Determinants

Determinants of 2 × 2 Matrix✔

Properties of Determinants of 2 × 2 Matrix✔

• 증명

  행렬 \(A = \begin{pmatrix} 1&2\\ 3&4\\ \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 3&2\\ 6&4\\ \end{pmatrix}, A+B = \begin{pmatrix} 4&4\\ 9&8\\ \end{pmatrix}\) 에 대하여 다음이 성립한다.

  \[ \det(A) = -2, \det(B) = 0 , \det(A+B) = -4\]

  따라서 다음이 성립한다.

  \[\det (A+B) \neq \det (A) + \det (B)\]

  그러므로 함수 \(\det\) 은 선형이 아니다. ■

• 이 정리는 함수 \(\det: \mathbf{F}^{2 \times 2} \to \mathbf{F}\) 가 선형이 아니지만, 그래도 선형적 성질을 갖는다는 것을 말해준다.

• 증명

  1:

  \(u = (a_1, a_2), v = (b_1, b_2), w = (c_1, c_2) \in \mathbf{F} ^{2}\) 와 스칼라 \(k\) 에 대하여 다음이 성립한다.

  \[ \begin{align}\begin{split} \det \begin{pmatrix} u\\ w\\ \end{pmatrix} + k \det \begin{pmatrix} v\\ w\\ \end{pmatrix} &= \det \begin{pmatrix} a_1&a_2\\ c_1&c_2\\ \end{pmatrix} + k \det \begin{pmatrix} b_1&b_2\\ c_1&c_2\\ \end{pmatrix} \\ &= (a_1 + kb_1)c_2 - (a_2 + kb_2)c_1 \\ &= \det \begin{pmatrix} a_1+kb_1&a_2+kb_2\\ c_1&c_2\\ \end{pmatrix} \\ &= \det \begin{pmatrix} u+kv\\ w\\ \end{pmatrix} \end{split}\end{align} \tag*{} \]

  2:

  1) 과 비슷하게 증명된다. ■

• 증명

  \(\det(A) \neq 0\) 이면 다음과 같이 정의된 행렬 \(M\) 에 대하여 \(AM=MA=I\) 가 성립함을 쉽게 확인할 수 있다.

  \[ M = \frac{1}{\det(A) } \begin{pmatrix} A_{22}&-A _{12}\\ -A_{21}&A _{11}\\ \end{pmatrix} \]

  이는 \(A\) 가 가역이고 \(M = A ^{-1}\) 임을 뜻한다. ▲

  역으로 다음과 같은 가역행렬 \(A\) 의 존재를 가정하자.

  \[ A = \begin{pmatrix} A _{11}&A _{12}\\ A _{21}&A _{22}\\ \end{pmatrix} \]

  \(2 \times 2\) 행렬 \(A\) 가 가역이면 \(\operatorname{rank} (A) = 2\) 이다. 이는 \(A _{11} \neq 0 \lor A _{21} \neq 0\) 을 뜻한다. \(A _{11} \neq 0\) 를 가정하면 \(A\) 에 기본연산을 적용하여 다음 행렬을 얻는다.

  \[ \begin{pmatrix} A _{11}& A _{12}\\ 0& A _{22} - \dfrac{A _{12} A _{21}}{A _{11}}\\ \end{pmatrix}\]

  정리 3.4 따름정리 에 의하여 기본연산은 행렬의 랭크를 보존한다. 이는 다음을 뜻한다.

  \[A _{22} - \dfrac{A _{12} A _{21}}{A _{11}} \neq 0\]

  즉, \(\det(A) = A _{11}A _{22} - A _{12}A _{21} \neq 0\) 이다. \(A _{21} \neq 0\) 를 가정해도 비슷한 논리로 \(\det(A) \neq 0\) 를 얻는다. ■

Area of a parallelogram✔

• 예시

  다음과 그림에서 왼쪽 두 벡터가 이루는 각은 같은 크기와 방향을 가지고 시점이 원점인 두 벡터가 이루는 각이다.

  

• 이 정리와 정리 4.2 에 의하여 위 식의 분모는 \(0\) 이 아니다. 그러므로 \(\mathcal{O} \begin{pmatrix} u\\ v\\ \end{pmatrix} = \pm 1\) 이다.

• \(\{u, v\}\) 가 일차종속(서로 평행)이면 행렬 \(\begin{pmatrix} u\\ v\\ \end{pmatrix}\) 가 가역이 아니라서 \(\det \begin{pmatrix} u\\ v\\ \end{pmatrix} = 0\) 이지만 편의상 \(\{u, v\}\) 가 일차종속이면 \(\mathcal{O} \begin{pmatrix} u\\ v\\ \end{pmatrix} = 1\) 으로 정의한다.

• 증명

• 예시

  

• 예시

  

• 증명

• 증명

  성질 1) 로부터 다음이 성립한다.

  \[ \delta \begin{pmatrix} a&b\\ c&d\\ \end{pmatrix} = \delta \begin{pmatrix} a&0\\ c&d\\ \end{pmatrix} + \delta \begin{pmatrix} 0&b\\ c&d\\ \end{pmatrix} = a\delta \begin{pmatrix} 1&0\\ c&d\\ \end{pmatrix} + b\delta \begin{pmatrix} 0&1\\ c&d\\ \end{pmatrix} \]

  이때 성질 1), 2), 3) 으로부터 다음이 성립한다.

  \[ a\delta \begin{pmatrix} 1&0\\ c&d\\ \end{pmatrix} = a\delta \begin{pmatrix} 1&0\\ c&0\\ \end{pmatrix} + a\delta \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&d\\ \end{pmatrix} = ac\delta \begin{pmatrix} 1&0\\ 1&0\\ \end{pmatrix} + ad\delta \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1\\ \end{pmatrix} = 0 + ad \]
  \[ b\delta \begin{pmatrix} 0&1\\ c&d\\ \end{pmatrix} = b\delta \begin{pmatrix} 0&1\\ c&0\\ \end{pmatrix} + b\delta \begin{pmatrix} 0&1\\ 0&d\\ \end{pmatrix} \]
  \[ = bc\delta \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0\\ \end{pmatrix} + bd\delta \begin{pmatrix} 0&1\\ 0&1\\ \end{pmatrix} = bc \delta \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0\\ \end{pmatrix} + 0 \]

  또한 성질 1), 2), 3) 으로부터 다음이 성립한다.

  \[ \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&1\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0\\ 1&1\\ \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&1\\ \end{pmatrix} \]
  \[ =\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1\\ \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 1&0\\ 1&0\\ \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0\\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0&1\\ 0&1\\ \end{pmatrix} \]
  \[ = 1 + 0 + \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0\\ \end{pmatrix} + 0 = 0 \]

  그러므로 다음을 얻는다.

  \[ \delta \begin{pmatrix} a&b\\ c&d\\ \end{pmatrix} = ad - bc \]

  그러므로 \(\delta = \det\) 이다. 그러므로 \(A \in \mathbf{F}^{2 \times 2} : \delta (A) = \det(A)\) 이다. 조건 1) 은 이것의 특수한 경우이다. ▲

  조건 2) 는 \(\det(AB) = \det(A) \det(B)\) 에서 바로 나온다. ■

• 증명

  문제 4.1-11 의 증명에 의하여 증명이 끝난다.

• 증명

• \(\{u, v\}\) 가 일차종속(서로 평행)이면 \(u, v\) 의 평행사변형은 선분이 된다.

• 예시

  

• 예시

  \(u = (-1, 5), v = (4, -2)\) 의 평행사변형의 넓이는 다음과 같다.

  \[ \bigg |\det \begin{pmatrix} u\\ v\\ \end{pmatrix}\bigg | = \bigg |\det \begin{pmatrix} -1&5\\ 4&-2\\ \end{pmatrix} \bigg | = 18 \]

• 다음 증명은 이 정리가 \(\R ^{n}\) 에서도 성립함을 유추할 수 있게 해준다.

• 증명

  \(u, v\) 의 평행사변형의 넓이를 \(\mathcal{A}\begin{pmatrix} u\\ v\\ \end{pmatrix}\) 라고 두면 향(orientation)의 정의에 의하여 본 정리는 다음과 같다.

  \[ \mathcal{A}\begin{pmatrix} u\\ v\\ \end{pmatrix} = \bigg |\det\begin{pmatrix} u\\ v\\ \end{pmatrix} \bigg | = \mathcal{O}\begin{pmatrix} u\\ v\\ \end{pmatrix} \cdot \det\begin{pmatrix} u\\ v\\ \end{pmatrix} \]

  \(\mathcal{O}\begin{pmatrix} u\\ v\\ \end{pmatrix} = \pm 1\) 이므로 이것을 곱한 식인 다음을 증명해도 된다.

  \[ \mathcal{O}\begin{pmatrix} u\\ v\\ \end{pmatrix} \mathcal{A}\begin{pmatrix} u\\ v\\ \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} u\\ v\\ \end{pmatrix} \]

  이때 \(\delta \begin{pmatrix} u\\ v\\ \end{pmatrix} =\mathcal{O}\begin{pmatrix} u\\ v\\ \end{pmatrix} \mathcal{A}\begin{pmatrix} u\\ v\\ \end{pmatrix}\) 라고 정의한 다음 \(\delta\) 가 문제 4.1-11 에서의 3 가지 성질을 만족함을 보이면 문제 4.1-12 에 의하여 \(\delta = \det\) 이 증명되어 모든 증명이 끝난다. ▲

  먼저 벡터 \(u, v\) 와 스칼라 \(c\) 에 대하여 성질 1) 의 스칼라 곱이 보존됨을 성립함을 보이자. 즉, 다음을 보이자.

  \[ \delta \begin{pmatrix} u\\ cv\\ \end{pmatrix} = c \delta \begin{pmatrix} u\\ v\\ \end{pmatrix} \]

  \(c = 0\) 이면 \(\delta \begin{pmatrix} u\\ cv\\ \end{pmatrix} = \mathcal{O}\begin{pmatrix} u\\ 0\\ \end{pmatrix} \mathcal{A}\begin{pmatrix} u\\ 0\\ \end{pmatrix} = 1 \cdot 0 = 0\) 이므로 성립한다. \(\begin{pmatrix} u\\ 0\\ \end{pmatrix}\) 가 일차종속이므로 \(\mathcal{O}\) 가 \(1\) 로 정의되고, \(u, 0\) 의 평행사변형의 넓이는 \(0\) 이기 때문이다.

  \(c \neq 0\) 인 경우를 살펴보자. \(u, v\) 의 평행사변형의 넓이와 \(u, cv\) 의 평행사변형의 넓이의 관계는 이렇다. 두 벡터 \(u, v\) 가 이루는 각 \(\theta = \arccos \bigg (\dfrac{a \cdot b}{\|a\|\|b\|}\bigg )\) 에 대하여 평행사변형의 높이는 \(\|u\| \sin \theta\) 이다. 그러므로 평행사변형의 넓이는 밑변 \(\|v\|\) 과 높이를 곱하여 \(\mathcal{A}\begin{pmatrix} u\\ v\\ \end{pmatrix} = \|v\|\|u\| \sin \theta\) 이다. 반면 \(u, cv\) 의 평행사변형의 넓이는 밑변 \(v\) 가 \(cv\) 로 변형된 것이므로 \(\|cv\|\|u\| \sin \theta = |c|\|v\|\|u\| \sin \theta= |c| \mathcal{A}\begin{pmatrix} u\\ v\\ \end{pmatrix}\) 이다. 그러므로 \(\mathcal{A}\begin{pmatrix} u\\ cv\\ \end{pmatrix} = |c| \mathcal{A}\begin{pmatrix} u\\ v\\ \end{pmatrix}\) 이다.

  \(u, v\) 의 평행사변형의 향과 \(u, cv\) 의 평행사변형의 향의 관계는 이렇다. \(u = (a_1, a_2), v = (b_1, b_2)\) 로 두면 \(\det \begin{pmatrix} u\\ v\\ \end{pmatrix} = a_1b_2 - a_2b_1\) 이므로 다음이 성립한다.

  \[ \mathcal{O}\begin{pmatrix} u\\ v\\ \end{pmatrix} = \dfrac{a_1b_2 - a_2b_1}{|a_1b_2 - a_2b_1|} \]
  \[ \mathcal{O}\begin{pmatrix} u\\ cv\\ \end{pmatrix} = \dfrac{ca_1b_2 - ca_2b_1}{|ca_1b_2 - ca_2b_1|} = \frac{c}{|c|}\dfrac{a_1b_2 - a_2b_1}{|a_1b_2 - a_2b_1|} \]

  그러므로 \(\mathcal{O}\begin{pmatrix} u\\ cv\\ \end{pmatrix} = \dfrac{c}{|c|}\mathcal{O}\begin{pmatrix} u\\ v\\ \end{pmatrix}\) 이다. 따라서 다음이 성립한다.

  \[ \delta \begin{pmatrix} u\\ cv\\ \end{pmatrix} = \mathcal{O}\begin{pmatrix} u\\ cv\\ \end{pmatrix}\mathcal{A}\begin{pmatrix} u\\ cv\\ \end{pmatrix} = \frac{c}{|c|}\mathcal{O}\begin{pmatrix} u\\ v\\ \end{pmatrix}|c| \mathcal{A}\begin{pmatrix} u\\ v\\ \end{pmatrix} \]
  \[ = c \cdot \mathcal{O}\begin{pmatrix} u\\ v\\ \end{pmatrix}\mathcal{A}\begin{pmatrix} u\\ v\\ \end{pmatrix} = c \cdot \delta \begin{pmatrix} u\\ v\\ \end{pmatrix} \]

  이로써 \(\delta\) 가 성질 1) 의 스칼라 곱에 대한 선형성을 만족한다는 것이 증명되었다. ▲

  같은 변으로 구성된 평행사변형은 선분이 되어 넓이가 \(0\) 이 된다. 즉, \(\mathcal{A}\begin{pmatrix} u\\ u\\ \end{pmatrix} = 0\) 이다. 그러므로 다음이 성립한다.

  \[ \delta \begin{pmatrix} u\\ u\\ \end{pmatrix} = \mathcal{O}\begin{pmatrix} u\\ u\\ \end{pmatrix} \mathcal{A}\begin{pmatrix} u\\ u\\ \end{pmatrix} = 0 \]

  이로써 \(\delta\) 가 성질 2) 를 만족한다는 것이 증명되었다. ▲

  이제 성질 1) 의 벡터합을 증명하자. 즉 \(u, v_1, v_2 \in \R ^{2}\) 에 대하여 다음이 성립함을 보이자.

  \[ \delta \begin{pmatrix} u\\ v_1 + v_2\\ \end{pmatrix} = \delta \begin{pmatrix} u\\ v_1\\ \end{pmatrix} + \delta \begin{pmatrix} u\\ v_2\\ \end{pmatrix} \]

  \(u = 0\) 이면 평행사변형의 넓이가 \(0\) 이 되므로 자명하게 성립한다. \(u \neq 0\) 를 가정하자. \(u\) 와 일차독립인 벡터 \(w \in \R ^{2}\) 를 아무거나 선정하면 \(\dim (\R ^{2}) = 2\) 이므로 정리 1.10 따름정리 2 에 의하여 \(\{u, w\}\) 는 \(\R ^{2}\) 의 기저가 된다. 그러므로 \(i \in \{1, 2\}\) 에 대하여 다음을 만족하는 스칼라 \(a_i, b_i\) 가 존재한다.

  \[ v_i = a_iu + b_iw \]

  그러므로 성질 2) 에 의하여 다음이 성립한다.

  \[ \begin{align}\begin{split} \delta \begin{pmatrix} u\\ v_1 + v_2\\ \end{pmatrix} &= \delta \begin{pmatrix} u\\ (a_1+a_2)u + (b_1+b_2)w\\ \end{pmatrix} = (b_1 + b_2) \begin{pmatrix} u\\ w\\ \end{pmatrix}\\ &= \delta \begin{pmatrix} u\\ a_1u + b_1w\\ \end{pmatrix} + \delta \begin{pmatrix} u\\ a_2u + b_2w\\ \end{pmatrix} = \delta \begin{pmatrix} u\\ v_1\\ \end{pmatrix} + \delta \begin{pmatrix} u\\ v_2\\ \end{pmatrix} \end{split}\end{align} \tag*{} \]

  같은 논리로 다음을 증명할 수 있다.

  \[ \delta \begin{pmatrix} v_1 + v_2\\ u\\ \end{pmatrix} = \delta \begin{pmatrix} v_1\\ u\\ \end{pmatrix} + \delta \begin{pmatrix} v_2\\ u\\ \end{pmatrix} \tag*{} \]

  이로써 \(\delta\) 가 성질 1) 의 벡터합을 만족한다는 것이 증명되었다. ▲

  마지막으로 성질 3) 을 증명하자. \(e_1, e_2\) 의 평행사변형은 정사각형이므로 다음이 성립한다.

  \[ \delta \begin{pmatrix} e_1\\ e_2\\ \end{pmatrix} = \mathcal{O}\begin{pmatrix} e_1\\ e_2\\ \end{pmatrix}\mathcal{A}\begin{pmatrix} e_1\\ e_2\\ \end{pmatrix}= 1 \cdot 1 = 1 \]

  즉, \(\delta (I_2) = 1\) 이다. 이로써 모든 증명이 끝났다. ■

Determinants✔

• 예시

  \[A = \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9\\ \end{pmatrix} \implies \tilde{A} _{11} = \begin{pmatrix} 5&6\\ 8&9\\ \end{pmatrix}\]

• 즉, \(A\) 의 \(i\) 행에 대한 여인수 전개는 \(A\) 의 \(i\) 행의 각 성분에 여인수를 곱하여 더한 결과이다.

• \(2 \times 2\) 행렬 \(A = \begin{pmatrix} a&b\\ c&d\\ \end{pmatrix}\) 의 행렬식은 다음과 같다.

  \[ \det A = ad - bc \]

  이는 연립 일차 방정식의 풀이를 연구하다가 \(ad - bc\) 의 값에 따라 연립 방정식의 해가 존재할 수도 있고, 존재하지 않을 수도 있다는 관찰에 의하여 정의되었다.

• \(A\) 의 \(i\) 행 \(j\) 열에 대한 여인수를 \(c _{ij} = (-1) ^{i + j}\det(\tilde{A}_{ij})\) 로 표기하면 \(A\) 의 행렬식을 다음과 같이 표현할 수 있다.

  \[ \det(A) = \sum_{j=1}^{n}A _{1j}c _{1j} \]

  즉, \(A\) 의 행렬식은 \(A\) 의 1행의 각 성분에 여인수를 곱하여 더한 결과이다. 이는 행렬의 행렬식이란 1행에 대한 여인수 전개라는 것을 말해준다.

• 예시

  \(A \in \mathbf{F}^{2 \times 2}\) 에 대한 1행의 여인수 전개는 다음과 같다.

  \[ \det(A) = A _{11}(-1) ^{1 + 1}\det(\tilde{A}_{11}) + A _{12}(-1) ^{1 + 2}\det(\tilde{A}_{12}) = A _{11}A _{22} - A _{12}A _{21} \]

  \(2 \times 2\) 행렬의 행렬식 정의와 같다는 것을 알 수 있다.

Determinants of Identity Matrix✔

• 증명

  \(n = 1\) 일 때 \(I_n = (1) \implies \det(I_n) = 1\) 이다.

  \(n \geq 2\) 일 때 \(\det(I _{n-1}) = 1\) 을 가정하자. \(I\) 를 \(n \times n\) 항등행렬이라고 하자. 그러면 \(\tilde{I} _{11} = I _{n-1}\) 이다. 그러므로 다음이 성립한다.

  \[ \begin{align}\begin{split} \det(I) &= (-1) ^{2}(1) \det(\tilde{I}_{11}) + (-1) ^{3}(0) \det(\tilde{I}_{12}) + \dots + (-1) ^{1+n}(0) \det(\tilde{I}_{1n}) \\ &= 1 + 0 + \dots + 0 = 1 \\ \end{split}\end{align} \tag*{} \]

  ■

Properties of Determinant✔

• 이 정리는 2형 기본행연산과 행렬식 사이의 관계를 말해준다. 즉, 위 정리에서 \(u=0\) 으로 두면 정리 4.3 따름정리에 의하여 다음이 성립한다.

  \[ \det \begin{pmatrix} a_1\\ \vdots \\ a _{r-1}\\ kv\\ a _{r+1}\\ \vdots \\ a_n \\ \end{pmatrix} = k \det \begin{pmatrix} a_1\\ \vdots \\ a _{r-1}\\ v\\ a _{r+1}\\ \vdots \\ a_n \\ \end{pmatrix} \]

  이는 행렬 \(A\) 의 한 행에 스칼라 \(k\) 를 곱하여 얻은 행렬 \(B\) 에 대하여 다음이 성립함을 의미한다.

  \[ \det(A) = k \det(B) \]

• 증명

  \(n = 1\) 일 때 자명하게 성립한다. ▲

  \(n \geq 2\) 와 \((n - 1) \times (n - 1)\) 행렬에 대하여 성립함을 가정하자.

  \(n \times n\) 행렬 \(A\) 의 각 행 \(a_1, a_2, \dots, a_n\) 과 \(1 \leq r \leq n\) 인 \(r\) 과 \(u = (b_1, b_2, \dots, b_n), v = (c_1, c_2, \dots, c_n)\) 와 스칼라 \(k\) 에 대하여 \(a_r = u + kv\) 로 두자. \(A\) 의 \(r\) 행을 \(u, v\) 로 바꾼 행렬을 각각 \(B, C\) 로 두면 \(\det(A) = \det(B) + k \det(C)\) 를 보이면 증명이 끝난다.

  \(r = 1\) 일 경우를 증명해보자. \(A\) 의 1행은 다음과 같다.

  \[ a_1 = u + kv = (b_1+kc_1, b_2+kc_2, \dots, b_n+kc_n) \]

  이는 \(A _{1j} = b_j + kc_j = B _{1j} + k C _{1j}\) 임을 뜻한다. 또한 \(A, B, C\) 는 \(1\) 행을 제외하고 서로 같으므로 \(\tilde{A}_{1j} = \tilde{B}_{1j} = \tilde{C}_{1j} \iff \det(\tilde{A}_{1j}) = \det(\tilde{B}_{1j}) = \det(\tilde{C}_{1j})\) 이다. 그러므로 \(\det(A)\) 는 다음과 같다.

  \[ \begin{align}\begin{split} \det(A) &= \sum_{j=1}^{n}(-1)^{1+j}A _{1j} \cdot \det(\tilde{A}_{1j}) \\ &= \sum_{j=1}^{n}(-1)^{1+j}(B _{1j} + k C _{1j}) \cdot \det(\tilde{A}_{1j}) \\ &= \sum_{j=1}^{n}(-1)^{1+j}B _{1j} \cdot \det(\tilde{A}_{1j}) + k\sum_{j=1}^{n}(-1)^{1+j}C _{1j} \cdot \det(\tilde{A}_{1j}) \\ &= \sum_{j=1}^{n}(-1)^{1+j}B _{1j} \cdot \det(\tilde{B}_{1j}) + k\sum_{j=1}^{n}(-1)^{1+j}C _{1j} \cdot \det(\tilde{C}_{1j}) \\ &= \det(B) + k \det(C) \end{split}\end{align} \tag*{} \]

  그러므로 \(n \geq 2, r = 1\) 일 때 \(n \times n\) 행렬에 대하여 본 정리가 성립한다. ▲

  \(r > 1\) 인 경우 \(1 \leq j \leq n\) 에 대하여 \(\tilde{A}_{1j},\tilde{B}_{1j},\tilde{C}_{1j}\) 는 \(r - 1\) 행을 제외한 나머지 행이 서로 같다. \(\tilde{A}_{1j}\) 의 \(r-1\) 행은 다음과 같다.

  \[ (b_1+kc_1, \dots, b _{j-1}+kc _{j-1}, b _{j+1} + kc _{j+1}, \dots, b_n + kc_n) \]

  이는 \(\tilde{B}_{1j}\) 의 \(r-1\) 행과 \(\tilde{C}_{1j}\) 의 \(r-1\) 행의 \(k\) 배와의 합이다. \(\tilde{B}_{1j}, \tilde{C}_{1j}\) 는 \((n - 1) \times (n - 1)\) 행렬이므로 가정에 의하여 다음이 성립한다.

  \[ \det(\tilde{A}_{1j}) = \det(\tilde{B}_{1j}) + k \det(\tilde{C}_{1j}) \]

  \(r-1\) 행을 제외하면 \(A, B, C\) 는 서로 같으므로 \(A _{1j} = B _{1j} = C _{1j}\) 이다. 따라서 \(\det(A)\) 는 다음과 같다.

  \[ \begin{align}\begin{split} \det(A) &= \sum_{j=1}^{n}(-1) ^{1+j}A _{1j} \cdot \det(\tilde{A}_{1j}) \\ &= \sum_{j=1}^{n}(-1) ^{1+j}A _{1j} \cdot ( \det(\tilde{B}_{1j}) + k\det(\tilde{C}_{1j})) \\ &= \sum_{j=1}^{n}(-1) ^{1+j}A _{1j} \cdot \det(\tilde{B}_{1j}) + k\sum_{j=1}^{n}(-1) ^{1+j} A _{1j} \cdot \det(\tilde{C}_{1j}) \\ &= \sum_{j=1}^{n}(-1) ^{1+j}B _{1j} \cdot \det(\tilde{B}_{1j}) + k\sum_{j=1}^{n}(-1) ^{1+j} C _{1j} \cdot \det(\tilde{C}_{1j}) \\ &= \det(B) + k \det(C) \end{split}\end{align} \tag*{} \]

  그러므로 \(n \times n\) 행렬에 대해서도 성립한다. ■

• 증명

  스칼라 \(k \neq 0\) 에 대하여 정리 4.3 에 의하여 다음이 성립한다.

  \[ \det(A) = \det \begin{pmatrix} a_1\\ \vdots \\ a _{r-1}\\ 0+k \cdot 0\\ a _{r+1}\\ \vdots \\ a_n \\ \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} a_1\\ \vdots \\ a _{r-1}\\ 0\\ a _{r+1}\\ \vdots \\ a_n \\ \end{pmatrix} + k \cdot \det \begin{pmatrix} a_1\\ \vdots \\ a _{r-1}\\ 0\\ a _{r+1}\\ \vdots \\ a_n \\ \end{pmatrix} \]
  \[ \iff \det(A) = \det(A) +k \det(A) \iff k \det(A) = 0 \iff \det(A) = 0 \tag*{■} \]

• 행렬식은 정사각행렬의 1행에 대한 여인수 전개로 정의되었지만, 이 정리는 정사각행렬이 특정 조건을 만족할 경우 임의의 행에 대한 여인수 전개로도 행렬식을 구할 수 있다는 것을 말해준다.

• 증명

  \(n = 2\) 일 때를 살펴보자. 행렬 \(B \in \mathbf{F}^{2 \times 2}\) 의 \(i\) 행이 \(1 \leq k \leq 2\) 인 어떤 \(k\) 에 대하여 \(e_k\) 이면 \(\det(B) = (-1)^{i+k}\det(\tilde{B}_{ik})\) 임을 보이면 된다.

  \(1\) 행이 \(e_1\) 일 경우, \(1\) 행이 \(e_2\) 일 경우, \(2\) 행이 \(e_1\) 일 경우, \(2\) 행이 \(e_2\) 일 경우에 각각 다음과 같이 성립한다.

  \[ B = \begin{pmatrix} 1&0\\ c&d\\ \end{pmatrix} \implies \det(B) = (-1) ^{1 + 1} \det(\tilde{B}_{11}) = d \]
  \[ B = \begin{pmatrix} 0&1\\ c&d\\ \end{pmatrix} \implies \det(B) = (-1) ^{1 + 2} \det(\tilde{B}_{12}) = -c \]
  \[ B = \begin{pmatrix} a&b\\ 1&0\\ \end{pmatrix} \implies \det(B) = (-1) ^{2 + 1} \det(\tilde{B}_{21}) = -b \]
  \[ B = \begin{pmatrix} a&b\\ 0&1\\ \end{pmatrix} \implies \det(B) = (-1) ^{2 + 2} \det(\tilde{B}_{22}) = a \]

  그러므로 \(n = 2\) 일 때 성립한다. ▲

  \(n > 2\) 일 때 \((n - 1) \times (n - 1)\) 행렬에 대하여 성립함을 가정하자.

  행렬 \(B \in \mathbf{F}^{n \times n}\) 의 \(i\) 행이 \(1 \leq k \leq n\) 인 어떤 \(k\) 에 대하여 \(e_k\) 이면 \(\det(B) = (-1)^{i+k}\det(\tilde{B}_{ik})\) 임을 보이면 된다.

  \(i = 1\) 이면 \(B _{1k} = 1\) 이고 \(B\) 의 나머지 1행의 성분들은 모두 \(0\) 이다. 그러므로 다음이 성립한다.

  \[ \det(B) = \sum_{j=1}^{n}(-1) ^{1+j}B _{1j} \cdot \det(\tilde{B}_{1j}) = (-1) ^{1+k}\det(\tilde{B}_{1k}) \]

  그러므로 \(n > 2, i = 1\) 일 때 성립한다. ▲

  \(n > 2, 1 < i \leq n\) 을 가정하자.

  \((n - 2) \times (n - 2)\) 행렬 \(C _{ij}\) 를 \(B\) 의 \(1\)행, \(i\)행, \(j\)열, \(k\)열을 제거하여 얻은 행렬이라고 하자.

  각 \(j\) 에 대하여 \(\tilde{B}_{1j}\) 의 \(i - 1\) 행은 다음과 같은 벡터이다.

  \[ \begin{cases} e _{k-1} \in \mathbf{F} ^{n-1} &j < k\\ 0 \in \mathbf{F} ^{n-1} &j = k\\ e _{k} \in \mathbf{F} ^{n-1} &j > k\\ \end{cases} \]

  \(\tilde{B}_{1j}\) 는 위 벡터가 \(i-1\) 행에 있는 \((n-1) \times (n-1)\) 행렬이다. 행렬 \(\tilde{B}_{1j}\) 에서 \(i-1\) 을 제거하는 것은 \(B\) 의 \(i\) 행을 제거하는 것이다. \(j < k\) 의 경우 행렬 \(\tilde{B}_{1j}\) 에서 \(k-1\) 을 제거하는 것은 \(B\) 에서 \(k\) 를 제거하는 것인데 반해 \(j > k\) 의 경우 행렬 \(\tilde{B}_{1j}\) 에서 \(k\) 을 제거하는 것은 \(B\) 에서 \(k\) 를 제거하는 것이다. 그러므로 정리 4.3 따름정리와 가정에 의하여 다음이 성립한다.

  \[ \det(\tilde{B}_{1j}) = \begin{cases} (-1) ^{(i-1)+(k-1)}\det(C _{ij}) & j < k\\ 0 & j = k\\ (-1) ^{(i-1)+k}\det(C _{ij}) & j > k\\ \end{cases} \]

  \(n \in \N : (-1) ^{n-1} = (-1) ^{n+1}\) 이다. 다음이 성립한다.

  \[ \begin{align}\begin{split} \det(B) &= \sum_{j=1}^{n}(-1) ^{1+j}B _{1j} \cdot \det(\tilde{B}_{1j}) \\ &= \sum_{j<k}(-1) ^{1+j}B _{1j} \cdot \det(\tilde{B}_{1j}) +\sum_{j>k}(-1) ^{1+j}B _{1j} \cdot \det(\tilde{B}_{1j}) \\ &= \sum_{j<k}(-1) ^{1+j}B _{1j} \cdot \{(-1) ^{(i-1)+(k-1)}\det(C _{ij}) \} \\ &\qquad + \sum_{j>k}(-1) ^{1+j}B _{1j} \cdot \{(-1) ^{(i-1)+k}\det(C _{ij})\} \\ &= (-1) ^{i+k} \bigg \{\sum_{j<k}(-1) ^{1+j}B _{1j} \cdot \det(C _{ij}) + \sum_{j>k}(-1) ^{1+(j-1)}B _{1j} \cdot \det(C _{ij}) \bigg \} \\ &= (-1) ^{i+k} \bigg \{\sum_{j<k}(-1) ^{1+j}B _{1j} \cdot \det(C _{ij}) + \sum_{j=k+1}^{n}(-1) ^{1+(j-1)}B _{1j} \cdot \det(C _{ij}) \bigg \} \\ \end{split}\end{align} \tag*{} \]

  중괄호 안의 식은 \(\tilde{B}_{ik}\) 의 1행에 대한 여인수 전개이므로 다음이 성립한다.

  \[ \det(B) = (-1) ^{i+k}\det(\tilde{B}_{ik}) \]

  그러므로 \(n > 2, 1 < i \leq n\) 일 때 성립한다. ■

Redefining the Determinant✔

• 이 정리는 행렬식을 1행에 대한 여인수 전개로 얻을 수 있을 뿐만 아니라 임의의 행에 대한 여인수 전개로 구할 수 있음을 말해준다.

  또한 정리 4.8 에 의하여 임의의 열에 대한 여인수 전개로도 행렬식을 구할 수 있음을 알 수 있다.

• 증명

  \(i = 1\) 일 때 행렬식의 정의와 같으므로 증명할 것이 없다. ▲

  \(i > 1\) 일 때를 증명해보자.

  \(1 \leq j \leq n\) 에 대하여 \(A\) 의 \(i\) 행을 \(e_j\) 로 대체한 행렬을 \(B_j\) 라고 하자. 정리 4.3 은 행렬식의 덧셈과 스칼라곱 대한 선형성을 보장해주므로 다음이 성립한다.

  \[ \det(A) = \sum_{j=1}^{n}A _{ij} \cdot \det(B_j) \]

  정리 4.3 보조정리 1 은 \(i\) 행이 \(e_j\) 인 \(B_j\) 에 대하여 \(\det(B_j) = (-1) ^{i+j}\det(\tilde{B}_{ij})\) 임을 말해준다. \(A\) 와 \(B_j\) 는 \(i\) 행을 제외하고 서로 같기 때문에 \(\tilde{B}_{ij}=\tilde{A}_{ij}\) 이다. 그러므로 \(\det(B_j) = (-1) ^{i+j}\det(\tilde{A}_{ij})\) 이고, 이에 따라 다음이 성립한다.

  \[ \det(A) = \sum_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}A _{ij} \cdot \det(\tilde{A}_{ij}) \tag*{■} \]

• 증명

  \(n = 2\) 일 때 자명하게 성립한다. ▲

  \(n \geq 3\) 일 때 \((n - 1) \times (n - 1)\) 행렬에 대하여 정리가 성립함을 가정하자. 서로 같은 두 행을 \(r\)행, \(s\)행이라 하자. \(r, s\) 가 아니고 \(1 \leq i \leq n\) 인 \(i\) 에 대하여 정리 4.4 에 의하여 다음과 같이 \(i\)행에 대한 여인수 전개를 할 수 있다.

  \[ \det(A) = \sum_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}A _{ij} \cdot \det(\tilde{A}_{ij}) \]

  \(\tilde{A}_{ij}\) 는 \((n - 1) \times (n - 1)\) 행렬이고 서로 다른 두 행(\(r\) 행, \(s\) 행)이 같으므로 가정에 의하여 \(\det(\tilde{A}_{ij}) = 0\) 이다. 그러므로 \(\det(A) = 0\) 이다. ■

• 이 정리는 1형 기본행연산과 행렬식 사이의 관계를 말해준다.

• 증명

  \(A\) 의 행 \(a_1, a_2, \dots, a_n\) 에 대하여 \(r < s\) 인 \(r\)행과 \(s\) 행을 교환하여 얻은 \(B\) 행은 다음과 같다.

  \[ A = \begin{pmatrix} a_1\\ \vdots \\ a_r\\ \vdots \\ a_s\\ \vdots \\ a_n \\ \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} a_1\\ \vdots \\ a_s\\ \vdots \\ a_r\\ \vdots \\ a_n \\ \end{pmatrix} \]

  \(A\) 의 \(r\)행, \(s\)행을 \(a_r+a_s\) 로 바꾼 행렬은 정리 4.4 따름정리에 의하여 행렬식이 \(0\) 이 된다. 또한 정리 4.3 에 의하여 다음이 성립한다.

  \[ 0 = \begin{pmatrix} a_1\\ \vdots \\ a_r+a_s\\ \vdots \\ a_r+a_s\\ \vdots \\ a_n \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a_1\\ \vdots \\ a_r\\ \vdots \\ a_r+a_s\\ \vdots \\ a_n \\ \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} a_1\\ \vdots \\ a_s\\ \vdots \\ a_r+a_s\\ \vdots \\ a_n \\ \end{pmatrix} \]
  \[ = \begin{pmatrix} a_1\\ \vdots \\ a_r\\ \vdots \\ a_r\\ \vdots \\ a_n \\ \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} a_1\\ \vdots \\ a_r\\ \vdots \\ a_s\\ \vdots \\ a_n \\ \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} a_1\\ \vdots \\ a_s\\ \vdots \\ a_r\\ \vdots \\ a_n \\ \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} a_1\\ \vdots \\ a_s\\ \vdots \\ a_s\\ \vdots \\ a_n \\ \end{pmatrix} = 0 + \det(A) + \det(B) + 0 \]

  즉, \(\det(B) = - \det(A)\) 이다. ■

• 이 정리는 3형 기본행연산과 행렬식 사이의 관계를 말해준다.

• 증명

  \(A\) 의 \(s\)행에 \(r\)행의 \(k\)배를 더하여 얻은 행렬을 \(B\) 라 하자.

  \(A\) 의 행을 \(a_1, a_2, \dots, a_n\), \(B\) 의 행을 \(b_1, b_2, \dots, b_n\) 이라 하자. 다음이 성립한다.

  \[ \begin{cases} a_i = b_i & i \neq s\\ b_s = a_s + ka_r & i = s\\ \end{cases} \]

  \(A\) 의 \(s\) 행을 \(a_r\) 로 바꾼 행렬을 \(C\) 라 하면 \(\det(C) = 0\) 이다. \(B\) 의 \(s\)행에 정리 4.3 을 적용하면 다음이 성립한다.

  \[ \det(B) = \det(A) +k \det(C) = \det(A) \tag*{■} \]

Determinant and Rank✔

• 정리 4.2 는 \(2 \times 2\) 행렬이 가역인 것과 행렬식이 \(0\) 이 아닌 것은 동치임을 말해준다. 이는 \(n \times n\) 행렬에 일반화된다. 이 정리는 \(n \times n\) 행렬이 가역이면 행렬식이 \(0\) 이 아님을 말해준다. 정리 4.7 의 따름정리는 그 역을 증명해준다.

• 증명

  \(\operatorname{rank} (A) < n\) 이면 \(A\) 의 행 \(a_1, a_2, \dots, a_n\) 은 일차종속이다. 그러므로 어떤 행 \(a_r\) 을 다음과 같이 다른 행들의 일차결합으로 나타낼 수 있다.

  \[ a_r = c_1a_1 + \dots + c _{r-1}a _{r-1} + c _{r+1}a _{r+1} + \dots + c_na_n \]

  \(i \neq r\) 인 \(i\) 에 대하여 \(A\) 의 \(r\)행에 \(i\)행의 \(-c_i\) 배를 더하여 얻은 행렬 \(B\) 는 \(b_r = 0\) 이므로 정리 4.3 따름정리에 의하여 \(\det(B) = 0\) 이다. 정리 4.6 에 의하여 \(\det(B) = \det(A) = 0\) 이다. ■

Determinant and Elementary Operation✔

• 증명

  정리 4.3(2형 기본행연산과 행렬식의 관계), 정리 4.5(1형 기본행연산과 행렬식의 관계), 정리 4.6(3형 기본행연산과 행렬식의 관계) 에 의하여 증명된다.

Determinant of Upper Triangular Matrix✔

• 정사각행렬은 1형과 3형 기본행연산을 통하여 상삼각행렬이 된다. 그러므로 정사각행렬의 행렬식을 쉽게 구할 수 있다.

  지금까지의 정리들은 여인수 전개를 통해 행렬식을 귀납적으로 구하는 것이 매우 번거롭기 때문에 행렬식을 효과적으로 구할 수 있도록 기본연산과 행렬식 간의 관계를 밝히기 위한 것들이었다.

  그리고 이 정리는 상삼각행렬의 행렬식이 쉽게 구해질 수 있다는 것을 말해줌으로써 기본연산의 목표를 상삼각행렬을 만드는 것으로 두는 것이 좋다는 결론을 알려준다.

  \(n \times n\) 행렬의 행렬식을 구하기 위해 여인수 전개를 사용하면 \(n!\) 번 이상의 곱셈이 필요한데 비해 기본행연산으로 행렬식을 계산하면 \(\frac{1}{3}(n ^{3}+2n-3)\) 번의 곱셈이 필요하다.

• 증명

  \(n = 1\) 이면 \(1 \times 1\) 행렬은 상삼각행렬이므로 \(\det(A _{11}) = A _{11}\) 이다. ■

  \(n-1\) 에서 성립함을 가정하고 \(n\) 에 대하여 성립함을 증명하자. 상삼각행렬 \(A \in \mathbf{F}^{n \times n}\) 의 행렬식은 다음과 같다.

  \[ \det(A) = \sum_{i=1}^{n}(-1)^{1+i}A _{1i}\det(\tilde{A}_{1i}) \]

  \(i \neq 1\) 인 \(\tilde{A}_{1i}\) 의 1열은 영열(zero column) 이다. 1열을 다른 열들의 일차결합으로 나타낼 수 있으므로 \(\operatorname{rank} (\tilde{A}_{1i}) < n - 1\) 이고, 정리 4.6 따름정리에 의하여 \(\det(\tilde{A}_{1i})=0\) 이다. 그러나 \(\tilde{A}_{11}\) 은 상삼각행렬이고 \(n-1\) 에서 정리가 성립하므로 \(\det(\tilde{A}_{11}) = \displaystyle \prod_{i=2}^{n}A _{ii}\) 이다. 따라서 다음이 성립한다.

  \[ \therefore \det(A) = A _{11}\det(\tilde{A}_{11}) = \prod_{i=1}^{n}A _{ii} \tag*{■} \]

• 안 좋은 증명(이렇게 증명하는 건 대각성분이 \(0\) 이 아닐 거라는 가정이 필요하다.)

  상삼각행렬 \(A \in \mathbf{F}^{n \times n}\) 는 다음과 같다.

  \[ A = \begin{pmatrix} A_{11}&A_{12}&\dots&A_{1n}\\ 0&A_{22}&\dots&A_{2n}\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots \\ 0&0&\dots&A_{nn}\\ \end{pmatrix} \]

  \(A\) 에 기본행연산을 적용하여 \(A\) 를 항등행렬로 바꿀 수 있다.

  \[ \begin{pmatrix} A_{11}&A_{12}&\dots&A_{1n}\\ 0&A_{22}&\dots&A_{2n}\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots \\ 0&0&\dots&A_{nn}\\ \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1&?&\dots&?\\ 0&A_{22}&\dots&A_{2n}\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots \\ 0&0&\dots&A_{nn}\\ \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1&0&\dots&?\\ 0&A_{22}&\dots&A_{2n}\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots \\ 0&0&\dots&A_{nn}\\ \end{pmatrix} \to \]
  \[ \begin{pmatrix} 1&0&\dots&?\\ 0&1&\dots&?\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots \\ 0&0&\dots&A_{nn}\\ \end{pmatrix} \to \dots \to \begin{pmatrix} 1&0&\dots&0\\ 0&1&\dots&0\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots \\ 0&0&\dots&A_{nn}\\ \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1&0&\dots&0\\ 0&1&\dots&0\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots \\ 0&0&\dots&1\\ \end{pmatrix} \]

  위 과정은 다음 연산을 반복한 것에 불과하다.

  1. \(i\) 행에 스칼라를 곱한 것을 \(i-1\) 행에 더하여 \(A _{ii}\) 를 제외한 \(i\) 열의 성분들을 \(0\) 으로 만든다.

  2. \(i\) 행에 스칼라를 곱하여 \(A _{ii}\) 를 \(1\) 로 만든다.

  \(\det(I_n) = 1\) 이므로 기본행연산이 어떻게 적용되었는지 역추적을 해보자. \(A _{j}\) 를 \(A\) 에 기본행연산을 \(j\) 번 적용한 행렬이라고 하자.

  1. 먼저 \(1\) 행에 스칼라 \(\frac{1}{A _{11}}\) 를 곱했다. \(\det(A_1) = \frac{1}{A _{11}}\det(A)\) 이다.

  2. \(2\) 행의 스칼라배를 \(1\) 행에 더하여 1행 2열의 성분을 \(0\) 으로 만들었다. \(\det(A_2) = \det(A_1)\) 이다.

  3. \(2\) 행에 스칼라 \(\frac{1}{A _{22}}\) 를 곱했다. \(\det(A_3) = \frac{1}{A _{22}}\det(A_2)\) 이다.

  4. \(\dots\)

  이를 통하여 행렬식 \(\det(A)\) 에 대각 성분의 곱셈의 역원이 계속해서 곱해졌음을 알 수 있다. 따라서 다음이 성립한다.

  \[ \det(I_n) = \dfrac{1}{A _{11} A _{22} \dots A _{nn}} \det(A) = 1 \]

  그러므로 다음이 성립한다.

  \[ \therefore \det(A) = A _{11} A _{22} \dots A _{nn} \tag*{■} \]

• 예시

  \(A = \begin{pmatrix} 1&3&-3\\ 0&4&-7\\ 0&0&10\\ \end{pmatrix}\) 에 대하여 다음이 성립한다.

  \[ \det(A) = \prod_{i=1}^{3}A _{ii} = 40 \]

• 증명

  상삼각행렬일 경우 문제 4.2-23 에서 증명이 끝났다. ▲

  하삼각행렬일 경우 문제 4.2-23 의 증명과정과 거의 비슷하게 증명 가능하다. ■

Determinant of Elementary Matrix✔

• 증명

  행렬식과 기본행연산의 관계와 \(\det(I) = 1\) 에 의하여 바로 증명된다. ■

• 이 정리는 행렬식이 곱을 보존하는 함수임을 말해준다.

• 증명

  \(A\) 가 \(I\) 의 두 행의 위치를 바꾸어 얻은 기본행렬이면 \(\det(A) = -1\) 인데, 정리 3.1 에 의하여 행렬 \(AB\) 는 \(B\) 의 두 행을 바꾼 것이다. 그러면 정리 4.5 에 의하여 \(\det(AB) = - \det(B) = \det(A) \det(B)\) 이다.

  \(A\) 가 \(I\) 의 한 행에 영이 아닌 스칼라 \(k\) 를 곱하여 얻은 기본행렬이면 \(\det(A) = k\) 이다. 정리 3.1 에 의하여 행렬 \(AB\) 는 \(B\) 의 한 행에 스칼라 \(k\) 를 곱한 것이다. 그러면 정리 4.3 에 의하여 \(\det(AB) = k \det(B) = \det(A) \det(B)\) 이다.

  \(A\) 가 \(I\) 의 한 행에 다른 행의 스칼라 배를 더하여 얻은 기본행렬 기본행렬이면 \(\det(A) = 1\) 이다. 정리 3.1 에 의하여 행렬 \(AB\) 는 \(B\) 의 한 행에 다른 행의 스칼라 \(k\)배 를 곱한 것을 더하여 얻은 것이다. 그러면 정리 4.6 에 의하여 \(\det(AB) = \det(B) = \det(A) \det(B)\) 이다.

  이렇게 \(A\) 가 기본행렬일 경우 정리가 성립한다. ▲

  정리 4.6 따름정리 에 의하여 \(\operatorname{rank} (A) < n\) 이면 \(\det(A) = 0\) 이다. 정리 3.7 에 의하여 \(\operatorname{rank} (AB) \leq \operatorname{rank} (A) < n\) 이므로 \(\det(AB) = 0\) 이다. 따라서 \(\det(AB) = \det(A) \det(B)\) 이다. ▲

  \(\operatorname{rank} (A) = n\) 이면 \(A\) 는 가역이다. 그러므로 \(A\) 는 기본행렬의 곱이다. \(A = E_m \dots E_1\) 로 두자. 기본행렬에 대하여 본 정리를 가정할 수 있으므로 다음이 성립한다.

  \[ \begin{align}\begin{split} \det(AB) &= \det(E_m \dots E_1B) \\ &= \det(E_m) \det(E _{m-1} \dots E_1B) \\ &= \det(E_m) \det(E _{m-1}) \det(E _{m-2} \dots E_1B) \\ & \qquad \vdots \\ &= \det(E_m) \dots \det(E _1)\det(B) \\ &= \det(E_m \dots E _1)\det(B) \\ &= \det(A)\det(B) \\ \end{split}\end{align} \tag*{} \]

  그러므로 \(\operatorname{rank} (A) = n\) 일 때 정리가 성립한다. ■

• 증명

  \(A\) 가 가역이 아니면 \(\operatorname{rank} (A) < n\) 이므로 \(\det(A) = 0\) 이다. \(A\) 가 가역이면 다음이 성립한다.

  \[ \det(A) \det(A ^{-1}) = \det(AA ^{-1}) = \det(I) = 1 \]

  이는 \(\det(A) \neq 0, \det(A ^{-1}) = \dfrac{1}{\det(A) }\) 를 뜻한다. ■

• 증명

  \(I_n\) 의 \(i\) 행과 \(j\) 행을 교환하여 얻은 행렬 \(E\) 는 \(E\) 의 행 \(E_1, E_2, \dots, E_n\) 에 대하여 다음과 같이 정의된다.

  \[ \begin{cases} E_k = e_k & k \neq i, k \neq j\\ E_i = e_j &\\ E_j = e_i &\\ \end{cases} \]

  \(E ^{\top}\) 의 \(k\) 행 \(E'_k\) 은 벡터 \(E_1, E_2, \dots, E_n\) 의 \(k\) 번째 성분으로 구성되므로 다음이 성립한다.

  \[ \begin{cases} E'_k = e_k & k \neq i, k \neq j\\ E'_i = e_j & \\ E'_j = e_i & \\ \end{cases} \]

  모든 행이 서로 같으므로 \(E = E ^{\top}\) 이다. 그러므로 기본행연산 1형을 한 번 적용한 기본행렬의 경우 정리가 자명하게 성립한다. ▲

  \(I_n\) 의 \(i\) 행에 스칼라 \(c\) 를 곱하여 얻은 행렬 \(E\) 는 \(E\) 의 행 \(E_1, E_2, \dots, E_n\) 에 대하여 다음과 같이 정의된다.

  \[ \begin{cases} E_k = e_k & k \neq i\\ E_i = ce_i &\\ \end{cases} \]

  \(E ^{\top}\) 의 \(k\) 행 \(E'_k\) 은 벡터 \(E_1, E_2, \dots, E_n\) 의 \(k\) 번째 성분으로 구성되므로 다음이 성립한다.

  \[ \begin{cases} E'_k = e_k & k \neq i\\ E'_i = ce_i & \\ \end{cases} \]

  모든 행이 서로 같으므로 \(E = E ^{\top}\) 이다. 그러므로 기본행연산 2형을 한 번 적용한 기본행렬의 경우 정리가 자명하게 성립한다. ▲

  \(I_n\) 의 \(i\) 행에 스칼라 \(c\) 를 곱하여 \(j\) 행에 더하여 얻은 행렬 \(E\) 는 \(E\) 의 행 \(E_1, E_2, \dots, E_n\) 에 대하여 다음과 같이 정의된다.

  \[ \begin{cases} E_k = e_k & k \neq j\\ E_j = ce_i + e_j &\\ \end{cases} \]

  \(E ^{\top}\) 의 \(k\) 행 \(E'_k\) 은 벡터 \(E_1, E_2, \dots, E_n\) 의 \(k\) 번째 성분으로 구성되므로 다음이 성립한다.

  \[ \begin{cases} E'_k = e_k & k \neq i\\ E'_i = e_i + ce_j & \\ \end{cases} \]

  \(E\) 가 \(I_n\) 의 \(i\) 행에 스칼라 \(c\) 를 곱하여 \(j\) 행에 더한 행렬인데 비해 \(E ^{\top}\) 는 \(j\) 행에 스칼라 \(c\) 를 곱해 \(i\) 행에 더한 행렬임을 알 수 있다.

  \(E\) 가 상삼각행렬임을 가정하면 \(\det(E) = \operatorname{tr} (E) = 1\) 이다. \(E ^{\top}\) 는 하삼각행렬이므로 \(\det(E ^{\top}) = \operatorname{tr} (E ^{\top}) = 1\) 이다. \(E\) 가 하삼각행렬이고 \(E ^{\top}\) 가 상삼각행렬일 경우도 마찬가지이다. 그러므로 기본행연산 3형을 한 번 적용한 기본행렬의 경우 정리가 성립한다. ▲

  이제 기본행연산을 한번 적용한 기본행렬의 행렬식이 전치행렬의 행렬식과 같다는 것을 가정할 수 있다.

  이제 임의의 기본행렬 \(E\) 를 생각하자. 기본행렬은 가역이고 가역은 기본행렬의 곱이다. 그러므로 다음을 만족하는 \(I\) 에 기본행연산을 한번 적용한 기본행렬 \(E_1, E_2, \dots, E_k\) 가 존재하여 다음을 만족시킨다.

  \[ E = E_1 E_2 \dots E_k \]
  \[ E ^{\top} = E_k ^{\top} E _{k-1} ^{\top} \dots E_1 ^{\top} \]

  기본행연산을 한번만 적용한 기본행렬의 행렬식이 전치행렬의 행렬식이 같다는 것과 정리 4.7 에 의하여 다음이 성립한다.

  \[ \begin{align}\begin{split} \det(E)&= \det(E_1 E_2 \dots E_k) \\ &= \det(E_1) \det(E_2) \dots \det(E_k) \\ &= \det(E_1^{\top}) \det(E_2^{\top}) \dots \det(E_k^{\top}) \\ &= \det(E_k^{\top}) \det(E _{k-1}^{\top}) \dots \det(E_1^{\top}) \\ &= \det(E_k^{\top}E _{k-1}^{\top}\dots E_1^{\top}) \\ &= \det(E^{\top}) \\ \end{split}\end{align} \tag*{} \]

  이로써 모든 증명이 끝났다. ■

Determinant of Transpose✔

• 지금까지의 정리들은 행에 대한 여인수 전개, 기본행연산과 행렬식의 관계 등등 행의 관점에서 행렬식을 연구한 결과이다. 그러나 이 정리는 지금까지의 정리들이 열의 관점에서도 그대로 성립함을 말해준다. \(A\) 의 행이 \(A ^{\top}\) 에서는 열이기 때문이다.

  즉, 열에 대한 여인수 전개로도 행렬식을 구할 수 있다. 또한 기본행연산 대신 기본열연산을 사용할 수도 있다. 기본열연산에 따른 행렬식의 변화는 기본행연산에 따른 행렬식의 변화와 같기 때문이다.

• 증명

  \(A\) 가 가역이 아니면 \(\operatorname{rank} (A) < n\) 이다. 정리 3.6 따름정리 2 에 의하여 \(\operatorname{rank} (A) = \operatorname{rank} (A ^{\top})\) 이므로 \(A ^{\top}\) 도 가역이 아니다. 정리 4.6 따름정리 에 의하여 \(\det(A) = 0 = \det(A ^{\top})\) 이다. ▲

  \(A\) 가 가역이면 \(A\) 는 기본행렬의 곱이다. \(A = E_m \dots E_1\) 으로 두면 문제 4.2-29 와 정리 4.7 에 의하여 다음이 성립한다.

  \[ \begin{align}\begin{split} \det(A)&= \det(E_m \dots E_1) \\ &= \det(E_m) \dots \det(E_1) \\ &= \det(E_m^{\top}) \dots \det(E_1^{\top}) \\ &= \det(E_1^{\top}) \dots \det(E_m^{\top}) \\ &= \det(E_1^{\top}\dots E_m^{\top}) \\ &= \det(A^{\top}) \\ \end{split}\end{align} \tag*{} \]

  이로써 모든 증명이 끝났다. ■

Determinant of Submatrix✔

• 증명

  \(s + t = n\) 에 대하여 \(A\) 를 \(s \times s\) 행렬 \(I = I_t\) 라고 하자.

  \(s = 1\) 이면 문제 4.2-23 에 의하여 \(\det(M) = \prod_{i=1}^{n}M _{ii} = A _{11}\) 이다. ▲

  \(s = k - 1\) 에서 성립함을 가정하고 \(s = k\) 에서 정리를 증명해보자. \(i \in \{k + 1, \dots, n\} : \det(\tilde{M})_{1i} = 0\) 이다. 왜냐하면 \(\tilde{M}_{1i}\) 의 \(i\) 행이 영행(zero row)이 되므로 정리 4.3 따름정리에 따라 행렬식이 \(0\) 이 되기 때문이다. 따라서 다음이 성립한다.

  \[ \det(M) = \sum_{i=1}^{n}(-1) ^{1+i}M _{1i} \cdot \det(\tilde{M}_{1i}) = \sum_{i=1}^{k}(-1) ^{1+i}A _{1i} \cdot \det(\tilde{M}_{1i}) \]

  \(k - 1\) 에서 정리가 성립하므로 \(i \in \{1, \dots, k \} : \det(\tilde{M}_{1i}) = \det(\tilde{A}_{1i})\) 이다. 따라서 다음이 성립한다.

  \[ \therefore \sum_{i=1}^{k}(-1) ^{1+i}A _{1i} \cdot \det(\tilde{M}_{1i}) = \sum_{i=1}^{k}(-1) ^{1+i} A _{1i} \cdot \det(\tilde{A}_{1i}) = \det(A) \tag*{■} \]

• 증명

  \(C\) 가 가역이 아니면 \(C\) 의 행집합은 일차종속이다. 이는 \((O C)\) 의 행집합이 일차종속임을 뜻하고 결국 \(M\) 이 가역이 아님을 뜻한다. 따라서 다음이 성립한다.

  \[ \det(A) \det(C) = \det(A) \cdot 0 = 0 = \det(M) \]

  \(C\) 가 가역이면 다음이 성립한다.

  \[ \begin{pmatrix} I&O\\ O&C ^{-1}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A&B\\ O&C\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A&B\\ O&I\\ \end{pmatrix} \]

  문제 4.3-20 과 정리 4.7 따름정리에 의하여 다음이 성립한다.

  \[ \det(C ^{-1}) \det(M) = \det(A) \iff \det(M) = \det(A) \det(C) \]

Cramer's Rule✔

• 이 정리를 \(\text{Cramer}: \mathbf{F}^{n \times n} \times \mathbf{F} ^{n} \times \mathbf{F} ^{n} \to \mathbf{F} ^{n}\) 와 같이 정의된 함수로 표현할 수 있나?

• 증명

  \(\det(A) \neq 0\) 이면 정리 4.7 따름정리 에 의하여 \(A\) 는 가역이다. 그러면 정리 3.10 에 의하여 \(Ax = b\) 는 유일한 해를 가진다.

  \(1 \leq k \leq n\) 에 대하여 \(A\) 의 \(k\)열을 \(a_k\) 라고 하고 \(X_k\) 는 \(I_n\) 의 \(k\) 열을 \(x\) 로 바꾼 행렬이라 하자. 그러면 \(AX_k\) 의 \(i\) 열은 \(i \neq k\) 일 때 \(A\) 를 \(I_n\) 에 곱하는 것과 같으므로 \(Ae_i = a_i\) 이다. 반면 \(i = k\) 이면 \(Ax = b\) 이다. 그러므로 \(AX_k = M_k\) 이다.

  \(X_k\) 의 \(k\) 행은 \(k\) 번째 성분이 \(x_k\) 이고 나머지는 \(0\) 이다. 그러므로 \(X_k\) 의 \(k\) 행에 대한 여인수 전개에 의한 행렬식은 다음과 같다.

  \[ \begin{align}\begin{split} \det(X_k)&= \sum_{j=1}^{n}(-1) ^{k + j} (X_k) _{kj} \cdot \det((\tilde{X_k})_{kj}) \\ &= (-1) ^{k+k}(X_k) _{kk} \cdot \det((\tilde{X_k})_{kk}) \\ &= x_k \cdot \det(I _{n-1}) = x_k \\ \end{split}\end{align} \tag*{} \]

  정리 4.7 은 행렬식의 곱의 보존을 보장한다. 그러므로 다음이 성립한다.

  \[ \det(M_k) = \det(AX_k) = \det(A) \det(X_k) = \det(A) \cdot x_k \]

  그러므로 \(x_k = \dfrac{\det(M_k) }{\det(A) }\) 이다. ■

• 예시

  다음과 같이 행렬표현으로 나타낸 연립일차방정식 \(Ax = b\) 을 풀어보자.

  \[ \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 1&0&1\\ 1&1&-1\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\ 3\\ 1\\ \end{pmatrix} \]

  \(\det(A) = 6 \neq 0\) 이므로 정리를 사용할 수 있다. 정리에 의하여 다음과 같은 유일한 해가 존재한다.

  \[ x_1 = \dfrac{\det(M_1) }{\det(A) } = \dfrac{\det \begin{pmatrix} 2&2&3\\ 3&0&1\\ 1&1&-1\\ \end{pmatrix} }{\det(A) } = \frac{15}{6} = \frac{5}{2} \]
  \[ x_2 = \dfrac{\det(M_2) }{\det(A) } = \dfrac{\det \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 1&3&1\\ 1&1&-1\\ \end{pmatrix} }{\det(A) } = -\frac{6}{6} = -1 \]
  \[ x_3 = \dfrac{\det(M_3) }{\det(A) } = \dfrac{\det \begin{pmatrix} 1&2&2\\ 1&0&3\\ 1&1&1\\ \end{pmatrix} }{\det(A) } = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]

n-dimensional volume of parallelepiped✔

• \(2 \times 2\) 정사각행렬의 행렬식이 기하학에서 평행사변형의 넓이로 해석되었듯이 \(n \times n\) 정사각행렬의 행렬식은 \(n\)차원 나란히꼴의 부피로 해석된다.

• 증명

• 예시

  행렬 \(A = \begin{pmatrix} 1&-2&1\\ 1&0&-1\\ 1&1&1\\ \end{pmatrix}\) 의 행렬식의 절댓값은 \(|\det(A)| = 6\) 이다. 따라서 벡터 \((1,-2,1), (1, 0, -1), (1,1,1)\) 을 이웃한 변으로 가지는 직육면체의 부피는 \(6\) 이다.

  실제로 다음 그림을 보면 해당 평행육면체의 세 변의 길이는 \(\sqrt[]{6}, \sqrt[]{2}, \sqrt[]{3}\) 이므로 부피는 \(6\) 이다.

  

Determinant of Similar Matrices✔

• 증명

  \(A, B\) 가 닮음이면 \(B = Q ^{-1}AQ\) 를 만족하는 \(Q\) 가 존재한다. 그러므로 다음이 성립한다.

  \[ \begin{align}\begin{split} \det(B) &= \det(Q ^{-1}AQ) = \det(Q ^{-1}) \det(A) \det(Q) \\ &= \frac{1}{\det(Q) }\det(A) \det(Q) = \det(A)\\ \end{split}\end{align} \tag*{} \]

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