Integral
Contents
Riemann Integral✔
유계 함수(bounded function)
함수 \(f\) 에 대하여 다음을 만족하는 \(M > 0\) 이 존재하면 함수 \(f\) 가 닫힌 구간 \([a, b]\) 에서 유계 함수라 한다.
여기에서는 함수 \(f\) 가 닫힌 구간 \([a, b]\) 에서 유계 함수임을 가정한다.
Partition, Riemann Sum, Lower Sum, Upper Sum✔
정의 7.2.1 분할(partition), 리만합(Riemann sum), 하합(lower sum), 상합(upper sum)
구간 \([a, b]\) 의 분할 \(P\) 는 다음을 만족하는 \([a, b]\) 의 점으로 이루어진 유한집합이다.
분할 \(P = \{x_0, x_1, \dots, x_n\}\) 에 대하여 다음과 같이 정의한다.
-
어떤 \(t_k \in [x _{k-1}, x _{k}]\) 에 대한 \(f\) 의 리만합을 다음과 같이 정의한다.
\[ \sum_{k=1}^{n}f(t_k)(x_k - x _{k-1}) \] -
하합을 다음과 같이 정의한다.
\[ L(f, P) = \sum_{k=1}^{n}\inf _{t \in [x _{k-1}, x_k]}f(t)(x_k - x _{k-1}) \] -
상합을 다음과 같이 정의한다.
\[ U(f, P) = \sum_{k=1}^{n}\sup _{t \in [x _{k-1}, x_k]}f(t)(x_k - x _{k-1}) \]
-
분할 \(P\) 의 각 부분구간 \([x _{k-1}, x_k]\) 에 대하여
\[ m_k = \inf \{f(x) : x \in [x _{k-1}, x_k]\} \]\[ M_k = \sup \{f(x) : x \in [x _{k-1}, x_k]\} \]와 같이 두고 다음과 같이 표기할 수 있다.
\[ L(f, P) = \sum_{k=1}^{n}m_k(x_k - x _{k-1}) \]\[ U(f, P) = \sum_{k=1}^{n}M_k(x_k - x _{k-1}) \] -
다음 그림이 분할, 상합, 하합을 보여준다.
Refinement✔
정의 7.2.2 세분(refinement)
분할 \(P, Q\) 에 대하여 \(P \subset Q\) 이면 \(Q\) 를 \(P\) 의 세분이라 한다.
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예시
구간 \([0, 10] \subset \R\) 의 분할 \(P = \{0, 5, 10\}\) 는 구간을
\[[0, 5], [5, 10]\]로 분할한다. 분할 \(Q = \{0, 2.5, 5, 7.5, 10\}\) 는 분할 \(P\) 를 더욱 세분하여 구간을
\[[0, 2.5], [2.5, 5], [5, 7.5], [7.5, 10]\]로 분할한다. \(P \subset Q\) 이므로 \(Q\) 는 \(P\) 의 세분이다.
공통 세분(common refinement)
분할 \(P_1, P_2\) 에 대한 \(Q = P_1 \cup P_2\) 를 \(P_1\) 과 \(P_2\) 의 공통 세분이라 한다.
보조정리 7.2.3
분할 \(P, Q\) 와 함수 \(f\) 에 대하여 다음이 성립한다.
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증명
직관적으로 바로 알 수 있다. 증명은 어떤 부분구간을 점 하나를 추가하여 세분하고 최대하계와 최소상계의 정의를 사용하여 쉽게 증명 할 수 있다.
보조정리 7.2.4
\([a, b]\) 의 임의의 두 분할 \(P_1, P_2\) 에 대하여 \(L(f, P_1) \leq U(f, P_2)\) 이다.
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증명
\(P_1, P_2\) 의 공통 세분 \(Q = P_1 \cup P_2\) 에 대하여 보조정리 7.2.3 에 의하여 다음이 성립한다.
\[ L(f, P_1) \leq L(f, Q) \leq U(f, Q) \leq U(f, P_2) \]■
Upper Integral, Lower Integral✔
정의 7.2.5 상적분(upper integral), 하적분(lower integral)
구간 \([a, b]\) 의 모든 분할의 집합 \(\mathcal{P}\) 에 대하여 다음과 같이 정의한다.
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\(\displaystyle \overline{\int_{a}^{b}}f = \inf \{U(f, P): P \in \mathcal{P}\}\) 를 \(f\) 의 상적분이라 한다.
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\(\displaystyle \underline{\int_{a}^{b}}f = \sup \{L(f, P): P \in \mathcal{P}\}\) 를 \(f\) 의 하적분이라 한다.
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고등학교 수학 같은 곳에서는 리만 적분을 다음과 같이 리만 합에 극한을 취한 형태로 정의한다. 상합은 적분 값보다 크고 하합은 적분 값보다 작은데, 이 아이디어는 분할을 무한히 세분할수록 상합이 적분 값에 근접하게 작아지고 하합이 적분 값에 근접하게 커진다는 사실에서 착안한다.
\[ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n}f(t_k)(x_k - x _{k-1}) = \int_{a}^{b}f(x)dx \]그러나 엄밀하게는 이 정의와 같이 완비성 공리를 사용하여 상합의 하한과 하합의 상한으로 정의한다.
보조정리 7.2.6
\([a, b]\) 에서 유계인 함수 \(f\) 에 대하여 \(\displaystyle \underline{\int_{a}^{b}}f \leq \overline{\int_{a}^{b}}f\) 이다.
-
등호가 성립하면 \(f\) 는 적분가능하다.
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증명
Riemann Integrability, Riemann Integral✔
정의 7.2.7 리만 적분가능성(Riemann Integrability), 리만 적분(Riemann integral)
구간 \([a, b]\) 에서 유계인 함수 \(f\) 에 대하여 다음이 성립하면 리만 적분가능하다고 한다.
이때 이 공통 값을 리만 적분이라 정의하고, 다음과 같이 표기한다.
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분할이 무한히 세분될수록 리만합은 다음과 같이 그래프와 \(x\)축 사이의 면적으로 수렴한다.
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\(\int_{a}^{b}f\) 를 다음과 같이 표기하기도 한다.
\[ \int_{a}^{b}f(x)dx = \int_{a}^{b}f \]미분에서 \(dx\) 란 무한히 작은 \(x\) 의 변화량을 뜻했다. 리만 적분에서도 \(dx\) 가 나왔는데, 이것도 무한히 작은 \(x\) 의 변화량이라는 뜻이다. 구간 \([a, b]\) 에 대한 분할 \(P = \{x_0, x_1, \dots, x_n\}\) 와 어떤 \(t_k \in [x _{k-1}, x _{k}]\) 에 대한 \(f\) 의 리만합을 다음과 같이 정의했었다.
\[ \sum_{k=1}^{n}f(t_k)(x_k - x _{k-1}) \]\(x_k - x _{k-1}\) 은 기하학적으로 \(x\) 의 변화량을 뜻한다. 따라서 다음과 같이 쓸 수 있다.
\[ \Delta x_k = x_k - x _{k-1} \]그러면 리만합은 다음과 같다.
\[ \sum_{k=1}^{n}f(t_k)\Delta x_k \]이제 \(n\) 을 \(\infty\) 로 보내자. 이는 분할을 무한히 세분하여 \(\Delta x_k\) 를 무한히 작게 만드는 것이다.
\[ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n}f(t_k)\Delta x_k \]그러면 이제 이산적인 합을 나타내는 \(\sum\) 을 연속적인 합을 나타내는 \(\int_{}^{}\) 로 나타내고, \(x\) 의 변화량을 나타내는 \(\Delta x_k\) 를 \(x\) 의 무한히 작은 변화량을 나타내는 \(dx\) 로 나타내어 다음과 같이 정의할 수 있다.
\[ \int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n}f(t_k)\Delta x_k \]
Integrability Criterion✔
정리 7.2.8 적분 판정법(integrability criterion)
유계 함수 \(f\) 가 \([a, b]\) 에서 적분가능한 것과 임의의 \(\epsilon>0\) 에 대하여 다음을 만족하는 \([a, b]\) 의 분할 \(P _{\epsilon}\) 이 존재하는 것은 동치이다.
-
무한히 작은 양수 \(\epsilon\) 에 대하여 서도 상합과 하합의 차이가 \(\epsilon\) 보다 작아지게 하는 분할이 항상 존재하면 보조정리 7.2.6 의 다음 부등식에서 등호가 성립하게 된다.
\[ \underline{\int_{a}^{b}}f \leq \overline{\int_{a}^{b}}f \]이럴 때 정의 7.2.7 리만 적분가능성이 성립하므로 이 조건을 적분 판정법으로 부른다.
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증명
분할 \(P _{\epsilon}\) 이 존재함을 가정하면 정의 7.2.5 에 의하여 다음이 성립한다.
\[ \overline{\int_{a}^{b}}f - \underline{\int_{a}^{b}}f \leq U(f, P _{\epsilon}) - L(f, P _{\epsilon}) < \epsilon \]\(\epsilon\) 은 무한히 작은 양수이므로 \(\overline{\int_{a}^{b}}f = \underline{\int_{a}^{b}}f\) 이어야만 모순이 없다. 따라서 정의 7.2.7 에 의하여 \(f\) 는 적분 가능하다. ▲
\(f\) 가 적분가능함을 가정하고, 어떤 양수 \(\epsilon\) 을 선택하자. 상적분 \(\overline{\int_{a}^{b}}f\) 는 상합의 하한이므로 \(\epsilon\) 을 더하면 어떤 분할 \(P_1\) 이 존재하여 상적분 보다 작은 상합이 존재한다. 즉, 다음이 성립한다.
\[ U(f, P_1) < \overline{\int_{a}^{b}}f + \dfrac{\epsilon}{2} \]하적분 \(\overline{\int_{a}^{b}}f\) 는 하합의 최소상계이므로 \(\epsilon\) 을 빼면 어떤 분할 \(P_2\) 가 존재하여 하적분 보다 큰 하합이 존재한다. 즉, 다음이 성립한다.
\[ L(f, P_2) > \underline{\int_{a}^{b}}f - \dfrac{\epsilon}{2} \]한편, \(f\) 의 적분가능성은 \(\overline{\int_{a}^{b}}f = \underline{\int_{a}^{b}}f\) 을 의미한다. 공통세분 \(P _{\epsilon} = P_1 \cup P_2\) 을 정의하면 보조정리 7.2.3 에 의하여 다음이 성립한다.
\[ \begin{align}\begin{split} U(f, P _{\epsilon}) - L(f, P _{\epsilon})&\leq U(f, P_1) - L(f, P_2) \\ &< \left( \overline{\int_{a}^{b}}f + \dfrac{\epsilon}{2} \right) - \left( \underline{\int_{a}^{b}}f - \dfrac{\epsilon}{2} \right) = \epsilon \\ \end{split}\end{align} \tag*{} \]■
문제 7.2-3 분할열 적분판정법(partition sequence integrability criterion)
유계 함수 \(f\) 가 \([a, b]\) 에서 적분가능한 것과 다음을 만족하는 분할열 \((P_n)\) 이 존재하는 것은 동치이다.
이때 \(\displaystyle \int_{a}^{b}f = \lim_{n \to \infty} U(f, P_n) = \lim_{n \to \infty} L(f, P_n)\) 이다.
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증명
다음을 만족하는 분할열 \((P_n)\) 의 존재성을 가정하자.
\[ \lim_{n \to \infty} [U(f, P_n) - L(f, P_n)] = 0 \]임의의 양수 \(\epsilon\) 이 주어지면 \(U(f, P_N) - L(f, P_N) < \epsilon\) 을 만족하는 분할 \(P_N\) 이 존재한다. 그러면 정리 7.2.8 에 의하여 \(f\) 는 적분가능하다. ▲
\(f\) 가 적분가능함을 가정하자. \(\epsilon_n = 1/n\) 로 두면 정리 7.2.8 에 의하여 \(U(f, P_n) - L(f, P_n) < 1/n\) 인 \(P_n\) 이 존재한다. 극한과 부등식 에 의하여 \(n\) 을 \(\infty\) 로 보내면 다음이 성립한다.
\[ \lim_{n \to \infty} [U(f, P_n) - L(f, P_n)] = 0 \]▲
다음을 만족하는 분할열 \((P_n)\) 을 가정하자.
\[ \lim_{n \to \infty} [U(f, P_n) - L(f, P_n)] = 0 \]\(f\) 는 \([a, b]\) 에서 유계이므로 모든 상합과 하합은 유한하다. 따라서 임의의 분할열의 극한에 대한 상합과 하합은 어떤 값으로 수렴한다. 즉, \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} U(f, P_n)\) 와 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} L(f, P_n)\) 이 수렴하므로 극한과 사칙연산에 의하여 이 둘의 값이 같아야만 한다.
이 둘의 값이 같으면 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} U(f, P_n) = \overline{\int_{a}^{b}}f\) 이다. 왜냐하면 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} U(f, P_n)\) 보다 작은 상합이 존재하지 않기 때문이다. 만약 존재한다면 보조정리 7.2.4 에 의하여 모순이 발생한다. 같은 이유로 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} L(f, P_n) = \underline{\int_{a}^{b}}f\) 이다.
\(f\) 가 적분가능하므로 다음이 성립한다.
\[ \int_{a}^{b}f = \lim_{n \to \infty} U(f, P_n) = \lim_{n \to \infty} L(f, P_n) \]■
Continuous Function is Integrable✔
정리 7.2.9
함수 \(f\) 가 \([a, b]\) 에서 연속이면 적분가능하다.
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증명
닫힌 구간은 콤팩트 집합이다. 정리 4.4.2에 의하여 \(f\) 는 유계 함수이고, 정리 4.4.7에 의하여 \(f\) 는 균등 연속이다. 따라서 임의의 양수 \(\epsilon\) 이 주어지면 다음을 만족하게 하는 양수 \(\delta\) 가 존재한다.
\[ |x - y| < \delta \implies |f(x) - f(y)| < \dfrac{\epsilon}{b - a} \]다음을 만족하는 \([a, b]\) 의 분할 \(P = \{x_0, x_1, \dots, x_n\}\) 가 존재한다.
\[ \Delta x_k = x_k - x _{k-1} < \delta \]정리 4.4.2에 의하여 부분구간 \([x _{k-1}, x_k]\) 은 어떤 \(z_k \in [x _{k-1}, x_k]\) 에 대한 최댓값 \(f(z_k)\) 과 어떤 \(y_k \in [x _{k-1}, x_k]\) 에 대한 최솟값 \(f(y_k)\) 을 갖는다. 다음이 성립한다.
\[ |z_k - y_k| < \delta \implies f(z_k) - f(y_k) < \dfrac{\epsilon}{b - a} \]상합과 하합의 정의에 의하여 다음이 성립한다.
\[ \begin{align}\begin{split} U(f, P) - L(f, P)&= \sum_{k=1}^{n}\left( \inf _{t \in [x _{k-1}, x_k]}f(t) - \sup _{t \in [x _{k-1}, x_k]}f(t)\right)\Delta x_k \\ &< \dfrac{\epsilon}{b - a}\sum_{k=1}^{n}\Delta x_k = \epsilon \\ \end{split}\end{align} \tag*{} \]정리 7.2.8 에 의하여 \(f\) 는 적분가능하다. ■
Integrating Functions with Discontinuities✔
정리 7.3.2
유계함수 \(f: [a, b] \to \R\) 에 대하여 다음이 성립한다.
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임의의 \(c \in (a, b)\) 에 대하여 \(f\) 가 \([c, b]\) 에서 적분가능하면 \([a, b]\) 에서 적분가능하다.
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임의의 \(c \in (a, b)\) 에 대하여 \(f\) 가 \([a, c]\) 에서 적분가능하면 \([a, b]\) 에서 적분가능하다.
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이 정리는 닫힌 구간의 시작점이나 끝점에서 불연속점을 가지는 유계 함수가 적분가능함을 말해준다. 그러나 정리 7.4.1 에서는 닫힌 구간의 중간 지점에 불연속점이 있어도 적분 가능함을 증명하는데, 이를 귀납적으로 적용하면 유한개의 불연속점을 가지는 함수 또한 적분 가능함을 알 수 있다.
무한히 많은 불연속점을 가지는 함수에 대한 적분 가능성은 쉽게 판단할 수 없다. 가령 디리클레 함수
\[g(x) = \begin{cases} 1 & x \in \Bbb{Q}\\ 0 & x \not\in \Bbb{Q}\\ \end{cases}\]는 \([0, 1]\) 에서 무한개의 불연속점을 가지고 적분 불가능하다. 한편 토메 함수
\[t(x) = \begin{cases} 1 & x = 0\\ 1/n & x = m/n \in \Bbb{Q}\setminus \{0\}\\ 0 & x \not \in \Bbb{Q}\\ \end{cases}\]는 \([0, 1]\) 에서 무한개의 불연속점을 가지지만 적분 가능하다.
-
증명
1:
임의의 양수 \(\epsilon\) 을 잡자.
임의의 분할 \(P = \{a = x_0, x_1, \dots, x_n = b\}\) 에 대하여 다음이 성립한다.
\[ \begin{align}\begin{split} U(f, P) - L(f, P)&= \sum_{k=1}^{n}\left( \inf _{t \in [x _{k-1}, x_k]}f(t) - \sup _{t \in [x _{k-1}, x_k]}f(t)\right)\Delta x_k \\ &= \left( \inf _{t \in [x _{0}, x_1]}f(t) - \sup _{t \in [x _{0}, x_1]}f(t)\right)(x_1 - a) \\ & \qquad + \sum_{k=2}^{n}\left( \inf _{t \in [x _{k-1}, x_k]}f(t) - \sup _{t \in [x _{k-1}, x_k]}f(t)\right)\Delta x_k \\ \end{split}\end{align} \tag*{} \]▲
\(f\) 가 유계이므로 \(\forall x \in [a,b] : |f(x)| \leq M\) 인 \(M > 0\) 이 존재한다. 다음을 만족하는 \(x_1\) 을 포함하는 분할 \(P\) 를 택하자.
\[ x_1 - a < \dfrac{\epsilon}{4M} \]\(f\) 가 \([x_1, b]\) 에서 적분가능하므로 \([x_1, b]\) 의 분할 \(P_1\) 이 존재하여 다음을 만족시킨다.
\[ U(f, P_1) - L(f, P_1) < \dfrac{\epsilon}{2} \]\(\displaystyle \inf _{t \in [x _{0}, x_1]}f(t) - \sup _{t \in [x _{0}, x_1]}f(t)\leq 2M\) 이므로 다음이 성립한다.
\[ \begin{align}\begin{split} U(f, P) - L(f, P)& \leq 2M (x_1 - a) + (U(f, P_1) - L(f, P_1))\\ &< \epsilon/2 + \epsilon/2 = \epsilon \\ \end{split}\end{align} \tag*{} \]적분판정법에 의하여 \(f\) 는 \([a, b]\) 에서 적분 가능하다. ■
2:
1) 과 비슷하게 증명가능하다. ■
Properties of the Integral✔
정리 7.4.1
유계 함수 \(f: [a,b] \to \R\) 와 점 \(c \in (a, b)\) 에 대하여 \(f\) 가 \([a, b]\) 에서 적분 가능한 것과 \(f\) 가 \([a, c], [c, b]\) 에서 적분 가능한 것은 동치이다. 또한 다음이 성립한다.
-
이 정리를 귀납적으로 적용하면 유한개의 불연속점을 가지는 함수가 적분가능함을 알 수 있다.
-
증명
\(f\) 가 \([a, b]\) 에서 적분가능하면 양수 \(\epsilon\) 에 대하여 \(U(f, P) - L(f, P) < \epsilon\) 인 분할 \(P\) 가 존재한다.
만약 \(c \not\in P\) 라면 \(P\) 에 \(c\) 를 포함시켜 \(P\) 를 세분하자. 그리고 \(P_1 = P \cap [a, c]\) 를 \([a, c]\) 의 분할로 두고, \(P_2 = P \cap [c, b]\) 를 \([c, b]\) 의 분할로 두자.
분할에 \(c\) 를 포함시켰으므로 상합과 하합의 차는 \(c\) 를 기준으로 왼쪽 상합과 하합의 차와 \(c\) 를 기준으로 오른쪽 상합과 하합의 차를 더한 것과 같다. 즉, \(U(f, P) - L(f, P) = (U(f, P_1) - L(f, P_1)) + (U(f, P_2) - L(f, P_2))\) 이다. 상합은 하합보다 크므로 상합과 하합의 차는 최소한 양수이다. 따라서 다음이 성립한다.
\[ U(f, P_1) - L(f, P_1) < \epsilon \]\[ U(f, P_2) - L(f, P_2) < \epsilon \]따라서 \(f\) 는 \([a, c]\) 와 \([c, b]\) 에서 적분가능하다. ▲
역으로 \(f\) 가 \([a, c], [c, b]\) 에서 적분가능하면 임의의 양수 \(\epsilon\) 에 대하여 다음을 만족하는 \([a, c]\) 의 분할 \(P_1\) 과 \([c, b]\) 의 분할 \(P_2\) 가 존재한다.
\[ U(f, P_1) - L(f, P_1) < \dfrac{\epsilon}{2} \]\[ U(f, P_2) - L(f, P_2) < \dfrac{\epsilon}{2} \]\(P = P_1 \cup P_2\) 라 두면 \(P\) 는 \([a, b]\) 의 분할이고 \(U(f, P) - L(f, P) = (U(f, P_1) - L(f, P_1)) + (U(f, P_2) - L(f, P_2))\) 이므로 다음이 성립한다.
\[ U(f, P) - L(f, P) < \epsilon/2 + \epsilon/2 = \epsilon \]따라서 \(f\) 는 \([a, b]\) 에서 적분가능하다. ▲
이제 \(\int_{a}^{b} f = \int_{a}^{c}f + \int_{c}^{b} f\) 를 증명하기 위하여 \([a, b]\) 에서 적분가능한 함수 \(f\) 를 가정하자. 지금까지 증명한 바에 의하여 \(f\) 는 점 \(c \in (a, b)\) 에 대하여 \([a, c], [c, b]\) 에서도 적분가능하다. 각 구간에서 다음을 만족하는 분할을 \(P_1, P_2\) 를 선택하자.
\[ U(f, P_1) - L(f, P_1) < \dfrac{\epsilon}{2} \]\[ U(f, P_2) - L(f, P_2) < \dfrac{\epsilon}{2} \]\(P = P_1 \cup P_2\) 로 두면 \(P\) 는 \([a, b]\) 의 분할이다. \(f\) 가 \([a, b]\) 에서 적분 가능하므로 임의의 양수 \(\epsilon\) 에 대하여 \(U(f, P) - L(f, P) < \epsilon\) 이다. 따라서 다음이 성립한다.
\[ \begin{align}\begin{split} \int_{a}^{b}f \leq U(f, P) &< L(f, P) + \epsilon \\ &= L(f, P_1) + L(f, P_2) + \epsilon \\ &\leq \int_{a}^{c}f+\int_{c}^{b}f + \epsilon \end{split}\end{align} \tag*{} \]\(\epsilon\) 은 무한히 작은 양수이므로 이는 \(\int_{a}^{b}f \leq \int_{a}^{c}f + \int_{c}^{b}f\) 를 뜻한다. 또한 다음이 성립한다.
\[ \begin{align}\begin{split} \int_{a}^{c}f + \int_{c}^{b}f& \leq U(f, P_1) + U(f, P_2) \\ &=L(f, P_1) + \epsilon/2 + L(f, P_2) + \epsilon/2 = L(f, P) + \epsilon \\ &\leq \int_{a}^{b}f + \epsilon \end{split}\end{align} \tag*{} \]\(\epsilon\) 은 무한히 작은 양수이므로 이는 \(\int_{a}^{c}f + \int_{c}^{b}f \leq \int_{a}^{b}f\) 를 뜻한다. 따라서
\[ \int_{a}^{b}f = \int_{a}^{c}f + \int_{c}^{b}f \]이다. ■
문제 7.4-1
집합 \(A = [a, b]\) 에서 정의된 유계 함수 \(f\) 에 대하여 \(f\) 가 \([a, b]\) 에서 적분가능하면 \(|f|\) 도 \([a, b]\) 에서 적분가능하다.
-
증명
다음과 같이 정의하자.
\[ M = \sup \{f(x) : x \in A\}, \qquad m = \inf \{f(x) : x \in A\} \]\[ M' = \sup \{|f(x)| : x \in A\}, \qquad m' = \inf \{|f(x)| : x \in A\} \]먼저 \(M - m \geq M' - m'\) 를 보이려 한다.
-
\(0 \leq m \leq M\) 이면 \(M - m = M' - m'\) 이다.
-
\(m \leq M < 0\) 이면 \(M - m = M' - m'\) 이다.
-
\(m < 0 < M\) 이면 \(m' = 0\) 이다. 이때 \(|m| \leq M\) 인 경우 \(M' = M\) 이고, \(|m| > M\) 인 경우 \(M' = |m|\) 이다. 따라서 모든 경우 \(M - m > M' - m' = M'\) 이다.
그러므로 \(M - m \geq M' - m'\) 이다. ▲
따라서 \(f\) 가 적분가능하면 정리 7.2.8 에 의하여 임의의 양수 \(\epsilon\) 에 대하여 다음이 성립한다.
\[ U(|f|, P) - L(|f|, P) \leq U(f, P) - L(f, P) < \epsilon \]정리 7.2.8 에 의하여 \(|f|\) 도 \([a, b]\) 에서 적분가능하다. ■
-
정리 7.4.2
닫힌 구간 \([a, b]\) 에서 적분가능한 함수 \(f, g\) 에 대하여 다음이 성립한다.
-
함수 \(f + g\) 는 \([a, b]\) 에서 적분가능하고, \(\displaystyle \int_{a}^{b}(f + g) = \int_{a}^{b}f + \int_{a}^{b}g\) 이다.
-
\(k \in \R\) 에 대하여 함수 \(kf\) 는 적분가능하고 \(\displaystyle \int_{a}^{b}kf = k \int_{a}^{b}f\) 이다.
-
\(m \leq f(x) \leq M \implies \displaystyle m(b - a) \leq \int_{a}^{b}f \leq M(b - a)\)
-
\(\displaystyle f(x) \leq g(x) \implies \int_{a}^{b}f \leq \int_{a}^{b}g\)
-
함수 \(|f|\) 는 적분가능하고, \(\displaystyle \left| \int_{a}^{b}f \right| \leq \int_{a}^{b}|f|\) 이다.
-
증명
먼저 \(f\) 가 적분가능하므로 문제 7.2-3 에 의하여 다음을 만족하는 분할열 \((P_n)\) 가 존재한다.
\[ \lim_{n \to \infty} [U(f, P_n) - L(f, P_n)] = 0 \tag{1} \]1:
\(\sup (A + B) = \sup A + \sup B\) 이므로 2) 의 증명과 비슷한 방법으로 증명 가능하다. ■
2:
\(k \geq 0\) 일 때 문제 1.3-5에 의하여 임의의 분할 \(P\) 에 대하여 다음이 성립한다.
\[ U(kf, P) = kU(f, P) \]\[ L(kf, P) = kL(f, P) \]따라서 \((1)\) 을 만족하는 분할열 \((P_n)\) 에 대하여 다음이 성립한다.
\[ \lim_{n \to \infty} [U(kf, P_n) - L(kf, P_n)] = \lim_{n \to \infty} k[U(f, P_n) - L(f, P_n)] = 0 \]그러면 문제 7.2-3 에 의하여 2) 가 증명된다. ▲
\(k < 0\) 일 때는 문제 1.3-5에 의하여 다음이 성립한다.
\[ U(kf, P) = kL(f, P) \]\[ L(kf, P) = kU(f, P) \]이를 기반으로 위 증명과 같은 논리로 2) 를 증명할 수 있다. ■
3:
보조정리 7.2.6 에 의하여 임의의 분할 \(P\) 에 대하여 다음이 성립한다.
\[ L(f, P) \leq \int_{a}^{b}f \leq U(f, P) \]\(P = \{a, b\}\) 로 두면 3) 이 바로 증명된다. ■
4:
\(h = g - f\) 로 두면 \(0 \leq h(x)\) 이므로 1), 2), 3) 에 의하여 다음이 성립한다.
\[ 0 \leq \int_{a}^{b}h = \int_{a}^{b}(g - f) \implies \int_{a}^{b}f \leq \int_{a}^{b}g \]■
5:
문제 7.4-1 에 의하여 \(f\) 가 적분가능하면 \(|f|\) 도 적분가능하다. \(|f|\) 가 적분가능하면 \(-|f(x)| \leq f(x) \leq |f(x)|\) 이므로 4) 에 의하여 다음이 성립한다.
\[ - \int_{a}^{b}|f| \leq \int_{a}^{b}f \leq \int_{a}^{b}|f| \iff \left| \int_{a}^{b}f \right| \leq \int_{a}^{b}f \]■
정의 7.4.3
구간 \([a, b]\) 에서 적분가능한 함수 \(f\) 와 \(c \in [a, b]\) 에 대하여 다음과 같이 정의한다.
-
\(\displaystyle \int_{a}^{b}f = - \int_{b}^{a}f\)
-
\(\displaystyle \int_{c}^{c}f = 0\)
구간 \(I\) 에서 적분가능한 함수 \(f\) 와 임의의 \(a, b, c \in I\) 에 대하여 다음이 성립한다.
-
증명
정리 7.4.1 과 정의 7.4.3 에 의하여 쉽게 증명 할 수 있다. ■
Uniform Convergence and Integration✔
문제 7.2-5
\([a, b]\) 에서 함수열 \((f_n)\) 이 \(f\) 로 균등 수렴하고 각 \(f_n\) 이 \([a, b]\) 에서 적분가능하면 \(f\) 도 \([a, b]\) 에서 적분가능하다.
-
증명
\([a, b]\) 의 임의의 분할 \(P\) 에 대하여 삼각 부등식에 의하여 다음이 성립한다.
\[ \begin{align}\begin{split} U(f, P) - L(f, P)&= U(f, P) - U(f_N, P) + U(f_N, P) - L(f_N, P) \\ & \qquad + L(f_N, P) - L(f, P) \\ &\leq |U(f, P) - U(f_N, P)| + U(f_N, P) - L(f_N, P) \\ & \qquad + |L(f_N, P) - L(f, P)| \\ \end{split}\end{align} \tag{1} \]▲
임의의 양수 \(\epsilon\) 을 잡자.
함수열 \((f_n)\) 이 \(f\) 로 균등 수렴하므로 \(n \geq N\) 일 때 다음을 만족시키는 \(N\) 이 존재한다.
\[ \forall x \in [a, b]: |f_N(x) - f(x)| \leq \dfrac{\epsilon}{3(b - a)} \]\(f_N\) 이 적분가능하므로 정리 7.2.8 에 의하여 다음을 만족시키는 분할 \(P\) 가 존재한다.
\[ U(f_N, P) - L(f_N, P) < \dfrac{\epsilon}{3} \]분할 \(P\) 의 어떤 부분 구간 \([x _{k-1}, x_k]\) 에 대하여 다음과 같이 정의하자.
\[ M_k = \sup \{f(x) : x \in [x _{k-1}, x_k]\} \]\[ N_k = \sup \{f_N(x) : x \in [x _{k-1}, x_k]\} \]그러면 \(f_N\) 은 다음이 성립하는 것을 보장해준다.
\[ |M_k - N_k| \leq \dfrac{\epsilon}{3(b - a)} \]따라서 다음이 성립한다.
\[ \begin{align}\begin{split} |U(f, P) - U(f_N, P)| &= \left| \sum_{k=1}^{n}(M_k - N_k) \Delta x_k \right| \\ &\leq \sum_{k=1}^{n}\dfrac{\epsilon}{3(b - a)}\Delta x_k = \dfrac{\epsilon}{3} \\ \end{split}\end{align} \tag*{} \]같은 방식으로 다음이 성립함을 쉽게 보일 수 있다.
\[ |L(f_N, P) - L(f, P)| \leq \dfrac{\epsilon}{3} \]따라서 \((1)\) 은 다음과 같다.
\[ U(f, P) - L(f, P) \leq \epsilon/3 + \epsilon/3 + \epsilon/3 = \epsilon \]정리 7.2.8 에 의하여 \(f\) 는 \([a, b]\) 에서 적분가능하다. ■
정리 7.4.4
\([a, b]\) 에서 함수열 \((f_n)\) 이 \(f\) 로 균등 수렴하고 각 \(f_n\) 이 \([a, b]\) 에서 적분가능하면 \(f\) 도 \([a, b]\) 에서 적분가능하고 다음이 성립한다.
-
함수열 \((f_n)\) 이 극한함수 \(f\) 로 점별수렴할 때 \(f_n\) 이 적분가능하지만 \(f\) 가 적분 불가능하거나, \(f\) 가 적분가능해도 \(\displaystyle \int_{a}^{b}f_n \to \int_{a}^{b}f\) 이 성립하지 않을 수도 있다.
-
예시
\(f_n(x) = \begin{cases} n &0 < x < 1/n\\ 0 &x = 0 \lor x \geq 1/n\\ \end{cases}\) 은 \([0, 1]\) 에서 불연속점 2개를 갖고 적분가능하면 \(\int_{0}^{1}f_n = 1\) 이지만, \(f_n\) 이 \(0\) 으로 점별수렴하므로 극한 함수 \(f = 0\) 의 적분은 \(\int_{0}^{1}f = 0\) 이다. 즉,
\[ 0 \neq \lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1}f_n = 1\]이다.
-
이 정리는 이러한 문제 상황을 "균등 수렴"이라는 조건을 추가하면 해결할 수 있다는 것을 말해준다. 그러나 이러한 문제 상황을 리만 적분 자체의 한계로 본다면 균등 수렴이라는 조건을 부여하는 것은 해결책이 아니다. 그래서 이렇게 리만 적분이 불가능한 상황들을 해결하기 위하여 르베그 적분이 나왔다. 리만 적분 가능하면 르베그 적분 가능하고, 두 적분 값은 같기 때문에, 르베그 적분은 리만 적분의 일반화이다. 르베그 적분을 사용하면 적분할 수 있는 함수가 훨씬 많아진다. 르베그 적분은 현재 수학에서 표준이고 적분이 필요한 연구에서 대부분 르베그 적분을 사용한다.
그러나 르베그 적분에도 단점은 있다. 이상 리만 적분가능하지만 르베그 적분할 수 없는 함수가 존재하고, 르베그 적분으로 미적분학의 기본정리를 증명하려면 리만 적분에 비하여 몇가지 조건이 더 필요하다.
1960년경에 리만 적분과 르베그 적분의 단점을 극복하면서도 더 많은 함수를 적분할 수 있는 새로운 적분법이 제안되었는데, 이는 다시 리만 적분으로 되돌아가서 리만 적분의 방법을 약간 수정한 방법이다. 이것을 일반화된 리만 적분이라 한다.
-
증명
문제 7.2-5 에 의하여 \(f\) 는 적분 가능하다. ▲
정리 7.4.2 에 의하여 임의의 \(f_n\) 에 대하여 다음이 성립한다.
\[ \left| \int_{a}^{b}f_n - \int_{a}^{b}f \right| = \left| \int_{a}^{b}(f_n - f) \right| \leq \int_{a}^{b}|f_n - f| \]임의의 양수 \(\epsilon\) 에 대하여 \(f_n\) 이 \(f\) 로 균등 수렴하므로 \(n \geq N\) 일 때 다음을 만족시키는 \(N\) 이 존재한다.
\[ \forall x \in [a, b] \implies|f_n (x) - f(x)| < \epsilon/(b - a) \]따라서 \(n \geq N\) 에 대하여 다음이 성립한다.
\[ \left| \int_{a}^{b}f_n - \int_{a}^{b}f \right| \leq \int_{a}^{b}|f_n - f| \leq \int_{a}^{b}\epsilon/(b - a) = \epsilon \]수열의 수렴에 의하여 다음이 성립한다.
\[ \therefore \lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b}f_n = \int_{a}^{b}f \]■
Fundamental Theorem of Calculus✔
Lipschitz Function✔
립쉬츠 함수(Lipschitz Function)
모든 \(x \neq y \in A\) 에 대하여 다음을 만족하는 \(M > 0\) 이 존재하면 함수 \(f: A \to \R\) 를 립쉬츠 함수라 한다.
-
평균변화율을 참고하자. 이 조건은 함수의 입력이 단위 입력 \(1\) 만큼 변했을 때 함수의 출력이 \(L\) 이상 변하지 않는다는 제약이다.
-
즉 립쉬츠 함수란 함수의 임의의 두 점을 지나는 직선의 기울기가 특정한 값에 의하여 유계인 함수이다. 다음은 립쉬츠 함수의 기하학적 특징을 보여준다.
립쉬츠 함수는 위와 같이 특정한 이중 원뿔이 존재하여 이 이중 원뿔의 원점을 함수를 따라 움직였을 때, 함수의 그래프가 이 이중 원뿔에 절대로 포함되지 않는다.
문제 4.4.9
립쉬츠 함수 \(f: A \to R\) 는 \(A\) 에서 균등연속이다.
-
증명
립쉬츠 함수는 다음을 만족한다.
\[ \forall x, y \in A : |f(x) - f(y)| \leq M|x - y| \]임의의 양수 \(\epsilon\) 에 대하여 \(\delta=\epsilon/M\) 로 두면 다음이 성립한다.
\[ |x - y|<\delta \implies |f(x) - f(y)| < M \dfrac{\epsilon}{M} = \epsilon \]그러면 \(f\) 는 균등 연속이다. ■
정리 7.5.1 미분적분학의 기본정리(fundamental theorem of calculus)
-
적분가능한 함수 \(f: [a, b] \to \R\) 와 \(F: [a,b] \to \R\) 에 대하여
\[ \forall x \in [a,b] : F'(x) = f(x) \]이면 다음이 성립한다.
\[ \int_{a}^{b}f = F(b) - F(a) \] -
적분가능한 함수 \(g: [a,b] \to \R\) 와 \(x \in [a, b]\) 에 대하여 함수
\[ G(x) = \int_{a}^{x}g \]를 정의하면 다음이 성립한다.
-
\(G\) 는 \([a, b]\) 에서 균등 연속이다.
-
\(g\) 가 어떤 점 \(c \in [a, b]\) 에서 연속이면 \(G\) 는 \(c\) 에서 미분가능하고 \(G'(c) = g(c)\) 이다.
-
-
대상의 변화율을 구하는 미분은 접선의 기울기를 찾는 문제에서 연구가 시작되었고, 적분은 그래프 아래 넓이를 구하는 문제에서 연구가 시작되었다. 이 정리는 미분과 적분이 역연산 관계를 갖는다는 것을 말해준다.
이 정리의 제 1 명제는 적분값을 역도함수를 통하여 구할 수 있다는 것을 말해준다. 제 2 명제는 부정적분이 연속이라는 것과 모든 연속함수는 부정적분을 갖는다는 것을 말해준다.
-
이 정리 덕분에 정적분(리만 적분)을 구할 때 리만합의 극한값을 구하는 것이 아니라 역도함수로 쉽게 구할 수 있다.
-
\(G(x) = \displaystyle \int_{a}^{x}g\) 를 값이 정해져 있지 않다고 해서 부정적분이라 한다. \(\displaystyle \int_{a}^{b}g\) 같은 리만 적분은 값이 정해졌다고 해서 정적분이라 한다.
-
증명
1:
\([a, b]\) 의 분할 \(P\) 에 대한 부분구간 \([x _{k-1}, x_k]\) 에서 \(F\) 에 평균값 정리를 적용하면 다음을 만족하는 점 \(t_k \in (x _{k-1}, x_k)\) 가 존재한다.
\[ F(x_k) - F(x _{k-1}) = F'(t_k)(x_k - x _{k-1}) = f(t_k)(x_k - x _{k-1}) \]\(\inf _{t \in [x _{k-1}, x_k]}f(t) \leq f(t_k) \leq \sup _{t \in [x _{k-1}, x_k]}f(t)\) 이므로 다음이 성립한다.
\[ L(f, P) \leq \sum_{k=1}^{n}[F(x_k) - F(x _{k-1})] \leq U(f, P) \]\[ \iff L(f, P) \leq F(b) - F(a) \leq U(f, P) \tag{1} \]\((1)\) 의 \(F(b) - F(a)\) 는 특정한 분할 \(P\) 에 의존적이지 않으므로 \((1)\) 은 임의의 분할에 대하여 성립한다.(집합의 임의의 원소에 대하여서도 성립하지만 집합의 상한과 하한에 대하여서도 성립하는지)
\[ \underline{\int_{a}^{b}}f \leq F(b) - F(a) \leq \overline{\int_{a}^{b}}f \]\(f\) 가 적분가능하므로 \(\displaystyle \underline{\int_{a}^{b}}f = \overline{\int_{a}^{b}} = \int_{a}^{b}f\) 이고, 이에 따라 \(\displaystyle \int_{a}^{b} f = F(b) - F(a)\) 이다. ■
2:
구간 \([a, b]\) 에서 \(x > y\) 를 선택하면 \(|g|\) 의 상계 \(M>0\) 에 대하여 다음이 성립한다.
\[ |G(x) - G(y)| = \left| \int_{a}^{x}g - \int_{a}^{y}g \right| = \left| \int_{y}^{x}g \right| \leq \int_{y}^{x}|g| \leq M(x - y) \]\(G\) 가 립쉬츠 함수이므로 문제 4.4-9 에 의하여 \([a, b]\) 에서 균등 연속이다. ▲
\(g\) 가 \(c \in [a, b]\) 에서 연속이면 \(G'(c)\) 가 다음과 같다.
\[ \begin{align}\begin{split} G'(c) = \lim_{x \to c} \dfrac{G(x) - G(c)}{x - c} &= \lim_{x \to c} \frac{1}{x - c}\left( \int_{a}^{x}g(t)dt - \int_{a}^{c}g(t)dt \right) \\ &= \lim_{x \to c} \frac{1}{x-c}\int_{c}^{x}g(t)dt \\ \end{split}\end{align} \tag*{} \]\(g\) 가 \(c\) 에서 연속이므로 임의의 양수 \(\epsilon\) 에 대하여 다음을 만족시키는 양수 \(\delta\) 가 존재한다.
\[ |t - c| < \delta \implies|g(t) - g(c) | < \epsilon \]이때 상수 \(g(c)\) 를 \(g(c) = \displaystyle \frac{1}{x - c}\int_{c}^{x}g(c)dt\) 로 표현할 수 있으므로 이 \(\delta\) 에 대하여 다음이 성립한다.
\[ \begin{align}\begin{split} |x - c| < \delta \implies \left| \frac{1}{x - c} \int_{c}^{x}g(t)dt - g(c) \right| &= \left| \frac{1}{x-c}\int_{c}^{x}(g(t) - g(c))dt \right| \\ &\leq \frac{1}{x - c}\int_{c}^{x}|g(t) - g(c)|dt \\ &< \frac{1}{x - c}\int_{c}^{x}\epsilon dt \\ & = \epsilon \end{split}\end{align} \tag*{} \]위 식은 \(x > c\) 일 때나 \(x < c\) 일 때나 모두 성립한다. 그러면 다음이 성립한다.
\[ \therefore G'(c) = g(c) \]■
Lebesgue's Criterion for Riemann Integrability✔
정의 7.6.1 측도가 \(0\) 인 집합(set of measure zero)
집합 \(A \subset \R\) 와 임의의 \(\epsilon>0\) 에 대하여 열린 구간 \(O_n\) 의 가산 모임이 존재하여 \(A \subset \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}O_n\) 이고 구간 \(O_n\) 의 길이 \(|O_n|\) 에 대하여 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}|O_n| \leq \epsilon\) 이면 \(A\) 를 측도가 \(0\) 인 집합이라 한다.
실유한집합은 측도가 \(0\) 인 집합이다.
-
증명
유한집합 \(A = \{a_1, a_2, \dots, a_N\} \subset \R\) 과 임의의 양수 \(\epsilon\) 과 \(1 \leq n \leq N\) 에 대한 열린 구간
\[ G_n = \left( a_n - \dfrac{\epsilon}{2N}, a_n + \dfrac{\epsilon}{2N} \right) \]에 대하여 다음이 성립한다.
\[ A \subset \bigcup_{n=1}^{\infty}G_n \]\[ \sum_{n=1}^{N}|G_n| = \sum_{n=1}^{N}\dfrac{\epsilon}{N} = \epsilon \]
정리 7.6.5 르베그 정리(Lebesgue's theorem)
구간 \([a, b]\) 에서 정의된 유계 함수 \(f\) 에 대하여 다음은 동치이다.
-
\(f\) 가 리만 적분가능하다.
-
\(f\) 의 불연속점 집합의 측도가 \(0\) 이다.
-
이 정리로 리만 적분 불가능한 함수들을 규명할 수 있다. 지금까지 적분불가능한 함수는 디리클레 함수 뿐이었다. 토메 함수도 적분가능했다. 함수 \(f\) 가 \([a, b]\) 에서 미분가능할 때 \(f'\) 이 적분가능하면 미적분학의 기본정리에 의하여
\[ \int_{a}^{b}f' = f(b) - f(a) \]이 성립한다. 그러나 이것이 모든 도함수가 적분가능함을 뜻하지 않는다. 적분 불가능한 도함수도 있다.
-
이 정리는 유계 함수가 리만적분 가능하다는 것과 불연속점 집합의 측도가 \(0\) 이라는 것이 동치임을 말해준다. 그리고 이 사실은 리만 적분이 지니고 있는 근본적인 한계를 뜻한다. 르베그는 리만 적분보다 더 많은 함수를 적분할 수 있는 르베그 적분을 제안했고, 이는 현재 표준 적분이 되었다.
그러나 르베그 적분 또한 모든 도함수가 적분가능한 것은 아니었다. 리만 적분 보다 적분할 수 있는 함수가 더 많기는 하지만 르베그 적분도 리만 적분이 가지는 근본적인 한계를 가지고 있었다. 그래서 르베그 적분보다 더 많은 함수를 적분할 수 있고 모든 도함수를 적분할 수 있는 일반화된 리만 적분이 제안되었다.
일반화된 리만 적분이 르베그 적분보다 더 강력한 것은 사실이지만, 여러가지 이유로 아직 수학 학계 전체가 일반화된 리만 적분으로 이주하지는 못했다.
-
증명
Indefinite Integral✔
부정적분(indefinite integral)
부정적분은 어떤 함수를 도함수로 갖는 모든 함수를 구하는 연산이다. 즉, \(I\) 에서 주어진 함수 \(f(x)\) 가
을 만족하는 역도함수를 가질 때 임의의 상수 \(C\) 에 대한 부정적분을 다음과 같이 정의한다.
-
이제 부정적분을 통하여 미적분학의 기본정리를 다음과 같이 쓸 수 있다.
\[ \boxed{\int_{a}^{b}f(x)dx = F(b) - F(a) = [F(x) + C]_{a}^{b}= \left[ \int f(x)dx \right]_{a}^{b}} \] -
임의의 상수 \(C\) 를 적분상수라 한다.
-
정적분 \(\int_{a}^{b}f(x)dx\) 은 수이지만, 부정적분 \(\int f(x)dx\) 은 함수이다.
-
예시
\[ \int x ^{n}dx = \dfrac{x ^{n+1}}{n+1} + C \] -
예시
\(\displaystyle \int (x ^{3} + x)^{5}(3x^2 + 1)dx\) 를 구해보자. \(u = x ^{3} + x\) 로 두면 다음이 성립한다.
\[ du = \frac{du}{dx}dx = (3x^2 + 1)dx \]따라서 다음이 성립한다.
\[ \begin{align}\begin{split} \int (x ^{3} + x)^{5}(3x^2 + 1)dx &= \int u^5du = \frac{u^6}{6} + C \\ &=\frac{(x^3+x)^6}{6} + C \\ \end{split}\end{align} \tag*{} \]
부정적분의 성질
함수 \(f,g\) 에 대하여 다음이 성립한다.
-
\(\displaystyle \left( \int f(x) dx \right) ' = f(x) \iff \frac{d}{dx}\int f(x)dx = f(x)\)
-
\(\displaystyle \int \frac{d}{dx} f(x) dx = f(x)+C\)
-
\(\displaystyle \int f(x) \pm g(x) dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx\)
-
\(c \in \R: \displaystyle \int cf(x) dx = c\int f(x)dx dx\)
치환 규칙(substitution rule)
\(u = g(x)\) 가 구간 \(I\) 에서 미분가능하고, \(f\) 가 \(I\) 에서 연속이면 다음이 성립한다.
-
증명
\(F\) 의 역도함수 \(F\) 에 대하여 다음이 성립한다.
\[ \frac{d}{dx}F(g(x)) = f(g(x)) \cdot g'(x) \]따라서 다음이 성립한다.
\[ \begin{align}\begin{split} \int f(g(x))g'(x)dx&= \int \frac{d}{dx}F(g(x))dx = F(g(x)) + C \\ &= F(u) + C = \int F'(u)du \\ &= \int f(u)du \end{split}\end{align} \tag*{} \]■
-
예시
\(\displaystyle \int \sec ^2(5x + 1) \cdot 5 dx\) 를 구해보자. \(u = 5x + 1\) 로 두면 \(du = 5dx\) 이다. 이것과 탄젠트 함수의 미분에 의하여 다음이 성립한다.
\[ \int \sec ^2(5x + 1) \cdot 5 dx = \int \sec ^2u \cdot du = \tan u + C = \tan (5x + 1) +C \]
Integration by substitution✔
적분변수의 치환(역연쇄법칙, anti chain rule)
함수 \(f(x)\) 에서 변수 \(x\) 를 다른 변수 \(t\) 에 대한 미분가능한 함수 \(x=g(t)\) 로 정의하면 \(f(x) = f(g(t)), \dfrac{dx}{dt} = g'(t)\) 이다. 이를 통해 다음과 같이 적분변수 \(x\) 를 \(t\) 로 변경할 수 있다.
치환적분법(integration by substitution)
적분변수의 치환을 이용하여 합성함수 형태의 적분식을 쉬운 적분식으로 변환하여 적분하는 방법으로써 함수 \(f(x)\) 의 한 부정적분을 \(F(x)\) 라 하고 미분가능한 함수 \(g(t)\) 에 대하여 \(x=g(t)\) 로 두면 다음이 성립한다.
-
증명
함수 \(f(x)\) 의 한 부정적분을 \(F(x)\) 라 하면 \(\displaystyle \int_{}^{}f(x)dx = F(x)+C\) 이다. \(x\) 를 \(t\) 에 대한 미분가능한 함수 \(x=g(t)\) 로 두면 \(F(x)=F(g(t))\) 이므로 \(F(x)\) 를 \(t\) 에 대하여 미분하면 합성함수의 미분법에 의하여
\[ \frac{d}{dt}F(x)=\frac{d}{dx}F(x)\cdot \frac{dx}{dt}=f(x)g'(t)=f(g(t))g'(t) \]이다. 따라서 부정적분의 정의에 의하여 다음이 성립한다.
\[ \int_{}^{}f(g(t))g'(t)dt = F(x)+C = \int_{}^{}f(x)dx \] -
예시
\(\displaystyle \int_{}^{}(3x+2) ^{2}dx\) 에서 \(3x+2=t\) 로 두면 \(x = \dfrac{t-2}{3}\) 이고 양변을 \(t\) 에 대하여 미분하면 \(\displaystyle \frac{dx}{dt} = \frac{1}{3} \implies dx = \frac{1}{3}dt\) 이다. 따라서 다음을 얻는다.
\[ \begin{align}\begin{split} \int_{}^{}(3x+2)^{2}dx &=\int_{}^{}t ^{2} \cdot \frac{1}{3}dt = \frac{1}{3} \int_{}^{}t ^{2}dt \\ &= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} t ^{3}+C = \frac{1}{9} (3x+2) ^{3}+C\\ \end{split}\end{align} \tag*{} \] -
예시
\(\displaystyle \int_{}^{}x(x ^{2}+1)^{5}dx\) 에서 \((x ^{2}+1)'=2x\) 이므로 \(x^2+1=g(x)=t\) 로 두고 \(t ^{5} = f(t)\) 로 두면 다음을 얻는다.
\[ \begin{align}\begin{split} \int_{}^{}x(x ^{2}+1)^{5}dx &=\frac{1}{2} \int_{}^{}(x ^{2}+1) ^{5} \cdot 2xdx = \frac{1}{2} \int_{}^{}f(g(x)) \cdot g'(x)dx \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6}t ^{6} + C = \frac{1}{12}t ^{6}+C = \frac{1}{12}(x ^{2}+1)^{6}+C \\ \end{split}\end{align} \tag*{}\] -
예시
\(\displaystyle \int_{}^{}x(x ^{2}+1)^{5}dx\) 에서 \((x ^{2}+1)'=2x\) 이므로 \(x^2+1=t\) 로 두면 \(\frac{dt}{dx}=2x \implies dt = 2xdx\) 이다. 따라서 다음을 얻는다.
\[ \begin{align}\begin{split} \int_{}^{}x(x ^{2}+1)^{5}dx &=\frac{1}{2} \int_{}^{}(x ^{2}+1) ^{5} \cdot 2xdx = \frac{1}{2} \int_{}^{} t ^{5}dt \\ &= \frac{1}{12}t ^{6}+C = \frac{1}{12}(x ^{2}+1)^{6}+C \\ \end{split}\end{align} \tag*{} \]
Integration by Parts✔
부분적분법(integration by parts) - 부정적분
구간 \(I \subset \R\) 에서 정의된 연속 미분가능한 함수 \(u, v : I \to \R\) 에 대하여 다음이 성립한다.
특히 \(u'(x)dx = du, v'(x)dx = dv\) 를 통하여 다음과 같이 자주 축약되어 사용된다.
-
이 정리를 사용할 때는 도함수가 간단한 부분을 \(u\) 로 두고, 원함수가 간단한 부분을 \(v'\) 로 두면 된다.
-
예시
\(\displaystyle \int x \cos x dx\) 에서 \(u = x, v' = \cos x\) 로 두면 적분상수 \(C\) 에 대하여 다음이 성립한다.
\[ \int x \cos x dx = x \sin x - \int \sin x dx = x \sin x + \cos x + C \] -
증명
곱함수 \(uv\) 를 미분하면 다음이 성립한다.
\[ (uv)' = uv' + u'v \iff uv' = (uv)' - u'v \]양변이 모두 연속이므로 미적분학의 기본정리에 의하여 부정적분이 존재한다. 또한 부정적분의 선형성에 의하여 다음이 성립한다.
\[ \int u(x)v'(x)dx = u(x) v(x) - \int u'(x)v(x)dx \tag*{■} \]
부분적분법(integration by parts) - 정적분
연속 미분가능 함수 \(u, v : [a, b] \to \R\) 에 대하여 다음이 성립한다.
-
증명
부분적분법 - 부정적분의 증명에 이어서, 양변이 모두 적분 가능하므로 구간 \([a, b]\) 에서 정적분을 취하면 다음이 성립한다.
\[ \int_{a}^{b}u(x)v'(x)dx = \left[ u(x)v(x) \right]_{a}^{b} - \int_{a}^{b}u'(x)v(x)dx \tag*{■} \]
Improper Riemann integral✔
이상적분(improper integral)
\([a, \infty )\) 에서 정의된 \(f\) 에 대하여
-
임의의 \(b\) 에 대하여 \(f\) 가 \([a, b]\) 에서 적분가능하다.
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\(\displaystyle \lim_{b \to \infty} \int_{a}^{b}f\) 가 존재한다.
이면 다음과 같이 정의하고 이상적분 \(\displaystyle \int_{a}^{\infty }f\) 가 수렴한다고 한다.
이상적분 1형(improper integral of Type I)
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함수 \(f\) 가 \([a, \infty )\) 에서 적분가능하면 다음과 같이 정의한다.
\[ \int_{a}^{\infty}f = \lim_{b \to \infty} \int_{a}^{b}f \] -
함수 \(f\) 가 \((- \infty , a]\) 에서 적분가능하면 다음과 같이 정의한다.
\[ \int_{- \infty }^{b}f = \lim_{a \to -\infty} \int_{a}^{b}f \] -
함수 \(f\) 가 \((- \infty , \infty )\) 에서 적분가능하면 임의의 \(c \in \R\) 에 대하여 다음과 같이 정의한다.
\[ \int_{- \infty }^{\infty }f = \int_{-\infty}^{c}f + \int_{c}^{\infty }f \]
함수 \(f\) 에 대한 위의 각각의 적분 극한이 존재하면 이상적분이 수렴한다고 하고, 수렴하지 않으면 발산한다고 한다.
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3) 에서 \(c\) 는 어떤 값이 되든 상관없다는 것을 증명할 수 있다.
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리만적분은 피적분함수가 유계닫힌구간에서 정의된 유계함수여야 했다. 그러나 현실세계에서는 유계가 아닌 구간에서 적분을 해야 하거나, 함수가 유계가 아닌 경우에도 적분을 해야 하는 경우가 많다. 이렇게 유계가 아닐 때 적분을 하는 방법을 이상적분, 또는 특이적분이라 한다.
이 정의는 유계가 아닌 구간에서 적분을 하는 방법이다.
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예시
\(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{1 + x^2}\) 를 계산하자. \(c = 0\) 으로 두면 다음이 성립한다.
\[ \int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{1+x^2} = \int_{-\infty}^{0}\frac{dx}{1+x^2} + \int_{0}^{\infty}\frac{dx}{1+x^2} \]역삼각함수의 도함수에 의하여 \((\arctan x)' = 1/(1+x^2)\) 이므로 다음이 성립한다.
\[ \begin{align}\begin{split} \int_{-\infty}^{0}\frac{dx}{1+x^2}&= \lim_{a \to -\infty} \int_{a}^{0}\frac{dx}{1+x^2} = \lim_{a \to -\infty} \left[ \arctan x \right]_{a}^{0} \\ &= \lim_{a \to -\infty} (\arctan 0 - \arctan a) = 0 - ( - \pi /2) = \pi /2 \\ \end{split}\end{align} \tag*{} \]비슷하게 \(\displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{dx}{1+x^2} = \pi /2\) 임을 쉽게 얻을 수 있다. 따라서 다음이 성립한다.
\[ \int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{1+x^2} = \pi /2 + \pi /2 = \pi \]
이상적분 2형(improper integral of Type II)
유계가 아닌 함수의 적분을 이상적분 2형이라 하고 다음과 같이 정의한다.
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함수 \(f\) 가 \((a, b]\) 에서 적분가능하면 다음과 같이 정의한다.
\[ \int_{a}^{b}f = \lim_{c \to a+} \int_{c}^{b}f \] -
함수 \(f\) 가 \([a, b)\) 에서 적분가능하면 다음과 같이 정의한다.
\[ \int_{a}^{b}f = \lim_{c \to b-} \int_{a}^{c}f \] -
함수 \(f\) 가 \([a, c) \cup (c, b]\) 에서 적분가능하면 다음과 같이 정의한다.
\[ \int_{a}^{b}f = \int_{a}^{c}f + \int_{c}^{b}f \]
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이 정의는 유계가 아닌 함수에서 적분을 하는 방법이다.
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예시
함수 \(f (x) = 1 / (1 - x)\) 는 유계가 아니며, 다음과 같은 그래프를 갖는다.
즉, \(f\) 는 \(x = 1\) 의 좌극한에서 \(\infty\) 로 발산하고 우극한에서는 \(-\infty\) 로 발산한다. 이제 \(\displaystyle \int_{0}^{1}1/(1 - x)dx\) 를 계산하자. \(f\) 가 \([0, 1)\) 에서 적분가능하므로 다음이 성립한다.
\[ \begin{align}\begin{split} \int_{0}^{1}f &= \lim_{b \to 1-} \int_{0}^{b}1/(1 - x)dx \\ &= \lim_{b \to 1-} \left[ -\ln |1 - x| \right]_{0}^{b} \\ &= \lim_{b \to 1-} \left[ -\ln |1 - b| + 0 \right] = \infty \\ \end{split}\end{align} \tag*{} \]즉, 발산한다. 이 예시를 보고 유계가 아닌 구간에서의 적분은 무한대라고 생각할 수 있지만, 다음 예시를 보면 무계 구간에서의 적분도 수렴함을 알 수 있다.
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예시
함수 \(1/(x - 1)^{2/3}\) 은 다음과 같은 그래프를 갖는다.
\(\displaystyle \int_{0}^{3}dx/(x - 1)^{2/3}\) 을 다음과 같이 계산할 수 있다.
\[ \int_{0}^{3}\frac{dx}{(x - 1)^{2/3}} = \int_{0}^{1}\frac{dx}{(x - 1)^{2/3}} + \int_{1}^{3}\frac{dx}{(x - 1)^{2/3}} = 3 + 3 \sqrt[3]{2} \]
이상적분 비교판정법
함수 \(f, g\) 가 \([a, \infty )\) 에서 적분가능하고, \(\forall x \geq a : 0 \leq f(x) \leq g(x)\) 이면 다음이 성립한다.
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\(\displaystyle \int_{a}^{\infty}g\) 가 수렴하면 \(\displaystyle \int_{a}^{\infty}f\) 도 수렴한다.
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\(\displaystyle \int_{a}^{\infty}f\) 가 발산하면 \(\displaystyle \int_{a}^{\infty}g\) 도 발산한다.
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증명
완비성공리에 의하여 자명하게 성립한다. ■