Canonical Forms

• 대각화 요약을 그대로 가져와서 다시 한 번 강조한 것이다.

Generalized Eigenvector and Eigenspace✔

• 증명

  1:

  $0 \in \mathbf{K}_{\lambda}$ 는 자명하다. 일반화된 고유공간의 정의에 의하여 $x, y \in \mathbf{K}_{\lambda}$ 에 대하여 다음을 만족하는 양의 정수 $p, q$ 가 존재한다.

  $$(\operatorname{T}-\lambda \operatorname{I})^{p}(x) = (\operatorname{T}-\lambda \operatorname{I})^{q}(y) = 0$$

  다음이 성립한다.

  $$\begin{align}\begin{split} (\operatorname{T}-\lambda \operatorname{I})^{p+q}(x+y)&=(\operatorname{T}-\lambda \operatorname{I})^{p+q}(x) + (\operatorname{T}-\lambda \operatorname{I})^{p+q}(y) \\ &= (\operatorname{T}-\lambda \operatorname{I})^{q}(0) + (\operatorname{T}-\lambda \operatorname{I})^{p}(0) = 0\\ \end{split}\end{align} \tag*{}$$

  따라서 $x + y \in \mathbf{K}_{\lambda}$ 이다. 즉, $\mathbf{K}_{\lambda}$ 는 벡터합에 대하여 닫혀있다. $\mathbf{K}_{\lambda}$ 가 스칼라 곱에 대하여 닫혀있음을 보이는 것은 쉽다. 따라서 정리 1.3 에 의하여 $\mathbf{K}_{\lambda}$ 는 $\mathbf{V}$ 의 부분공간이다. ▲

  $x \in \mathbf{K}_{\lambda}$ 에 대하여 $(\operatorname{T}-\lambda \operatorname{I})^{p}(x) = 0$ 인 양의 정수 $p$ 가 존재한다. $\operatorname{T}$ 에 대한 다항식은 $\operatorname{T}$ 와 가환적이다. 즉, $\operatorname{T}(\operatorname{T}-\lambda \operatorname{I})=(\operatorname{T}-\lambda \operatorname{I})\operatorname{T}$ 이므로 다음이 성립한다.

  $$(\operatorname{T}-\lambda \operatorname{I})^{p}\operatorname{T}(x) = \operatorname{T}(\operatorname{T}-\lambda \operatorname{I})^{p}(x) = \operatorname{T}(0) = 0$$

  즉, $\operatorname{T}(x) \in \mathbf{K}_{\lambda}$ 이다. 따라서 $\mathbf{K}_{\lambda}$ 는 $\operatorname{T}$-불변이다. ▲

  고유공간 $\mathbf{E}_{\lambda}$ 와 일반화된 고유공간 $\mathbf{K}_{\lambda}$ 의 정의로부터 $\mathbf{E}_{\lambda}\subset \mathbf{K}_{\lambda}$ 는 자명하다. ▲

  2:

  $w\in \mathbf{K}_{\lambda}\cap \mathbf{K}_{\mu }$ 이면 다음을 만족하는 자연수 $p,q$ 가 존재한다.

  $$(\operatorname{T}-\lambda \operatorname{I})^{p}(w) = (\operatorname{T}- \mu \operatorname{I})^{q}(w) = 0$$

  $t$ 에 대한 다항식 $(t - \lambda )^{p}$ 와 $(t - \mu )^{q}$ 는 서로소이므로 다음을 만족하는 다항식 $q_1, q_2$ 가 존재한다.

  $$q_1(t)(t - \lambda ) ^{p} + q_2(t)(t - \mu )^{q} = 1$$

  그러면 다음이 성립한다.

  $$q_1(\operatorname{T})(\operatorname{T}-\lambda \operatorname{I})^{p} + q_2(\operatorname{T})(\operatorname{T} - \mu \operatorname{I})^{q} = \operatorname{I}$$
  $$q_1(\operatorname{T})(\operatorname{T}-\lambda \operatorname{I})^{p}(w) + q_2(\operatorname{T})(\operatorname{T} - \mu \operatorname{I})^{q}(w) = w = 0$$

  ▲

  3:

  1) 에 의하여 $\mathbf{K}_{\lambda}$ 는 $\operatorname{T}$-불변이므로 $\mathbf{K}_{\lambda}$ 는 $(\operatorname{T}-\mu \operatorname{I})$-불변이다. $x \in \mathbf{K}_{\lambda}$ 에 대하여 $\operatorname{T}(x) - \mu x \in \mathbf{K}_{\lambda}$ 이기 때문이다.

  어떤 $w \in \mathbf{K}_{\lambda}$ 에 대하여 $(\operatorname{T}- \mu \operatorname{I})(w) = 0$ 이면 $w \in \mathbf{E}_{\mu } \subset \mathbf{K}_{\mu }$ 이므로 2) 에 의하여 $w = 0$ 이다. 따라서 정리 2.4 에 의하여 $(\operatorname{T}- \mu \operatorname{I})_{\mathbf{K}_{\lambda}}$ 는 단사이다. ▲

  $x \in \mathbf{K}_{\lambda}$ 와 $(\operatorname{T}-\lambda \operatorname{I})^{p}(x) = 0$ 을 만족하는 가장 작은 양의 정수 $p$ 에 대하여 $\mathbf{W}$ 를 다음과 같이 정의하자.

  $$\mathbf{W} = \operatorname{span} \{x, (\operatorname{T}-\lambda \operatorname{I})(x), \dots, (\operatorname{T}-\lambda \operatorname{I})^{p-1}(x)\}$$

  $w \in \mathbf{W}$ 를 스칼라 $a_0, a_1, \dots, a _{p-1}$ 에 대하여 다음과 같이 두자.

  $$w = a_0x+ a_1(\operatorname{T}-\lambda \operatorname{I})(x)+ \dots + a _{p-1}(\operatorname{T}-\lambda \operatorname{I})^{p-1}(x) \in \mathbf{W}$$
  $$\implies \operatorname{T}(w) = a_0 \operatorname{T}(x)+ a_1(\operatorname{T}-\lambda \operatorname{I})(\operatorname{T}(x))+ \dots + a _{p-1}(\operatorname{T}-\lambda \operatorname{I})^{p-1}(\operatorname{T}(x))$$

  $\mathbf{W}$ 의 어떤 원소 $\epsilon$ 을 다음과 같이 정의하자.

  $$\epsilon = a_0 \lambda \operatorname{I}(x) + a_1(\operatorname{T}-\lambda \operatorname{I})( \lambda \operatorname{I}(x)) + \dots + a _{p-1}(\operatorname{T}-\lambda \operatorname{I})^{p-1}(\lambda \operatorname{I}(x)) \in \mathbf{W}$$

  그러면 정리 2.10 에 의하여 다음이 성립한다.

  $$\operatorname{T}(w) - \epsilon = a_0 (\operatorname{T} - \lambda \operatorname{I})(x)+ a_1(\operatorname{T}-\lambda \operatorname{I})^{2}(x)+ \dots + a _{p-2}(\operatorname{T}-\lambda \operatorname{I})^{p-1}(x)+ 0 \in \mathbf{W}$$

  부분공간은 선형공간이므로 덧셈에 대하여 선형이다. 따라서 다음이 성립한다.

  $$\operatorname{T}(w) \in \mathbf{W}$$

  즉, $\mathbf{W}$ 는 $\mathbf{K}_{\lambda}$ 의 $\operatorname{T}$-불변 부분공간이다. 그러면 $\mathbf{W}$ 는 $(\operatorname{T}-\mu \operatorname{I})$-불변이다. $w \in \mathbf{W} \implies \operatorname{T}(w) - \mu w \in \mathbf{W}$ 이기 때문이다. 즉, $(\operatorname{T}-\mu \operatorname{I})(\mathbf{W}) \subset \mathbf{W}$ 이다. $(\operatorname{T}-\mu \operatorname{I})_{\mathbf{K}_{\lambda}}$ 가 단사이므로 $(\operatorname{T}-\mu \operatorname{I})_{\mathbf{W}}$ 도 단사이다. $\mathbf{W}$ 는 유한차원이므로 정리 2.5 에 의하여 $(\operatorname{T}-\mu \operatorname{I})_{\mathbf{W}}$ 는 전사이다. $x \in \mathbf{W} \subset \mathbf{K}_{\lambda}$ 인데 $(\operatorname{T}-\mu \operatorname{I})_{\mathbf{W}}$ 가 전단사이므로 $(\operatorname{T}-\mu \operatorname{I})(y) = x$ 인 $y \in \mathbf{W} \subset \mathbf{K}_{\lambda}$ 가 존재한다.

  즉, 위와 같은 논리로 임의의 벡터 $v \in \mathbf{K}_{\lambda}$ 에 대하여 $(\operatorname{T}-\mu \operatorname{I})(y) = v$ 인 $y \in \mathbf{K}_{\lambda}$ 가 항상 존재한다는 것을 보일 수 있다. 그러면 전사의 정의 에 의하여 $(\operatorname{T}-\mu \operatorname{I})_{\mathbf{K}_{\lambda}}$ 는 전사이다. ■

• 1) 은 정리 5.7 이 일반화된 것이다.

• 2) 는 고유공간의 정의 가 일반화된 것이다.

• 증명

  1:

  $\operatorname{T}_{\mathbf{K}_{\lambda}}$ 의 특성다항식을 $h(t)$ 로 두자. 정리 7.1-(2) 는 일반화된 고유공간에 다른 일반화된 고유공간의 고유벡터가 존재하지 않는다는 것을 보장해준다. 따라서 $\operatorname{T}_{\mathbf{K}_{\lambda}}$ 는 유일한 고윳값 $\lambda$ 를 갖는다. $d = \dim (\mathbf{K}_{\lambda})$ 로 두면 정리 5.3 에 의하여 $h(t) = (-1)^{d}(t - \lambda )^{d}$ 이다. 정리 5.20 에 의하여 $\operatorname{T}_{\mathbf{K}_{\lambda}}$ 의 특성다항식 $h(t)$ 는 $\operatorname{T}$ 의 특성다항식을 나눈다. 따라서 $d \leq m$ 이다. ▲

  2:

  $\ker((\operatorname{T} - \lambda \operatorname{I})^{m})$ 은 일반화된 고유공간 $\mathbf{K}_{\lambda}$ 에 포함될 조건을 만족하므로 $\ker((\operatorname{T} - \lambda \operatorname{I})^{m}) \subset \mathbf{K}_{\lambda}$ 이다. ▲

  $\mu \neq \lambda$ 인 고윳값 $\mu$ 에 대하여 $(t - \mu )$ 을 곱한 꼴인 $g(t)$ 에 대하여 $\operatorname{T}$ 의 특성다항식은 $f(t) = (t - \lambda )^{m}g(t)$ 이다. 정리 7.1-(3) 에 의하여 $g(\operatorname{T})_{\mathbf{K}_{\lambda}}$ 는 전사이다. 따라서 $x \in \mathbf{K}_{\lambda}$ 에 대하여 $g(\operatorname{T})(y) = x$ 인 $y \in \mathbf{K}_{\lambda}$ 가 항상 존재한다. 케일리-해밀턴 정리 에 의하여 다음이 성립한다.

  $$(\operatorname{T}-\lambda \operatorname{I})^{m}(x) = (\operatorname{T}-\lambda \operatorname{I})^{m}g(\operatorname{T})(y) = f(\operatorname{T})(y) = 0$$

  따라서 $x \in \ker((\operatorname{T}-\lambda \operatorname{I})^{m}) \implies \mathbf{K}_{\lambda}\subset \ker((\operatorname{T}-\lambda \operatorname{I})^{m})$ 이다. ■

• 증명

  $\operatorname{T}$ 의 특성다항식을 다음과 같이 두자.

  $$f(t) = (t - \lambda _1)^{n_1} (t - \lambda _2)^{n_2}\dots (t - \lambda _k)^{n_k}$$

  $j \in \{1,\dots,k\}$ 에 대하여 $f_j(t)$ 를 다음과 같이 두자.

  $$f_j(t) = \prod_{\substack{i \neq j \\ i = 1}}^{k}(t - \lambda _i)^{n_i}$$

  다항식 $f_i(t)$ 들은 서로소이므로 서로소 다항식들의 관계 정리에 대하여 다음이 성립한다.

  $$q_1(x)f_1(x) + q_2(x)f_2(x) + \dots + q_k(x)f_k(x) = 1$$

  따라서 $v \in \mathbf{V}$ 에 대하여 다음이 성립한다.

  $$q_1(\operatorname{T})f_1(\operatorname{T})(v) + q_2(\operatorname{T})f_2(\operatorname{T})(v) + \dots + q_k(\operatorname{T})f_k(\operatorname{T}) (v) = v$$

  두 다항식은 가환적이다. $v_i = q_i(\operatorname{T})f_i(\operatorname{T})(v) = f_i(\operatorname{T})q_i(\operatorname{T})(v)$ 라 하면 케일리-해밀턴 정리 에 의하여 다음이 성립한다.

  $$(\operatorname{T}-\lambda _i \operatorname{I})^{n_i}(v_i) = (\operatorname{T}-\lambda _i \operatorname{I})^{n_i}f_i(\operatorname{T})q_i(\operatorname{T})(v) = f(\operatorname{T})(q_i(\operatorname{T})(v)) = 0$$

  즉, $v_i \in \mathbf{K}_{\lambda_i}$ 이다. 이로써 $v = \displaystyle \sum_{i=1}^{k}v_i$ 를 만족하는 $v_i \in \mathbf{K}_{\lambda_i}$ 들의 존재성이 증명되었다. ▲

  이제 $v_i$ 들의 유일성을 증명하자. 정리 7.1-(1) 에 의하여 $\mathbf{K}_{\lambda_j}$ 는 $\operatorname{T}$-불변이다. 따라서 각 $\mathbf{K}_{\lambda_j}$ 들은 $f_j(\operatorname{T})$-불변이다. 정리 7.1-(3) 에 의하여 $f_j(\operatorname{T})$ 는 $\mathbf{K}_{\lambda_j}$ 에서 단사이고 정리 7.2-(2) 에 의하여 $i \neq j$ 에 대하여 $z \in \mathbf{K}_{\lambda_i} \implies f_j(\operatorname{T})(z) = 0$ 이다. 즉, $f_j(\operatorname{T})(\mathbf{K}_{\lambda_i}) = \{0\}$ 이다.

  $i \in \{1,\dots,k\}$ 에 대한 $v_i, w_i \in \mathbf{K}_{\lambda_i}$ 에 대하여 $\displaystyle v = \sum_{i=1}^{k}v_i = \sum_{i=1}^{k}w_i$ 라 하면 $j \in \{1,\dots,k\}$ 에 대하여 $f_j(\operatorname{T})$ 는 선형이므로 다음이 성립한다.

  $$f_j(\operatorname{T})(v) = \sum_{i=1}^{k}f_j(\operatorname{T})(v_i) = \sum_{i=1}^{k}f_j(\operatorname{T})(w_i)$$

  $i \neq j$ 이면 $f_j(\operatorname{T})(v_i) = f_j(\operatorname{T})(w_i) = 0$ 이므로 $f_j(\operatorname{T})(v_j) = f_j(\operatorname{T})(w_j)$ 이다. $f_j(\operatorname{T})$ 는 $\mathbf{K}_{\lambda_j}$ 에서 단사이므로 $v_j = w_j$ 이다. ■

• 증명

  1:

  정리 7.1-(2) 에서 바로 나온다. ▲

  2:

  $\beta _i$ 의 벡터들의 합을 $v_i$ 라 하고 $\beta$ 의 일차결합을 $0$ 이라 하면 다음이 성립한다.

  $$v_1 + v_2 + \dots + v_k = 0$$

  이 식은 $v_1 = v_2 = \dots = v_k = 0$ 일 때 성립한다. 정리 7.3 에 의하여 반드시 $v_1 = v_2 = \dots = v_k = 0$ 이다. $\beta _i$ 는 기저이므로 일차독립이고, $v_i = 0$ 에서 모든 계수가 $0$ 이 된다. 따라서 $\beta$ 는 일차독립이다. ▲

  정리 7.3 에 의하여 임의의 벡터 $v \in \mathbf{V}$ 에 대하여 $v = v_1+v_2+\dots+v_k$ 인 벡터 $v_i \in \mathbf{K}_{\lambda_i}$ 가 존재한다. $v_i$ 는 $\beta _i$ 의 일차결합이므로 $v$ 는 $\beta$ 의 일차결합이다. 즉, $\operatorname{span} (\beta ) = \mathbf{V}$ 이다. ▲

  3:

  정리 5.3 에 의하여 $\operatorname{T}$ 의 특성다항식 $f(t)$ 에 대하여 $\dim (\mathbf{V}) = \deg (f)$ 이다. 따라서 $\displaystyle \dim (\mathbf{V}) = \sum_{i=1}^{k}m_i$ 이다. 한편 2) 는 $\beta _i$ 들이 서로 일차독립임을 말해주므로 $\displaystyle \dim (\mathbf{V}) = \sum_{i=1}^{k}\dim (\mathbf{K}_{\lambda_i})$ 이다. 따라서 $\displaystyle \sum_{i=1}^{k}(m_i - \dim (\mathbf{K}_{\lambda_i})) = 0$ 이다. 정리 7.2-(1) 에 의하여 $m_i - \dim (\mathbf{K}_{\lambda_i}) \geq 0$ 인데 $m_i - \dim (\mathbf{K}_{\lambda_i}) > 0$ 이면 모순이므로 $m_i = \dim (\mathbf{K}_{\lambda_i})$ 이다. ■

• 증명

  정리 5.8-(1) 은 모든 고윳값 $\lambda$ 의 중복도가 $\dim (\mathbf{E}_{\lambda})$ 와 같으면 $\operatorname{T}$ 가 대각화가능함을 말해준다. 정리 7.4-(3) 은 고윳값의 중복도가 $\dim (\mathbf{K}_{\lambda})$ 와 같으므로 모든 고윳값에 대하여 $\dim (\mathbf{E}_{\lambda}) = \dim (\mathbf{K}_{\lambda})$ 인 것과 $\operatorname{T}$ 가 대각화가능하다는 것은 동치임을 말해준다.

  $\operatorname{T}$ 가 대각화가능함을 가정하자. $\dim (\mathbf{E}_{\lambda}) = \dim (\mathbf{K}_{\lambda})$ 이다. $\mathbf{E}_{\lambda}\subset \mathbf{K}_{\lambda}$ 이므로 $\mathbf{E}_{\lambda}=\mathbf{K}_{\lambda}$ 이다. ▲

  $\mathbf{E}_{\lambda}=\mathbf{K}_{\lambda}$ 이면 $\dim (\mathbf{E}_{\lambda}) = \dim (\mathbf{K}_{\lambda})$ 이므로 $\operatorname{T}$ 는 대각화가능하다. ■

The Jordan Canonical Form I✔

• 정리 7.4-(2) 에 의하여 일반화된 고유공간들의 순서기저의 합집합 $\beta$ 는 $\mathbf{V}$ 의 순서기저가 된다. 따라서 $\beta$ 로 선형연산자 $\operatorname{T}$ 를 행렬표현 할 수 있다.

• $A_i$ 들이 $(\lambda )$ 꼴이면 $[\operatorname{T}]_{\beta }$ 는 대각행렬이 된다.

• 예시

  $\Bbb{C}^{8}$ 의 선형연산자 $\operatorname{T}$ 와 $\Bbb{C}^{8}$ 의 조르당 표준기저 $\beta = \{v_1, v_2, \dots, v_8\}$ 에 대하여 다음 행렬 $J$ 는 $\operatorname{T}$ 의 조르당 표준형이다.

  $$J = [\operatorname{T}]_{\beta } = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}$$

  $\operatorname{T}$ 의 특성다항식은 $\det(J-tI) = (t - 2)^{4}(t - 3)^{2}t ^{2}$ 이다. 각 고윳값은 그 중복도만큼 $J$ 의 대각성분에 등장한다. $J$ 는 고윳값 $2$ 에 대한 조르당 블록 $A_1 = \begin{pmatrix} 2&1&0\\ 0&2&1\\ 0&0&2\\ \end{pmatrix}, A_2 = (2)$ 와 고윳값 $3$ 에 대한 조르당 블록 $A_3 = \begin{pmatrix} 3&1\\ 0&3\\ \end{pmatrix}$ 과 고윳값 $0$ 에 대한 조르당 블록 $A_4 = \begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0\\ \end{pmatrix}$ 으로 이루어진 $\operatorname{T}$ 의 조르당 표준형이다.

  $\beta$ 의 모든 벡터는 $\operatorname{T}$ 의 일반화된 고유벡터이고 $\operatorname{T}$ 의 고유벡터는 $v_1, v_4, v_5, v_7$ 이다. 1열, 4열, 5열, 7열만이 유일하게 대각성분만을 지니기 때문에 $\operatorname{T}(v) = \lambda v$ 꼴이 성립한다. $\beta$ 의 벡터들이 $\operatorname{T}$ 의 일반화된 고유벡터의 정의를 만족할까? $\operatorname{T}(v_2) = v_1 + 2v_2 \implies (\operatorname{T}-2 \operatorname{I})(v_2) = v_1$ 이다. 비슷한 논리로 $(\operatorname{T}-2 \operatorname{I})(v_3) = v_2$ 이다. $(\operatorname{T}-2 \operatorname{I})(v_1) = (\operatorname{T}-2 \operatorname{I})(v_4) = 0$ 이므로 다음이 성립한다.

  $$(\operatorname{T}-2 \operatorname{I})(v_1) = 0$$
  $$(\operatorname{T}-2 \operatorname{I})^{2}(v_2) = 0$$
  $$(\operatorname{T}-2 \operatorname{I})^{3}(v_3) = 0$$
  $$(\operatorname{T}-2 \operatorname{I})(v_4) = 0$$

  즉, $v_1, v_2, v_3, v_4$ 는 $\operatorname{T}$ 의 일반화된 고유벡터이다. 비슷한 논리로 다음을 얻는다.

  $$(\operatorname{T}-3 \operatorname{I})(v_5) = 0$$
  $$(\operatorname{T}-3 \operatorname{I})^{2}(v_6) = 0$$
  $$(\operatorname{T} - 0 \operatorname{I} )(v_7) = 0$$
  $$(\operatorname{T} - 0 \operatorname{I})^{2}(v_8) = 0$$

• 조르당 표준형이 연산자의 특성다항식으로 결정되는 것은 아니다. 가령 위 예시의 $\beta$ 에 대한 $\Bbb{C}^{8}$ 의 선형연산자 $\operatorname{T}'$ 의 행렬표현(조르당 표준형)이 다음과 같다고 하면 여전히 $\operatorname{T}'$ 의 특성다항식은 $(t-2)^{4}(t-3)^{2}t ^{2}$ 이지만 조르당 표준형이 $J$ 와 다르다.

  $$J' = [\operatorname{T}']_{\beta } = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}$$

• 바로 위의 예시를 가져와서 설명해보자. $i \in \{1,2,3,4\}$ 에 대하여 $(\operatorname{T}-2 \operatorname{I})^{3}(v_i) = 0$ 이 성립한다. $i \in \{5, 6\}$ 에 대하여 $(\operatorname{T}-3 \operatorname{I})^{2}(v_i)$ 이다. $i \in \{7,8\}$ 에 대하여 $(\operatorname{T}-0 \operatorname{I})^{2}(v_i) = 0$ 이다.

• 이 성질로부터 일반화된 고유벡터의 정의가 자연스럽게 유도된다.

cycle✔

• 일반화된 고유벡터의 순환은 조르당 연쇄(Jordan chain)이라고도 한다.

• 조르당 표준기저를 만들기 위해서는 일반화된 고유공간의 순서기저를 "적절히" 선택하면 된다고 했었다. 일반화된 고유공간의 순서기저를 적절히 선택하기만 하면 정리 7.4 에 의하여 조르당 표준기저를 만들 수 있다.

  그렇다면 그 "적절히" 라는 것이 대체 뭘까? 조르당 표준기저 의 예시에서 보았던 조르당 표준기저 $\beta$ 에 대하여 $v_1, v_2, v_3, v_4 \in \mathbf{K}_{2}$ 이다. $v_1, v_2, v_3$ 는 조르당 블록 $A_1$ 을 결정했었는데, 이들 벡터는 다음과 같은 꼴이다. 이때 $(\operatorname{T}-2 \operatorname{I})^{3}(v_3) = (\operatorname{T} - 2 \operatorname{I})^{2}(v_2) = (\operatorname{T}-2 \operatorname{I})(v_1) = 0$ 이다.

  $$\{v_1, v_2, v_3\} = \{(\operatorname{T}-2 \operatorname{I})^{2}(v_3), (\operatorname{T}-2 \operatorname{I})(v_3), v_3\}$$

  $\beta$ 의 서로소 부분집합 $\beta _1 = \{v_1,v_2,v_3\}, \beta _2 = \{v_4\}, \beta _3 = \{v_5, v_6\}, \beta _4 = \{v_7, v_8\}$ 은 $\operatorname{T}$ 의 일반화된 고유벡터의 순환이다. $\beta$ 는 이 순환들로 분할된다. 이때 $i \in \{1,2,3,4\}$ 에 대하여 $\mathbf{W}_i = \operatorname{span} (\beta _i)$ 로 두면 $\beta _i$ 는 $\mathbf{W}_i$ 의 기저이고 $[\operatorname{T}_{\mathbf{W}_i}]_{\beta _i}$ 는 $\operatorname{T}$ 의 조르당 표준형의 $i$번째 조르당 블록 $A_i$ 가 된다. 즉, $[\operatorname{T}_{\mathbf{W}_i}]_{\beta _i} = A_i$ 가 되어 조르당 표준기저를 $\bigcup_{}^{}\beta _i = \beta$ 로 만들 수 있다.

• 시작벡터는 순환의 유일한 고유벡터이다. $x$ 가 $\operatorname{T}$ 의 고유벡터이면 순환의 길이는 $1$ 이다.

• 이 정리는 순환을 기반으로 조르당 표준기저를 찾는 방법을 알려준다. 그러나 이 정리를 사용하려면 먼저 일반화된 고유벡터의 순환으로 분할되는 기저의 존재성이 성립해야 한다. 순환으로 분할되는 기저가 존재할 필요충분조건은 특성다항식이 완전히 인수분해된다는 것인데 아래의 정리 7.7 따름정리에서 이를 증명할 것이다.

• 조르당 표준기저 의 예시에서 순환 $\{v_1, v_2, v_3\}$ 은 조르당 블록 $A_1 = \begin{pmatrix} 2&1&0\\ 0&2&1\\ 0&0&2\\ \end{pmatrix}$ 을 만들었다. 1) 은 임의의 순환, 즉 가령 $\{v_1, v_2\}$ 를 택해도 조르당 블록 $\begin{pmatrix} 2&1\\ 0&2\\ \end{pmatrix}$ 이 생성된다는 것을 말해준다. 물론 이런 식으로 조르당 블록을 생성하면 조르당 표준형이 제대로 만들어지지 않는다. 그러나 $\mathbf{V}$ 의 기저 $\beta$ 가 순환의 분할로 표현된다는 조건으로 인하여 임의의 순환을 택할 수 없다는 것을 알 수 있다. 반드시 합집합해서 $\mathbf{V}$ 의 기저가 되는 순환을 택해야 조르당 표준기저를 만들 수 있다. 이는 순환이 되는 극대집합을 택해야 조르당 표준기저를 만들 수 있다는 것을 의미한다. $\{v_1, v_2, v_3\}$ 은 순환 극대집합이다. $\{v_1\}$ 이나 $\{v_1, v_2\}$ 도 순환이지만 극대집합이 아니므로 이것으로 $\mathbf{V}$ 의 기저를 분할할 수 없다.

• 증명

  1:

  고윳값 $\lambda$ 에 대응하는 길이가 $p$ 인 순환 $\gamma = \{v_1, v_2, \dots, v_p\}$ 와 $\gamma$ 의 종료벡터 $x$ 에 대하여 다음이 성립한다.

  $$i < p \implies v_i = (\operatorname{T}-\lambda \operatorname{I})^{p-i}(x) \land v_p = x$$

  따라서 $(\operatorname{T}-\lambda \operatorname{I})(v_1) = (\operatorname{T}-\lambda \operatorname{I})(\operatorname{T}-\lambda \operatorname{I})^{p-1}(x) = 0$ 이다. $i > 1$ 일 때는 다음이 성립한다.

  $$(\operatorname{T}-\lambda \operatorname{I})(v_i) = (\operatorname{T}-\lambda \operatorname{I})^{p-(i-1)}(x) = v _{i-1}$$

  즉, 모든 경우에서 $(\operatorname{T}-\lambda \operatorname{I})$ 는 $\mathbf{W}$ 의 기저 $\gamma$ 의 벡터를 $\gamma$ 의 일차결합으로 사상시킨다. 따라서 $\mathbf{W}$ 는 $(\operatorname{T}-\lambda \operatorname{I})$-불변이다. 그러면 자명하게 $\mathbf{W}$ 는 $\operatorname{T}$-불변이다. ▲

  $\operatorname{T}(v_1) = \lambda v_1$ 이고 $(\operatorname{T}-\lambda \operatorname{I})(v_i) = v _{i-1} \implies \operatorname{T}(v_i) = v _{i-1} + \lambda v_i$ 이므로 $[\operatorname{T}_{\mathbf{W}}]_{\gamma }$ 는 조르당 블록이다. ▲

  2:

  $\beta$ 가 순환 $\beta _1, \beta _2, \dots, \beta _k$ 로 분할된다고 하자. 고윳값 $\lambda _j$ 에 대응하는 순환 $\beta _j = \{v _{1j}, v _{2j}, \dots, v _{n_j,j}\}$ 에 대하여 1) 에 의하여 다음이 성립한다.

  $$\operatorname{T}(v _{1j}) = \lambda _j v _{1j}, \operatorname{T}(v _{ij}) = v _{i-1,j} + \lambda v _{ij}$$

  즉, 순환 $\beta _j$ 은 1) 에 의하여 조르당 블록 $A_j$ 를 만든다. 따라서 $\beta$ 에 대하여 다음이 성립한다.

  $$[\operatorname{T}]_{\beta } = \begin{pmatrix} A_1&O&\dots&O\\ O&A_2&\dots&O\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots \\ O&O&\dots&A_k\\ \end{pmatrix}$$

  즉, 순환으로 분할되는 $\mathbf{V}$ 의 기저는 조르당 표준기저이다. ■