Sequence and Series

Limit of a Sequence✔

• 여기에서는 보통 실수열, 즉 공역이 $\R$ 인 수열을 다룰 것이다.

• 예시

  다음은 수열을 나타내는 방법들이다.

  1. $(1, 2, 3, \dots)$

  2. $\displaystyle (n+1)_{n=1} ^{\infty } = (2, 3, 4, \dots)$

  3. $(a_n)$, 각 $n \in \N$ 에 대하여 $a_n = 2 ^{n}$

  4. $(x_n)$, $x_n = \begin{cases} x_1 = 2 &\\ x_n = \dfrac{x_n+1}{2} &n > 1\\ \end{cases}$

Convergence of Sequence✔

• 임의의 양수 $\epsilon$ 을 무한히 줄어드는 양수로 생각하면 된다. 따라서 $|a_n - a | < \epsilon$ 이란 $a_n$ 가 $a$ 에 끝없이 다가가고 있다는 표현이 된다.

• 수열의 수렴을 $(a_n) \to a$ 또는 $\lim_{} a_n$ 로도 표기한다.

• $a \in \R$ 와 실수 $\epsilon > 0$ 에 대하여 다음 집합을 $\epsilon$-근방($\epsilon$-neighborhood)라 한다.

  $$V _{\epsilon }(a) = \{x \in \R : |x-a| < \epsilon \}$$

  기하학적으로 $V _{\epsilon }(a)$ 는 $a$ 와 거리가 $\epsilon$ 이내인 점들의 집합이다. 이를 통하여 수열의 수렴을 다음과 같이 기하학적으로 정의할 수도 있다.

  "주어진 $a$ 의 임의의 $\epsilon$-근방 $V _{\epsilon }(a)$ 에 대하여 수열의 어떤 항 이후의 모든 항이 $V _{\epsilon }(a)$ 에 속하면 수열 $(a_n)$ 이 실수 $a$ 로 수렴한다고 한다."

• 이것을 수열의 수렴의 정의로 엄밀하게 증명해보자. 그러나 수열 $(a_n)$ 이 $0$ 에 한없이 가까워진다는 것을 어떻게 증명해야 할까? 일단 $\epsilon = 1/10$ 으로 둬보자. 그러면 "$0$ 에 한없이 가까워진다" 는 기준이란 수열이 어느 항 이후부터 $\epsilon$-근방 $(-1/10, 1/10)$ 에 포함된다는 것이 된다. "수열의 어느 항" 이란 $a _{100} = 1/10$ 이므로 $n > 100$ 인 $a_n$ 이다. 따라서 $\epsilon = 1/10$ 일 때 $N > 100$ 로 두면 된다.

  $$n > 100 \implies a_n \in \bigg (- \frac{1}{10}, \frac{1}{10}\bigg )$$

  그런데 이 $\epsilon$ 이란 임의의 양수이므로 한없이 작은 수에 대해서도 이 논리를 적용해야 한다. 따라서 임의의 $\epsilon$ 에 대하여 다음을 만족하는 $N$ 을 찾아야 한다.

  $$n > N \implies a_n \in (- \epsilon , \epsilon )$$

  임의의 양수 $\epsilon$ 에 대하여 수열 $(a_n)$ 이 위 조건을 만족하는 것은 $|a_n - 0| < \epsilon$ 를 만족하는 것과 동치이다. 따라서 다음 부등식이 성립해야 한다.

  $$|a_n - 0 | < \epsilon \iff - \epsilon < \frac{1}{\sqrt[]{n}} < \epsilon \iff \frac{1}{n} < \epsilon ^{2} \iff \frac{1}{\epsilon ^{2}} < n$$

  즉, $n$ 이 $\dfrac{1}{\epsilon ^{2}}$ 보다 클 때 수열 $(a_n)$ 은 $\epsilon$-근방에 속한다. 그러면 $N$ 을 $N > \dfrac{1}{\epsilon ^{2}}$ 로 두면 다음이 성립한다.

  $$n \geq N \implies n > \frac{1}{\epsilon ^{2}} \implies |a_n - 0| < \epsilon \implies \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[]{n}} = 0$$

• 증명

  임의의 양수 $\epsilon$ 에 대하여 $\displaystyle N > \dfrac{1}{\epsilon ^{2}}$ 로 두면 $n \geq N$ 일 때 다음이 성립한다.

  $$\bigg | \dfrac{1}{\sqrt[]{n}} - 0 \bigg |< \epsilon$$

• 증명

• 예시

  수열 $(1, -1/2, 1/3, -1/4, -1/5, 1/5, -1/5, 1/5, \dots)$ 의 처음 몇 개 항을 보면 $0$ 으로 수렴하는 것 같지만 임의의 양수 $\epsilon$ 에 대하여 수열의 나머지 모든 항이 $\epsilon$-근방에 포함될 수 없다. 그러한 $\epsilon$ 과 특정한 수열의 항을 찾는 것은 쉽다. 따라서 이 수열은 발산한다.

Bounded Sequence✔

• 유계 수열은 기하학적으로 수열이 닫힌구간 $[-M, M]$ 에 포함될 수 있다는 것을 의미한다.

• 증명

  수열 $(x_n)$ 이 $l$ 로 수렴하면 임의의 양수 $\epsilon$ 에 대하여 $n \geq N$ 일 때 $x_n \in (l-\epsilon , l+\epsilon )$ 인 $N \in \N$ 이 존재한다. 즉, $N$ 이후의 항에서 수열이 유계이다. ▲

  $N$ 이전의 항은 유한개이므로 다음의 실수를 정의할 수 있다.

  $$M = \max \{|x_n| : 1 \leq n \leq N\}$$

  $1 \leq n \leq N$ 에 대하여 $|x_n| \leq M$ 이므로 $N$ 이전의 항도 유계이다. 따라서 수렴하는 수열은 유계이다. ■

Algebraic Limit Theorem✔

• 증명

  1:

  임의의 양수 $\epsilon$ 에 대하여 수열 $(ca_n)$ 이 어떤 항 이후부터 다음을 만족함을 보이면 된다.

  $$|ca_n - ca| < \epsilon$$

  $a_n$ 이 $a$ 로 수렴하므로 $|a_n - a|$ 을 얼마든지 작게 만들 수 있다. 따라서 $n \geq N$ 에 대하여 $|a_n - a| < \dfrac{\epsilon }{|c|}$ 를 만족하는 $N$ 을 잡을 수 있다. 따라서 모든 $n \geq N$ 에 대하여 다음이 성립한다.

  $$|ca_n - ca| = |c||a_n-a| < |c| \frac{\epsilon }{|c|} = \epsilon$$

  따라서 극한의 정의에 의하여 $\lim (ca_n) = ca$ 이다. ■

  2:

  임의의 양수 $\epsilon$ 에 대하여 다음을 보이면 된다.

  $$|(a_n + b_n) - (a + b)| < \epsilon$$

  삼각부등식에 의하여 다음이 성립한다.

  $$|(a_n + b_n) - (a + b)| = |(a_n - a) + (b_n - b)| \leq |a_n - a| + |b_n - b|$$

  $a_n$ 이 $a$ 로 수렴하고 $b_n$ 이 $b$ 로 수렴하므로 $|a_n - a|$ 과 $|b_n - b|$ 를 얼마든지 작게 만들 수 있다. 따라서 다음을 만족하는 $N_1, N_2$ 가 존재한다.

  $$n \geq N_1 \implies |a_n - a| < \dfrac{\epsilon }{2}$$
  $$n \geq N_2 \implies |b_n - b| < \dfrac{\epsilon }{2}$$

  $N = \max \{N_1, N_2\}$ 로 잡으면 $n \geq N$ 일 때 $n \geq N_1 \land n \geq N_2$ 이므로 모든 $n \geq N$ 에 대하여 다음이 성립한다.

  $$|(a_n + b_n) - (a + b)| \leq |a_n - a| + |b_n - b| < \dfrac{\epsilon }{2} + \dfrac{\epsilon }{2} = \epsilon$$

  그러면 극한의 정의에 의하여 $\lim (a_n + b_n) = a + b$ 이다. ■

  3:

  임의의 양수 $\epsilon$ 에 대하여 다음을 보이면 된다.

  $$|a_nb_n - ab| < \epsilon$$

  삼각부등식에 의하여 다음이 성립한다.

  $$\begin{align}\begin{split} |a_nb_n - ab| &= |a_nb_n - ab_n + ab_n - ab| \\ &\leq |a_nb_n - ab_n| + ab_n - ab| \\ &=|b_n||a_n - a| + |a||b_n - b| \end{split}\end{align} \tag*{}$$

  $a_n$ 이 $a$ 로 수렴하고 $b_n$ 이 $b$ 로 수렴하므로 $|a_n - a|$ 과 $|b_n - b|$ 를 얼마든지 작게 만들 수 있다. 따라서 $a \neq 0$ 일 때 다음을 만족하는 $N_1$ 이 존재한다.

  $$n \geq N_1 \implies |b_n - b| < \frac{1}{|a|}\dfrac{\epsilon }{2}$$

  또한 수열 $(b_n)$ 은 수렴하므로 정리 2.3.2 에 의하여 유계이다. 따라서 $\forall n \in \N, \exists M : |b_n| \leq M$ 이다. 그러므로 다음을 만족하는 $N_2$ 가 존재한다.

  $$n \geq N_2 \implies |a_n - a| < \frac{1}{M}\dfrac{\epsilon }{2}$$

  $N = \max \{N_1, N_2\}$ 로 잡으면 $n \geq N$ 일 때 $n \geq N_1 \land n \geq N_2$ 이므로 모든 $n \geq N$ 에 대하여 다음이 성립한다.

  $$\begin{align}\begin{split} |a_nb_n - ab| &\leq |b_n||a_n - a| + |a||b_n - b|\\ &\leq M|a_n - a| + |a||b_n - b|\\ &\leq M \dfrac{\epsilon }{M \cdot 2} + |a| \dfrac{\epsilon }{|a| \cdot 2} = \epsilon \end{split}\end{align} \tag*{}$$

  그러면 극한의 정의에 의하여 $\lim (a_nb_n) = ab$ 이다. ■

  4:

  $b \neq 0$ 일 때 다음이 성립함을 보이면 나머지는 이미 증명한 3) 에 의하여 자명하다.

  $$(b_n) \to b \implies \bigg (\frac{1}{b}\bigg ) \to \frac{1}{b}$$

  따라서 임의의 양수 $\epsilon$ 에 대하여 다음을 보이면 된다.

  $$\bigg |\frac{1}{b_n}-\frac{1}{b}\bigg | < \epsilon$$

  $\displaystyle \bigg |\frac{1}{b_n}-\frac{1}{b}\bigg | = \frac{|b-b_n|}{|b||b_n|}$ 인데 $|b-b_n|$ 은 얼마든지 작게 만들 수 있으므로 $1 / |b_n|$ 의 상계만 조사하면 된다. 이는 $|b_n|$ 의 하계를 조사하는 일이다.

  $b_n$ 이 $b$ 로 수렴하므로 모든 $n \geq N_1$ 에 대하여 $|b_n - b| < |b|/2$ 을 만족하는 $N_1$ 이 존재한다. 역삼각부등식 에 의하여 다음이 성립한다.

  $$||b_n| - |b|| \leq |b_n - b| < |b|/2$$
  $$\iff -|b|/2< |b_n| - |b| < |b|/2$$
  $$\iff |b|/2< |b_n|$$

  이로써 $|b_n|$ 의 하계 $|b|/2$ 를 구했다. 즉, $\displaystyle \frac{1}{|b_n|} < \frac{1}{|b|/2}$ 이다. ▲

  $|b-b_n|$ 을 얼마든지 작게 만들 수 있으므로 $n \geq N_2$ 일 때 다음을 만족하는 $N_2$ 가 존재한다.

  $$|b_n - b| < \dfrac{\epsilon |b| ^{2}}{2}$$

  $N = \max \{N_1, N_2\}$ 로 잡으면 $n \geq N$ 일 때 $n \geq N_1 \land n \geq N_2$ 이므로 모든 $n \geq N$ 에 대하여 다음이 성립한다.

  $$\bigg |\frac{1}{b_n}-\frac{1}{b}\bigg | = \frac{|b-b_n|}{|b||b_n|} < \dfrac{\epsilon |b| ^{2}}{2} \frac{1}{|b| \cdot |b| /2} = \epsilon$$

  이로써 모든 증명이 끝났다. ■

Order Limit Theorem✔

• 증명

  1:

  $a<0$ 라고 가정하자. $a_n$ 이 $a$ 로 수렴하므로 $|a_n-a|$ 를 얼마든지 작게 만들 수 있다. 따라서 모든 $n \geq N$ 에 대하여 $|a_n - a| < |a|$ 을 만족하는 $N$ 을 찾을 수 있다. 그러면 $|a_N -a| < |a|$ 인데 $a$ 가 음수이므로 $a_N < 0$ 이어야 한다. 이는 모순이다. 따라서 $a \geq 0$ 이다. ■

  2:

  정리 2.3.3 에 의하여 수열 $(b_n-a_n)$ 은 $b-a$ 로 수렴하는데, $b_n - a_n \geq 0$ 이므로 1) 에 의하여 $b-a \geq 0$ 이다. ■

  3:

  수열 $a_n = c$ 을 정의하면 2) 에 의하여 바로 증명된다. ■

  4:

  수열 $b_n = c$ 을 정의하면 2) 에 의하여 바로 증명된다. ■

Monotone Sequence✔

Monotone Convergence Theorem✔

• 정리 2.3.2 는 수렴하는 수열은 유계임을 말해준다. 반대로 유계라고해서 반드시 수렴하지는 않는다. 그러나 이 정리는 유계이면서 단조이면 수렴한다는 것을 말해준다.

• 이 정리를 사용하면 극한값을 정확히 계산하기 어려운 상황이더라도, 일단 수렴한다는 사실 자체는 증명할 수 있다.

• 증명

  단조증가 유계수열 $(a_n)$ 는 유계이면 완비성 공리 상한 $s = \sup \{a_n : n \in \N \}$ 을 가진다. 직관적으로 $\lim a_n = s$ 가 될 것 같다. 이를 증명하려면 임의의 양수 $\epsilon$ 에 대하여 다음을 보이면 된다.

  $$|a_n - s| < \epsilon$$

  $s$ 가 상한이므로 $s - \epsilon$ 는 상계가 아니고, 이에 따라 $s - \epsilon < a_N$ 인 $N$ 이 존재한다. $a_n$ 은 증가수열이므로 $n \geq N$ 에 대하여 $a_N \leq a_n$ 이다. 따라서 다음이 성립한다.

  $$s - \epsilon < a_N \leq a_n \leq s < s + \epsilon \implies - \epsilon < a_n - s < \epsilon$$
  $$\implies |a_n - s | < \epsilon \implies \lim a_n = s$$

  ▲

  단조감소 유계수열도 비슷한 논리로 쉽게 증명가능하다. ■

Infinite Series✔

• 수열의 항의 개수가 유한하면 유한 급수, 무한하면 무한 급수라 한다.

• 예시

  급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ 에 대한 부분합 $s_m = \displaystyle \sum_{n=1}^{m}\frac{1}{n^2}$ 은 증가수열이고, 다음이 성립하므로 유계이다.

  $$s_m = \sum_{n=1}^{m}\frac{1}{n \cdot n} < 1 + \sum_{n=2}^{m}\frac{1}{n(n-1)} = 1 + \sum_{n=2}^{m}\bigg (\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\bigg ) = 1 + \frac{1}{1} - \frac{1}{m} < 2$$

  따라서 단조수렴정리에 의하여 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ 는 2 보다 작은 어떤 값으로 수렴한다.

• 증명

  $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}2^nb _{2 ^{n}}$ 이 수렴하면 정리 2.3.2에 의하여 다음 부분합 $t_k$ 는 유계이다.

  $$t_k = b_1 + 2b_2 + 4b_4 + \dots + 2 ^{k}b _{2 ^{k}}$$

  즉, $t_k$ 의 상계 $M$ 이 존재하여 $\forall k \in \N : t_k \leq M \land M > 0$ 을 만족한다.

  급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_n$ 은 증가수열이므로 다음 부분합이 유계임을 보이면 단조수렴정리에 의하여 수렴한다는 것이 증명된다.

  $$s_m = b_1 + b_2 + \dots + b_m$$

  $m \leq 2 ^{k+1}-1$ 인 $k$ 에 대하여 $(b_n)$ 이 감소수열이고 $(s_m)$ 이 증가수열이므로 $s_m \leq s _{2 ^{k+1}-1}$ 이다. 따라서 다음이 성립한다.

  $$\begin{align}\begin{split} s _{2 ^{k+1}-1}&= b_1 + (b_2 + b_3) + \dots + ( b _{2 ^{k}}+\dots+b _{2 ^{k+1}-1}) \\ &\leq b_1 + (b_2 + b_2) + \dots + (b _{2 ^{k}}+\dots+b _{2 ^{k}}) = b_1 + 2b_2 + \dots + 2 ^{k}b _{2 ^{k}} = t_k \\ \end{split}\end{align} \tag*{}$$
  $$\implies s_m \leq t_k \leq M$$

  따라서 $(s_m)$ 은 유계이고, 수렴한다. ▲

  $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_n$ 이 수렴한다고 가정하자.

• 증명

Subsequence✔

• 증명

  수열 $(a_n)$ 에 대하여 $\lim a_n = a$ 이고 부분수열 $(a _{n_k})$ 를 가정하자. 임의의 양수 $\epsilon$ 에 대하여 $n \geq N \implies |a_n-a| < \epsilon$ 인 $N$ 이 존재한다.

  $\forall k \in \N : n_k \geq k$ 이므로 $k \geq N \implies |a _{n_k} - a| < \epsilon$ 이다. 따라서 $\lim a _{n_k} = a$ 이다.

• 예시

  수열 $(1, -1/2, 1/3, -1/4, -1/5, 1/5, -1/5, 1/5, \dots)$ 의 부분수열 $(1/5, 1/5, \dots)$ 은 $1/5$ 로 수렴하고 부분수열 $(-1/5, -1/5, \dots)$ 은 $-1/5$ 로 수렴한다. 다른 극한값으로 수렴하는 두 부분수열이 있으므로 이 수열은 발산한다.

• 예시

  $$\lim \bigg (\frac{1}{2}\bigg )^n = 0$$

• 증명

  $0 < b < 1$ 에 대한 수열 $(b^n)$ 은 감소수열인데 0 보다는 항상 크므로 아래로 유계이다. 단조수렴정리에 의하여 $b>l \geq 0$ 에 대하여 $\lim b_n = l$ 이다.

  한편 부분수열 $(b ^{2n})$ 은 정리 2.5.2 에 의하여 $\lim b ^{2n} = l$ 이다. $b ^{2n} = b ^{n}\cdot b ^{n}$ 이므로 정리 2.3.3 에 의하여 $\lim b ^{2n} = l \cdot l = l^2$ 이다. 정리 2.2.7 에 의하여 극한은 유일하므로 $l = l^2$ 이다. 따라서 $l = 1 \lor l = 0$ 인데 $0 \leq l < b < 1$ 이므로 $l = 0$ 이다. ■

Bolzano-Weierstrass theorem✔

• 증명

  유계수열 $(a_n)$ 은 $\forall n \in \N :|a_n| \leq M \land M > 0$ 인 $M$ 을 가진다. 닫힌구간 $[-M, M]$ 은 두 구간 $[-M, 0], [0, M]$ 으로 2등분된다. 이 두 구간 중 적어도 하나는 $(a_n)$ 의 항을 무한히 포함하고 있다. 이 구간을 $I_1$ 라 하면 $I_1$ 에 속하는 항 $a _{n_1}$ 을 택할 수 있다.

  $I_1$ 을 또 다시 2등분하고 다시 $(a_n)$ 의 항을 무한히 포함하는 구간 $I_2$ 을 택하면 $n_2 > n_1 \land a _{n_2} \in I_2$ 인 $a _{n_2}$ 를 택할 수 있다. 즉, 닫힌구간 $I _{k-1}$ 를 2등분하여 $(a_n)$ 의 항을 무한히 포함하는 구간을 $I_k$ 로 택하면 $a _{n_k} \in I_k$ 인 $n_k > n _{k-1} > \dots > n_2 > n_1$ 을 택할 수 있다.

  축소구간성질 에 의하여 닫힌구간열 $I_1 \supset I_2 \supset \dots$ 에 대하여 $\forall k \in N: x \in I_k$ 인 $x \in \R$ 이 존재한다. 부분수열 $(a _{n_k})$ 가 $x$ 로 수렴함을 보이자. 임의의 양수 $\epsilon$ 에 대하여 다음을 보이면 된다.

  $$|a _{n_k}-x| < \epsilon$$

  $I_k$ 의 길이는 $M(1/2)^{k-1}$ 이고 이는 $0$ 으로 수렴한다. $k \geq N$ 일 때 $I_k$ 의 길이가 $\epsilon$ 보다 작게되는 $N$ 을 택하면 $x \in I_k, a _{n_k} \in I_k$ 이므로 $|a _{n_k} - x| < \epsilon$ 이다.

  유계수열에서 수렴하는 부분수열을 하나 찾았으니, 유계수열에서의 부분수열의 존재성이 증명되었다. ■

Geometric Series✔

• 증명

  $\lim b^n = 0$ 이면 임의의 양수 $\epsilon$ 과 모든 $n \geq N$ 에 대하여 다음을 만족하는 $N \in \N$ 이 존재한다.

  $$|b^n| < \epsilon$$

  따라서 $|b|^{n} < \epsilon \implies |b| < \epsilon ^{1/n} < 1$ 이다. ▲

  $|b| < 1$ 를 가정하고 $\lim b^n = 0$ 를 증명해보자. $b = 0$ 인 경우 자명하다. $0 < b < 1$ 인 경우 여기에서 증명되었다. 따라서 $-1<b<0$ 인 경우에만 $\lim b ^{n} = 0$ 임을 증명하면 된다.

  $-1 < b < 0$ 인 경우 수열 $(b^n)$ 은 코시 수열이므로 보조정리 2.6.3 에 의하여 유계이고, 정리 2.6.4 에 의하여 수렴한다. 그러면 볼차노-바이어슈트라스 정리 에 의하여 수렴하는 부분수열을 가지고, 정리 2.5.2 에 의하여 부분수열의 극한값이 $(b^n)$ 의 극한값이다.

  수열 $(b^n)$ 의 부분수열 $(c_n)$ 을 $c_n = b ^{2n}$ 로 정의하면 이는 수열 $(b^n)$ 의 양수인 항을 취하여 만든 수열이 된다. 같은 증명에 의하여 이는 $0$ 으로 수렴한다. 이로써 모든 증명이 끝났다. ■

• $r = 1 \land a \neq 0$ 이면 급수는 자명하게 발산한다.

  $r \neq 1$ 인 경우 다음 항등식을 이용한다.

  $$(1 - r)(1 + r + r ^{2} + \dots + r ^{m-1}) = 1 - r ^{m}$$

  부분합 $s_m = a + ar + ar ^{2} + \dots + ar ^{m-1}$ 은 다음과 같다.

  $$s_m = a + ar + ar ^{2} + \dots + ar ^{m-1} = \dfrac{a(1 - r ^{m})}{1 - r}$$

  문제 2.5-7 에 의하여 $|r| < 1$ 일 때에만 $\lim r ^{m} = 0$ 이고, 다음이 성립한다.

  $$\sum_{k=0}^{\infty}ar ^{k} = \frac{a}{1-r}$$

Cauchy Criterion✔

• 코시 수열의 정의

• 증명

  수론 정리 2.4.1의 증명과 같다. ■

• 증명

  코시수열 $(x_n)$ 은 임의의 양수 $\epsilon$ 에 대하여 $m, n \geq N$ 이면 $|x_n - x_m| < \epsilon$ 이 되게 하는 $N$ 을 가진다. 따라서 모든 $n \geq N$ 에 대하여 $|x_n - x_N| < \epsilon$ 이다. 역삼각부등식 에 의하여 다음이 성립한다.

  $$||x_n| - |x_N|| \leq |x_n - x_N| < 1$$
  $$-1 < |x_n| - |x_N| < 1$$
  $$|x_n| < |x_N| + 1$$

  즉, $N$항과 $N$ 이후의 항은 유계 $|x_N|+1$ 를 갖는다. ▲

  $N$ 이전의 항도 유계임을 보이기 위하여 $M = \max \{|x_1|, |x_2|, \dots, |x _{N-1}|, |x_N| + 1\}$ 를 정의하면 $M$ 은 수열 $(x_n)$ 의 유계가 된다. ■

• 증명

  수렴하는 수열이 코시 수열인 것은 정리 2.6.2 에서 증명되었다. ▲

  이제 $(x_n)$ 이 코시수열임을 가정하자. 보조정리 2.6.3 에 의하여 $(x_n)$ 은 유계이고, 볼차노-바이어슈트라스 정리 에 의하여 $(x_n)$ 은 수렴하는 부분수열 $(x _{n_k})$ 를 갖는다. 그러면 $x = \lim x _{n_k}$ 로 두자.

  코시수열 $(x_n)$ 은 임의의 양수 $\epsilon$ 에 대하여 $m, n \geq N$ 일 때 다음을 만족하는 $N$ 을 갖는다.

  $$|x_n - x_m | < \dfrac{\epsilon }{2}$$

  또한 $\lim x _{n_k} = x$ 이므로 $n_K \geq N$ 이면서 다음을 만족하는 항 $x _{n_K}$ 가 존재한다.

  $$|x _{n_K} - x | < \dfrac{\epsilon }{2}$$

  따라서 $n \geq N$ 일 때 삼각부등식 에 의하여 다음이 성립한다.

  $$\begin{align}\begin{split} |x_n - x| &= |x_n -x _{n_K} + x _{n_K} - x|\\ &\leq |x_n-x _{n_K}| + |x _{n_K}-x|\\ &< \epsilon /2+\epsilon /2=\epsilon \end{split}\end{align} \tag*{}$$

  그러므로 $(x_n)$ 는 $\lim x_n = x$ 로 수렴한다. ■