HyperrealSurrealNumbers

Hyperreal Number✔

• Cofinite 는 무한집합일 수도 있고 유한집합일 수도 있다.

• 초실수를 구성하기 위하여 우리는 \(\N\) 에 대한 자유 극대필터를 사용한다.

• 이때 자유 극대필터라는 것을 극대필터가 \(\N\) 의 유한 부분집합을 포함하지 않는다는 것으로 정의한다. 그러면 자유 극대필터는 성질 4) 로 인하여 \(\N\) 의 모든 유한 부분집합에 대한 cofinite 를 포함한다.

  그러므로 우리가 사용할 \(\N\) 의 자유 극대필터는 무한집합만을 포함한다. 그리고 이 무한집합들은 \(\N\) 의 유한집합에 대한 cofinite 들인 것이다.

  Ultrafilter 는 무한 실수 수열의 집합에서 그들이 유한번 달라서 동치 관계 \(\equiv\) 로 묶일 수 있는 원소들을 수집해준다.

  극대필터는 큰 집합이 필요할 때 작은 집합을 걸러내는 체처럼 사용된다.

• 이제부터 \(\N\) 의 자유 극대필터를 \(\mathcal{F}\) 로 두고 계속 사용할 것이다.

• 증명

  초른의 보조정리 를 사용하면 이를 만족하는 많은 \(\mathcal{F}\) 가 존재한다는 것을 증명할 수 있다.

  그러나 이들을 명시적으로 구성하여 보일 수는 없다.

• 초실수를 정의하기 위한 \(\R ^{\N}\) 에서의 이 동치관계는 서로 동치인 집합을 잡아내기 위하여 ultrafilter 를 사용한다.

• 쉽게 말해서 실수 수열이 유한하게 서로 다르다면 두 실수 무한수열(초실수)이 서로 같다고 정의한다는 것이다.

• 예시

  두 실수 무한 수열 \(x = \big < 1,2,3,4, \dots \big >, y = \big < 1,2,2,4, \dots \big >\) 가 오직 \(3\) 번째 항에서 다르다면 \(x \equiv y\) 라고 정의한다.

• 증명

  \(\{n \in \N : r_n = r_n\} = \N\) 이고 \(\N \in \mathcal{F}\) 이므로 \(\equiv\) 는 reflexive 하다. ▲

  \(\{ n \in \N : r_n = s_n\} = \{n \in \N : s_n = r_n\}\) 이므로 어느 한쪽이 \(\mathcal{F}\) 에 속하면 다른 한쪽도 속한다. 그러므로 \(\equiv\) 는 symmetric 하다. ▲

  \(\big < r_n \big > \equiv \big < s_n \big > \land \big < s_n \big > = \big < t_n \big >\) 라고 하면

  \[ \{n \in \N : r_n = s_n\} \in \mathcal{F} \land \{n \in \N : s_n = t_n\} \in \mathcal{F} \]

  이다.

  \[ \{n \in \N : r_n = s_n\} \cap \{n \in \N : s_n = t_n\} \subseteq \{n \in \N : r_n = t_n\} \]

  인데 \(\mathcal{F}\) 는 극대필터로써 교집합에 대하여 닫혀있고 superset 에 대하여 닫혀있으므로

  \[ \{n \in \N : r_n = t_n\} \in \mathcal{F} \]

  이다. 그러므로 \(\big < r_n \big > \equiv \big < t_n \big >\) 이다. 즉, \(\equiv\) 는 transitive 하다. ■

Hyperreal Number✔

• 초실수는 다음과 같이 정의할 수도 있다.

  \[ ^{*}\R = \left(\prod_{n \in N}^{\R}\right) / \mathcal{F} = \prod_{\mathcal{F}}^{}\R = \{[r] : r \in \R ^{\N}\} = \R ^{\N} /\equiv \]

• 유리수가 실수의 부분체이듯이, 실수는 초실수의 부분체이다.

• 비표준해석학(Non-standard analysis)은 해석학을 연구하기 위하여 \(\epsilon,\delta\) 와 거리함수를 사용하는 대신 초실수(주로 무한소)를 사용한다. 일반적인 실수체에서는 무한대와 무한소가 존재하지 않는데 초실수체에서는 무한대와 무한소가 존재하여 비표준해석학을 전개할 수 있다.

• 역사적으로 라이프니츠가 미적분에 무한소를 사용했지만 아무도 그것에 이의를 제기하지 않았다. 가령 오일러는 많은 정리를 증명하기 위하여 무한소를 사용했지만 무한소에 대한 이론적 기반은 전무했다. 예를 들어 \(f(x) = x ^{2}\) 를 미분하여

  \[ \dfrac{(x+\epsilon )^{2}-x ^{2}}{\epsilon } = \dfrac{2x \epsilon +\epsilon ^{2}}{\epsilon }=2x+\epsilon \]

  를 얻으면 \(\epsilon\) 을 무한소로 취급하여 무시하고 \(2x\) 라는 결과를 얻었다. 하지만 19세기 수학의 엄밀함이 중요하다는 인식이 널리 퍼지면서 무한소가 폐지되고 Weierstrass 이 \(\epsilon - \delta\) 논법으로 극한을 정의했다. 이후 1960년대 로빈슨이 모델이론을 정립할 때까지 무한소에 대한 이론은 정립되지 않았다.

• 초실수의 구성은 자연수, 정수, 유리수, 실수의 구성 과정과 같은 맥락이다.

  우리는 \(\N\) 을 공집합으로부터 \(S(x) = x \cup \{x\}\) 연산으로 구성해내었다. \(\N\) 을 기반으로하는 ordered pair 로 \(\Bbb{Z}\) 를 구성해내었다. \(\Bbb{Q}\) 는 \(\Bbb{Z}\) 를 기반으로 하는 동치류로 구성했었다. \(\R\) 은 \(\Bbb{Q}\) 를 기반으로 데데킨트 절단으로 구성할 수 있고 코시 수열의 동치류로도 구성할 수 있었다.

  초실수의 구성, 즉 \(^{*}\R\) 의 구성은 코시 수열의 동치류로 \(\R\) 을 구성했던 것과 비슷하다. 초실수의 구성은 무한한 실수 수열의 집합인 \(\R ^{\N}\) 의 동치류를 기반으로 이루어진다. 이 동치관계를 정의하기 위하여 극대필터라는 수학적 장치가 필요한 것이다.

• 이러한 초실수체 \({}^{*}\R\) 은 사실 선택하는 자유 극대필터 \(\mathcal{F}\) 에 따라서 달라진다.

  연속체 가설 을 가정하면 모든 초실수체는 순서체로써 서로 동형이다. 그러나 연속체 가설 을 부정한다면 서로 동형이 아닌 초실수체가 존재하게 된다.

• 증명 (https://math.stackexchange.com/questions/54059/cardinality-of-the-set-of-hyperreal-numbers)

  초실수체 \({}^{*}\R\) 이 가산 index 집합 \(\N\) 에 대한 실수 \(\R\) 의 초거듭제곱(ultrapower) \({}^{*}\R = (\prod_{n \in \N}^{}\R) / \mathcal{F}\) 로 구성되었으므로 자명하게 \(|\R| \leq |{}^{*}\R |\) 이다.

  실수의 기수가 \(|\R| = 2 ^{\aleph _0}\) 이고, \(|{}^{*}\R |\) 이 실수체에 대한 가산 index 집합 \(\N\) 의 거듭제곱이므로

  \[ 2 ^{\aleph _0} = |\R| \leq | {}^{*}\R | \leq (2 ^{\aleph _0}) ^{\aleph _0} = 2 ^{\aleph _0 \times \aleph _0} \]

  이다. 그런데 \(\aleph _0 \times \aleph _0 = \aleph _0\) 이므로 결국

  \[ 2 ^{\aleph _0} \leq | {}^{*}\R | \leq 2 ^{\aleph _0 } \]

  이다. ■

• 초실수에서의 실수는 그것 자신의 무한 수열이다.

  • 예시

    \(=\) 좌측은 초실수이고 우측은 실수 무한수열의 동치류이다.

    \[ 0 = [\big <0, 0, 0, \dots\big >] \]
    \[ \pi = [\big <\pi, \pi, \pi, \dots\big >] \]

Order✔

Addition, Multiplication✔

• 예시

  \[ (a_0, a_1, a_2, \dots) + (b_0, b_1, b_2, \dots) = (a_0 + b_0, a_1 + b_1, a_2 + b_2, \dots) \]

• 이제부터 \(\llbracket \rrbracket\) 를 다른 모든 관계기호에도 자유롭게 사용할 것이다.

  • 예시

    \[ \llbracket r \in A \rrbracket = \{n \in \N : r_n \in A\} \]

• 증명

  \(+\) 가 잘 정의되었음을 보이자. \(\big <r_n\big > \equiv \big <r'_n\big >, \big <s_n\big > \equiv \big <s'_n\big >\) 은 \(\llbracket r = r' \rrbracket \in \mathcal{F}, \llbracket s = s' \rrbracket \in \mathcal{F}\) 을 뜻한다. 또 이는 극대필터의 성질에 의하여 \(\llbracket r=r' \rrbracket \cap \llbracket s = s' \rrbracket \in \mathcal{F}\) 을 함의한다.

  우리가 보여야 할 것은 \(\llbracket r + s = r' + s' \rrbracket \in \mathcal{F}\) 이다. 어떤 \(k \in \N\) 에 대하여

  \[r_k = r'_k, s_k = s'_k \implies r_k + s_k = r'_k + s'_k\]

  이므로 만약 \(k \in \llbracket r=r' \rrbracket \cap \llbracket s = s' \rrbracket\) 이면 \(k \in \llbracket r+s = r'+s' \rrbracket\) 이다. 이는

  \[ \llbracket r = r' \rrbracket \cap \llbracket s = s' \rrbracket \subseteq \llbracket r+s = r'+s' \rrbracket \]

  임을 말해준다. \(\llbracket r=r' \rrbracket \cap \llbracket s = s' \rrbracket \in \mathcal{F}\) 이므로 극대필터의 성질에 의하여 \(\llbracket r+s = r'+s' \rrbracket\) 이다. 그러므로

  \[ r \equiv r' \land s \equiv s' \implies r+s \equiv r'+s' \]

  이다. ▲

  \(\cdot\) 이 잘 정의되었다는 것도 비슷하게 증명된다. ▲

  \(<\) 가 잘 정의되었다는 것은

  \[ \big <r_n\big > \equiv \big <r'_n\big > \land \big <s_n\big > \equiv \big <s'_n\big > \land \llbracket r<s \rrbracket \in \mathcal{F} \implies \llbracket r' < s' \rrbracket \in \mathcal{F} \]

  이다. 이것을 증명해야 한다. 먼저 극대필터의 성질과 가정에 의하여

  \[ \llbracket r=r' \rrbracket \cap \llbracket s=s' \rrbracket \cap \llbracket r<s \rrbracket \in \mathcal{F} \]

  이다. 만약 \(k \in \llbracket r=r' \rrbracket \cap \llbracket s=s' \rrbracket \cap \llbracket r<s \rrbracket\) 이면 \(r_k = r'_k, s_k = s'_k, r_k < s_k\) 이고, 그러므로 \(r'_k < s'_k\) 이다. 따라서 \(k \in \llbracket r' < s' \rrbracket\) 이다. 이는

  \[ \llbracket r=r' \rrbracket \cap \llbracket s=s' \rrbracket \cap \llbracket r<s \rrbracket \subseteq \llbracket r' < s' \rrbracket \]

  을 뜻하고, 극대필터의 성질에 의하여 \(\llbracket r' < s' \rrbracket \in \mathcal{F}\) 이다. ■

infinitesimal, unlimited✔

• 이 정리는 무한소를 정의하고 존재성을 증명한다. 무한소의 정의로 인하여 무한소는 양수도 될 수 있고 음수도 될 수 있으나 일단 이 논의에서는 걱정하지 않아도 된다.

• 증명

  우선 \(r \in \R\) 을 \({}^{*}\R\) 에서 \(^{*}r \in {}^{*}\R\) 로 표현해야 하지만 편의상 \(*\) 를 제거하고 실수 \(r\) 을 초실수 \(r\) 로 표현하자.

  \(\epsilon = \bigg [\bigg <1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{4}, \dots\bigg >\bigg ] = \bigg [\bigg <\dfrac{1}{n}\bigg >\bigg ]\) 라고 잡자. 그러면 임의의 \(r \in \R\) 에 대하여 \(\bigg \{n \in \N : \dfrac{1}{n} > r \bigg \}\) 은 유한집합이다. 그러므로 \(\bigg\{n \in \N : \dfrac{1}{n} < r \bigg \} \in \mathcal{F}\) 이다. 그러므로 \(\epsilon < r\) 이다. ▲

  또한 \(\{n \in \N : 0 < \frac{1}{n}\} = \N \in \mathcal{F}\) 이므로 \(0 < \epsilon\) 이다. ■

• 증명

  \(\omega = [\big <1,2,3,\dots\big >] = [\big <n\big >]\) 라고 잡자. 임의의 실수 \(r\) 에 대하여 \(\{n \in \N : r \geq n\}\) 은 유한집합이므로 \(\{n \in \N : r < n\} \in \mathcal{F}\) 이다. 이는 \(\omega > r\) 임을 말해준다. ■

• 초실수체의 무한소와 무한대

  

• 무한대, 무한소가 비표준 초실수이다.

• 무한대가 아닌 초실수를 유한 초실수(finite hyperreal)라고 한다. 아래 그림에서와 같이 모든 유한 초실수 \({}^{*} r\) 은 실수 \(r\) 과 무한소 초실수 \(\epsilon\) 의 합으로 유일하게 나타낼 수 있다. 이때 \(r\) 을 \({}^{*} r\) 의 표준 부분(standard part) 이라고 하고 \(\operatorname{st} ({}^{*} r)\) 이라고 쓴다.

• 초실수체에서의 실수는 이 함수가 표현한다. 유한 초실수는 아래 정리에서 살펴보듯이 실수와 무한소의 합으로 나타내어 진다. 무한소는 이렇게 구성해보았다. 무한대는 이렇게 구성해보았다.

  아래 그림은 초실선을 나타낸다.

  

Jump to Hyperreal Number✔

hyperreal extension✔

• 예시

  \(A = (0, 1), r = \big <0.9, 0.99, 0.999, \dots\big >\) 로 잡자. 그러면

  \[ \llbracket r \in (0, 1) \rrbracket = \N \in \mathcal{F} \implies r \in {}^{*}(0, 1) \]

  이다.

• \(A = \N, \omega = \big <1,2,3,\dots\big >\) 로 잡자. 그러면

  \[ \llbracket \omega \in \N \rrbracket = \N \in \mathcal{F} \implies \omega \in {}^{*}\N \]

  이다. 이는

  \[ {}^{*} \N = \{[s] \in {}^{*}\R : \{i \in \N : s_i \in \N\} \in \mathcal{F}\} \]

  \(^{*}\N\) 을 초자연수(hypernatural) 이라고 한다.

• 증명

  \(\llbracket r \in A \rrbracket = \{n \in \N : r_n \in A\}\) 에서

  \[ \llbracket r=r' \rrbracket \cap \llbracket r \in A \rrbracket \subseteq \llbracket r' \in A \rrbracket \]

  이다. \(r \equiv r' \land \llbracket r \in A \rrbracket \in \mathcal{F}\) 이면 \(\llbracket r' \in A \rrbracket \in \mathcal{F}\) 이므로 증명이 끝났다. ■

Extending functions✔

• 증명

  먼저 편의상 \(f \circ r\) 을 초실수 \(r\) 의 수열을 함수 \(f\) 에 적용한 수열

  \[ f \circ r := \big <f(r_1), f(r_2), \dots\big > \]

  로 정의하자.

  일반적으로 \(\llbracket r=r' \rrbracket \subseteq \llbracket f \circ r = f \circ r' \rrbracket\) 가 성립한다. 그러므로

  \[ r \equiv r' \implies {}^{*}f(r) = f \circ r \equiv f \circ r' = {}^{*}f(r')\]

  이다. 그러므로 Funciton extension 은 잘 정의되었다. ■

• 실가함수의 경우 이렇게 정의되는 이유는 \(r \in {}^{*}A\) 의 모든 성분이 \(A\) 에 포함되지 않을 수도 있기 때문이다. 즉, \(f(r_i)\) 가 정의되지 않은 인덱스 \(i\) 가 존재할 수도 있다.

  따라서 이런 경우에, 즉 \(r_i \not\in A\) 일 때는 \(f(r_i) = 0\) 로 정의해버리는 것이다.

• 실가함수의 function extension 이 잘 정의되어서 초수열 \(s: {}^{*}\N \to {}^{*}\R\) 에서 \(s_n\) 가 \(n \in {}^{*}\N \setminus \N\) 일 때도 초수열을 만들 수 있다.

Transfer Principle✔

• 이 정리는 실수에 대하여 잘 정의된 1차논리 명제를 \(*\)-변환(Set Enlargement, Function extension, etc.)으로 초실수에 대한 명제로 변환하면 두 명제의 진리값이 서로 같다는 것을 말해준다.

• \(\phi\) 를 \({}^{*}\phi\) 로 \({}^{*}\)-변환을 한 것은 Set Enlargement, Funciton extension 등을 사용하여 일차논리 명제 \(\phi\) 가 포함하는 관계 \(P\), 함수 \(f\), 상수 \(r\) 을 모두 \({}^{*}P, {}^{*}f, {}^{*}r\) 로 치환한다는 것이다.

• 예시

  \[ \forall n \in \N, \exists m \in \N : m > n \]

  의 \(*\)-변환은

  \[ \forall n \in {}^{*}\N, \exists m \in {}^{*}\N : m {}^{*}> n \]

  이다.

  \[ \forall x \in \R : \sin (x) < 2 \]

  의 \(*\)-변환은

  \[ \forall x \in {}^{*}\R : {}^{*}\sin (x) {}^{*}< {}^{*}2 \]

  이다. 근데 일반적으로 편의상 상수와 함수와 부등호에 있는 \(*\) 는 제거한다. 그래서 결국

  \[ \forall n \in {}^{*}\N, \exists m \in {}^{*}\N : m>n \]
  \[ \forall x \in {}^{*}\R : \sin (x) < 2 \]

  가 된다.

• 이 정리가 비표준 해석학에서 가장 중요한 도구 중 하나이다.

• 이 정리 덕분에 실수에 대한 명제를 그대로 초실수에 대한 명제로써 사용할 수 있다. 이는 모델 이론 덕분에 가능하다.

• 예시

  실수에 대한 commutativity 를 초실수에서도 사용할 수 있다.

  실수는 순서체이다. 그러므로 초실수도 순서체이다.

• 초실수 이론은 1차 논리를 사용한다.

• \({}^{*}\R \to \R\) 방향으로 이 정리를 사용해야 할 때도 있을 것이다. 이것도 물론 가능하다. 그러나 초실수 명제에서 초실수 상수를 포함하면 안된다는 제약이 있다.

  그러나 초실수 상수를 포함하는 명제를 반드시 실수로 변환해야 하는 상황이라면 초실수 상수를 변수 \(x\) 로 치환하고 \(A \subseteq \R\) 에 대한 \(\exists x \in {}^{*}A\) 라는 양화사를 추가하는 것이 한가지 방법이다.

• 증명

  이 정리에 대한 엄밀한 증명은 매우 어려운 모델 이론과 공리적 연역을 사용하므로 생략한다.

  이 정리가 왜 성립하는지에 대한 아이디어는 이해하기 쉽다. \(M_i\) 의 곱집합에 대한 극대필터 \(\mathcal{U}\)

  \[ \prod_{i \in \N}^{} M_i /\mathcal{U} \]

  를 생각하자. 만약 1차 논리 명제 \(\phi\) 가 각각의 \(M_i\) 에 대하여 성립하고 극대필터에 의하여 captured 된다면 \(\phi\) 는 ultraproduct \(\prod_{i \in \N}^{} M_i /\mathcal{U}\) 에서도 성립한다.

  이제 \(M_i = \R, \mathcal{U} = \mathcal{F}\) 로 두고, 초실수의 정의 \(^{*}\R = (\prod_{n \in N})\R / \mathcal{F}\) 를 생각하자. 그러면 위 논증에 의하여 1차 논리 명제 \(\phi\) 가 \(\R\)에 서 성립하면 \({}^{*}\R\) 에서도 성립한다는 것이 조금은 이해될 것이다.

• 하지만 이 정리로 인하여 초실수체가 실수체와 완전히 동일하게 작동한다고 볼 수 있는 것은 아니다.

  가령 초실수체에서는 아르키메데스 성질가 성립하지 않는다. 왜냐하면 양의 무한대는 \(1\) 을 유한번 더한 값보다 항상 크기 때문이다.

  또한 이 사실을 아르키메데스 성질을 1차 논리로 기술할 수 없기 때문이라고도 설명할 수 있다. 1차 논리로 기술할 수 없기에 transfer principle 을 사용할 수 없다.

• 증명

  절단에 의한 정리와 코시 수열에 의한 정리에 의하여 \(\R\) 은 순서체이다. 이는 일차논리에 의한 명제로 표현가능하다.

  \(\R\) 의 commutativity 에 대한 정리를 transfer principle 로 다음과 같이 변환할 수 있다.

  \[ \forall x, y \in \R : x+y=y+x \]
  \[ \forall x,y \in {}^{*}\R : x + y = y + x \]

  마찬가지로 순서체의 조건들은 1차 논리 명제이므로 transfer principle 로 초실수의 명제로 변환시킬 수 있다.

  그러므로 \(\big <{}^{*}\R , +, \cdot , <\big >\) 은 순서체이다. ■

• 물론 \(\R\) 의 중요한 성질 중 하나는 실수체가 완비적이라는 것이다. 그러므로 \(\R\) 의 공집합이 아니고 위로 유계인 부분집합은 상한을 가진다.

  그러면 이상하다. 완비순서체는 오로지 실수체라는 것을 우리는 이미 알고 있다. 그런데 Transfer principle 로 실수의 완비성에 대한 명제를 초실수로 변환할 수 있지 않을까?

  하지만 실수의 완비명제를 초실수로 변환하는 것은 불가능하다. 실수의 완비성이 초실수의 완비성으로 변환될 수 없는 이유는 초실수의 완비성이 오로지 2차 논리 명제로만 표현되기 때문이다. 왜냐하면 단순히 \(\R\) 의 성분을 언급하는 것이 아니라 \(\R\) 의 부분집합을 언급해야만 하기 때문이다.

  사실은 그래서 초실수체 \({}^{*}\R\) 는 완비적이지 않다.

  • 예시

    열린구간 \((0, 1) \in \R\) 은 \({}^{*}\R\) 에서 상한을 갖지 않는다. (이건 왜 그럴까)

• 증명

  임의의 집합 \(A, B \subset \R\) 에 대하여 합집합의 정의 에 의하여

  \[ \forall x \in \R : ( x \in A \cup B \iff x \in A \lor x \in B) \]

  가 성립한다. transfer principle 에 의하여 이 명제를 변환한 명제

  \[ \forall x \in {}^{*} \R : ( x \in {}^{*}(A \cup B) \iff x \in {}^{*} A \lor x \in {}^{*} B) \tag{1} \]

  도 성립한다. 또한 임의의 집합 \(X,Y \in {}^{*}\R\) 에 대하여

  \[ \forall x \in {}^{*} \R : ( x \in (X \cup Y) \iff x \in X \lor x \in Y) \tag{2} \]

  가 성립한다. \((1), (2)\) 를 결합하여

  \[ \forall \in {}^{*}\R : x \in {}^{*}(A \cup B) \iff x \in ({}^{*}A \cup {}^{*}B) \]

  가 성립한다. 그러므로

  \[ {}^{*}(A \cup B) = {}^{*}A \cup {}^{*}B \]

  이다. ▲

  나머지 명제도 비슷하게 증명가능하다. ■

• \({}^{*}(\bigcup_{n \in \N}^{}) A_n\) 이 \((\bigcup_{n \in \N}^{} {}^{*}A_n)\) 과 같을 필요는 없다.

  가령 \(A_n = \{n\}\) 이면

  \[ {}^{*}\bigg (\bigcup_{n \in \N}^{} A_n\bigg ) = {}^{*}\N \]

  이지만

  \[ \bigg (\bigcup_{n \in \N}^{} {}^{*} A_n\bigg ) = \N \]

  이 된다.

Properties of Hyperreal Number✔

• 개별 숫자를 지칭할 때 유한(limited), 무한대(unlimited) 을 사용한다. 집합을 지칭할 때 finite 와 infinite 를 사용한다.

• \(X ^{+} _{\infty}\) 는 \(X\) 의 모든 양의 무한대 집합을 뜻한다.

Operation✔

• 증명

• 이 논의에서는 이 연산 규칙을 증명하지 않는다. 그러나 transfer principle 이나 실수 수열에 대한 논의를 전개하면 쉽게 증명할 수 있다.

• \(\frac{\epsilon }{\delta }, \frac{H}{K}, \epsilon \cdot H, H + K\) 를 따로 정의하지는 않는다. 이들은 무한소, 무한대, appreciable 의 값을 모두 가질 수 있다.

Halos✔

• 이 동치관계가 잘 정의되었음을 증명하는 것은 쉽다.

• \(\epsilon \backsimeq 0\) 에서 "무한히 가까운" 이라는 개념이 나온다. 이것에 해석학의 증명의 핵심이 있기 때문에 잘 이해해야 한다.

• 쉽게 말해 초실수 \(b\) 의 halo 는 \(b\) 와 무한히 가까운 모든 초실수의 집합이라는 것이다.

• \(b\) 가 유한 초실수일 때 \(b\) 의 halo 중에서 유일한 실수 \(a\) 가 존재하는데, \(a\) 를 \(b\) 의 표준 부분(standard part)이라고 한다.

• 증명

  \(b \backsimeq c \land b \neq c\) 를 가정하자. 그러면 \(b - c = r \neq 0\) 이다. 하지만 \(r\) 이 무한소가 아니므로 이는 \(b \backsimeq c\) 이라는 가정과 모순이다. ■

• \(b \backsimeq b' \land c \backsimeq c' \implies b \pm c \backsimeq b' \pm c'\) 은 \(b,c\) 가 무한대일 때도 성립한다.

• 증명

  \(b \pm c \backsimeq b' \pm c'\) 를 보이는 것은 \((b \pm c) - (b' \pm c')\) 이 무한소임을 보이는 것이다. 가정에 의하여 \(b-b' = \epsilon _b, c-c' = \epsilon _c\) 이므로

  \[ (b \pm c) - (b' \pm c') = (b-b') \pm (c-c') = \epsilon _b \pm \epsilon _c\]

  이다. 초실수 연산 규칙 에 의하여 이것은 무한소이다. 그러므로 증명이 끝났다. ▲

  \(b \cdot c \backsimeq b' \cdot c'\) 를 보이는 것도 비슷하다.

  \[ \begin{align}\begin{split} b \cdot c - b' \cdot c'&= b \cdot c - b \cdot c' + b \cdot c' - b' \cdot c' \\ &= b \cdot (c-c') + (b-b') \cdot c' \\ &= b \cdot \epsilon _c + \epsilon _b \cdot c' \\ \end{split}\end{align}\tag*{} \]

  이다. 초실수 연산 규칙 에 의하여 이것은 무한소이다. 그러므로 증명이 끝났다. ▲

  마지막으로

  \[ \begin{align}\begin{split} \frac{b}{c} - \frac{b'}{c'}&= \frac{b \cdot c' - b' \cdot c}{c \cdot c'} \\ &= \frac{b \cdot c' - b \cdot c + b \cdot c - b' \cdot c}{c \cdot c'} \\ &= \frac{b \cdot (c' - c) + c \cdot (b - b')}{c \cdot c'} \\ &= \frac{b \cdot \epsilon _c + c \cdot \epsilon _b}{c \cdot c'} \\ \end{split}\end{align}\tag*{} \]

  이다. 초실수 연산 규칙 에 의하여 이것은 무한소이다. 그러므로 증명이 끝났다. ■

Shadows(Standard part)✔

• 이 정리는 쉽게 말해 임의의 유한 초실수 \(b \in {}^{*}\R\) 에 대하여 \(b = b_0 + \epsilon\) 을 만족하는 실수 \(b_0\) 와 무한소 \(\epsilon\) 이 유일하게 존재한다는 것이다.

• 유한 초실수 \(x\) 의 halo

  \[ \operatorname{hal}(x) = \operatorname{monad} (x) = \{y \in {}^{*}\R : x \backsimeq y\} \]

  중에 존재하는 유일한 실수가 \(x\) 의 표준부분인 것이다.

• 이 표준 부분을 통하여 페르마가 직관적으로 사용한 "거의 같음(adequality)" 이라는 개념을 엄밀하게 정의할 수 있다. 즉, 같은 표준 부분을 갖는 두 초실수가 거의 같다라고 말하면 되는 것이다.

• 증명

  \(A = \{r \in \R : r < b\}\) 로 잡자. \(A\) 는 공집합이 아니므로 상계를 가지고 실수의 완비성 공리에 의하여 상한 \(s\) 를 가진다.

  \(b \backsimeq s\) 를 보여야 한다. 이는 \(\forall \epsilon \in \R _{>0} : |b-s| < \epsilon\) 을 보이는 것이다. 임의의 실수로 \(\epsilon\) 을 잡자. 그러면 \(|b-s|<\epsilon\) 을 보이는 것은 \(s - \epsilon < b < s + \epsilon\) 을 증명하는 것이다. ▲

  먼저 \(b < s + \epsilon\) 을 보이자. \(s + \epsilon \leq b\) 라고 가정하자. 그러면

  \[ s < s + \frac{\epsilon }{2} < s + \epsilon \leq b \]

  이다. \(s, \epsilon \in \R \implies s + \frac{\epsilon }{s} \in \R\) 이고 \(s + \frac{\epsilon }{2} < b\) 이므로

  \[ s + \frac{\epsilon }{2} \in A \]

  이다. 그런데 \(s + \frac{\epsilon }{2} > s\) 이므로 \(s\) 는 \(A\) 의 상한이 될 수 없다. 하지만 이는 모순이다. ▲

  \(s - \epsilon < b\) 을 보이자. \(b \leq s - \epsilon\) 라고 가정하자. 그러면

  \[ b \leq s - \epsilon < s - \frac{\epsilon }{2} < s \]

  이다. \(s - \frac{\epsilon }{2} \geq b\) 이므로 \(s - \frac{\epsilon }{2}\) 는 \(A\) 의 상계이다. 그러나

  \[ s - \frac{\epsilon }{2} < s \]

  이므로 \(s\) 가 \(A\) 의 상한이라는 것에 모순이다. ▲

  마지막으로 \(b\) 의 shadow 가 유일함을 보여야 한다. \(b\) 에 무한히 가까운 실수 \(s, s'\) 가 존재한다고 가정하자. 즉, \(b \backsimeq s \land b \backsimeq s'\) 이다. 그러면 동치관계의 transitivity 에 의하여 \(s \backsimeq s'\) 이다. 그러면 정리 3.1 에 의하여 \(s = s'\) 이다. ■

• 이 함수는 자주 \(\text{sh}(b)\) 라고도 표기되는데 이때 이것을 \(b\) 의 shadow 라고 한다.

• 이 함수에 의하여 다음 동치관계에 대한 동치류로써 halo 를 정의할 수도 있다.

  \[ \operatorname{st} (a) = \operatorname{st} (b) \implies a \backsimeq b \]

• 아래 그림은 표준 부분함수를 표현한다.

  

--- ---✔

Surreal Number✔

• \(L\) 과 \(R\) 을 각각 초현실수를 구성하는 left set, right set 이라고 한다.

• \((1.1)\) 에 의하여 초현실수를 구성하는 집합쌍을 \(L\) 과 \(R\) 이라고 할 때 \(R\) 의 어떤 원소도 \(L\) 의 원소보다 작거나 같지 않다.

• 초현실수는 가상적으로 모든 실 서수를 포함할 수 있다.

• 콘웨이는 초현실수로 게임 이론의 다양한 측면을 설명했다.

• 초현실수 집합 \(L, R\) 이 \((1.1)\) 을 만족하면 새로운 초현실수 \(\{L|R\}\) 을 구성할 수 있다. 이제 \((1.1)\) 이 well-formed 된 집합 쌍을 특정짓는다고 하자. 그러면 오직 well-formed 된 집합 쌍만이 초현실수를 구성한다고 할 수 있다.

• 초현실수는 쉽게 말해서 left set 과 right set 이 공집합이 아닐 경우 아래에서 살펴볼 정리 5 에 의하여 left set 의 최댓값보다 크고 right set 의 최소값보다 작은 어떤 값이라고 생각해도 된다.

• 초현실수는 모든 실수와 초실수의 무한대와 무한소까지 포함하도록 구성된 집합이 아닌 전순서 모임(totally ordered proper class) 이다.

  NBG 집합론에서 생각할 경우 초현실수 모임 \(\mathbf{No}\) 는 유리수 \(\Bbb{Q}\), 실수 \(\R\), 초실수 \(^{*}\R\) 등등 모든 순서체를 부분 체로 포함한다.

  물론 모든 초한서수도 초현실수에 포함된다.

  즉, 초현실수는 모든 순서체를 포함할 수 있으므로 가장 큰 순서체(ordered field) 이다.

• 초현실수는 특유의 구성방법과 연산으로 인하여 전혀 다른 새로운 수가 정의된다. 가령 무한대 \(\omega\) 도 하나의 수로 다룰 수 있고, 무한소 \(\epsilon\) 과 \(\dfrac{\epsilon }{2}\) 도 정의할 수 있다.

  

  초실수(hyperreal number) 도 무한대와 무한소를 하나의 수로 정의하지만 초현실수는 집합이 아닌 전순서 모임이다.

  또한 초실수에서는 \(0\) 과 무한소 \(\epsilon\) 사이에 수가 존재하지 않지만, 초현실수에서는 \(\dfrac{\epsilon }{2}\) 등 수많은 다른 수가 존재한다.

• 아래 그림은 수 체계의 관계를 나타낸다.

  

Zero✔

• 최초의 초현실수를 구성하기 위하여 \(L, R\) 을 공집합 \(\varnothing\) 으로 두면 최초의 초현실수는 \(\{\varnothing | \varnothing \}\) 이 된다. 이때 이 초현실수의 \(\varnothing\) 을 관례상 생략하여 더욱 편하게

  \[ \{ | \} \]

  라고 표기한다.

• 이 초현실수를 구성하는 집합 쌍은 well-formed 이다. 왜냐하면 두 집합 쌍이 모두 공집합이므로 조건 \((1.1)\) 을 위배하는 원소가 존재하지 않기 때문이다.

• 우리는 \(\{|\}\) 을 영이라고 부르기로 하고 앞으로 이 초현실수를 기호 \(0\) 로 표기하기로 한다.

  \[ 0 \equiv \{|\} \tag{1.2} \]

• 기호 \(\equiv\) 을 두 대상이 동등하다는 것을 나타낼 때 사용하자. \(0\) 은 단지 \(\{|\}\) 의 축약이다. \(\equiv\) 는 \(=\) 와 같지 않다. 우리는 아직 초현실수의 \(=\) 를 정의하지 않았다.

• 이제 우리는 집합 \(\varnothing\) 과 \(\{0\}\) 을 기반으로 \(\{\{0\} | \varnothing \} ,\{\varnothing | \{0\}\} ,\{\{0\} | \{0\} \}\) 와 같은 새로운 집합쌍을 생성할 수 있다.

  이때 \(L = \{0\}, R = \varnothing\) 으로 구성된 집합쌍 \(\{L | R\} = \{\{0\} | \varnothing \}\) 를 편의상 \(\{0|\}\) 으로 표기한다. 그러므로 결국에 새로운 세 가지 집합쌍을

  \[ \{0|\}, \{|0\}, \{0|0\} \]

  으로 표기한다. 이때 처음 두 집합쌍은 초현실수가 되지만 마지막 집합쌍은 \(0 \leq 0\) 이므로 초현실수가 될 수 없다. 그 대신 \(\{0|0\}\) 같은 집합쌍을 pseudo number 라고 부른다.

Order✔

• 즉, \(x \leq y\) 라는 것은 \(y\) 가 \(x\) 의 left set 의 원소보다 작거나 같지 않고, \(y\) 의 right set 이 \(x\) 보다 작거나 같지 않다는 것이다.

• 다르게 말하면

  \[ \forall x_L \in X_L : x_L < y \land \forall y_R \in Y_R : x < y_R \]

  이라고도 할 수 있을듯.

• 증명

  \(\leq\) 의 정의에 의하여

  \[ \neg \exists x_L \in \varnothing : \{|\} \leq x_L \tag{1.5} \]

  와

  \[ \neg \exists y_R \in \varnothing : y_R \leq \{|\} \tag{1.6} \]

  를 증명하면 증명이 끝난다. 그런데 이 두 명제는 공집합 위에서 선언되었으므로 조건을 만족시킬 원소가 존재하지 않는다. 그러므로 \(\leq\) 의 뜻을 모르더라도 \((1.5)\) 와 \((1.6)\) 이 거짓이 되지 않는다는 것을 알 수 있다. 그러므로

  \[ \therefore \{|\} \leq \{|\} \]

  이다. ■

• 일반적으로 초현실수는 자기 자신에 대하여 작거나 같다.

• 증명

  \[ \because \{|\} \leq \{|\} \]

• 증명

  \(\leq\) 의 정의에 의하여

  \[ \neg \exists x_L \in \varnothing : \{0 | \} \leq x_L \]

  과

  \[ \neg \exists y_R \in \varnothing : y_R \leq \{|\} \]

  이 참이라면 증명이 끝난다. 그런데 이는 자명한 사실이다. 왜냐하면 공집합은 이 조건을 위배시킬 원소를 갖지 않기 때문이다. ■

• 증명

  \[ \exists x_L \in \{0\} : \{|\} \leq x_L \tag{1.11} \]

  또는

  \[ \exists y_R \in \varnothing : y_R \leq \{0|\} \]

  이 참이면 증명이 끝난다. \((1.11)\) 은 \((1.3)\) 에 의하여 \(\{|\}\leq 0\) 이므로 참이다. ■

• 증명

  \[ \neg \exists x_L \in \{0\} : \{0|\} \leq x_L \tag{1.14} \]

  과

  \[ \neg \exists y_R \in \varnothing : y_R \leq \{0|\} \tag{1.15} \]

  가 참이면 증명이 끝난다. \((1.15)\) 는 공진리이다. \((1.14)\) 는 \((1.10)\) 에서 \(\{0|\}\not \leq 0\) 이므로 참이다. ■

• 기호 \(\geq\) 는 "보다 크거나 같다" 는 뜻이다.

• 기호 \(<\) 는 "보다 작다" 는 뜻이다.

• 예시

  \[ 0 < \{0|\} \]
  \[ \{|0\} < 0 \]
  \[ \{|0\} < \{0|\} \]

• 기호 \(=\) 는 "같다" 는 뜻이다. 같지 않다를 뜻하는 \(\neq\) 는

  \[ x \not \leq y \lor y \not \leq x \iff x \neq y \]

  이다.

• 예시

  \[ 0 = 0 \]
  \[ \{|0\} = \{|0\} \]

• 이제 \(0 \equiv \{|\}\) 이외에 또 다른 축약기호를 만든다. 그것이 \(1\) 과 \(-1\) 이다.

• 예시

  \[ 0 < 1 \]
  \[ 1 = 1 \]
  \[ -1 < 0 \]
  \[ -1 = -1 \]
  \[ -1 < 1 \]

• 기존에 존재하던 초현실수가 \(x_1, x_2, \dots, x_n\) 라고 하자. 우선 이 초현실수가 left set \(L\) 에 대입되는 경우의 수는 \(2 ^{n}\) 이다. 마찬가지로 right set \(R\) 에 대입되는 경우의 수도 \(2 ^{n}\) 이다.

  이 방식으로 기존에 존재하던 초현실수 \(n\) 개로 만들 수 있는 새로운 집합쌍은

  \[ 2 ^{n} \times 2 ^{n} = \boxed{2 ^{2n}} \]

  이다. 여기에서 well-formed 인 집합쌍만이 초현실수가 되고, 기존에 존재하던 초현실수와 다른 값을 가지는 초현실수들만이 새로 생성된 초현실수가 된다.

• 우리는 지금까지 세 가지 초현실수 \(-1, 0, 1\) 을 생성해내었다. 이것을 기반으로 새로운 \(2 ^{2 \cdot 3} = 64\) 가지 집합쌍을 만들 수 있고 이 중 아래와 같은 \(17\) 가지 집합쌍이 well-formed 된 초현실수가 된다.

  \[ \{-1|\}, \{|-1\} \]
  \[ \{1|\}, \{|1\} \]
  \[ \{-1, 0|\}, \{-1|0\}, \{|-1, 0\} \]
  \[ \{0, 1|\}, \{0|1\}, \{|0, 1\} \]
  \[ \{-1, 1|\}, \{-1|1\}, \{|-1, 1\} \]
  \[ \{-1, 0, 1|\}, \{-1, 0|1\}, \{-1|0, 1\}, \{|-1,0,1\} \]

• 다음을 증명하는 것은 매우 쉽다.

  \[ 1 < \{1|\} \]
  \[ \{|-1\} < -1 \]

  이 수를 각각 \(2, -2\) 로 정의한다.

• 다음을 쉽게 증명할 수 있다.

  \[ 0 < \{0|1\} < 1 \]
  \[ -1 < \{-1|0\} < 0 \]

  그러므로 이 수를 각각 \(\dfrac{1}{2}, -\dfrac{1}{2}\) 로 정의한다.

• 이 초현실수가 왜 \(\dfrac{1}{3}\) 이나 \(\dfrac{14}{17}\) 이 아닌 \(\dfrac{1}{2}\) 로 정의될까? 그 이유는 아래에서 알게 될텐데 스포를 하자면

  \[\{0|1\}+\{0|1\}=1\]

  로 정의되기 때문이다.

• 증명

  \[ \neg \exists x_L \in \{-1\} : \{|\} \leq x_L \tag{1.38} \]

  과

  \[ \neg \exists y_R \in \varnothing : y_R \leq \{-1|1\} \tag{1.39} \]

  이 참임을 증명하자. \(0 \not \leq -1\) 이고 \((1.39)\) 는 Vacuous Truth 이다. ▲

  같은 방식으로

  \[ \{|\} \leq \{-1|1\} \]

  임을 쉽게 증명할 수 있다. ▲

  그러므로 증명이 끝났다. ■

• 이때 \(\equiv\) 가 아닌 \(=\) 기호를 사용했다는 것을 주목하자. \(\{-1|1\}\) 과 \(\{|\}\) 의 구성요소는 전혀 다르다. 그러므로 이 둘은 동등하지 않다(\(\not \equiv\)). 하지만 이 둘은 \(0\) 이라는 같은 값을 가진다(\(=\)).

  \[ \{-1|1\} \not \equiv \{|\} \land \{-1|1\} = \{|\} \]

  그러므로 우리는 \(\{|\}\) 과 \(\{-1|1\}\) 이 \(0\) 을 다른 방식으로 표현함을 알 수 있다.

• 같은 방식으로 우리는 다음을 증명할 수 있다.

  \[ 0 = \{-1|\} = \{|1\} \]
  \[ 1 = \{-1,0|\} \]
  \[ -2 = \{|-1,0\} = \{|-1, 1\} = \{|-1,0,1\} \]
  \[ 2 = \{0,1|\} = \{-1,1|\} = \{-1,0,1|\} \]
  \[ -1 = \{|0,1\} \]
  \[ \dfrac{1}{2} = \{-1,0|1\} \]
  \[ -\dfrac{1}{2} = \{-1|0,1\} \]

  그러므로 이것들은 우리에게 새로운 값의 초현실수를 생성해주지 못한다.

• 위 초현실수의 패턴을 포착했다면 초현실수의 값을 유추할 때 left set 의 가장 높은 값과 right set 의 가장 낮은 값만을 고려하면 된다는 것을 알 수 있을 것이다. 이 사실 또한 곧이어 증명할 것이다.

• 이제 우리는 초현실수 \(-2, -1, -\dfrac{1}{2}, 0, \dfrac{1}{2}, 1, 2\) 를 알게 되었다. 그러므로 이 초현실수를 바탕으로 아래와 같은 또 다른 초현실수를 생성할 수 있다.

  \[ -3 \equiv \{|-2\} \]
  \[ -1 \dfrac{1}{2} \equiv \{-2|-1\} \]
  \[ -\dfrac{3}{4} \equiv \{-1|-\dfrac{1}{2}\} \]
  \[ -\dfrac{1}{4} \equiv \{-\dfrac{1}{2}|0\} \]
  \[ \dfrac{1}{4} \equiv \{0|\dfrac{1}{2}\} \]
  \[ \dfrac{3}{4} \equiv \{\dfrac{1}{2}|1\} \]
  \[ 1 \dfrac{1}{2} \equiv \{1|2\} \]
  \[ 3 \equiv \{2|\} \]

  또 이를 기반으로 기존의 초현실수의 다른 표현을 발견할 수 있다.

  \[ \{-2, \dfrac{1}{2} | 2\} = 1, \quad \{-2|1\} = 0 \]

• 우리는 최초로 초현실수 \(0\) 을 생성했다. 그러므로 \(0\) 이 day zero 에 태어났다고 할 수 있다.

  그리고 \(0\) 을 기반으로 \(-1,1\) 을 생성했다. 그러므로 이 둘은 day one 에 태어났다고 할 수 있다.

  이후에 \(-1,0,1\) 을 기반으로 \(-2,-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2},2\) 를 생성했으므로 이들은 day two 에 태어났다고 할 수 있다.

Negative✔

• 초현실수의 음수를 이렇게 정의한다.

Properties of Surreal Number✔

여기서부터 초현실수를 나타내기 위하여 소문자를 사용하고, 초현실수 집합을 나타내기 위하여 대문자를 사용한다. 또한 초현실수 \(x\) 의 left set 을 나타내기 위하여 \(X_L\) 를, right set 을 위하여 \(X_R\) 을 사용한다.

• 이 정의에 의하여 임의의 초현실수 \(b\) 에 대하여

  \[ \varnothing \leq b, \varnothing \not \leq b, \varnothing > b, \dots \]

  등등이 Vacuous Truth 에 의하여 모든 부등식 관계기호에 대하여 참이 된다.

• 예시

  \[ \{1,3,5\} < \{6,7\} \]
  \[ \{3,5,6\} \not < 1 \]

• 이때 \(\neg (A \leq b) \not \equiv A \not \leq b\) 인 것에 주의하자.

• 예시

  \(\{3,5\} \leq 4\) 은 거짓인 반면 \(\{3,5\} \not \leq 4\) 도 거짓이다.

• \(A=B\) 란 결국 두 집합의 원소가 서로 같다는 것이다.

• 예시

  \(\{|\} = \{-1|1\}\) 이고 \(\{1|\} = \{-1,0,1|\}\) 이므로 다음이 성립한다.

  \[ \{\{|\}, \{1|\}\} = \{\{-1|1\}, \{|\}, \{-1,0,1|\}\} \]

• 또한 이제부터 공집합은 생략하고 집합을 콤마로 구분하자. 가령 left set 이 \(\{a,b\} \cup C \cup D\) 이고 right set 이 \(\varnothing\) 이면

  \[ \{\{a,b\}\cup C \cup D|\varnothing \} \]

  이라고 쓰는 것이 아니라

  \[ \{a,b,C,D|\} \]

  라고 편하게 쓰도록 한다.

• 지금까지 정의한 표기 규칙에 의하여 well-formedness 조건 \((1.1)\) 을 다음과 같이 더욱 간략하게 나타낼 수 있다.

  \(x\) 가 초현실수라면

  \[ X_R \not \leq X_L. \tag{2.1} \]

  \(\leq\) 의 정의를 정의하는 \((1.4)\) 도 다음과 같이 나타낼 수 있다.

  \[ x \leq y \iff y \not \leq X_L \land Y_R \not \leq x \]

• 우리는 지금까지 \(\equiv\) 이 단지 초현실수의 동등함을 나타낸다고 비형식적으로 정의했지만 이제 이것을 형식적으로 정의할 때가 되었다.

• Conway 는 parents 대신 option 이라는 용어를 사용했다.

• 초현실수의 정의는 재귀적으로 선언되어 모든 초현실수가 기존에 생성된 초현실수를 기반으로 생성됨을 말해준다.

  이는 모든 초현실수가 원시 초현실수인 \(\{|\}\) 에 도달할 때까지 그들의 parents 를 역추적해나갈 수 있다는 것을 말해준다.

• 2) 를 사용하여 수학적 귀납법을 전개할 수 있다. 즉, \(\varnothing\) 에 대하여 참임을 증명한 다음, 정리가 parents 에 대하여 참임을 가정하고 parents 로 구성된 초현실수에 대하여 참임을 증명하면 모든 초현실수에 대하여 정리가 참임을 증명할 수 있다.

• 증명

  \[ \because x \leq y \iff \neg \exists x_L \in X_L : y \leq x_L \land \neg \exists y_R \in Y_R : y_R \leq x \tag{2.4} \]

  이는 \((1.4)\) 를 다시 가져온 것이다.

• 증명

  먼저 \(0 \leq 0\) 은 \((1.3)\) 에 의하여 이미 증명되었다. ▲

  이 정리가 \(x\) 의 parents 에 대하여 참이라고 하자. 즉, \(X_L \cup X_R\) 의 모든 원소에 대하여 참이라고 가정하는 것이다.

  우선 \((2.4)\) 에 의하여 \(x \leq x\) 는 다음과 동치이다.

  \[ \neg \exists x_L \in X_L : x \leq x_L \land \neg \exists x_R \in X_R : x_R \leq x \tag{2.6} \]

  \((2.6)\) 의 왼쪽 명제는 \(\forall x_L \in X_L : x \not \leq x_L\) 과 같다. 그러면 \(\not \leq\) 의 정의 에 의하여 이는

  \[ \forall x_L \in X_L : ( \exists a \in X_L : x_L \leq a \lor \exists b \in X _{LR} : b \leq x) \tag{2.7} \]

  와 같다. 그런데 우리는 \(x\) 의 parents 에 대하여 이 정리가 성립한다고 가정했다. 그러므로 \(x_L \leq x_L\) 이다.

  그러면 \(X_L\) 의 원소 \(x_L\) 에 대하여 \(a \equiv x_L\) 로 두면 왼쪽 명제가 참이 된다. \(a\) 를 당연히 \(x_L\) 로 둘 수 있는데 \(a\) 는 \(X_L\) 의 원소이기 때문이다. 그러므로 \(X_L\) 의 원소 \(x_L\) 이 정해질 때마다 \(a \equiv x_L\) 로 두면 왼쪽 명제가 참이 되는 것이다. 그러므로 \((2.7)\) 명제 전체가 참이 된다. 이것으로 \((2.6)\) 의 왼쪽 명제를 증명하였다. ▲

  이제 \((2.6)\) 의 오른쪽 명제를 증명할 차례이다. \((2.6)\) 의 오른쪽 명제는 \(\forall x_R \in X_R : x_R \not \leq x\) 와 같다. \(\not \leq\) 의 정의 에 의하여 이는

  \[ \forall x_R \in X_R : (\exists c \in X _{RL} : x \leq c \lor \exists d \in X_R : d \leq x_R) \tag{2.8} \]

  가 된다. \(x\) 의 parents 에 대하여 이 정리가 참이므로 \(x_R \leq x_R\) 이고 \(d \equiv x_R\) 로 두면 \((2.8)\) 이 참이된다. 이로써 \((2.6)\) 의 오른쪽 명제가 증명되었다. ▲

  그러므로 \((2.6)\) 은 참이고, 모든 증명이 끝났다. ■

• 우리는 지금까지 이 정리를 초현실수가 well-formed 라는 가정 없이 증명했다는 것을 유의하라. 이 사실은 나중에 유용하게 사용된다.

• 증명

  이 정리는 서로 같은 초현실수의 정의에 의하여 곧바로 도출된다. ■

• 증명

  \((2.9)\) 를 증명하려면 \((2.4)\) 에 의하여

  \[ \neg \exists a \in A : \{A'|B'\} \leq a \land \neg \exists b' \in B' : b' \leq \{A|B\} \tag{2.10} \]

  을 증명하면 증명이 끝난다. ▲

  \(\exists a \in A : \{A'|B'\} \leq a\) 라고 가정하면 또 다시 \((2.4)\) 에 의하여

  \[ \neg \exists a' \in A' : a \leq a' \land \neg \exists a_R \in A_R : a_R \leq \{A'|B'\} \tag{2.11} \]

  이다. 그러므로 \((2.11)\) 의 왼쪽 명제는 결국 항상 \(a' < a\) 이라고 말하는 것이다. 그런데 이는 가정의 왼쪽 명제와 모순된다. 그러므로 \((2.11)\) 은 모순이고 \((2.10)\) 의 왼쪽 명제는 참이다. ▲

  \(\exists b' \in B' : b' \leq \{A|B\}\) 라고 가정하면 \((2.4)\) 에 의하여

  \[ \neg \exists b'_l \in B'_L : \{A|B\} \leq b'_L \land \neg \exists b \in B:b \leq b' \tag{2.12} \]

  이다. \((2.12)\) 의 오른쪽 명제는 결국 항상 \(b' < b\) 이라고 말하는 것이다. 하지만 이는 가정의 오른쪽 명제와 모순된다. 그러므로 \((2.12)\) 는 모순이고 \((2.10)\) 의 오른쪽 명제는 참이다. ▲

  그러므로 \((2.10)\) 는 참이고 모든 증명이 끝났다. ■

  • 이 증명도 \(\{A|B\}\) 가 well-formed 된 초현실수라는 가정이 없네. 이러면 전체 이론이 불안정해지지 않을까? 왜 strict 한 가정 없이 이론을 전개하는거지.

• 증명

  서로 같은 초현실수 집합의 정의 에 의하여 \(A = A'\) 는

  \[ \forall a \in A \exists a' \in A' : a = a' \land \forall a' \in A' \exists a \in A : a = a' \]

  을 뜻하고, 서로 같은 초현실수의 정의 에 의하여 \(a = a'\) 는

  \[ a \leq a' \land a' \leq a \]

  을 뜻한다. 그러므로 우리는

  \[ \forall a \in A \exists a' \in A' : a \leq a' \tag{2.14} \]
  \[ \forall a \in A \exists a' \in A' : a' \leq a \tag{2.15} \]
  \[ \forall a' \in A' \exists a \in A : a \leq a' \tag{2.16} \]
  \[ \forall a' \in A' \exists a \in A : a' \leq a \tag{2.17} \]

  을 얻는다. ▲

  같은 방식으로 \(B = B'\) 로부터

  \[ \forall b \in B \exists b' \in B' : b \leq b' \tag{2.18} \]
  \[ \forall b \in B \exists b' \in B' : b' \leq b \tag{2.19} \]
  \[ \forall b' \in B' \exists b \in B : b \leq b' \tag{2.20} \]
  \[ \forall b' \in B' \exists b \in A : b' \leq b \tag{2.21} \]

  을 얻는다. ▲

  \((2.14)\) 와 \((2.20)\) 과 정리 3 에 의하여

  \[ \{A|B\} \leq \{A'|B'\} \tag{2.22} \]

  를 얻고, \((2.17)\) 과 \((2.19)\) 와 정리 3 에 의하여

  \[ \{A'|B'\} \leq \{A|B\} \tag{2.23} \]

  을 얻는다. ▲

  그러므로

  \[ \therefore \{A|B\} = \{A'|B'\} \]

  이다. ■

• 우리가 정리 3 과 정리 4 를 초현실수가 well-formed 라는 가정 없이 증명했다는 것에 유의하라.

• 증명

  \((2.24)\) 의 첫번째 명제를 증명하기 위하여 \(<\) 의 정의 에 따라

  \[ \forall a \in A : a \leq \{A|B\} \tag{2.26} \]
  \[ \forall a \in A : \{A|B\} \not \leq a \tag{2.27} \]

  를 증명해야 한다. ▲

  \((2.26)\) 을 귀납법으로 증명해보자(\(A_L \cup A_R\) 에 대하여 참임을 가정하고 \(A\) 에 대하여 참이라는 것을 보이는 것이다). \(A= \varnothing\) 일 경우 자명하게 참이다. \((2.26)\) 은 \(\leq\) 의 정의 에 의하여

  \[ \neg \exists a_L \in A_L : \{A|B\} \leq a_L \land \neg \exists b \in B : b \leq a \tag{2.28} \]

  이다. 그런데 \((2.28)\) 의 오른쪽 명제는 \(\{A|B\}\) 가 well-formed 이므로 참이다. ▲

  \((2.28)\) 의 왼쪽 명제는

  \[ \forall a_L \in A_L : \{A|B\} \not \leq a_L \tag{2.29} \]

  와 같고, \(\not \leq\) 의 정의 에 의하여

  \[ \forall a_L \in A_L : (\exists a' \in A : a_L \leq a' \lor \exists a _{LR} \in A _{LR} : a _{LR} \leq \{A|B\}) \tag{2.30} \]

  이다. \(a' \equiv a\) 로 둔다면(최초로 결정된 \(A\) 의 원소 \(a\) 에 대하여 \(a'\) 을 \(a\) 과 같게 설정한다는 말인 것 같다. 그리고 이는 충분히 가능한 일이긴하지.) \((2.30)\) 의 왼쪽 명제를

  \[ \forall a_L \in A_L : a_L \leq a \tag{2.31} \]

  로 바꿀 수 있는데, 이 명제의 형태는 이것들의 left set parents 에 의하여 변수가 치환된 것을 제외하고 \((2.26)\) 과 완전히 동일하다. 그런데 우리는 \(A_L \cup A_R\) 에 대하여 \((2.26)\) 이 성립함을 가정했다. 그러므로 \((2.26)\) 의 논의 영역 \(A\) 를 \(A_L\) 로 치환한 \((2.31)\) 은 참이다. 그러므로 (\((2.30)\) 도 참이고.. \((2.28)\) 도 참이니까..) 결국 \((2.26)\) 의 증명이 끝났다. ▲

  \((2.27)\) 은 \(\not \leq\) 의 정의 에 의하여 \(A\) 의 모든 \(a\) 에 대하여

  \[ \exists a' \in A : a \leq a' \lor \exists a_R \in A_R : a_R \leq \{A|B\} \tag{2.32} \]

  이 참임을 증명하면 증명된다. 이것의 왼쪽 명제에서 \(a' \equiv a\) 로 설정할 수 있는데, 이렇게 하면 \(a \leq a\) 가 되어 정리 1 에 의하여 참이 된다. ▲

  이로써 \((2.24)\) 의 첫번째 명제가 증명되었는데, 두번째 명제도 비슷한 방식으로 증명할 수 있다. ■

• 증명

  이 정리가 거짓이라고 하면

  \[ x \leq y \land y \leq z \land x \not \leq z \tag{2.33} \]

  을 만족하는 초현실수 \(x,y,z\) 가 존재한다. 이제 Boolean function \(p(x,y,z)\) 를 다음과 같이 정의하자.

  \[ p(x,y,z) \iff x \leq y \land y \leq z \land x \not \leq z \tag{2.34} \]

  \((2.33)\) 은 \(\leq\) 의 정의 와 \(\not \leq\) 의 정의 에 의하여

  \[ \neg \exists x_L \in X_L : y \leq x_L \tag{2.35} \]
  \[ \neg \exists y_R \in Y_R : y_R \leq x \tag{2.36} \]
  \[ \neg \exists y_L \in Y_L : z \leq y_L \tag{2.37} \]
  \[ \neg \exists z_R \in Z_R : z_R \leq y \tag{2.38} \]
  \[ \exists x_L \in X_L : z \leq x_L \lor \exists z_R \in Z_R : z_R \leq x \tag{2.39} \]

  이 참이면 참이 된다. ▲

  먼저 \((2.39)\) 의 왼쪽 명제가 참이라고 하자. \((2.35)\) 는

  \[ \forall x_L \in X_L : y \not \leq x_L \tag{2.40} \]

  과 동치이다. 이때 \((2.40)\) 의 \(x_L\) 을 \((2.39)\) 의 왼쪽 명제의 \(x_L\) 과 동일하게 잡으면 이 명제들을 \((2.33)\) 의 \(y \leq z\) 와 결합하여

  \[ y \leq z \land z \leq x_L \land y \not \leq x_L \tag{2.41} \]

  을 얻을 수 있는데, 이는

  \[ p(y, z, x_L) \]

  과 동치이다. ▲

  \((2.39)\) 의 오른쪽 명제가 참이라고 하자. \((2.38)\) 은

  \[ \forall z_R \in Z_R : z_R \not \leq y \tag{2.42} \]

  와 동치이다. 이때 \((2.42)\) 의 \(z_R\) 을 \((2.39)\) 의 오른쪽 명제의 \(z_R\) 과 동일하게 잡으면 이 명제들을 \((2.33)\) 의 \(x \leq y\) 와 결합하여

  \[ z_R \leq x \land x \leq y \land z_R \not \leq y \tag{2.43} \]

  을 얻을 수 있는데, 이는

  \[ p(z_R, x, y) \]

  과 동치이다. ▲

  그러므로

  \[ p(x, y, z) \implies \exists x_L \in X_L : p(y, z, x_L) \lor \exists z_R \in Z_R : p(z_R, x, y) \tag{2.44} \]

  이다. \(x_L, z_R\) 은 각각 \(x, z\) 의 parents 이므로 우리는 \(x, z\) 의 parents 를 거슬러 올라가다보면 최초의 초현실수 \(\{|\}\) 에 도달하게 된다. 그러나 \(\{|\}\) 의 parents 는 존재하지 않으므로 \((2.44)\) 가 거짓이 된다. 이는 최초의 가정인 \((2.33)\) 도 거짓임을 말해주고, 결국 이 정리가 참이라는 것을 알 수 있다. ■

• 이 정리도 초현실수가 well-formed 라는 가정없이 증명되었다.

• 이 정리는 모든 초현실수가 \(\leq\) 관계로 연결 되어있음을 말해준다.

• 증명

  \(x \not \leq y\) 은 \(\not \leq\) 의 정의 에 의하여

  \[ \exists x_L \in X_L : y \leq x_L \tag{2.45} \]
  \[ \exists y_R \in Y_R : y_R \leq x \tag{2.46} \]

  중 하나 이상이 반드시 참임을 주장하는 것이다. ▲

  \((2.45)\) 가 참이라고 하면 \(y \leq x_L\) 을 만족하는 \(x_L\) 을 잡을 수 있다. 또한 \((2.26)\) 에 의하여 \(x_L \leq x\) 이므로 The transitive law 에 의하여 \(y \leq x\) 을 얻는다. ▲

  \((2.46)\) 가 참이라고 하면 \(y_R \leq x\) 을 만족하는 \(y_R\) 을 잡을 수 있다. 또한 정리 5 에 의하여 \(y \leq y_R\) 이므로 The transitive law 에 의하여 \(y \leq x\) 을 얻는다. ■

• 증명

  정리 7 에 의하여 \(<\) 의 정의

  \[ x \leq y \land y \not \leq x \iff x < y \tag{2.47} \]

  에서 \(y \not \leq x\) 가 \(x \leq y\) 를 함의하므로

  \[ y \not \leq x \iff x < y \]

  로 단순화시켜도 무방하다. ■

• 증명

  이 정리가 거짓이면

  \[ x < y \land y < z \land x \not < z \tag{2.49} \]

  가 참이고, 이것과 동치 명제인

  \[ y \not \leq x \land z \not \leq y \land z \leq x \tag{2.50} \]

  도 참이다. 정리 6 의 대우 명제는 임의의 초현실수 \(b\) 에 대하여

  \[ a \not \leq c \implies a \not \leq b \lor b \not \leq c \tag{2.51} \]

  임을 주장한다. \(a \equiv y, b \equiv z, c \equiv x\) 라고 두고 \((2.51)\) 을 \((2.50)\) 의 \(y \not \leq x\) 에 적용하면

  \[ (y \not \leq z \lor z \not \leq x) \land z \not \leq y \land z \leq x \tag{2.52} \]

  를 얻는다. 그러나 이 명제는 참거짓이 서로 상반되는 두 명제를 동시에 주장하므로 모순이다. 그러므로 이 정리는 참이다. ■

• 이 정리는 초현실수를 단순화시킬 수 있는 방법을 말해준다.

• 예시

  \[ \{1,2,3|4,5,6\} = \{1,3|4,6\} = \{3|4\} \]

• 증명

  이 정리의 첫번째 반쪽을 증명해보자. 초현실수 \(x\) 에 대하여

  \[ x = \{x_1, x_2, \dots | X_R\} \]

  이라고 하고 \(x_1 < x_2\) 라고 하자. 증명해야 할 것은 \(\{x_1,x_2, \dots|X_R\}=\{x_2, \dots|X_R\}\) 이다. ▲

  \(=\) 의 정의 에 의하여

  \[ \{x_1,x_2, \dots|X_R\} \leq \{x_2, \dots|X_R\} \land \{x_1,x_2, \dots|X_R\} \geq \{x_2, \dots|X_R\} \]

  을 증명해야 한다. 그런데 이 두 부등식은 모두 정리 3 으로부터 도출된다. ▲

  나머지 반쪽도 비슷하게 증명가능하다. ■

• 이 정리는 임의의 초현실수 \(\{A|B\}\) 에 대하여

  \[ \{A|B\} = \{a _{\max} | b _{\min}\} \]

  임을 말해준다.

• 이 정리에 의하여 초현실수의 정의를 바꾸어야 하지 않을까? 즉, 초현실수의 left set, right set 이 단 하나의 수만 포함하도록 정의를 수정할 수 있지 않느냐는 것이다.

  하지만 그럴 수 없다. 이 정리는 초현실수의 left set, right set 이 가장 큰 원소와 가장 작은 원소를 가질 때만 유효하다.

  만약 left set, right set 이 무한집합이면 가장 큰 원소, 가장 작은 원소가 존재하지 않는다.

• 증명

  정리 9 로부터 바로 도출된다. ■

• 예시

  우리는 \(-1 < 0 < 1\) 과 \(0 = \{|\}\) 를 이미 증명했었는데 이 정리에 의하여

  \[ 0 = \{-1 | 1\} \]

  이 된다. 이 사실 또한 이미 증명했었다.

• 증명

  \(x = \{X_L, A | X_R, B\}\) 를 증명하는 것은

  \[x \leq \{X_L, A | X_R, B\} \land \{X_L, A | X_R, B\} \leq x\]

  를 증명하는 것이다. 이는 \(\leq\) 의 정의 에 의하여 다음을 증명하는 것과 같다.

  \[ \neg \exists x_L \in X_L : \{X_L, A | X_R, B\} \leq x_L \tag{2.54} \]
  \[ \neg \exists \beta \in X_R \cup B : \beta \leq x \tag{2.55} \]
  \[ \neg \exists \alpha \in X_L \cup A : x \leq \alpha \tag{2.56} \]
  \[ \neg \exists x_R \in X_R : x_R \leq \{X_L,A|X_R,B\} \tag{2.57} \]

  \((2.54)\) 는 \(\forall x_L \in X_L : x_L \leq \{X_L, A | X_R, B\}\) 와 같은데, 정리 5 에 의하여 \(\{X_L, A | X_R, B\}\) 는

  \[ \forall \gamma \in X_L \cup A : \gamma <\{X_L, A | X_R, B\} \]

  을 만족한다. 이는 \((2.54)\) 를 함의한다. ▲

  \((2.57)\) 는 \(\forall x_R \in X_R : \{X_L, A | X_R, B\} \leq x_R\) 와 같은데, 정리 5 에 의하여 \(\{X_L, A | X_R, B\}\) 는

  \[ \forall \delta \in X_R \cup B : \{X_L, A | X_R, B\} < \delta \]

  을 만족한다. 이는 \((2.57)\) 를 함의한다. ▲

  \((2.55)\) 는 \(\forall \beta \in X_R \cup B : x \leq \beta\) 와 같다.

  정리 5 에 의하여 \(\forall \beta \in X_R : x \leq \beta\) 는 자명하고,

  \(B\) 의 정의에 의하여 \(\forall \beta \in B : x \leq \beta\) 도 자명하다. ▲

  \((2.56)\) 도 정리 5 와 \(A\) 의 정의에 의하여 자명하다. ■

• 최초의 초현실수 \(0 = \{|\}\), 즉 day zero 에 태어난 초현실수 이후에 day one 에 태어난 초현실수는

  \[ -1, 0, 1 \]

  이다. 이를 기반으로 day two 에 생성된 초현실수는

  \[ -2, -1, - \dfrac{1}{2} , 0, \dfrac{1}{2}, 1, 2 \]

  이다. 이를 기반으로 day three 에 태어난 초현실수는

  \[ -3, -2, - \dfrac{3}{2}, -1, - \dfrac{3}{4}, - \dfrac{1}{2}, - \dfrac{1}{4}, 0 , \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{4}, 1, \dfrac{3}{2}, 2, 3 \]

  이다. 이로써 새로운 day 에 새로 생성되는 초현실수는 초현실수 리스트의 양끝과 초현실수들의 사이에 위치한다고 유추할 수 있다.

  이것을 일반화하여 엄밀히 증명한 것이 이 정리이다.

• 증명

  day \(m+1\) 에 생성된 초현실수에 대하여 살펴보자.

  1. \(\{|x_1\}\) 와 \(\{x_n|\}\) 는 day \(m\) 에 존재하지 않았다.

  2. \(\{|x_j\}\) 에 대하여 \(j>1\) 라면 이것은 day \(m\) 에 존재했다.

  3. \(\{x_i|\}\) 에 대하여 \(i<n\) 라면 이것은 day \(m\) 에 존재했다.

  4. \(\{x_i|x_j\}\) 에 대하여 \(i+1=j\) 라면 이것은 day \(m\) 에 존재하지 않았다.

  5. \(\{x_i|x_j\}\) 에 대하여 \(i+1 \neq j\) 라면 이것은 day \(m\) 에 존재했다. ▲

  a) 의 증명:

  정리 5 에 의하여 \(\{|x_1\} < x_1\) 이고 \(x_1\) 은 day \(m\) 에서 가장 작은 초현실수이다. 그러므로 day \(m+1\) 에서, 즉 day \(m\) 의 초현실수를 기반으로 생성할 수 있는 초현실 수 중 가장 작은 초현실수는 \(\{|x_1\}\) 이다.

  정리 5 에 의하여 \(x_n < \{x_n|\}\) 이고 \(x_n\) 은 day \(m\) 에서 가장 큰 초현실수이다. 그러므로 day \(m+1\) 에서, 즉 day \(m\) 의 초현실수를 기반으로 생성할 수 있는 초현실 수 중 가장 큰 초현실수는 \(\{x_n|\}\) 이다. ▲

  b) 의 증명:

  \(x_k\) 를 \(x_k \leq x _{j-1}\) 인 가장 오래된 초현실수라고 하자. 그렇다면 \(x_k\) 보다 오래된 초현실수 \(a\) 는 반드시 \(a > x _{j-1}\) 이다. 그러므로 \(x_k\) 의 parents 는 \(x _{j-1}\) 보다 크다. 즉,

  \[ x _{j-1} < {X_k}_R \tag{2.59} \]

  day \(m\) 에서 \(x _{j-1}\) 와 \(x_j\) 사이에는 어떤 수도 존재하지 않으므로 \({X_k}_R \not < x_j\) 이고 결국

  \[ x_j \leq {X_k}_R \tag{2.60} \]

  을 얻는다. 정리 5 에 의하여

  \[ \{|x_j\} < x_j \tag{2.61} \]

  이므로 \((2.60)\) 과 \((2.61)\) 에 의하여

  \[ \{|x_j\} < {X_k}_R \tag{2.62} \]

  를 얻는다. (\({X_k}_L < x_j\) 를 왜 증명하지 않고 정리 11 을 곧바로 적용하는걸까?)

  c) 의 증명:

  b) 의 증명과 비슷하다.

  d) 의 증명:

  정리 5 에 의하여 \(x_i < \{x_i | x _{i+1}\} < x _{i+1}\) 인데 day \(m\) 에서는 \(x_i\) 와 \(x _{i+1}\) 사이에 초현실수가 존재하지 않는다. 그러므로 \(\{x_i|x _{i+1}\}\) 는 day \(m+1\) 에 생성된 새로운 초현실수이다.

  e) 의 증명:

  \(x_k\) 를 \(x _{i+1} \leq x_k \leq x _{j-1}\) 를 만족하는 가장 오래된 초현실수라고 하자. 그러면 \(x_k\) 의 parents 는 \(x _{i+1}\) 보다 작거나 \(x _{j-1}\) 보다 크다. 즉,

  \[ {X_k}_{L} < x _{i+1} \land x _{j-1} \leq {X_k}_{R} \tag{2.65} \]

  이다. (근데 이렇게 논의를 이어가려면 먼저 \(x\) 보다 작은 초현실수 \(y,z\) 로 이루어진 초현실수 \(\{y,z\}\) 는 반드시 \(x\) 보다 작다 라는 정리와 그 반대의 정리도 필요하잖아.)

• 이 정리는 초현실수의 집합쌍이 어떤 값을 갖는지 알려준다.

• 예시

  우리는 \(\{-1|1\} = 0\) 을 살펴보았는데 이는 \(0\) 이 \(-1\) 과 \(1\) 사이에 있는 가장 오래된 초현실수라는 사실로부터도 도출된다.

  비슷하게 이 정리를 통하여 \(\bigg \{\dfrac{1}{4} | 2 \bigg \} = 1\) 과 \(\bigg \{\dfrac{1}{4}|1 \bigg \} = \dfrac{1}{2}\) 같은 결론을 내릴 수 있다.

Dali function✔

• 이때 \(\dfrac{j}{2^k}\) 는 기약분수(irreducible fraction)이다.

• 지금까지 우리는 다양한 초현실수에 \(0, 1, -\dfrac{1}{2}\) 같은 이름을 부여했다. 이제 초현실수에 어떤 수로 이름을 부여하는지 이 함수를 통하여 형식적으로 엄밀히 정의한다.

• 이 함수가 정의되었으니 \(\{4|\}\) 를 쓰기 위하여 엄밀하게 \(\{\delta (4)|\}\) 로 써야 하지만 편의상 전자의 방식을 고수한다.

• 그러나 무리수를 초현실수로 보내는 경우가 Dali function 에서 정의되지 않았다. 이를 위해 이후에 Dali function 을 다시 다룰 것이다.

• 즉, Dali function 으로 사상된 실수들의 순서는 초현실수의 순서와 같다.

• 증명

  정리 5 와 Dali function 의 정의에 의하여 쉽게 증명된다.

Addition of Surreal Number✔

• \(n-S\) 나 \(S-n\) 도 동일한 방식으로 정의한다. \(Sn\) 또한 동일하게 정의할 것이다.

• 예시

  \[ 6 + \{3,5,8\} = \{9,11,14\} \]
  \[ 6 - \{3,5,8\} = \{3,1,-2\} \]
  \[ \{3,5,8\} - 6 = \{-3,-1,2\} \]
  \[ 6 \times \{3,5,8\} = \{18,30,48\} \]

• 특히, 공집합에 대한 연산의 결과는 공집합으로 정의한다.

• 예시

  \[ n + \varnothing = \varnothing \]
  \[ n - \varnothing = \varnothing \]
  \[ n \varnothing = \varnothing \]

• 예시

  \[ \{10,20\} + \{3,5,8\} = \{13,15,18,23,25,28\} \]

• 똑같은 집합이 집합 연산에 사용되면 다음과 같이 한다. ★

• 예시

  집합 \(S = \{1,2\}, T = \{10, 20\}\) 에 대하여

  \[ S + T + S = \{12,14,22,24\} \]

• 이제 초현실수의 덧셈이 well-formed 인 초현실수를 생성하는지 검증해야 하고, 덧셈의 정의가 make sense 한지 검증해야 한다.

  그에 앞서 필요한 몇가지 정리들을 증명해보고, 덧셈의 well-formedness 와 make sense 를 검증해보자.

• 예시

  \(1 + \dfrac{1}{2}\) 를 계산해보자. \(1 \equiv \{0|\}, \dfrac{1}{2} \equiv \{0|1\}\) 이므로 먼저

  \[ \begin{align}\begin{split} 1 + \dfrac{1}{2} &= \bigg \{0+\dfrac{1}{2}, 1 + 0 \bigg | \varnothing + \dfrac{1}{2}, 1 + 1\bigg \}\\ &= \bigg \{0 + \dfrac{1}{2} , 1 + 0 \bigg | 1 + 1\bigg \} \\ \end{split}\end{align}\tag*{} \]

  이다.

  \(0 + \dfrac{1}{2}\) 를 계산해보자. \(0 \equiv \{|\}\) 이므로

  \[ \begin{align}\begin{split} 0 + \dfrac{1}{2} &= \{\varnothing +\dfrac{1}{2}, 0 + 0 \bigg | \varnothing + \dfrac{1}{2}, 0 + 1\} \\ &= \{0+0|0+1\} \\ \end{split}\end{align}\tag*{} \]

  이다.

  \(0 + 0\) 을 계산해보자.

  \[ \begin{align}\begin{split} 0 + 0 &= \{\varnothing +0,0+\varnothing |\varnothing +0,0+\varnothing \} \\ &= \{|\} \\ &= 0 \\ \end{split}\end{align}\tag*{} \]

  \(0+1\) 을 계산해보자.

  \[ \begin{align}\begin{split} 0 + 1 &= \{\varnothing +1,0+0|\varnothing +1,0+\varnothing \} \\ &= \{0|\} \\ &= 1 \\ \end{split}\end{align}\tag*{} \]

  같은 방식으로 \(1+0=1\) 임을 알 수 있다. 이로써

  \[ \begin{align}\begin{split} 0 + \dfrac{1}{2} &= \{0+0|0+1\} \\ &= \{0|1\} \\ &= \dfrac{1}{2}\\ \end{split}\end{align}\tag*{} \]

  라는 결론을 내릴 수 있다.

  이제 \(1+1\) 을 계산해보자.

  \[ \begin{align}\begin{split} 1 + 1 &= \{0+1,1+1|\varnothing +1,1+\varnothing \} \\ &= \{1|\} \\ &= 2 \\ \end{split}\end{align}\tag*{} \]

  최종적으로

  \[ \begin{align}\begin{split} 1 + \dfrac{1}{2}&= \bigg \{0 + \dfrac{1}{2}, 1+0 \bigg |1+1\bigg \} \\ &= \bigg \{\dfrac{1}{2}, 1 \bigg | 2\bigg \}\\ &= \{ 1 | 2\}\\ &= 1 \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2} \\ \end{split}\end{align}\tag*{} \]

  라는 것을 알 수 있다.

• 증명

  \[ a + b = \{A_L + b, a + B_L | A_R + b, a + B_R\} = \{B_L + a, b + A_L | B_R + a, b + A_R\} = b + a \]

• 예시

  \[ \begin{align}\begin{split} \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} &= \bigg \{0 + \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2} + 0 \bigg | 1 + \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2} + 1\bigg \} \\ &= \bigg \{\dfrac{1}{2}\bigg |\dfrac{3}{2}\bigg \} \\ \end{split}\end{align}\tag*{} \]

• \(\bigg \{\dfrac{1}{2}\bigg |\dfrac{3}{2}\bigg \}\) 의 값이 뭘까? 따름정리 13 에 따르면 \(\dfrac{1}{2}\) 과 \(\dfrac{3}{2}\) 사이에 있는 가장 오래된 초현실수인 \(1\) 이 그 값이 된다.

  그러므로 \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1\) 로 정의된다는 것이다. 이런 이유로 \(\{0|1\} = \dfrac{1}{2}\) 로 정의한 것이다.

well-formedness✔

• 증명

  정리 14 와 정리 15 를 같이 증명해보자. 이 둘을 Boolean function \(p, q\) 로 정의한다.

  \[ p(x,x',y,y') \iff (x \leq x' \land y \leq y' \implies x + y \leq x'+y') \]
  \[ q(x,x',y,y') \iff (x+y \geq x'+y' \land y \leq y' \implies x \geq x') \]

  사실 우리는 지금까지 초현실수의 덧셈이 well-formed 을 생성한다는 것을 증명하지 않았기 때문에 초현실수의 well-formedness 에 의존성이 있는 그 어떠한 정리도 사용할 수 없다. 즉, 우리는 정리 1, 3, 4, 6 만을 사용할 수 있다. (well-formedness 에 의존성이 없는 이 정리들이 나중에 유용할 것이라고 언급했었는데 바로 여기에서 유용하다는 것이다.)

  정리 14 의 \(x + y \leq x' + y'\) 를 증명하기 위하여

  \[ \neg \exists \alpha \in \{X_L + y, x+Y_L\} : x'+y' \leq \alpha \land \neg \exists \beta \in \{X'_R+y', x'+Y'_R\} : \beta \leq x+y \tag{3.14} \]

  를 증명해야 하는데 이는

  \[ \forall \alpha \in \{X_L + y, x+Y_L\} : x'+y' \not \leq \alpha \land \forall \beta \in \{X'_R+y', x'+Y'_R\} : \beta \not \leq x+y \tag{3.14} \]

  이고

  \[ x + y = \{X_L + y, x+Y_L | X_R + y, x+Y_R\} \]
  \[ x' + y' = \{X'_L + y', x' + Y'_L | X'_R + y', x' + Y'_R\} \]

  이므로 \((3.14)\) 는

  \[ x' + y' \not \leq X_L + y \tag{3.15} \]
  \[ x' + y' \not \leq x + Y_L \tag{3.16} \]
  \[ X'_R + y' \not \leq x + y \tag{3.17} \]
  \[ x' + Y'_R \not \leq x + y \tag{3.18} \]

  이 참일 때 참이 된다. ▲

  \((3.15)\) 가 거짓이라고 가정하자. 그러면 정리 14 의 조건부에서 \(y \leq y'\) 가 참이므로 이를 연결하여

  \[ X_l + y \geq x' + y' \land y \leq y' \tag{3.19} \]

  를 얻는다. 이는 Boolean function \(q(X_L, x', y, y')\) 의 조건부와 같으므로 \(X_L \geq x'\) 를 함의한다. 그러나 정리 5 에 의하여 \(X_L < x\) 이고 정리 14 의 조건부에 의하여 \(x \leq x'\) 이므로 \(X_L < x'\) 이고, 이는 모순이다. Boolean function \(q\) 가 참이라고 가정하면 \((3.15)\) 를 거짓이라고 가정한 것이 잘못되었음을 알 수 있다. 그러므로 \((3.15)\) 는 참이다. ▲

  비슷하게 \(q(X_L, x', y, y')\) 가 참이라고 가정하면 \((3.16)\) 도 참이다. ▲

  비슷하게 \(q(x, X'_R, y, y')\) 가 참이라고 가정하면 \((3.17)\) 도 참이다. ▲

  비슷하게 \(q(y, Y'_R, x, x')\) 가 참이라고 가정하면 \((3.18)\) 도 참이다. ▲

  그러므로 \((3.14)\) 는 참이다. 이로써 정리 14 는 정리 15 를 가정하였을 때 참임이 증명되었다. ▲

  정리 15 의 조건부 \(x + y \geq x'+y'\) 와 \(\geq\) 의 정의로부터 다음이 참임을 알 수 있다.

  \[ X'_L + y' \not \geq x+y \tag{3.20} \]
  \[ x' + Y'_L \not \geq x+y \tag{3.21} \]
  \[ x' + y' \not \geq X_R+y \tag{3.22} \]
  \[ x' + y' \not \geq x+Y_R \tag{3.23} \]

  정리 15 가 틀렸다고 가정하면 조건부 \(y \leq y'\) 와 부정된 결론부 \(x \not \geq x'\) 를 얻는다. \(x \not \geq x'\) 는 \(\not \leq\) 의 정의 에 의하여

  \[ \exists x'_L \in X'_L : x \leq x'_L \lor \exists x_R \in X_R : x_R \leq x' \tag{3.24} \]

  와 동치이다. \((3.24)\) 의 왼쪽 명제 \(x \leq x'_L\) 와 \(y \leq y'\) 를 결합하면 \(p(x, x'_L, y, y')\) 의 조건부를 얻는데 이는 곧 \(x + y \leq x'_L + y'\) 를 함의한다. 그런데 이는 \((3.20)\) 과 모순이다. 그러므로 Boolean function \(p\) 가 참임을 가정하면 정리 15 는 참이다. ▲

  비슷하게 \((3.24)\) 의 오른쪽 명제를 \(y \leq y'\) 와 결합하면 \(p(x_R, x', y, y')\) 의 조건부를 얻는데 이는 \(x_R + y \leq x'+y'\) 를 함의한다. 그런데 이는 \((3.22)\) 와 모순이다. 그러므로 정리 14 를 가정하면 정리 15 가 참임을 알 수 있다. ▲

  그러므로 정리 14 와 정리 15 는 동치이다. 즉,

  \[ p \iff q \]

  이다. 이제 정리 14 나 정리 15 둘 중 하나를 증명하면 모든 증명이 끝난다. ▲

  정리하자면, \(p(x,y,x',y')\) 는 \(q(X_L, x', y, y'), q(Y_l, y', x, x'), q(x, X'_R, y, y'), q(y, Y'_R, x, x')\) 를 가정하면 참이다.

  \(q(x, x', y, y')\) 는 \(p(x, x'_L, y, y'), p(x_R, x', y, y')\) 를 가정하면 참이다.

  그러므로 \(p(x, y, x', y')\) 는 다음을 가정하면 참이다.

  \[ p(X_L, x'_L, y, y') \tag{3.25} \]
  \[ p(X _{LR}, x', y, y') \tag{3.26} \]
  \[ p(Y_L, y'_L, x, x') \tag{3.27} \]
  \[ p(Y _{LR}, y', x, x') \tag{3.28} \]
  \[ p(x, X' _{RL}, y, y') \tag{3.29} \]
  \[ p(x_R, X'_R, y, y') \tag{3.30} \]
  \[ p(y, Y' _{RL}, x, x') \tag{3.31} \]
  \[ p(y_R, Y'_R, x, x') \tag{3.32} \]

  그런데 이 명제들은 모두 다 \(p(x, y, x', y')\) 의 첫번째와 두번째 파라미터를 그것의 parents 로 치환하였다. 이 사실은 \(p(x, y, x', y')\) 가 결국 최초의 parents 를 파라미터로 갖는 \(p\) 의 진리값에 의존한다는 것을 알려준다. 다시말해, \(p(x, x', y, y')\) 는

  \[ p(x, \varnothing , y, y') \tag{3.33} \]
  \[ p(\varnothing, x', y, y') \tag{3.34} \]

  이 참일 때 참이 된다. 이는

  \[ x \leq \varnothing \land y \leq y' \implies x + y \leq \varnothing + y' \tag{3.35} \]
  \[ \varnothing \leq x' \land y \leq y' \implies \varnothing + y \leq x' + y' \tag{3.36} \]

  이 참일 때 정리 14 가 증명됨을 뜻한다. \(\varnothing\) 과의 연산은 \(\varnothing\) 이므로 \((3.35), (3.36)\) 의 결론부는 각각

  \[ x + y \leq \varnothing \]
  \[ \varnothing \leq x' + y' \]

  이 되고, 초현실수와 초현실수 집합의 비교 에 의하여 \(\varnothing\) 과의 부등식 관계기호는 항상 참이므로 결국 \((3.35), (3.36)\) 이 참임을 알 수 있다. 그러므로 \((3.33), (3.34)\) 도 참이고 이로써 정리 14 가 증명되었다. 이로써 모든 증명이 끝났다. ■

• 이 정리 또한 초현실수의 well-formedness 에 의존하지 않고 증명되었다.

• 증명

  정리 14 로부터 바로 증명된다. ■

• 이 정리로부터 만약 \(2+3\) 을 계산했을 때 \(2\) 나 \(3\) 을 표현하는 어떤 초현실수를 택하더라도 그 결과가 항상 같은 값임을 보장받을 수 있다.

• 증명

  \(<\) 의 정의 에 의하여 \(x < x'\) 는 \(x \leq x', x \not \geq x'\) 를 뜻한다.

  (여기서 단순화된 \(<\) 의 정의도 사용할 수 없는데 이 정리가 초현실수의 well-formed 에 의존하기 때문이다. 우리는 아직 초현실수의 덧셈이 well-formed 초현실수를 생성한다는 것을 증명하지 않았다. )

  \(x \leq x', y \leq y'\) 이므로 정리 14 로부터

  \[ x + y \leq x'+y' \tag{3.37} \]

  을 얻는다. 정리 15 의 대우

  \[ x \not \geq x' \implies x + y \not \geq x'+y' \lor y \not \leq y' \tag{3.38} \]

  에서 \(x \not \geq x'\) 이므로 \(x + y \not \geq x'+y' \lor y \not \leq y'\) 인데 \(y \leq y'\) 이므로

  \[ x + y \not \geq x' + y' \tag{3.39} \]

  이다. \((3.37)\) 과 \((3.39)\) 와 \(<\) 의 정의 에 의하여

  \[ \therefore x + y < x' + y' \]

  이다. ■

이제 초현실수의 덧셈이 well-formed 인 초현실수를 생성한다는 것을 증명할 수 있다.

• 증명

  well-formedness 의 정의에 의하여

  \[ A_L + b < A_R + b \tag{3.40} \]
  \[ A_L + b < a + B_R \tag{3.41} \]
  \[ a + B_L < A_R + b \tag{3.42} \]
  \[ a + B_L < a + B_R \tag{3.43} \]

  이 증명되면 초현실수 덧셈이 well-formed 인 초현실수를 생성한다는 것이 증명된다. ▲

  \((3.40), (3,43)\) 은 초현실수 \(a, b\) 의 well-formedness 를 정리 17 와 연결하면 곧바로 도출된다. 즉, \(A_L < A_R\) 와 \(b \leq b\) 에서 \(A_L + b < A_R + b\) 가 도출되고 \((3.43)\) 도 비슷하게 증명된다. ▲

  \((3.41)\) 을 증명해보자. 정리 5 에 의하여 \(A_L < a\) 이고 정리 17 에 의하여

  \[ A_L + b < a + b \tag{3.44} \]

  이다. 같은 원리로

  \[ a + b < a + B_R \tag{3.45} \]

  를 얻는다. \((3.44), (3.45)\) 와 The transitive law 에 의하여 \((3.41)\) 을 얻는다. ▲

  \((3.42)\) 도 비슷하게 증명된다. ■

• 이로써 초현실수 덧셈 연산이 well-formedness 를 만족한다는 것을 보장받았다. 이제 초현실수 덧셈이 make sense 한지 따져보기만 하면 된다.

  그에 앞서 몇가지 대수학 이론을 살펴보자.

make sense✔

• 예시

  \((\R, +)\) 는 항등원 \(0\) 와 \(x\) 의 역원 \(-x\) 를 갖는 가환군이다.

  \((\R, \times )\) 는 군이 아닌데 항등원을 갖지만 모든 실수에 대한 역원이 존재하지는 않기 때문이다. 즉, \(0 \times x = 1\) 인 \(x \in \R\) 는 존재하지 않는다.

• 증명

  명백하게 \(0 + 0 = 0\) 이다. 이제 \(x\) 에 대하여 \(x\) 의 parents 에서 이 정리가 성립한다고 가정하자.

  \[ \begin{align}\begin{split} 0 + x& = \{\varnothing + x, 0 + X_L | \varnothing + x, 0 + X_R\}\\ & = \{0+X_L | 0 + X_R\} \end{split}\end{align} \tag{3.46} \]

  인데 \(x\) 의 parents 에 대하여 이 정리가 성립하므로 \(0 + X_L = X_L \land 0 + X_R = X_R\) 이다. 따라서

  \[ \{0 + X_L | 0 + X_R\} = \{X_L | X_R\} = x \]

  를 얻고, \(0+x=x\) 가 증명된다. ▲

  \(x+0=x\) 도 비슷하게 증명할 수 있다. ■

• 증명

  \(x, y\) 의 parents 에 대하여 commutative law 가 성립한다고 가정하면 \(+\) 의 정의에 의하여 \(x, y\) 에 대하여 commutative law 가 성립함을 자명하게 알 수 있다.

  그러므로 귀납법을 쓰기 위하여 \(0+x=x+0\) 만 증명하면 되는데 이는 정리 19 에 의하여 자명하게 참이다. ■

• 증명

  \[ (x + y) + z = \{(x+y)_L + z, (x+y)+Z_L | (x+y)_R + z, (x+y)+Z_R\} \]
  \[ = \{(X_L + y) + z, (x + Y_L) + z, (x+y) + Z_L | (X_R+y) + z, (x+Y_R) + z, (x+y) + Z_R\} \tag{3.47} \]
  \[ x + (y + z) = \{X_L + (y+z), x+(y+z)L | X_R + (y+z), x+(y+z)_R\} \]
  \[ = \{X_L + (y+z), x+(Y_L+z), x+(y+Z_L) | X_R + (y+z), x+(Y_R+z), x+(y+Z_R)\} \tag{3.48} \]

  에서 \((3.47), (3.48)\) 이 \(x, y, z\) 의 parents 에 대한 associative 가 성립함을 가정하면 성립한다는 것을 알 수 있다.

  그러므로 parents 의 parents 를 거슬러 올라가면서 이 정리의 참거짓을 결정하게 된다. 그런데 이 초현실수가 \(0\) 로 치환되면 참이므로 결국 참임을 알 수 있다. \(0\) 는 최초의 초현실수이다. 그러므로 이 정리는 참이다. ■

• 증명

  먼저 \(-x\) 의 존재성, 즉 \(-x\) 가 well-formed 인 초현실수임을 증명해야 한다. 그리고 \(x + (-x) = 0\) 임을 증명하면 증명이 끝난다.

  먼저 \((-X)_L = -X_R\) 이고 \((-X)_R = -X_L\) 이다.

  \(-x\) 의 well-formedness 를 증명하기 위하여 \(X_L < X_R\) 를 기반으로

  \[ -X_R < -X_L \tag{3.49} \]

  를 증명해야 한다. 이는 결국 \(a \leq b \iff -b \leq -a\) 의 증명을 요구한다. \(a \leq b\) 는

  \[ \neg \exists \alpha \in A_L : b \leq \alpha \land \neg \exists \beta \in B_R : \beta \leq a \tag{3.50} \]

  을 뜻하고 \(-b \leq -a\) 는

  \[ \neg \exists \xi \in (-B)_L : -a \leq \xi \land \neg \exists \eta \in (-A)_R : \eta \leq -b \tag{3.51} \]

  을 뜻한다. \((3.51)\) 은

  \[ \neg \exists \xi \in -B_R : -a \leq \xi \land \neg \exists \eta \in -A_L : \eta \leq -b \tag{3.52} \]

  와 같다.

  이때 \((3.50)\) 의 왼쪽 명제와 \((3.52)\) 의 오른쪽 명제를 \(\alpha = - \eta\) 를 택하여 비교해보자.

  \[ \neg \exists -\eta \in A_L : b \leq - \eta , \neg \exists \eta \in -A_L : \eta \leq -b \]

  또한 \((3.50)\) 의 오른쪽 명제와 \((3.52)\) 의 왼쪽 명제를 \(\xi = - \beta\) 를 택하여 비교해보자.

  \[ \neg \exists \beta \in B_R : \beta \leq a , \neg \exists - \beta \in -B_R : -a \leq - \beta \]

  그러면 \(a,b\) 의 parents 에 대하여 참임을 가정하면 \(a \leq b \iff -b \leq -a\) 가 참이 됨을 알 수 있다. (근데 이것도 은연중에 가정하고 있는 전제가 있는 것 같은데. 즉 \(- a \in A\) 와 \(a \in -A\) 가 같다는 전제가 있는 것 같다. \(-\) 는 일단 초현실수의 덧셈의 역원으로 정의되었으니까, 지금 은연중에 가정하고 있는 건 초현실수 집합 \(A\) 에 대하여 \(-A\) 란 역원의 집합이라는 것이다. 어쨌든 \(-a \in A \iff a \in -A\) 를 가정하고, \(A_L, B_R\) 에 대하여 성립함을 가정하면 \(a,b\) 에 대해서도 성립한다고 할 수 있지. 그렇게 되면 \(0\) 에 대해서만 성립함을 보이면 귀납법에 의하여 증명되었다고 할 수 있고.)

  비슷한 과정을 통하여 \(a \leq 0 \iff 0 \leq -a\) 가 \(a\) 의 parents 에 대하여 성립하면 성립함을 보일 수 있다.

  마지막으로 \(0 \leq -0\) 는 자명하다. 그러므로 \(-x\) 는 well-formed 이다. ▲

  이제 \(x + (-x) = 0\) 을 증명해보자. \(x = 0\) 이면 \(-x = 0\) 임이 자명하므로 성립한다.

  \(x\) 의 parents 에 대하여 성립함을 가정하자.

  \[ x + (-x) = \{X_L + (-x), x+(-X_R) | X_R + (-x), x + (-X_L) \} \tag{3.53} \]

  에서 left set 의 첫번째 원소는

  \[ X_L + (-x) = \{X _{LL} + (-x), X_L + (-X_R) | X _{LR} + (-x) , X_L + (-X_L)\} \tag{3.54} \]

  이다. \(x\) 의 parents 에 대하여 성립하므로 \(X_L + (-X_L) = 0\) 인데 정리 5 에 의하여 초현실수는 right set 의 모든 원소보다 작으므로

  \[ X_L + (-x) < 0 \]

  이다. \((3.53)\) 의 left set 의 두번째 원소는

  \[ x + (-X_R) = \{X_L + (-X_R) , x + (-X _{RR}) | X_R + (-X_R), x + (-X _{RL})\} \tag{3.55} \]

  인데 또 다시 정리 5 를 적용하여

  \[x + (-X_R) < 0\]

  를 얻을 수 있다. 같은 방식으로 \(X_R + (-x) > 0, x + (-X_L) > 0\) 를 얻을 수 있다. 즉, \((3.53)\) 의 left set 의 모든 원소가 \(0\) 보다 작고, right set 의 모든 원소가 \(0\) 보다 크다는 결론을 내릴 수 있다.

  그러면 따름정리 13 에 의하여 left set 과 right set 사이의 가장 오래된 원소 \(0\) 가 \(x + (-x)\) 의 값이다. 그러므로

  \[ \therefore x + (-x) = 0 \]

  이다. ■

• 매우 쉽게 증명할 수 있다.

• 증명

• 준동형사상은 두 대수 구조의 연산 구조를 보존하는 사상이다. 가령 이항 연산 \(\cdot\) 이 두 집합 \(A, B\) 에서 연산될 때 사상 \(f : A \to B\) 가

  \[ f(x \cdot y) = f(x) \cdot f(y) \]

  를 만족하면 \(f\) 가 연산 구조를 보존한다고 말한다.

• 예시

  실수 집합 \(\R\) 은 덧셈과 곱셈이 정의된 환(ring)이다. \(2 \times 2\) 행렬의 집합 \(\R _{2 \times 2}\) 또한 덧셈과 곱셈이 정의된 환(ring)이다. 사상 \(f: \R \to \R _{2 \times 2}\) 를

  \[ f(r) = \begin{pmatrix} r&0\\ 0&r\\ \end{pmatrix} \]

  와 같이 정의하면

  \[ f(r + s) = \begin{pmatrix} r+s&0\\ 0&r+s\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r&0\\ 0&r\\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} s&0\\ 0&s\\ \end{pmatrix} = f(r) + f(s) \]

  이고

  \[ f(rs) = \begin{pmatrix} rs&0\\ 0&rs\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r&0\\ 0&r\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} s&0\\ 0&s\\ \end{pmatrix} = f(r) f(s) \]

  이므로 사상 \(f\) 는 환 \(\R\) 을 환 \(\R _{2 \times 2}\) 로 보내면서 연산 구조를 보존한다. 그러므로 \(f\) 는 실수집합환과 \(2 \times 2\) 행렬집합환의 준동형사상이다.

• 전단사 준동형사상을 동형사상(isomorphism) 이라 한다.

• 전자의 \(+\) 는 실수의 \(+\) 이고 후자의 \(+\) 는 초현실수의 \(+\) 이다.

• 이 정리는 Dali function 이 준동형사상이라는 것, 즉 실수의 연산 구조를 그대로 보존하여 초현실수로 보낸다는 것을 말해준다.

• 증명

  \(a = 0 \lor b = 0\):

  정리 19 에 의하여 초현실수의 항등원은 \(\{|\}\) 이고, 실수의 항등원은 \(0\) 이다. 그러므로

  \[ \delta (0+b) = \delta (b) = \{|\} + \delta (b) = \delta (0) + \delta (b) \]

  이다. ▲

  \(a, b \in \Bbb{Z} _{+}\):

  Dali function 의 정의에 의하여

  \[ \delta (a) = \{\delta (a-1)|\}, \delta (b) = \{\delta (b-1)|\}, \delta (a+b) = \{\delta (a+b-1)|\} \]

  이다. 또한 \(a = 0, b = 0\) 에 대하여 이 정리가 성립함을 이미 증명했다. 이제 귀납법을 사용할텐데 지금까지처럼 parents 에 대하여 귀납법을 전개하는 것이 아니라 양의 정수에 대하여 귀납법을 전개할 것이다.

  \(a-1, b-1\) 에 대하여 정리가 성립함을 가정하면

  \[ \delta (a-1+b) = \delta (a-1) + \delta (b) \tag{3.56} \]
  \[ \delta (a+b-1) = \delta (a) + \delta (b-1) \tag{3.57} \]

  이다. 그러므로

  \[ \begin{align}\begin{split} \delta (a) + \delta (b)& = \{\delta (a)_L + \delta (b), \delta (a) + \delta (b)_L | \delta (a)_R + \delta (b), \delta (a) + \delta (b)_R\} \\ & = \{\delta (a-1) + \delta (b), \delta (a) + \delta(b-1)| \}\\ & = \{\delta (a-1+b) , \delta (a+b-1)| \}\\ & = \delta (a+b) \end{split}\end{align} \tag{3.58} \]

  이다. 이에 따라 귀납법에 의하여 이 경우가 증명되었다. ▲

  \(a, b \in \Bbb{Z} _{-}\):

  Dali function 의 정의에 의하여

  \[ \delta (a) = \{|\delta (a+1)\}, \delta (b) = \{|\delta (b+1)\}, \delta (a+b) = \{|\delta (a+b+1)\} \]

  이다. 또한 \(a = 0, b = 0\) 에 대하여 이 정리가 성립함을 이미 증명했다. 이제 귀납법을 사용할텐데 지금까지처럼 parents 에 대하여 귀납법을 전개하는 것이 아니라 음의 정수에 대하여 귀납법을 전개할 것이다.

  \(a+1, b+1\) 에 대하여 정리가 성립함을 가정하면

  \[ \delta (a+1+b) = \delta (a+1) + \delta (b) \tag{3.59} \]
  \[ \delta (a+b+1) = \delta (a) + \delta (b+1) \tag{3.60} \]

  이다. 그러므로

  \[ \begin{align}\begin{split} \delta (a) + \delta (b)& = \{\delta (a)_L + \delta (b), \delta (a) + \delta (b)_L | \delta (a)_R + \delta (b), \delta (a) + \delta (b)_R\} \\ & = \{|\delta (a+1) + \delta (b), \delta (a) + \delta(b+1) \}\\ & = \{|\delta (a+1+b) , \delta (a+b+1) \}\\ & = \delta (a+b) \end{split}\end{align} \tag{3.61} \]

  이다. 이에 따라 귀납법에 의하여 이 경우가 증명되었다. ▲

  \(a \in \Bbb{Z} _{+}, b \in \Bbb{Z} _{-}\):

  Dali function 의 정의에 의하여 \(\delta (a) = \{\delta (a-1)|\}, \delta (b) = \{|\delta (b+1)\}\) 이다. 정리 Dali function 은 실수의 순서를 보존한다 에 의하여

  \[ \delta (a+b-1) < \delta (a+b) < \delta (a+b+1) \tag{3.62} \]

  이다. \(a+b\) 의 부호에 따라서 다음의 결과를 얻는다.

  • \(a+b>0\) 이면 \(\delta (a+b) = \{\delta (a+b-1)|\}\) 이다. 정리 11 과 \((3.62)\) 에 의하여 \(\delta (a+b) = \{\delta (a+b-1) | \delta (a+b+1)\}\)

  • \(a+b=0\) 이면 \(\delta (a+b) = \{|\}\) 이다. 정리 11 과 \((3.62)\) 에 의하여 \(\delta (a+b) = \{\delta (a+b-1) | \delta (a+b+1)\}\)

  • \(a+b<0\) 이면 \(\delta (a+b) = \{|\delta (a+b+1)\}\) 이다. 정리 11 과 \((3.62)\) 에 의하여 \(\delta (a+b) = \{\delta (a+b-1) | \delta (a+b+1)\}\)

  그러므로 모든 경우에서

  \[ \delta (a+b) = \{\delta (a+b-1) | \delta (a+b+1)\} \tag{3.63} \]

  를 얻는다. 이 정리가 \(a = 0, b = 0\) 에서 성립한다는 것을 이미 증명했다. 이제 \(a-1\) 과 \(b+1\) 에서 이 정리가 성립한다고 가정하자. 즉,

  \[ \delta (a-1+b) = \delta (a-1) + \delta (b) \tag{3.64} \]
  \[ \delta (a+b+1) = \delta (a) + \delta (b+1) \tag{3.65} \]

  를 가정한다. 이를 기반으로

  \[ \begin{align}\begin{split} \delta (a) + \delta (b)& = \{\delta (a)_L + \delta (b), \delta (a) + \delta (b)_L | \delta (a)_R + \delta (b), \delta (a) + \delta (b)_R\} \\ & = \{\delta (a-1)+\delta (b)|\delta (a) + \delta (b+1) \}\\ & = \{\delta (a-1+b)| \delta (a+b+1) \}\\ & = \delta (a+b) \end{split}\end{align} \tag{3.66} \]

  를 얻는다. 이에 따라 귀납법에 의하여 이 경우가 증명되었다. ▲

  \(j \in \Bbb{Z} , k \in \Bbb{Z} _{+}, a \in \Bbb{Z} _{+}, b = \dfrac{j}{2^k}\) :

  (이때 \(\dfrac{j}{2^k}\) 는 기약분수이다.)

  Dali function 의 정의에 의하여 \(\delta (a) = \{\delta (a-1)|\}, \delta (b) = \bigg \{\delta \bigg (\dfrac{j-1}{2 ^{k}}\bigg )\bigg |\delta \bigg (\dfrac{j+1}{2^k}\bigg )\bigg \}\) 이다. 또한

  \[ a+b = a+ \dfrac{j}{2^k} = \dfrac{2^ka + j}{2^k} \tag{3.67} \]

  이므로 Dali function 에 의하여

  \[ \delta (a+b) = \bigg \{\delta \bigg (\dfrac{2^ka+j-1}{2^k}\bigg )\bigg |\delta \bigg (\dfrac{2^ka+j+1}{2^k}\bigg )\bigg \} \tag{3.68} \]

  이다. 우리는 이 정리가 \(a = 0\) 이고 \(b\) 가 정수일 때, 즉 \(k = 0\) 일 때 성립한다는 것을 이미 증명했다. 이제 이 정리가 \(a - 1, k - 1\) 에서 성립한다고 가정하고 \(a, k\) 에 대하여 성립함을 보이자. 그러면

  \[ \begin{align}\begin{split} \delta (a) + \delta (b) & = \{\delta (a) _L + \delta (b), \delta (a) + \delta (b)_L | \delta (a)_R + \delta (b) , \delta (a) + \delta (b) _R\} \\ & = \bigg \{\delta (a-1) + \delta \bigg (\dfrac{j}{2^k}\bigg ), \delta (a) + \delta \bigg (\dfrac{j-1}{2^k}\bigg )\bigg |\delta (a) + \delta \bigg (\dfrac{j+1}{2^k}\bigg )\bigg \} \\ & = \bigg \{\delta \bigg (a - 1 + \dfrac{j}{2^k}\bigg ), \delta \bigg (a + \dfrac{j-1}{2^k}\bigg )\bigg |\delta \bigg (a + \dfrac{j+1}{2^k}\bigg )\bigg \} \end{split}\end{align} \tag{3.69} \]

  가 성립한다. 마지막 연산이 가능한 이유는 \(\dfrac{j-1}{2^k}, \dfrac{j+1}{2^k}\) 가 최소 \(2\) 로 약분되므로 분모가 최대 \(2 ^{k-1}\) 가 되기 때문이다. 더욱 단순화시켜보면

  \[ \begin{align}\begin{split} \delta (a) + \delta (b) & = \bigg \{\delta \bigg ( \dfrac{2^ka -2^k + j}{2^k}\bigg ), \delta \bigg (\dfrac{2^ka + j-1}{2^k}\bigg )\bigg |\delta \bigg (\dfrac{2^ka + j+1}{2^k}\bigg )\bigg \} \\ & = \bigg \{\delta \bigg (\dfrac{2^ka + j-1}{2^k}\bigg )\bigg |\delta \bigg (\dfrac{2^ka + j+1}{2^k}\bigg )\bigg \} \end{split}\end{align} \tag{3.70} \]

  이 된다. 마지막 단순화는 \(k \leq 0 \iff 2 ^{k} \geq 1\) 를 기반으로 따름정리 10 에 의하여 이루어진다. \((3.70)\) 은 \((3.68)\) 과 같으므로 이 경우에서 \(\delta (a)+\delta (b) = \delta (a+b)\) 가 증명되었다. ▲

  \(j \in \Bbb{Z} , k \in \Bbb{Z} _{+}, a \in \Bbb{Z} _{-}, b = \dfrac{j}{2^k}\):

  (이때 \(\dfrac{j}{2^k}\) 는 기약분수이다.)

  이전의 경우와 증명이 매우 비슷하므로 생략한다. ▲

  \(j_a \in \Bbb{Z} , k_a \in \Bbb{Z} _{+}, j_b \in \Bbb{Z} , k_b \in \Bbb{Z} _{+}, a = \dfrac{j_a}{2 ^{k_a}}, b = \dfrac{j_b}{2 ^{k_b}}\):

  (이때 \(\dfrac{j_a}{2^k_a}, \dfrac{j_b}{2^k_b}\) 는 기약분수이다.)

  Dali function 에 의하여 \(\delta (a) = \bigg \{\delta \bigg (\dfrac{j_a-1}{2 ^{k_a}}\bigg )\bigg |\delta \bigg (\dfrac{j_a+1}{2 ^{k_a}}\bigg )\bigg \}\) 이고 \(\delta (b) = \bigg \{\delta \bigg (\dfrac{j_b-1}{2 ^{k_b}}\bigg )\bigg |\delta \bigg (\dfrac{j_b+1}{2 ^{k_b}}\bigg )\bigg \}\) 이다. 일반성을 훼손하지 않고 \(k_a \geq k_b\) 라고 가정할 수 있으며 이 경우

  \[ \begin{align}\begin{split} a + b & = \dfrac{j_a}{2 ^{k_a}} + \dfrac{j_b}{2 ^{k_b}}\\ & = \dfrac{j_a + 2 ^{k_a - k_b}j_b}{2 ^{k_a}} \end{split}\end{align} \tag{3.71} \]

  이므로

  \[ \delta (a+b) = \bigg \{\delta \bigg (\dfrac{j_a + 2 ^{k_a-k_b}j_b - 1}{2 ^{k_a}}\bigg ) \bigg | \delta \bigg (\dfrac{j_a + 2 ^{k_a-k_b}j_b+1}{2 ^{k_a}}\bigg )\bigg \} \tag{3.72} \]

  이다. 우리는 이미 이 정리가 \(a, b\) 가 정수일 때, 즉 \(k_a = 0, k_b = 0\) 일 때 성립한다는 것을 증명했다. 그러므로 이 정리가 \(k_a - 1, k_b - 1\) 에서 성립한다는 것을 가정하고 \(k_a, k_b\) 에서 성립함을 보이자.

  \[ \begin{align}\begin{split} \delta (a) + \delta (b) & = \{\delta (a)_L + \delta (b), \delta (a) + \delta (b)_L | \delta (a)_R + \delta (b), \delta (a) + \delta (b)_R\}\\ & = \bigg \{\delta \bigg (\dfrac{j_a-1}{2 ^{k_a}}\bigg )+\delta \bigg (\dfrac{j_b}{2 ^{k_b}}\bigg ), \delta \bigg (\dfrac{j_a}{2 ^{k_a}}\bigg ) + \delta \bigg (\dfrac{j_b-1}{2 ^{k_b}}\bigg )\bigg | \\ & \qquad \qquad \delta \bigg (\dfrac{j_a+1}{2 ^{k_a}}\bigg )+\delta \bigg (\dfrac{j_b}{2 ^{k_b}}\bigg ), \delta \bigg (\dfrac{j_a}{2 ^{k_a}}\bigg ) + \delta \bigg (\dfrac{j_b+1}{2 ^{k_b}}\bigg )\bigg\} \\ & = \bigg \{\delta \bigg (\dfrac{j_a-1}{2 ^{k_a}} + \dfrac{j_b}{2 ^{k_b}}\bigg ), \delta \bigg (\dfrac{j_a}{2 ^{k_a}}+\dfrac{j_b-1}{2 ^{k_b}}\bigg )\bigg | \delta \bigg (\dfrac{j_a+1}{2 ^{k_a}} + \dfrac{j_b}{2 ^{k_b}}\bigg ), \delta \bigg (\dfrac{j_a}{2 ^{k_a}} + \dfrac{j_b+1}{2 ^{k_b}}\bigg )\bigg\} \\ \end{split}\end{align} \tag*{} \]

  에서 마지막 연산은 \(\dfrac{j_a-1}{2 ^{k_a}}\) 가 최소 \(2\) 로 약분되서 분모가 최대 \(2 ^{k_a-1}\) 로 바뀌기 때문이다. 더욱 단순화를 시켜보면

  \[ \begin{align}\begin{split} \delta (a) + \delta (b) & = \bigg \{\delta \bigg( \dfrac{(j_a-1) + 2 ^{k_a-k_b}j_b}{2 ^{k_a}} \bigg ), \delta \bigg (\dfrac{j_a + (j_b -1) 2 ^{k_a-k_b}}{2 ^{k_a}}\bigg ) \bigg | \\ & \qquad \qquad \delta \bigg (\dfrac{(j_a+1) + 2 ^{k_a-k_b}j_b}{2 ^{k_a}}\bigg ), \delta \bigg (\dfrac{j_a+(j_b + 1)2 ^{k_a-k_b}}{2 ^{k_a}}\bigg )\bigg \}\\ & = \bigg \{\delta \bigg( \dfrac{j_a + 2 ^{k_a-k_b}j_b}{2 ^{k_a}} -1 \bigg ), \delta \bigg (\dfrac{j_a + 2 ^{k_a-k_b}j_b - 2 ^{k_a-k_b}}{2 ^{k_a}}\bigg ) \bigg | \\ &\qquad \qquad \delta \bigg (\dfrac{j_a + 2 ^{k_a-k_b}j_b + 1}{2 ^{k_a}}\bigg ), \delta \bigg (\dfrac{j_a+2 ^{k_a-k_b}j_b + 2 ^{k_a-k_b}}{2 ^{k_a}}\bigg )\bigg \}\\ & = \bigg \{\delta \bigg( \dfrac{j_a + 2 ^{k_a-k_b}j_b}{2 ^{k_a}} -1 \bigg )\bigg | \delta \bigg (\dfrac{j_a + 2 ^{k_a-k_b}j_b + 1}{2 ^{k_a}}\bigg )\bigg \}\\ \end{split}\end{align} \tag{3.74} \]

  이 된다. 마지막 단순화는 \(k_a \geq k_b \iff 2 ^{k_a-k_b} \geq 1\) 를 기반으로 따름정리 10 에 의하여 이루어진다. \((3.74)\) 은 \((3.72)\) 과 같으므로 이 경우에서 \(\delta (a)+\delta (b) = \delta (a+b)\) 가 증명되었다. ▲

  이로써 가능한 모든 경우에서 증명이 끝났다. ■

• 이 정리는 초현실수 덧셈이 make sense 하다는 것을 말해준다. 초현실수 덧셈이 make sense 하다는 것은 쉽게 말해 덧셈이 우리가 예상한대로 행동한다는 것이다.

• 증명

  정리 19, 20, 21, 22 에 의하여 \((\mathbf{No} , +)\) 는 아벨군이다. ▲

  정리 22 에 의하여 Dali function 은 \((\R, +)\) 을 \((\mathbf{No} ,+)\) 로 보내는 준동형사상이다. ▲

  그러므로 초현실수 덧셈 연산은 make sense 하다. ■

• 초현실수 덧셈 \((\mathbf{No} , +)\) 이 아벨군을 이룬다는 것은 \((\R, +)\) 와 대수적으로 동일한 성질을 띈다는 것이다.

• Dali function 이 \((\R, +_r)\) 를 \((\mathbf{No} , +_s)\) 로 보내는 준동형사상이라는 조건은

  \[ \delta (a +_r b) = \delta (a) +_s \delta (b) \]

  을 만족한다는 것이다. 이 조건이 필요한 것은 Dali function 이 실수덧셈군의 구조를 보존하면서 두 수의 덧셈 연산을 초현실수덧셈군으로 보낼 수 있다는 것이다.

  구조를 보존한다는 조건이 필요한 이유는 Dali function 이 초현실수에 \(0, 1, 2\) 같은 이름을 부여했으므로 실수에서 \(2 + 3 = 5\) 라는 결과를 내는 것과 같이 초현실수에서도 \(2 + 3 = 5\) 가 되어야 하기 때문이다.

  그러므로 \(\delta (2 + 3) = \delta (5)\) 가 초현실수 \(5\) 라는 이름을 부여받듯이 \(\delta (2) + \delta (3)\) 가 초현실수 이름 \(2\) 와 \(3\) 을 부여받은 덧셈 결과 \(5\) 로 연산되어야 한다는 것이다.

Multiplication of Surreal Number✔

• 덧셈에서와 같이 이 곱셈 연산이 올바른가, 즉 well-formed 인 초현실수를 생성하는가 물어보아야 한다. 또한 이 곱셈 연산이 make sense 한지 검증해야 한다.

  그러나 곱셈의 well-formedness 에 대해서는 생략한다.

• 특히 \(0\) 은 곱셈연산에서 특별한 역할을 한다.

• 증명

  \[ \begin{align}\begin{split} 0x & = \{\varnothing x + 0X_L - \varnothing X_L, \varnothing x + 0 X_R - \varnothing X_R | \varnothing x + 0X_R - \varnothing X_R, \varnothing x + 0X_L - \varnothing X_L\}\\ & = \{|\} \\ & 0 \end{split}\end{align} \tag{4.2} \]

  \(x0=0\) 또한 비슷하게 증명가능하다. ■

• 증명

  \[ \begin{align}\begin{split} 1x &= \{0x+1X_L -0X_L, \varnothing x +1X_R- \varnothing X_R | 0b+1X_R-00_R, \varnothing x+1X_L-\varnothing X_L\}\\ & = \{1X_L|1X_R\} \end{split}\end{align} \tag{4.3} \]

  \(x\) 의 parents 에 대하여 이 정리가 성립한다고 하면 \(\{1X_L|1X_R\} = x\) 이다. \(x = 0\) 일 때 이 정리가 자명하게 성립하므로 \(1x = x\) 이다. ▲

  \(x1 = x\) 도 비슷하게 증명가능하다. ■

• 증명

  \(x, y\) 의 parents 에 대하여 성립함을 가정하면 이는 곱셈의 정의에 의하여 자명하게 성립한다. ▲

  \(0x = x0\) 의 증명은 정리 24 에 의하여 자명하다. ■

• 증명

• 증명

• 증명

• 이 정리의 증명은 다음 장에서 논의할 것이다. 그때까지 우리는 분모가 \(2\) 의 배수인 분수만 다룰 것이다. 사실 우리는 아직 \(\dfrac{1}{3}\) 같은 초현실수가 어떤 것인지 다루지 않았다.

• 증명

make sense✔

• 이 정리는 초현실수 곱셈이 make sense 하다는 것을 말해준다. 초현실수 곱셈이 make sense 하다는 것은 쉽게 말해 곱셈이 우리가 예상한대로 행동하느냐는 것이다.

• 증명

  정리 25, 26, 27, 29 에 의하여 \((\mathbf{No} \setminus \{0\} , \times )\) 은 아벨군을 이룬다. ▲

  정리 30 에 의하여 Dali function 은 \((\R, \times )\) 을 \((\mathbf{No} , \times )\) 로 보내는 준동형사상이다. ▲

  그러므로 초현실수 곱셈 연산은 make sense 하다. ■

• 증명

  초현실수 덧셈의 make sense 와 초현실수 곱셈의 make sense 에 의하여 초현실수의 덧셈 \(+\) 과 곱셈 \(\cdot\) 은 아벨군을 이룬다. 이로써 환의 조건 1), 2) 가 성립한다. ▲

  정리 28 에 의하여 환의 조건 3) 이 성립한다. ■

• 초현실수 곱셈 \((\mathbf{No} \setminus \{0\} , \times )\) 이 아벨군을 이룬다는 것은 \((\R, +)\) 와 대수적으로 동일한 성질을 띈다는 것이다.

Beyond Infinity✔

• 최초로 \(0 = \{|\}\) 이 \(\Bbb{Z}\) 에 포함되었으니까 \(1 = \{0|\}, -1 = \{|0\}\) 도 \(\Bbb{Z}\) 에 포함되고, 이를 기반으로 \(2 = \{1|\}, -2 = \{|-1\}\) 도 포함된다.

• 이렇게 초현실수로 이루어진 정수 집합 \(\Bbb{Z}\) 은 Dali function 에 평범한 정수들을 입력함으로써 평범한 정수 집합 \(\Bbb{Z}\) 과 완전히 같아졌다.

Unlimited✔

• \(\Bbb{Z}\) 또한 명백히 초현실수 집합이므로 이를 기반으로 새로운 초현실수를 생성해낼 수 있다.

  이렇게 생성된 초현실수 \(\omega\) 는 명백히 초현실수이다. left set, right set 모두 초현실수 집합이고, well-formed 이기 때문이다.

• 이 수는 정리 5 에 의하여 모든 양의 정수보다 크다. 즉, \(\omega\) 는 무한대(infinity)이다.

  일반적인 실수체에는 무한대가 존재하지 않는다.

• 그 표기법에서 예상할 수 있듯 \(\omega\) 는 자연수를 서수로 이해할 때의 \(\omega\) 와 매칭된다.

  서수에 대한 이야기는 여기서 줄이겠지만, 존재하는 모든 서수를 초현실수로 표현할 수 있다는 것만 언급해둔다.

• 물론 \(\omega\) 는 다른 표현을 가진다.

  \[ \begin{align}\begin{split} \omega & = \{\Bbb{Z} | \}\\ & = \{1,2,3, \dots|\}\\ & = \{2,4,6, \dots|\}\\ & = P\\ \end{split}\end{align} \tag*{} \]

  \(P\) 는 소수의 집합이다. 정리 9 는 \(\omega\) 의 left set 중에서 어떤 것보다 더 큰 원소를 남겨두기만 한다면 그 이외의 원소를 제거해도 된다는 것을 알려준다. 이로써 무수히 많은 \(\omega\) 표현이 존재함을 알 수 있다.

• 증명

  \[ \begin{align}\begin{split} \omega - 1& = \omega + (-1) \\ & = \{\Bbb{Z} - 1| \omega - 0 \} \end{split}\end{align} \tag*{} \]

• 증명

  \[ \begin{align}\begin{split} \omega + 1 & = \{\Bbb{Z} + 1, \omega + 0 | \}\\ & = \{\Bbb{Z} , \omega | \} \\ & = \{\omega | \} \end{split}\end{align} \tag*{} \]

  (마지막 연산은 \(\omega\) 가 모든 정수보다 크기 때문에 따름정리 10 에 의하여 도출된다.)

• 증명

  \(\omega ,\omega + 1, \omega + 2, \omega - 1, \omega -2\) 의 정의로부터 다 쉽게 도출된다.

• 물론 이 수들도 다른 표현을 가진다.

• 이로써 우리는 초현실수가 평범한 실수 이외의 수들도 포함할 수 있다는 것을 알았다.

Infinitesimal✔

• 이 수 또한 well-formed 이므로 엄연히 초현실수이다. 그런데 이 수는 정리 5 에 의하여 \(0\) 보다 크면서 모든 양의 분수보다 작다.

  이러한 수를 무한소(infinitesimal) 라고 한다. 무한소는 보통 \(0\) 이 아니면서 모든 양수보다 작은 수로 이해된다.

  일반적인 실수체에는 무한소가 존재하지 않는다.

• 이 수의 값을 살펴보면 \(\varepsilon = \dfrac{1}{\omega }\) 인데 이로써 우리는 무한대의 역수를 얻는다.

• 이 수는 \(1\) 보다 크고 \(1\) 보다 큰 모든 실수보다 작은 수이다.

• 이렇게 초현실수가 무한대와 무한소를 포함하므로 초현실수의 미분이나 적분의 유용한 정의를 찾기가 어렵다. 가령 \(x, y\) 가 무한소의 일부일 때 \(\dfrac{dy}{dx}\) 를 정의하는 것은 쉽지 않다.

• 우리가 지금까지 만들었던 초현실수 분수는 모두 다 dyadic 의 형태였다.

⅓✔

π✔

• 전자의 \(\pi\) 는 \(\R\) 에 있고 후자의 \(\pi\) 는 \(\mathbf{No}\) 에 있다.

• \(\dfrac{1}{3}\) 과 \(\pi\) 같은 실수를 구성하는 방식은 데데킨트 절단을 연상시킨다.

Division✔

• 증명

• 예시

  초현실수 \(\dfrac{1}{5}\) 를 표현해보자. \(x = 5\) 에서 \(X_L = \{4\}, X_R = \varnothing\) 이므로

  \[ 0 \in L \]
  \[ \lambda \in L \implies \dfrac{1- \lambda }{4} \in R \]
  \[ \rho \in R \implies \dfrac{1- \rho }{4} \in L \]

  이다. 즉, \(0 \in L, \dfrac{1}{4} \in R, \dfrac{3}{16} \in L, \dfrac{13}{64} \in R, \dots\) 이다.

e✔

• 증명

Surcomplex numbers✔