Functional Limit

Functional Limit✔

• 함수의 극한(proofwiki)의 정의와 같다. 보편 양화사 \(\forall\) 나 존재 양화사 \(\exists\) 를 술어 \(P\) 에 지칭하면 다음과 같은 형태가 된다.

  \[ \forall x : P \]

  이때 이 명제 자체를 \(Q = \forall x : P\) 로 두고 \(Q\) 에 또 다시 양화사를 지칭하면 다음과 같이 된다.

  \[ \exists y : Q \]

  이것을 풀어서 쓰면 이렇게 된다.

  \[ \exists y : \forall x : P \]

• 정의역의 원소 \(x \in A\) 가 \(c\) 에 가까워지는데, \(c\) 가 \(A\) 의 극한점이므로 \(A\) 가 닫힌 집합이 아닌 경우 \(c \not\in A\) 인데, 이 경우에도 함수의 극한이 잘 정의된다. 이는 \(c\) 가 \(f\) 의 정의역에 속하지 않아도 극한을 정의할 수 있음을 뜻한다.

• \(0 < |x - c|\) 라는 조건은 \(x \neq c\) 라는 것을 간결하게 말하기 위하여 추가된 것 뿐이다.

• \(x \in A\) 라는 조건은 \(x\) 에서 함수 \(f\) 가 정의되어 있다는 것을 보장해준다. 하지만 보통 \(f(x)\) 라는 표현 자체에 \(x\) 에서 함수 \(f\) 가 정의되어 있다는 것을 함축하여 \(x \in A\) 라는 조건을 생략한다.

• 정의역의 고립점에서의 함수의 극한은 정의하지 않는다. 왜냐하면 고립점에서의 근방은 정의역과 교집합을 갖지 않기 때문에, 정의역의 원소 \(x\) 가 고립점으로 가까이 다가가는 것을 생각할 수 없기 때문이다. 따라서 정의역의 극한점에서만 함수의 극한을 생각한다.

• 이렇게 극한을 엄밀하게 정의하는 것을 엡실론-델타 논법(\(\epsilon-\delta\) 논법)이라 한다.

• 함수의 극한을 위상적으로 표현할 수 있는 것은 다음이 성립하기 때문이다.

  \[ |f(x) - L| < \epsilon \iff f(x) \in V_{\epsilon}(L) \]
  \[ |x-c| < \delta \iff x \in V_{\delta}(c) \]

  함수의 극한을 위상적으로 생각하면 함수의 극한을 다음과 같이 기하학적으로 쉽게 이해할 수 있다.

  

• 예시

  \(f(x) = 3x + 1\) 에 대하여 \(\displaystyle \lim_{x \to 2} f(x) = 7\) 를 증명해보자. 임의의 양수 \(\epsilon\) 에 대하여 다음을 만족시키는 양수 \(\delta\) 의 존재성을 보이면 된다.

  \[0 < |x - 2| < \delta \implies |f(x) - 7| < \epsilon\]

  \(|f(x) - 7| = |3x - 6| = 3|x - 2|\) 이므로 \(\delta = \epsilon /3\) 으로 택하면 다음이 성립한다.

  \[ 0 < |x-2| < \delta \implies |f(x) - 7| = 3|x - 2| < 3(\epsilon /3) = \epsilon \]

  따라서 \(\displaystyle \lim_{x \to 2} f(x) = 7\) 이다.

• 예시

  \(g(x) = x ^{2}\) 에 대하여 \(\displaystyle \lim_{x \to 2} g(x) = 4\) 를 증명해보자. 임의의 양수 \(\epsilon\) 에 대하여 다음을 성립시키는 \(\delta\) 가 항상 존재한다는 것을 보이면 된다.

  \[ 0 < |x-2| < \delta \implies |g(x) - 4| < \epsilon \]

  \(|g(x) - 4| = |x + 2||x - 2|\) 인데 \(x\) 가 \(2\) 로 다가가는 극한이므로 \(|x - 2|\) 는 임의로 작게 만들 수 있다. 따라서 \(|x - 2|\) 는 걱정할 필요가 없다.

  \(c = 2\) 를 중심으로 하는 \(\delta\)-근방의 반지름이 \(\delta = 1\) 보다 크지 않는 한 다음이 성립한다.

  \[ \forall x \in V_{\delta}(c) \setminus \{c\} : |x + 2| \leq |3 + 2| = 5 \]

  따라서 \(\sup |x + 2| = 5\) 이다. 그러면 \(\delta = \min \{1, \epsilon /5\}\) 에 대하여 다음이 성립한다.

  \[ 0 < |x - 2| < \delta \implies |x ^{2} - 4| = |x + 2||x - 2| < 5 \cdot \dfrac{\epsilon }{5} = \epsilon \]

  따라서 \(\displaystyle \lim_{x \to 2} g(x) = 4\) 이다.

Sequential Criterion for Functional Limits✔

• 증명

  \(1 \implies 2\):

  1) 을 가정했으므로 임의의 양수 \(\epsilon\) 와 \(c \neq x\) 인 \(x \in A\) 에 대하여 \(x \in V_{\delta}(c)\) 이면 \(f(x) \in V_{\epsilon}(L)\) 인 \(V_{\delta}(c)\) 가 항상 존재한다. 2) 의 가정부에 의하여 \(x_n \neq c\) 인 임의의 수열 \((x_n) \subset A\) 이 \((x_n) \to c\) 이므로 어떤 항 \(x_N\) 이후에 항상 \(x_n \in V_{\delta}(c)\) 이다. 그러면 1) 에 의하여 \(n \geq N\) 일 때 \(f(x) \in V_{\epsilon}(L)\) 이다. ■

  \(2 \implies 1\):

  2) 를 가정하고 \(\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) \neq L\) 라고 두자. 이는 어떤 양수 \(\epsilon_0\) 에 대응하는 적절한 \(\delta\) 가 존재하지 않는다는 것이다. 즉, \(\delta >0\) 를 어떻게 정하든지 다음을 만족하는 \(x\) 가 적어도 하나 존재한다.

  \[ x \neq c \land x \in V_{\delta}(c) \implies f(x) \not\in V_{\epsilon_0}(L) \]

  그렇다면 \(\delta _n = 1/n\) 으로 두어도, 각 \(n \in \N\) 마다 다음을 만족하는 \(x_n \in V_{\delta_n}(c)\) 를 선택할 수 있다.

  \[x_n \neq c \land x_n \in V_{\delta_n}(c) \implies f(x_n) \not\in V_{\epsilon_0}(L)\]

  이는 \(x_n \neq c \land (x_n) \to c\) 인 어떤 수열 \((x_n)\) 에 대한 함숫값 수열 \(f(x_n)\) 이 \(L\) 로 수렴하지 않음을 의미한다. 이는 2) 와 모순이다. 따라서 \(\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = L\) 이다. ■

Algebraic Limit Theorem for Functional Limits✔

• 증명

  수열의 극한의 사칙연산과 정리 4.2.3 에 의하여 쉽게 증명된다. ■

Divergence Criterion for Functional Limits✔

• 이 정리는 어떤 지점으로 다가가는 모든 수열의 극한값이 똑같지 않으면 발산한다는 것을 말해준다. 그래서 정리 4.2.3 은 어떤 지점으로 다가가는 모든 수열의 극한값이 똑같아야 극한이 정의된다는 것을 말해준다.

• 예시

  다음과 같은 함수 \(y = \sin \dfrac{1}{x}\) 가 \(0\) 에서 극한을 가지지 않음을 증명하자.

  

  \(x_n = 1/2n \pi , y_n = 1/(2n \pi + \pi /2)\) 이면 \(\lim x_n = \lim y_n = 0\) 이지만 \(\lim \sin (1/x_n) = 0 \neq \lim \sin (1/y_n) = 1\) 이다. 따라서 \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \sin (1/x)\) 은 존재하지 않는다.

Divergence to Infinity✔

• 예시

  \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x ^{2}} = \infty\) 를 증명해보자. \(\delta = \displaystyle \sqrt[]{\frac{1}{M}}\) 로 두면 다음이 성립한다.

  \[ 0 < |x| < \delta \implies x ^{2} < \frac{1}{M} \implies M < \frac{1}{x^2} \]

  따라서 \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x ^{2}} = \infty\) 이다.

• 예시

  \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0\) 을 증명해보자. \(K = \dfrac{1}{\epsilon }\) 으로 두면 다음이 성립한다.

  \[ x > K = \frac{1}{\epsilon } \implies \frac{1}{x} < \epsilon \]

  따라서 \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0\) 이다.

• 예시

  \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt[]{x} = \infty\) 임을 증명해보자. \(K = M^2\) 로 두면 다음이 성립한다.

  \[ K < x \implies M < \sqrt[]{x} \]

  따라서 \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt[]{x} = \infty\) 이다.

Left and Right-Hand Limit✔

• 증명

  \(\implies\):

  \(\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = L\) 를 가정하면 임의의 양수 \(\epsilon\) 에 대하여 다음을 만족하게 하는 \(\delta\) 가 존재한다.

  \[ 0 < | x - c | < \delta \implies |f(x) - L| < \epsilon \]

  이는 좌극한과 우극한의 정의를 만족시킨다. ■

  \(\impliedby\):

  좌극한과 우극한을 가정하면 임의의 양수 \(\epsilon\) 에 대하여 다음을 만족하게 하는 양수 \(\delta_1, \delta _2\) 가 존재한다.

  \[ 0 < x - c < \delta_1 \implies |f(x) - L| < \epsilon \]
  \[ 0 < c - x < \delta_2 \implies |f(x) - L| < \epsilon \]

  \(\delta = \min \{\delta _1, \delta _2\}\) 를 정의하면 다음이 성립한다.

  \[ 0 < | x - c | < \delta \implies |f(x) - L| < \epsilon \]

  이로써 증명이 끝났다. ■