Metric Space

정의 8.2.1 거리(metric)

집합 \(X\) 의 모든 \(x, y \in X\) 에 대하여 다음을 만족하는 함수 \(d: X \times X \to \R\) 를 \(X\) 에서의 거리라 한다.

1. \(d(x, y) = 0 \iff x = y\) (양의 정부호, positive definite)

2. \(d(x, y) = d(y ,x)\) (대칭, symmetry)

3. \(\forall z \in X : d(x, y) \leq d(x, z) + d(z, y)\) (삼각 부등식, triangle inequality)

좌표평면의 표준거리(standard metric)

\(\R ^{2}\) 에 부여된 거리 \(d(x, y) = \sqrt[]{(x_1 - y_1)^{2} + (x_2 - y_2)^{2}}\) 를 유클리드 거리 또는 표준 거리라 한다.

이산 거리(discrete metric)

집합 \(X\) 에 대한 임의의 \(x, y \in X\) 에 대하여 다음과 같이 정의된 거리 \(\rho (x, y)\) 를 이산 거리라고 한다.

거리공간(metric space)

거리 \(d\) 가 부여된 집합 \(X\) 를 거리공간 \((X, d)\) 라고 한다.

정의 8.2.2 수열의 수렴(convergence of sequence)

거리공간 \((X, d)\) 과 수열 \((x_n) \subset X\) 와 임의의 양수 \(\epsilon\) 에 대하여

이 되게 하는 \(N \in \N\) 이 존재하면 수열 \((x_n)\) 이 \(x \in X\) 로 수렴한다고 하고 다음과 같이 표기한다.

정의 8.2.3 코시 수열(cauchy sequence)

거리공간 \((X, d)\) 과 수열 \((x_n) \subset X\) 와 임의의 양수 \(\epsilon\) 에 대하여

이 되게 하는 \(N \in \N\) 이 존재하면 수열 \((x_n)\) 을 거리공간 \((X, d)\) 에서 코시 수열이라 한다.

정의 8.2.4 완비거리공간(complete metric space)

집합 \(X\) 에 속하는 임의의 코시 수열이 \(X\) 안에서 수렴할 때 거리공간 \((X, d)\) 를 완비거리공간이라 한다.

정의 8.2.5 연속성(continuity)

거리공간 \((X, d_1), (Y, d_2)\) 사이의 함수 \(f: X \to Y\) 에 대하여 다음이 성립하면 \(f\) 가 \(x \in X\) 에서 연속이라 한다.

정의 8.2.6 \(\epsilon\)-근방(\(\epsilon\)-neighborhood)

\(\epsilon > 0\) 과 거리공간 \((X, d)\) 과 \(x \in X\) 에 대하여 \(x\) 의 \(\epsilon\)-근방은 다음과 같다.

열린 집합(open set), 극한점(limit point), 닫힌 집합(closed set)

거리공간 \((X, d)\) 에 대하여 다음과 같이 정의한다.

• 모든 \(x \in O\) 에 대하여 \(V_{\epsilon}(x) \subset O\) 인 \(\epsilon\) 근방이 존재하면 집합 \(O \subset X\) 를 열린 집합이라 한다.

• 모든 \(V_{\epsilon}(x)\) 와 집합 \(A\) 의 교집합이 \(x\) 와 다른 점을 가지면 \(x\) 를 \(A\) 의 극한점이라 한다.

• 자기 자신의 극한점을 모두 포함하는 집합을 닫힌 집합이라 한다.

정의 8.2.7 콤팩트성(compactness)

거리공간 \((X, d)\) 의 부분집합 \(K\) 의 원소로 이루어진 임의의 수열에 대하여 극한이 \(K\) 의 원소인 부분수열이 존재할 때 집합 \(K\) 를 콤팩트하다고 한다.

정의 8.2.8 폐포(closure), 내부(interior)

거리공간 \((X, d)\) 와 그 부분집합 \(E\) 에 대하여 다음과 같이 정의한다.

• \(E\) 의 모든 극한점 집합 \(L\) 에 대하여 \(\overline{E} = E \cup L\) 을 \(E\) 의 폐포라고 한다.

• \(E\) 의 내부를 다음과 같이 정의한다.

  \[ E^{\mathrm{o}} = \{x \in E : \exists V_{\epsilon}(x) : V_{\epsilon}(x) \subset E\} \]

정의 8.2.9 조밀성(density), 조밀한 곳이 없는 집합(nowhere-dense set)

거리공간 \((X, d)\) 에 대하여 다음과 같이 정의한다.

• 집합 \(A \subset X\) 에 대하여 \(\overline{A} = X\) 이면 \(A\) 를 조밀하다고 한다.

• 집합 \(E \subset X\) 에 대하여 \(\overline{E}^{\mathrm{o}} = \varnothing\) 이면 \(E\) 가 \(X\) 에서 조밀한 곳이 없다고 한다.

정리 8.2.10

완비거리공간 \((X, d)\) 와 \(X\) 의 조밀한 열린 부분집합으로 이루어진 가산집합 \(\{O_n\}\) 에 대하여 \(\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}O_n \neq \varnothing\) 이다.

정리 8.2.11 베르 범주 정리(Baire category theorem)

완비거리공간은 조밀한 곳이 없는 집합의 셀 수 있는 합집합으로 나타낼 수 없다.