_j\}\) 은 일차독립이다. 그러나 정리 3.5 에 의하여 극대 일차독립 집합의 기수가 \(0\) 이므로 이는 모순이다. 따라서 \(a_j = 0\) 이다. 이는 \(A = O\) 임을 뜻한다. ▲

  \(A = O\) 을 가정하면 극대 일차독립 집합이 공집합이므로 \(\operatorname{rank} (A) = 0\) 이 바로 나온다. ■

Finding Matrix Rank✔

• 증명

  다음과 같은 행렬 \(B\) 의 1열은 다른 1열의 일차결합으로 표현될 수 없으므로 극대 일차독립 집합에 포함된다.

  \[ B = \begin{pmatrix} 1&0&\dots&0\\ 0&B_{22}&\dots&B_{2n}\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots \\ 0&B_{n2}&\dots&B_{nn}\\ \end{pmatrix} \]

  따라서 행렬 \(B\) 의 랭크는 다음 행렬 \(B'\) 의 극대 일차독립 집합의 기수에 \(1\) 을 더한 것이다. 즉, \(1 + \operatorname{rank} (B') = \operatorname{rank} (B)\) 이다.

  \[ B' = \begin{pmatrix} B_{22}&\dots&B_{2n}\\ \vdots& \ddots& \vdots \\ B_{n2}&\dots&B_{nn}\\ \end{pmatrix} \]

  그러므로 \(\operatorname{rank} (B) = r \implies \operatorname{rank} (B') = r-1\) 이다.

• 증명

  \(B'\) 를 \(D'\) 로 바꾸는 기본연산을 \(B\) 에 동일하게 적용해도 \(B\) 의 1행과 1열은 각각 보존된다. 그러므로 \(B\) 에 기본연산을 유한번 적용하여 \(D\) 로 변환할 수 있다.

  더 나아가서 그 기본연산은 \(B'\) 을 \(D'\) 으로 변환시키는 기본연산과 같다.

• 지금 정리 3.5 로부터 계속 하고 있는 일은 행렬의 랭크를 쉽게 구할 수 있도록 행렬의 랭크를 보존하면서 변형시킬 수 있는 방법들을 정리하는 것이다.

• 다음 예시는 \(A\) 를 \(D\) 로 변형시키는 과정이 먼저 1행을 항등행렬의 1행과 같이 만들고, 2행을 항등행렬의 2행과 같이 만들기를 반복하는 것임을 말해준다.

• 예시

  다음과 같은 행렬 \(A\) 를 \(D\) 로 변형시켜보자.

  \[ A = \begin{pmatrix} 0&2&4&2&2\\ 4&4&4&8&2\\ 8&2&0&10&2\\ 6&3&2&9&1\\ \end{pmatrix} \]

  다음은 \(A\) 에 기본행[열]연산을 계속 적용하여 \(D\) 를 얻는 과정을 보여준다.

  \[ \begin{pmatrix} 0&2&4&2&2\\ 4&4&4&8&2\\ 8&2&0&10&2\\ 6&3&2&9&1\\ \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 4&4&4&8&2\\ 0&2&4&2&2\\ 8&2&0&10&2\\ 6&3&2&9&1\\ \end{pmatrix} \]
  \[ \to \begin{pmatrix} 1&1&1&2&0\\ 0&2&4&2&2\\ 8&2&0&10&2\\ 6&3&2&9&1\\ \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1&1&1&2&0\\ 0&2&4&2&2\\ 0&-6&-8&-6&2\\ 0&-3&-4&-3&1\\ \end{pmatrix} \]
  \[ \to\begin{pmatrix} 1&0&0&0&0\\ 0&2&4&2&2\\ 0&-6&-8&-6&2\\ 0&-3&-4&-3&1\\ \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1&0&0&0&0\\ 0&1&2&1&1\\ 0&-6&-8&-6&2\\ 0&-3&-4&-3&1\\ \end{pmatrix} \]
  \[ \to\begin{pmatrix} 1&0&0&0&0\\ 0&1&2&1&1\\ 0&0&4&0&8\\ 0&0&2&0&4\\ \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1&0&0&0&0\\ 0&1&0&0&0\\ 0&0&4&0&8\\ 0&0&2&0&4\\ \end{pmatrix} \]
  \[ \to\begin{pmatrix} 1&0&0&0&0\\ 0&1&0&0&0\\ 0&0&1&0&2\\ 0&0&2&0&4\\ \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1&0&0&0&0\\ 0&1&0&0&0\\ 0&0&1&0&2\\ 0&0&0&0&0\\ \end{pmatrix} \]
  \[ \to\begin{pmatrix} 1&0&0&0&0\\ 0&1&0&0&0\\ 0&0&1&0&0\\ 0&0&0&0&0\\ \end{pmatrix} = D \]

  그러면 정리 3.4 따름정리로부터 \(\operatorname{rank} (A) = \operatorname{rank} (D) = 3\) 이다.

• 증명

  \(A = O\) 이면 \(r = 0\) 이므로 \(D = A\) 가 되고 더 이상 증명할 것이없다. ▲

  \(A \neq O\) 일 때 \(r = \operatorname{rank} (A) > 0\) 이다. \(A\) 의 행의 개수 \(m\) 에 대하여 수학적 귀납법을 사용하자.

  \(m = 1\) 일 때 \(A_{11} \neq 0\) 일 경우 기본열연산 2형으로 \(A_{11} \to 1\) 로 만들 수 있다. \(A_{11} = 0\) 일 경우 기본열연산 1형과 2형으로 \(A_{11} \to 1\) 로 만들 수 있다. 그러면 기본열연산 3형을 통하여 \(A\) 를 다음과 같이 만들 수 있다.

  \[ A \to \begin{pmatrix} 1&0&\dots&0\\ \end{pmatrix} = D = \begin{pmatrix} I_1&O_1\\ \end{pmatrix} \]

  정리 3.4 따름정리 와 정리 3.5 에 의하여 \(\operatorname{rank} (A) = 1\) 이다. ▲

  \(m > 1\) 일 때 \(m - 1\) 에 대하여 성립한다는 것을 가정하자. \(A\) 가 \(m \times m\) 행렬이라고 하자. \(n = 1\) 이면 \(m = 1\) 일 때의 증명과 비슷하게 증명이 끝난다. ▲

  \(n > 1\) 을 가정하자. \(A \neq O\) 이므로 어떤 \(i, j\) 에 대하여 \(A _{ij} \neq 0\) 이다. 따라서 기본행연산 1형과 기본열연산 1형을 최대 한 번 적용하여 1행 1열을 \(0\) 이 아닌 성분으로 만들 수 있다. 그러므로 기본연산 2형을 통하여 1행 1열의 성분을 \(1\) 로 만들 수 있다.

  그러면 기본행연산 3형과 기본열연산 3형을 통하여 1행과 1열에서 1행 1열 성분을 제외하고 모두 다 \(0\) 으로 만들 수 있다. 즉, \(A \neq O\) 에 기본연산을 유한번 적용하여 다음 행렬 \(B\) 를 얻는다.

  \[ B = \left(\begin{array}{c|ccc} 1 & 0 & \dots & 0 \\ \hline 0 & & & \\ \vdots & & B' & \\ 0 & & & \\ \end{array}\right) \]

  그러면 \(\operatorname{rank} (B') = \operatorname{rank} (B) - 1 = \operatorname{rank} (A) - 1 = r - 1\) 이다.

  \(m - 1\) 에 대하여 본 정리가 성립한다는 가정에 의하여 \(r - 1 \leq m - 1, r - 1 \leq n - 1\) 이므로 \(r \leq m, r \leq n\) 이다.

  \(m - 1\) 에 대하여 본 정리가 성립한다는 가정에 의하여 \((m - 1) \times (n - 1)\) 행렬인 \(B'\) 에 대하여 본 정리가 성립하므로 \(B'\) 를 영행령 \(O_4, O_5, O_6\) 에 대하여 다음과 같은 행렬로 바꿀 수 있다.

  \[ D' = \begin{pmatrix} I _{r-1} & O_4\\ O_5 & O_6\\ \end{pmatrix} \]

  이때 행렬 \(D\) 를 다음과 같이 두자.

  \[ D = \left(\begin{array}{c|ccc} 1 & 0 & \dots & 0 \\ \hline 0 & & & \\ \vdots & & D' & \\ 0 & & & \\ \end{array}\right) \]

  \(B\) 에 기본연산을 유한번 적용하여 \(D\) 를 얻을 수 있다면 증명이 끝난다. 본 정리가 \(m - 1\) 에 대해서는 성립하므로 \(B'\) 에 기본연산을 유한 번 적용하여 그것을 \(D'\) 으로 바꿀 수 있다. 그러므로 \(B\) 에 기본연산을 유한번 적용하여 \(D\) 로 바꿀 수 있다.

  \(A\) 에 기본연산을 적용하여 그것을 \(B\) 로 변환할 수 있으므로 결국 \(A\) 에 기본연산을 적용하여 그것을 \(D\) 로 바꿀 수 있다. ▲

  3) 은 정리 3.4 따름정리 에서 바로 나온다. ■

• 증명

  정리 3.6 은 \(A\) 에 기본연산을 적용하여 그것을 \(D\) 로 변환시킬 수 있음을 말해준다. 이때 정리 3.1 에 의하여 기본행연산은 \(A\) 의 우측에 곱해지는 행렬곱으로, 기본열연산은 \(A\) 의 좌측에 곱해지는 행렬곱으로 표현가능하다. 즉, \(m \times m\) 기본행렬 \(E_1, E_2, \dots, E_p\) 와 \(n \times n\) 기본행렬 \(G_1, G_2, \dots, G_q\) 에 대하여 다음이 성립한다.

  \[ D = E_p E _{p-1} \dots E_2 E_1 A G_1 G_2 \dots G_q \]

  문제 2.4 - 4 에 의하여 다음과 같은 행렬 \(B, C\) 는 가역이다.

  \[ B = E_p E _{p-1} \dots E_2 E_1 \]
  \[ C = G_1 G_2 \dots G_q \]

  또한 \(D = BAC\) 이다. ■

• 증명

  정리 3.6 따름정리 1 에 의하여 \(D = BAC\) 인 가역행렬 \(B, C\) 가 존재한다. 이 행렬의 전치는 다음과 같다.

  \[ D ^{\top} = (BAC) ^{\top} = C ^{\top}A ^{\top}B ^{\top} \]

  문제 2.4-5 에 의하여 \(B ^{\top}, C ^{\top}\) 는 가역이다. 정리 3.4 에 의하여 다음이 성립한다.

  \[ \operatorname{rank} (A ^{\top}) = \operatorname{rank} (C ^{\top}A ^{\top}B ^{\top}) = \operatorname{rank} (D ^{\top}) \]

  \(\operatorname{rank} (A) = r\) 이라고 하자. \(D ^{\top}\) 는 \(n \times m\) 행렬로써 \(D\) 의 전치이므로 영행렬 \(O, O', O''\) 에 대하여 다음의 꼴이다.

  \[ D ^{\top} = \begin{pmatrix} I_r&O\\ O'&O''\\ \end{pmatrix} \]

  정리 3.6 에 의하여 \(\operatorname{rank} (A) = r = \operatorname{rank} (D)\) 인데 \(D\) 의 전치는 \(I_r\) 을 보존하므로 정리 3.5 에 의하여 \(\operatorname{rank} (D) = \operatorname{rank} (D ^{\top})\) 이다. 따라서 다음이 성립한다.

  \[ \operatorname{rank} (A ^{\top}) = \operatorname{rank} (D ^{\top}) = r = \operatorname{rank} (A) \]

  이로써 1) 이 증명되었다. ▲

  2) 는 행렬의 열에 대한 극대 일차독립 집합에 대한 정리 3.5 를 단지 행에 대한 극대 일차독립 집합에 대한 명제로 바꾼 것이다. 정리 3.5 와 1) 이 참이라면 2) 는 1) 에서 바로 나온다. ▲

  3) 은 정리 3.5 와 2) 에서 바로 나온다. ■

• 증명

  \(n \times n\) 가역행렬 \(A\) 의 랭크는 \(n\) 이다. 정리 3.6 따름정리 1 은 \(A\) 를 \(D\) 로 변환했을 때 \(D = I_n\) 임을 말해준다. 그러면 \(I_n = BAC\) 인 가역행렬 \(B, C\) 가 존재한다.

  정리 3.6 따름정리 1 의 증명과정에 의하면 가역행렬 \(B, C\) 은 다음과 같은 기본행렬의 곱이다.

  \[ B = E_p E _{p-1} \dots E_2 E_1 \]
  \[ C = G_1 G_2 \dots G_q \]

  따라서 \(A = B ^{-1}I_n C ^{-1} = B ^{-1}C ^{-1}\) 이고, 문제 2.4-4 에 의하여 다음이 성립한다.

  \[ A = E_1 ^{-1} E _2 ^{-1}\dots E_p ^{-1} G_q ^{-1} G _{q-1} ^{-1}\dots G_1 ^{-1} \]

  정리 3.2 에 의하여 기본행렬의 역행렬도 기본행렬이다. 그러므로 \(A\) 는 기본행렬의 곱이다. ■

Rank of Matrix Multiplication✔

• 이제 정리 3.4 따름정리, 정리 3.5, 정리 3.6, 정리 3.6 따름정리 2 을 기반으로 임의의 행렬의 랭크를 쉽게 구할 수 있는 많은 도구들이 마련되었다.

  이 도구들을 통하여 기본연산을 행렬에 적용하여 \(0\) 을 최대한 많이 가지도록 변형시키고 그 행렬의 극대 일차독립 집합의 기수를 파악하면 랭크를 쉽게 구할 수 있다.

• 예시

  행렬 \(A = \begin{pmatrix} 1&2&1&1\\ 1&1&-1&1\\ \end{pmatrix}\) 의 1행과 2행의 집합은 일차독립이므로 \(\operatorname{rank} (A) = 2\) 이다.

• 예시

  행렬 \(A = \begin{pmatrix} 1&2&3&1\\ 2&1&1&1\\ 1&-1&1&0\\ \end{pmatrix}\) 에 기본연산을 적용하여 다음과 같이 변형할 수 있다.

  \[ A \to \begin{pmatrix} 1&2&3&1\\ 0&-3&-5&-1\\ 0&-3&-2&-1\\ \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1&2&3&1\\ 0&-3&-5&-1\\ 0&0&3&0\\ \end{pmatrix} \]

  3개의 행이 일차독립이므로 \(\operatorname{rank} (A) = 3\) 이다.

• 위 예시에서 알 수 있듯이 굳이 정리 3.6 이 말하는 \(D = \begin{pmatrix} I&O\\ O&O\\ \end{pmatrix}\) 을 얻을 때까지 기본연산을 하는 것이 아니라 일차독립인 행 또는 열들의 최대 갯수가 명확히 보일 때까지 기본연산을 해도 된다.

• 증명

  1:

  \(\operatorname{im} (\operatorname{T}) \subseteq \mathbf{W}\) 이므로 다음이 성립한다.

  \[ \operatorname{im} (\operatorname{U}\operatorname{T} ) = \operatorname{U} \operatorname{T} (\mathbf{V} ) = \operatorname{U} (\operatorname{T} (\mathbf{V} )) = \operatorname{U} (\operatorname{im} (\operatorname{T}) ) \subseteq \operatorname{U} (\mathbf{W} ) = \operatorname{im} (\operatorname{U}) \]

  따라서 \(\operatorname{rank} (\operatorname{U} \operatorname{T} )\) 는 다음과 같다.

  \[ \operatorname{rank} (\operatorname{U} \operatorname{T} ) = \dim (\operatorname{im} (\operatorname{U}\operatorname{T} ) )\leq \dim (\operatorname{im} (\operatorname{U}) ) = \operatorname{rank} (\operatorname{U} ) \]

  3:

  이제 1) 을 가정할 수 있으므로 \(\operatorname{rank} (AB)\) 는 다음과 같다.

  \[ \operatorname{rank} (AB) = \operatorname{rank} (\operatorname{L}_{AB}) = \operatorname{rank} (\operatorname{L}_{A}\operatorname{L}_{B}) \leq \operatorname{rank} (\operatorname{L}_{A}) = \operatorname{rank} (A) \]

  4:

  이제 3) 을 가정할 수 있으므로 3) 과 정리 3.6 따름정리 2 에 의하여 다음이 성립한다.

  \[ \operatorname{rank} (AB) = \operatorname{rank} ((AB)^{\top}) = \operatorname{rank} (B ^{\top}A ^{\top}) \leq \operatorname{rank} (B ^{\top}) = \operatorname{rank} (B) \]

  2:

  이제 4) 를 가정할 수 있다.

  \(\mathbf{V} , \mathbf{W} , \mathbf{Z}\) 의 순서기저 \(\alpha , \beta , \gamma\) 에 대하여 \(A' = [\operatorname{U} ]^{\gamma}_{\beta} , B' = [\operatorname{T} ] ^{\beta }_{\alpha }\) 라 하면 정리 2.11 에 의하여 \(A'B' = [\operatorname{U} \operatorname{T} ] ^{\gamma}_{\alpha }\) 이다.

  정리 3.3 과 4) 에 의하여 다음이 성립한다.

  \[ \operatorname{rank} (\operatorname{U} \operatorname{T} ) = \operatorname{rank} (A'B') \leq \operatorname{rank} (B') = \operatorname{rank} (\operatorname{T} ) \tag*{■} \]

Finding Inverse Matrix✔

• 증명

  \(A\) 의 열을 \(p\), \(B\) 의 열을 \(q\) 라고 하면 \(A\) 는 \(n \times p\) 행렬, \(B\) 는 \(n \times q\) 행렬이다.

  또한 \((A|B)\) 는 \(n \times (p + q)\) 행렬, \(M(A|B)\) 는 \(m \times (p + q)\) 행렬이다. 다음이 성립한다.

  \[ \begin{align}\begin{split} &M(A|B)= \\ &\begin{pmatrix} M_{11}&M_{12}&\dots&M_{1n}\\ M_{21}&M_{22}&\dots&M_{2n}\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots \\ M_{m1}&M_{m2}&\dots&M_{mn}\\ \end{pmatrix} \left(\begin{array}{cccc|cccc} A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1p} & B_{11} & B_{12} & \dots & B_{1q} \\ A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2p} & B_{21} & B_{22} & \dots & B_{2q} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots& \vdots& \ddots& \vdots \\ A_{n1} & A_{n2} & \dots & A_{np} & B_{n1} & B_{n2} & \dots & B_{nq} \\ \end{array}\right) \\ &= \begin{pmatrix} \sum_{i=1}^{n}M_{1i}A_{i1}& \dots& \sum_{i=1}^{n}M_{1i}A_{ip}& \sum_{i=1}^{n}M_{1i}B_{i1}& \dots& \sum_{i=1}^{n}M_{1i}B_{iq}& \\ \sum_{i=1}^{n}M_{2i}A_{i1}& \dots& \sum_{i=1}^{n}M_{2i}A_{ip}& \sum_{i=1}^{n}M_{2i}B_{i1}& \dots& \sum_{i=1}^{n}M_{2i}B_{iq}& \\ \vdots& \ddots& \vdots& \vdots & \ddots & \vdots& \\ \sum_{i=1}^{n}M_{mi}A_{i1}& \dots& \sum_{i=1}^{n}M_{mi}A_{ip}& \sum_{i=1}^{n}M_{mi}B_{i1}& \dots& \sum_{i=1}^{n}M_{mi}B_{iq}& \\ \end{pmatrix} \end{split}\end{align} \tag*{} \]

  \(m \times p\) 행렬 \(MA\) 와 \(m \times q\) 행렬 \(MB\) 는 다음과 같다.

  \[ \begin{align}\begin{split} MA &= \begin{pmatrix} M_{11}&M_{12}&\dots&M_{1n}\\ M_{21}&M_{22}&\dots&M_{2n}\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots \\ M_{m1}&M_{m2}&\dots&M_{mn}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A_{11}&A_{12}&\dots&A_{1p}\\ A_{21}&A_{22}&\dots&A_{2p}\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots \\ A_{n1}&A_{n2}&\dots&A_{np}\\ \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \sum_{i=1}^{n}M_{1i}A_{i1}& \dots& \sum_{i=1}^{n}M_{1i}A_{ip} \\ \sum_{i=1}^{n}M_{2i}A_{i1}& \dots& \sum_{i=1}^{n}M_{2i}A_{ip} \\ \vdots& \ddots& \vdots& \\ \sum_{i=1}^{n}M_{mi}A_{i1}& \dots& \sum_{i=1}^{n}M_{mi}A_{ip}\\ \end{pmatrix} \end{split}\end{align} \tag*{} \]
  \[ \begin{align}\begin{split} MB &= \begin{pmatrix} M_{11}&M_{12}&\dots&M_{1n}\\ M_{21}&M_{22}&\dots&M_{2n}\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots \\ M_{m1}&M_{m2}&\dots&M_{mn}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B_{11}&B_{12}&\dots&B_{1q}\\ B_{21}&B_{22}&\dots&B_{2q}\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots \\ B_{n1}&B_{n2}&\dots&B_{nq}\\ \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \sum_{i=1}^{n}M_{1i}B_{i1}& \dots& \sum_{i=1}^{n}M_{1i}B_{iq} \\ \sum_{i=1}^{n}M_{2i}B_{i1}& \dots& \sum_{i=1}^{n}M_{2i}B_{iq} \\ \vdots& \ddots& \vdots& \\ \sum_{i=1}^{n}M_{mi}B_{i1}& \dots& \sum_{i=1}^{n}M_{mi}B_{iq}\\ \end{pmatrix} \end{split}\end{align} \tag*{} \]

  따라서 다음이 성립한다.

  \[ M(A|B) = (MA|MB) \tag*{■} \]

• 증명

  1:

  \(n \times n\) 가역행렬 \(A\) 에 대하여 \(n \times 2n\) 첨가행렬 \(C = (A|I_n)\) 을 가정하자. 문제 3.2-15 에 의하여 다음이 성립한다.

  \[ A ^{-1}C = (A ^{-1}A|A ^{-1}I_n) = (I_n | A ^{-1}) \]

  정리 3.6 따름정리 3 에 의하여 \(A ^{-1}\) 은 기본행렬의 곱이다. \(A ^{-1} = E_p \dots E_1\) 으로 두면 다음이 성립한다.

  \[ A ^{-1}C = E_p \dots E_1 C = E_p \dots E_1 (A|I_n) = (I_n | A ^{-1}) \]

  기본행렬을 좌측에 곱하는 것은 기본행연산을 적용하는 것이므로 이 결과를 다음과 같이 정리할 수 있다.

  \(A\) 가 \(n \times n\) 가역행렬이면 행렬 \((A|I_n)\) 에 기본행연산을 유한 번 적용하여 \((I_n|A ^{-1})\) 으로 변형할 수 있다. ▲

  역으로 가역행렬 \(A\) 에 대하여 \((A|I_n)\) 에 기본행연산을 유한 번 적용하여 \((I_n|B)\) 로 변형할 수 있는 \(n \times n\) 행렬 \(B\) 가 존재한다고 하면, 정리 3.1 에 의하여 기본행연산들을 기본행렬 \(E_1, \dots, E_p\) 로 나타낼 수 있으므로 다음이 성립한다.

  \[ E_p \dots E_1 (A|I_n) = (I_n | B) \]

  \(M = E_p \dots E_1\) 로 두면 문제 3.2-15 에 의하여 다음이 성립한다.

  \[ M(A|I_n) = (MA|M) = (I_n | B) \]

  따라서 \(MA = I_n, M = B\) 이므로 \(M = B = A ^{-1}\) 이다. 이 결과를 다음과 같이 정리할 수 있다.

  \(n \times n\) 가역행렬 \(A\) 에 대하여 첨가행렬 \((A|I_n)\) 에 기본행연산을 유한번 적용하여 \((I_n|B)\) 로 변형할 수 있으면 \(B = A ^{-1}\) 이다. ■

  2:

  \(A\) 가 가역이 아니면 \(\operatorname{rank} (A) < n\) 이다. 또한 기본행연산으로 \((A|I_n)\) 을 \((I_n|B)\) 로 변형할 수 없다. 기본행연산은 행렬의 랭크를 보존하므로 \(\operatorname{rank} (A) = n\) 이 되는데 이는 모순이기 때문이다. 이때 \(A\) 를 변형하면 모든 성분이 \(0\) 인 행을 포함하는 행렬을 얻는다.

  아래의 예시를 살펴보자.

• 예시

  행렬 \(A = \begin{pmatrix} 0&2&4\\ 2&4&2\\ 3&3&1\\ \end{pmatrix}\) 에 대하여 \((A|I_n)\) 을 \((I_n|A ^{-1})\) 로 변형시켜보자.

  \[ \begin{pmatrix} 0&2&4&1&0&0\\ 2&4&2&0&1&0\\ 3&3&1&0&0&1\\ \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 2&4&2&0&1&0\\ 0&2&4&1&0&0\\ 3&3&1&0&0&1\\ \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1&2&1&0&\frac{1}{2}&0\\ 0&2&4&1&0&0\\ 3&3&1&0&0&1\\ \end{pmatrix} \to \]
  \[ \begin{pmatrix} 1&2&1&0&\frac{1}{2}&0\\ 0&2&4&1&0&0\\ 0&-3&-2&0&-\frac{3}{2}&1\\ \end{pmatrix} \to \dots \to \begin{pmatrix} 1&0&0&\frac{1}{8}&-\frac{1}{8}&\frac{3}{4}\\ 0&1&0&-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}&-\frac{1}{2}\\ 0&0&1&\frac{3}{8}&-\frac{3}{8}&\frac{1}{4}\\ \end{pmatrix} \]

  따라서 \(A\) 의 역행렬은 다음과 같다.

  \[ A ^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{8}&-\frac{1}{8}&\frac{3}{4}\\ -\frac{1}{4}&\frac{3}{4}&-\frac{1}{2}\\ \frac{3}{8}&-\frac{3}{8}&\frac{1}{4}\\ \end{pmatrix} \]

• 예시

  행렬 \(A = \begin{pmatrix} 1&2&1\\ 2&1&-1\\ 1&5&4\\ \end{pmatrix}\) 에 대하여 \((A|I_n)\) 을 \((I_n|A ^{-1})\) 로 변형시켜보자.

  \[ \begin{pmatrix} 1&2&1&1&0&0\\ 2&1&-1&0&1&0\\ 1&5&4&0&0&1\\ \end{pmatrix} \to \dots \to \begin{pmatrix} 1&2&1&1&0&0\\ 0&-3&-3&-2&1&0\\ 0&0&0&-3&1&1\\ \end{pmatrix} \]

  마지막 행렬의 3행의 앞쪽 \(n = 3\) 개의 성분이 모두 \(0\) 인 행을 가진 행렬을 얻었다. 따라서 \(A\) 의 역행렬은 존재하지 않는다.

• 이 정리로써 행렬이 가역인지 판단하고, 가역이면 역행렬을 구할 수 있다. 그런데 정리 2.18 로써 선형변환의 가역성과 행렬의 가역성이 연결되었었다. 따라서 이 정리를 기반으로 선형변환의 가역성과 역변환도 밝힐 수 있다.

• 예시

  선형변환 \(\operatorname{T} : \mathbf{P}_{2}(\R) \to \mathbf{P}_{2}(\R)\) 이 다음과 같이 정의되었다고 하자.

  \[ \operatorname{T} (f(x)) = f(x) + f'(x) + f''(x) \]

  \(\mathbf{P}_{2}(\R)\) 의 표준 순서기저를 \(\beta = \{1, x, x ^{2}\}\) 라고 하면 선형변환의 행렬표현 에 의하여 다음이 성립한다.

  \[ f(1) = 1 = 1 \cdot 1 + 0 \cdot x + 0 \cdot x ^{2} \]
  \[ f(x) = 1 = 1 \cdot 1 + 1 \cdot x + 0 \cdot x ^{2} \]
  \[ f(x ^{2}) = 1 = 2 \cdot 1 + 2 \cdot x + 1 \cdot x ^{2} \]
  \[ [\operatorname{T} ]_{\beta } = \begin{pmatrix} 1&1&2\\ 0&1&2\\ 0&0&1\\ \end{pmatrix} \]

  본 정리의 방법을 사용하여 \(([\operatorname{T} ] _{\beta }|I_3)\) 를 \((I_3 | ([\operatorname{T} ]_{\beta } )^{-1})\) 으로 변형하면 다음을 얻는다.

  \[ ([\operatorname{T} ]_{\beta }) ^{-1} = \begin{pmatrix} 1&-1&0\\ 0&1&-2\\ 0&0&1\\ \end{pmatrix} \]

  즉, \(([\operatorname{T} ]_{\beta }) ^{-1}\) 는 가역이다. 그러면 정리 2.18 따름정리 1 에 의하여 \(\operatorname{T}\) 도 가역이고 \(([\operatorname{T} ]_{\beta }) ^{-1} = [\operatorname{T} ^{-1}] _{\beta }\) 이다.

  그러면 스칼라 \(a_0, a_1, a_2\) 와 정리 2.14 에 의하여 다음을 얻는다.

  \[ [\operatorname{T} ^{-1}(a_0 + a_1x + a_2 x ^{2})] _{\beta } = \begin{pmatrix} 1&-1&0\\ 0&1&-2\\ 0&0&1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_0\\ a_1\\ a_2\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_0-a_1\\ a_1-2a_2\\ a_2\\ \end{pmatrix} \]

  따라서 다음과 같이 \(\operatorname{T}\) 의 역변환까지 알 수 있다.

  \[ \operatorname{T} ^{-1}(a_0 + a_1x + a_2x ^{2}) = (a_0 - a_1) + (a_1 - 2a_2)x + a_2 x ^{2} \]

• 증명

  1:

  \(u = (a_1, a_2), v = (b_1, b_2), A = \begin{pmatrix} a_1&a_2\\ b_1&b_2\\ \end{pmatrix}\) 라고 하자. \(\{u, v\}\) 가 일차독립이라는 가정으로부터 다음이 성립한다.

  \[ c_1(a_1, a_2) + c_2(b_1, b_2) = 0 \implies c_1 = c_2 = 0 \]

  이는 다음이 성립함을 뜻한다.

  \[a_1 \neq 0 \land b_1 \neq 0\]
  \[a_2 \neq 0 \land b_2 \neq 0\]

  그러므로 다음이 성립한다.

  \[ \begin{pmatrix} a_1&a_2\\ b_1&b_2\\ \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} a_1b_1&a_2b_1\\ a_1b_1&a_1b_2\\ \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} a_1b_1&a_2b_1\\ 0&a_1b_2 - a_1b_1\\ \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1& \frac{a_2b_1}{a_1b_1} \\ 0&1\\ \end{pmatrix} \to I_2 \]

  유한번의 기본행연산으로 \(A\) 를 항등행렬로 변환하였으므로 \(A\) 는 가역이다.

  2:

  \(\{u, v\}\) 가 일차종속이라는 가정으로부터 다음이 성립한다.

  \[ v = cu \]

  그러므로 다음이 성립한다.

  \[ A = \begin{pmatrix} a_1&a_2\\ b_1&b_2\\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_1&a_2\\ ca_1&ca_2\\ \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} a_1&a_2\\ 0&0\\ \end{pmatrix} \]

  \(A\) 를 항등행렬로 변환할 수 없으므로 \(A\) 는 가역이 아니다.

System of Linear Equation✔

• \(n\) 개의 미지수와 \(m\) 개의 일차방정식에 대한 계수행렬은 \(m \times n\) 행렬이다. 이는 선형변환 \(\operatorname{L}_{A}: \mathbf{F} ^{n} \to \mathbf{F} ^{m}\) 에 대응된다.

• 해는 존재할 수도 있고 존재하지 않을 수도 있다. 해가 존재한다면 유일할 수도 있고 유일하지 않을 수도 있다.

• 그러므로 연립일차방정식을 풀기 위하여 해가 존재하는지 살펴보고, 존재하는 모든 해를 구할 수 있어야 한다.

Properties of System of Linear Equation✔

• 증명

  \(\mathbf{K} = \{s \in \mathbf{F} ^{n} : As = 0\} = \ker (\operatorname{L}_A)\) 인 것과 차원정리 와 행렬의 랭크의 정의의하여 증명이 끝난다. ■

• 예시

  다음과 같은 연립일차방정식이 존재한다.

  \[ x_1 + 2x_2 + x_3 = 0 \]
  \[ x_1 - x_2 - x_3 = 0 \]

  계수행렬 \(A = \begin{pmatrix} 1&2&1\\ 1&-1&-1\\ \end{pmatrix}\) 에 대하여 \(\operatorname{rank} (A) = 2\) 이다. 해집합 \(\mathbf{K}\) 에 대하여 \(\dim (\mathbf{K} ) = 3 - 2 = 1\) 이므로 영벡터가 아닌 임의의 해가 \(\mathbf{K}\) 의 기저가 된다. 가령 \(\begin{pmatrix} 1\\ -2\\ 3\\ \end{pmatrix}\) 이 해이므로 \(\operatorname{span} \Bigg \{\begin{pmatrix} 1\\ -2\\ 3\\ \end{pmatrix}\Bigg \} = \mathbf{K}\) 이다.

• 이 정리는 일차방정식보다 미지수가 많으면 영이 아닌 벡터가 해로 존재한다는 것을 말해준다.

• 증명

  \(m < n\) 을 가정하고 \(\mathbf{K} = \ker (\operatorname{L}_A)\) 으로 두자.

  연립일차방정식이 \(n\) 개의 미지수와 \(m\) 개의 일차방정식을 가지므로 \(A\) 는 \(m \times n\) 계수행렬이다. 그러므로 \(\operatorname{L}_{A}\) 는 \(\mathbf{F} ^{n} \to \mathbf{F} ^{m}\) 위에서 정의된 좌측 곱 변환이다. \(\operatorname{L}_{A}\) 의 상공간은 \(\mathbf{F} ^{m}\) 의 부분공간이다. 정리 1.11 와 행렬의 랭크의 정의에 의하여 다음이 성립한다.

  \[ \operatorname{rank} (A) = \operatorname{rank} (\operatorname{L}_{A}) \leq m \]

  정리 3.8 에 의하여 다음이 성립한다.

  \[ \dim (\mathbf{K} ) = n - \operatorname{rank} (\operatorname{L}_{A}) \geq n - m > 0 \]

  이는 \(\mathbf{K} \neq \{0\}\) 임을 뜻하고, 이에따라 영이 아닌 벡터 \(s \in \mathbf{K}\) 가 존재한다. ■

• 이 정리는 비동차 연립일차방정식의 해집합을 동차 연립일차방정식의 해집합과 연결시켜준다.

• 증명

  \(Ax + b\) 의 임의의 해 \(s \in \mathbf{K}\) 를 택하자.

  \(w \in \mathbf{K}\) 를 가정하면 \(Aw = b\) 이다. 그러면 \(A(w-s) = Aw-As = b-b = 0 \implies w-s \in \mathbf{K} _{\mathbf{H} }\) 이다. \(w - s = k \in \mathbf{K} _{\mathbf{H} }\) 로 두자. 그러면 \(w = s + k \in \{s\} + \mathbf{K} _{\mathbf{H} }\) 이다. 이는 어떤 원소가 \(\mathbf{K}\) 에 속하면 반드시 \(\{s\} + \mathbf{K} _{\mathbf{H} }\) 에 속함을 뜻한다. 그러므로 다음이 성립한다.

  \[ \mathbf{K} \subseteq \{s\} + \mathbf{K} _{\mathbf{H} } \tag*{▲} \]

  \(w \in \{s\} + \mathbf{K} _{\mathbf{H} }\) 를 가정하면 \(w = s + k\) 를 만족하는 \(k \in \mathbf{K} _{\mathbf{H} }\) 가 존재한다. 그러므로 다음이 성립한다.

  \[ Aw = A(s+k) = As + Ak = b + 0 = b \]

  즉, \(w \in \mathbf{K}\) 이므로 \(\{s\} + \mathbf{K} _{\mathbf{H} } \subseteq \mathbf{K}\) 이다. ▲

  따라서 \(\mathbf{K} = \{s\} + \mathbf{K} _{\mathbf{H}}\) 이다. ■

• 예시

  다음 연립일차방정식의 해는 \(s = \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 4\\ \end{pmatrix} \in \mathbf{K}\) 이다.

  \[ x_1 + 2x_2 + x_3 = 7 \]
  \[ x_1 - x_2 - x_3 = -4 \]

  대응하는 동차 연립일차방정식의 해는 \(k = \begin{pmatrix} 1\\ -2\\ 3\\ \end{pmatrix} \in \mathbf{K} _{\mathbf{H} }\) 이고 \(\dim (\mathbf{K} _{\mathbf{H} }) = 1\) 이므로 \(\mathbf{K} _{\mathbf{H} }= \{tk : t \in \R\}\) 이다. 그러므로 다음이 성립한다.

  \[ \mathbf{K} = \{s + tk : t \in \R\} \]

• 이 정리는 가역인 정사각행렬을 계수행렬로 가지는 연립일차방정식의 해를 쉽게 구할 수 있는 방법을 알려준다.

• 증명

  \(A\) 가 가역이면 역행렬 \(A ^{-1}\) 가 존재하므로 \(A(A ^{-1}b) = (AA ^{-1})b = b\) 가 성립한다. 그러므로 \(A ^{-1}b\) 는 해이다. 이로써 존재성 증명이 끝났다.

  이제 유일성을 증명하기 위하여 임의의 해 \(s\) 에 대하여 \(As = b\) 로 두면 \(A ^{-1}As = A ^{-1}b \iff s = A ^{-1}b\) 가 성립한다. ▲

  방정식의 유일한 해를 \(s\) 로 두면 대응하는 동차 연립일차방정식 \(Ax = 0\) 의 해집합 \(\mathbf{K} _{\mathbf{H} }\) 에 대하여 정리 3.9 에 의하여 \(\mathbf{K} = \{s\} = \{s\} + \mathbf{K} _{\mathbf{H}} \iff \mathbf{K} _{\mathbf{H} } = \{0\}\) 이다. 정리 3.8 에 의하여 \(\mathbf{K} _{\mathbf{H} } = \{0\} = \operatorname{L}_{A}\) 이고, \(\dim (\mathbf{K} _{\mathbf{H} }) = n - \operatorname{rank} (\operatorname{L}_{A}) = 0 \iff \operatorname{rank} (\operatorname{L}_{A}) = n\) 이므로 \(\operatorname{rank} (A) = n\) 이다. 그러므로 \(A\) 는 가역이다.

Existence of Solution of Linear Equation System✔

• 증명

  해가 존재하면 \(As = b\) 를 만족하는 \(s\) 가 존재한다. 그러므로 \(\operatorname{L}_{A}(s) = b \in \operatorname{im} (\operatorname{L}_A)\) 이다. ▲

  \(b \in \operatorname{im} (\operatorname{L}_A)\) 이면 \(\operatorname{L}_{A}(s) = As = b\) 를 만족하는 \(s\) 가 존재한다. 그러므로 연립일차방정식의 해가 존재한다. ■

• 즉, 연립일차방정식 \(Ax = b\) 에 모순이 없는 것과 \(\operatorname{rank} (A) = \operatorname{rank} (A|b)\) 인 것이 동치이다.

• 증명

  정리 3.5 의 증명과정은 행렬 \(A\) 의 \(j\)열 \(a_j\) 에 대하여 \(\operatorname{im} (\operatorname{L}_A)=\operatorname{span} (\{a_1, a_2, \dots, a_n \})\) 임을 말해준다. 문제 3.3-9 에 의하여 \(Ax = b\) 가 해가 있는 것은 \(b \in \operatorname{im} (\operatorname{L}_A)\) 와 동치이다. 그러므로 \(Ax = b\) 의 해가 있기 위하여 다음이 성립해야 한다.

  \[ b \in \operatorname{span} (\{a_1, a_2, \dots, a_n \}) \]

  그러므로 다음이 성립한다.

  \[ \operatorname{span} (\{a_1, a_2, \dots, a_n \}) = \operatorname{span} (\{a_1, a_2, \dots, a_n, b \}) \]

  따라서 \(\dim (\operatorname{span} (\{a_1, a_2, \dots, a_n \}) )= \dim (\operatorname{span} (\{a_1, a_2, \dots, a_n, b \}))\) 이다. 정리 3.5 에 의하여 다음이 성립한다.

  \[ \operatorname{rank} (A) = \operatorname{rank} (A|b) \tag*{■} \]

• 예시

  다음 연립방정식에 대하여 \(A = \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&1\\ \end{pmatrix}, (A|b) = \begin{pmatrix} 1&1&0\\ 1&1&1\\ \end{pmatrix}\) 이다.

  \[ x_1 + x_2 = 0 \]
  \[ x_1 + x_2 = 1 \]

  그러므로 \(\operatorname{rank} (A) = 1, \operatorname{rank} (A|b) = 2\) 이다. 정리에 의하여 이 방정식의 해가 없다.