Function Sequence and Series

Function Sequence✔

Pointwise Convergence✔

• \(f_n \to f\) 또는 \(\lim f_n = f\) 라고도 표기한다.

• 예시

  \(n \in \N\) 에 대한 함수 \(f_n(x): \R \to \R\) 를 \(f_n(x) = (x^2+nx)/n\) 로 정의하면 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} f_n(x) = x\) 이다. 즉, 함수 \((f_n)\) 은 \(\R\) 에서 \(f(x) = x\) 로 점별 수렴한다. 다음 그림은 함수열 \((f_n)\) 이 \(f(x) = x\) 로 점별 수렴하는 모습을 보여준다.

  

• 함수열을 이루는 함수가 연속이어도 극한 함수가 불연속 일 수도 있다. 또한 함수열을 이루는 함수가 미분가능이어도 극한 함수가 미분불가능 일 수도 있다.

• 예시

  구간 \([0, 1]\) 에서 정의된 함수 \(g_n(x) = x^n\) 에 대하여 \(0 \leq x < 1 \implies x^n \to 0\) 이고 \(x = 1 \implies x^n \to 1\) 이다. 따라서 다음과 같은 함수 \(g\) 에 대하여 점별로 \(g_n \to g\) 이다.

  \[ g(x) = \begin{cases} 0 & 0 \leq x < 1\\ 1 & x = 1 \\ \end{cases} \]

Uniform Convergence of Function Sequence✔

• 이는 어떤 \(N\) 을 적절히 택하면 모든 \(x \in A\) 에 대하여 \(|f_n(x) - f(x)| < \epsilon\) 이 성립하게 할 수 있다는 것이다.

• 점별수렴과 균등 수렴을 차이를 이해하기 위하여 점별수렴을 \(\epsilon , N, x\) 의 관계가 보이도록 재정의해보자.

  "\((f_n)\) 을 집합 \(A \subset \R\) 에서 정의된 함수로 이루어진 함수열이라 하자. 임의의 \(\epsilon > 0\) 와 \(x \in A\) 에 대하여 다음을 만족하게 하는 \(N \in \N\) 이 존재하면 함수열 \((f_n)\) 이 \(A\) 에서 극한 함수 \(f\) 로 점별 수렴한다고 한다."

  \[ n \geq N \implies |f_n(x) - f(x)| < \epsilon \]

  점별 수렴의 경우 \(N\) 이 \(x\) 에 의존적이지만, 균등 수렴의 경우 \(N\) 을 주어진 \(\epsilon\) 과 모든 \(x\) 에 대하여 독립적으로, 동일하게 설정할 수 있다. 균등 연속도 주어진 \(\delta\) 를 독립적으로 설정할 수 있다.

• 예시

  함수 \(g_n(x) = \displaystyle \frac{1}{n(1 + x^2)}\) 는 고정된 \(x \in \R\) 에 대하여 \(\lim g_n(x) = 0\) 이므로 함수 \(g(x) = 0\) 에 대하여 함수열 \((g_n)\) 이 \(g(x)\) 로 점별수렴한다.

  균등수렴 여부를 조사해보자. \(\forall x \in \R:1/(1+x^2) \leq 1\) 이므로 다음이 성립한다.

  \[ |g_n(x) - g(x)| = \left| \frac{1}{n(1+x^2)} - 0 \right| \leq \frac{1}{n} \]

  그러면 주어진 \(\epsilon > 0\) 에 대하여 \(x\) 에 의존하지 않는 \(\displaystyle N > 1/ \epsilon (\iff 1/N < \epsilon)\) 을 택하여 모든 \(x \in \R\) 에 대하여 다음을 성립시킬 수 있다.

  \[ n \geq N \implies |g_n(x) - g(x)| < \epsilon \]

  정의에 의하여 \(g_n\) 은 \(\R\) 에서 \(0\) 으로 균등수렴한다.

• 예시

  \(f_n(x) = (x^2 + nx)/n\) 은 \(\R\) 에서 \(f(x) = x\) 로 점별수렴하지만 균등수렴하지 않는다. 다음이 성립한다.

  \[ |f_n(x) - f(x)| = \left| \frac{x^2+nx}{n}-x \right| = \frac{x^2}{n} \]

  \(|f_n(x) - f(x) | < \epsilon\) 을 만족시키기 위하여 \(N\) 을 \(N > x^2/\epsilon (\iff x^2/N < \epsilon)\) 로 택해야 한다. 이는 \(x\) 에 의존적이므로 모든 \(x\) 에 동시에 적용되는 동일한 \(N\) 은 존재하지 않는다.

• 함수열 \((f_n)\) 이 균등수렴할 때 임의의 양수 \(\epsilon\) 에 대하여 극한함수 \(f\) 의 \(\epsilon\) 밴드를 잡으면 \(N \in \N\) 이 존재하여 \(n \geq N\) 일 때 각 \(f_n\) 들이 극한함수의 \(\epsilon\) 밴드 안에 완전히 포함된다.

  

  함수열 \((g_n)\) 이 균등수렴하지 않을 때 임의의 양수 \(\epsilon\) 에 대하여 극한함수 \(g\) 의 \(\epsilon\) 밴드를 잡으면 각 \(g_n\) 들이 극한함수의 \(\epsilon\) 밴드 안에 포함되지 않는다.

  

Cauchy Criterion for Uniform Convergence of Function Sequence✔

• 증명

Continuity of Limit Function✔

• 이 정리는 함수열의 극한 함수가 연속일 조건을 말해준다.

  점별수렴하는 함수열의 함수들이 연속이어도 극한 함수가 불연속일 수도 있었다. 그러나 이 정리는 균등수렴하는 함수열의 함수들이 연속이면 극한 함수도 연속임을 말해준다.

• 증명

  \(c \in A\) 를 고정하고 임의의 양수를 \(\epsilon\) 이라 하자. 함수열 \((f_n)\) 이 함수 \(f\) 로 균등수렴하므로 임의의 \(x \in A\) 에 대하여 다음을 만족시키는 \(N\) 을 잡을 수 있다.

  \[ |f_N(x) - f(x)| < \dfrac{\epsilon}{3} \]

  \(f_N\) 이 \(c \in A\) 에서 연속이므로 연속함수의 정의에 의하여 어떤 \(\delta >0\) 가 존재하여 다음을 성립시킨다.

  \[ |f_N(x) - f_N(c)| < \dfrac{\epsilon}{3} \]

  따라서 삼각부등식에 의하여 다음이 성립한다.

  \[ \begin{align}\begin{split} |f(x) - f(c)|&=|f(x) - f_N(x) + f_N(x) - f_N(c) + f_N(c) - f(c)| \\ &\leq |f(x) - f_N(x)| + |f_N(x) - f_N(c) |+ |f_N(c) - f(c)| \\ &< \epsilon/3 + \epsilon/3 + \epsilon/3 = \epsilon \\ \end{split}\end{align} \tag*{} \]

  따라서 \(f\) 는 \(c \in A\) 에서 연속이다. ■

Differentiable of Limit Function✔

• 이 정리는 점별수렴하는 미분가능한 함수열의 도함수열이 어떤 함수로 균등 수렴하면, 도함수열의 극한함수가 극한 함수의 도함수가 된다는 것을 말해준다.

• 하지만 사실은 도함수열 \((f'_n)\) 이 균등 수렴한다는 조건은 \((f_n)\) 이 균등 수렴한다는 사실을 내포하므로 각 점에서 \(f_n(x) \to f(x)\) 를 가정하지 않아도 된다. 다만 도함수가 같은 두 함수는 최대 상수만큼 차이가 나므로 \(f_n(x_0) \to f(x_0)\) 인 점 \(x_0\) 가 적어도 하나 존재한다는 것은 가정해야 한다. 이 사실은 정리 6.3.2 에서 정리된다.

• 증명

  임의의 양수를 \(\epsilon\) 으로 두고, 실수 \(c \in [a, b]\) 를 고정하자. \(f'(c)\) 가 존재하고 \(f'(c) = g(c)\) 임을 보이면 된다. 이때 \(f'(c) = \displaystyle \lim_{x \to c} \frac{f(x) - f(c)}{x - c}\) 이므로 다음을 만족시키는 \(\delta > 0\) 의 존재성을 보이면 된다.

  \[ 0 < |x - c| < \delta \implies \left| \frac{f(x) - f(c)}{x - c} - g(c) \right| < \epsilon \]

  ▲

  삼각부등식에 의하여 다음이 성립한다.

  \[ \begin{align}\begin{split} \left| \frac{f(x) - f(c)}{x - c} - g(c) \right|& \leq \left| \frac{f(x) - f(c)}{x - c} - \frac{f_n(x) - f_n(c)}{x - c} \right| \\ & \qquad + \left| \frac{f_n(x) - f_n(c)}{x - c} - f'_n(c) \right| + |f'_n(c) - g(c)| \\ \end{split}\end{align} \tag{1} \]

  도함수열 \((f'_n)\) 이 \(g\) 로 수렴하므로 다음을 성립하게 하는 \(N_1\) 이 존재한다.

  \[ m \geq N_1 \implies |f'_m(c) - g(c) | < \dfrac{\epsilon}{3} \tag{2} \]

  ▲

  \((f'_n)\) 이 균등수렴하므로 정리 6.2.5 에 의하여 다음을 성립하게 하는 \(N_2\) 가 존재한다.

  \[ m,n \geq N_2 \land x \in [a, b] \implies|f'_m(x) - f'_n(x)| < \dfrac{\epsilon}{3} \tag{3} \]

  \(N = \max \{N_1, N_2\}\) 로 두면 함수 \(f_N\) 은 \(c\) 에서 미분가능하므로 다음을 성립하게 하는 \(\delta > 0\) 가 존재한다.

  \[ 0 < |x - c| < \delta \implies \left| \frac{f_N(x) - f_N(c)}{x - c} - f'_N(c) \right| < \dfrac{\epsilon}{3} \tag{4} \]

  ▲

  \(0 < |x - c| < \delta\) 인 \(x\) 를 고정하고 와 \(m \geq N\) 에 대하여 구간 \([c, x]\) 에서 \(f_m - f_N\) 에 평균값 정리를 적용하면 다음을 만족하는 \(\alpha \in (c, x)\) 가 존재한다.

  \[ f'_m(\alpha) - f'_N(\alpha) = \dfrac{(f_m(x) - f_N(x)) - (f_m(c) - f_N(c))}{x-c} \]

  \((3)\) 에 의하여 \(|f'_m(\alpha) - f'_N(\alpha)| < \epsilon/3\) 이 성립하므로 다음이 성립한다.

  \[ \left| \dfrac{(f_m(x) - f_m(c)) - (f_N(x) - f_N(c))}{x-c} \right| < \dfrac{\epsilon}{3}\]

  \(f_m \to f\) 이므로 \(m \to \infty\) 일 때 극한과 부등식에 의하여 다음이 성립한다.

  \[ \left| \dfrac{(f(x) - f(c)) - (f_N(x) - f_N(c))}{x-c} \right| \leq \dfrac{\epsilon}{3} \tag{5} \]

  ▲

  \((2)\), \((4)\), \((5)\) 에 의하여 \((1)\) 은 다음과 같다.

  \[ \begin{align}\begin{split} \left| \frac{f(x) - f(c)}{x - c} - g(c) \right|& \leq \left| \frac{f(x) - f(c)}{x - c} - \frac{f_n(x) - f_n(c)}{x - c} \right| \\ & \qquad + \left| \frac{f_n(x) - f_n(c)}{x - c} - f'_n(c) \right| + |f'_n(c) - g(c)| \\ & < \epsilon/3+\epsilon/3+\epsilon/3=\epsilon \end{split}\end{align} \tag*{} \]

  ■

• 증명

  \(x \in [a, b]\) 가 일반성을 잃지 않고 \(x > x_0\) 라고 둘 수 있다. 각 \(f_n\) 들이 미분가능하므로 평균값 정리를 함수 \(f_n - f_m\) 에 대하여 구간 \([x_0 ,x]\) 에 적용하면 다음을 만족하는 \(\alpha \in [x_0, x]\) 가 존재한다.

  \[ (f_n(x) - f_m(x)) - (f_n(x_0) - f_m(x_0)) = (f'_n(\alpha) - f'_m(\alpha))(b - a) \]

  ▲

  임의의 양수를 \(\epsilon\) 으로 두자. 도함수열 \((f'_n)\) 이 \([a, b]\) 에서 균등수렴하므로 함수열의 균등 수렴의 코시 판정법에 의하여 다음을 만족하는 \(N_1\) 이 존재한다.

  \[ n, m \geq N_1 \land c \in [a, b] \implies |f'_n(c) - f'_m(c)| < \dfrac{\epsilon}{2(b - a)} \]

  그러면 \(b - a > 0\) 이므로 다음이 성립한다.

  \[ n, m \geq N_1 \implies |(f'_n(\alpha) - f'_m(\alpha))(b - a)| < \dfrac{\epsilon}{2(b - a)}(b - a) \]

  한편, 함수열 \((f_n(x_0))\) 이 수렴하므로 코시 수렴 판정법에 의하여 이는 코시 수열이고, 코시 수열의 정의에 의하여 다음을 만족시키는 \(N_2\) 가 존재한다.

  \[ n, m \geq N_2 \implies |f_n(x_0) - f_m(x_0)| < \dfrac{\epsilon}{2} \]

  ▲

  그러면 \(N = \max \{N_1, N_2\}\) 로 두면 삼각 부등식에 의하여 \(n, m \geq N\) 에 대하여 다음이 성립한다.

  \[ \begin{align}\begin{split} |f_n(x) - f_m(x)| & \leq |(f_n(x) - f_m(x)) - (f_n(x_0) - f_m(x_0))| + |f_n(x_0) - f_m(x_0)| \\ &=|(f'_n(\alpha) - f'_m(\alpha))(b-a)| + |f_n(x_0) - f_m(x_0)| \\ &< \dfrac{\epsilon}{2(b - a)}(b - a) + \dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon \end{split}\end{align} \tag*{} \]

  이 \(N\) 은 \(x\) 에 독립적이다. 따라서 함수열의 균등 수렴의 코시 판정법에 의하여 \((f_n)\) 은 \([a, b]\) 에서 균등 수렴한다. ■

• 정리 6.3.1 로부터 이어진 논증의 결론이 이 정리이고, 이 정리는 함수열의 극한 함수의 미분가능성의 조건을 말해준다.

• 이 정리는 정리 6.3.1 에 정리 6.3.2 를 적용하여 정리 6.3.1 보다 더 강한 정리를 얻어낸 것이다.

  정리 6.3.1 는 점별수렴하는 미분가능한 함수열의 도함수열이 어떤 함수로 균등 수렴하면, 도함수열의 극한함수가 극한 함수의 도함수가 된다는 것을 말해준다. 정리 6.3.2 는 도함수열 \((f'_n)\) 이 균등수렴하고, 어떤 점 \(x_0 \in [a, b]\) 가 존재하여 각 \(f_n(x_0)\) 이 수렴할 때 함수열 \((f_n)\) 이 균등수렴한다는 사실을 말해준다.

  따라서 정리 6.3.1 에서의 함수열 \((f_n)\) 이 점별수렴한다는 가정을 어떤 점 \(x_0 \in [a, b]\) 가 존재하여 각 \(f_n(x_0)\) 이 수렴한다는 가정으로 바꾼 것이다. 이는 강한 가정을 약한 가정으로 바꾼 것이다. 가정에 조건이 많을수록 정리를 적용할 수 있는 상황이 줄어들어서 쓸모없는 것이 되고, 가정이 약하면 정리는 범용적으로 적용할 수 있으므로 가치있는 것이 된다.

• 증명

  정리 6.3.1 과 정리 6.3.2 를 종합한 결과이다. ■

Function Series✔

• \(f_n\) 이 연속함수면 연속성과 사칙연산에 의하여 함수급수 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}f_n\) 의 부분합도 연속함수이다.

  \(f_n\) 이 미분가능하면 미분가능한 함수와 사칙연산에 의하여 함수급수 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}f_n\) 의 부분합도 미분가능하다.

Continuity of Function Series✔

• 정리 6.2.6는 함수열의 극한함수가 연속일 조건을 말해주고, 이 정리는 함수급수의 극한함수가 연속일 조건을 말해준다.

• 증명

  \(f_n\) 이 \(A\) 에서 연속이면 연속성과 사칙연산에 의하여 부분합 \(s_k = f_1 + f_2 + \dots + f_k\) 도 \(A\) 에서 연속이다. 부분합의 극한, 즉 함수급수 \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} s_k = \sum_{n=1}^{\infty}f_n\) 이 \(f\) 로 균등수렴하고 각 \(s_k\) 가 \(A\) 에서 연속이므로 정리 6.2.6이 성립하여 \(f\) 도 \(A\) 에서 연속이다. ■

Differentiable of Function Series✔

• 증명

  부분합 \(s_k = f_1 + f_2 + \dots + f_k\) 에 대하여 \(s_k'\) 가 \(A\) 에서 \(g\) 로 균등수렴하고, 어떤 점 \(x_0 \in [a,b ]\) 에서 각 \(s_k(x_0)\) 가 수렴하므로 정리 6.3.3 이 성립하여 \(\lim s_k = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)\) 이 미분가능한 함수 \(f\) 로 균등수렴하고, \(f' = g\) 이다. ■

Cauchy Criterion for Uniform Convergence of Function Series✔

• 증명

  부분합 \(s_k = f_1 + f_2 + \dots + f_k\) 에 정리 6.2.5 를 적용하면 바로 증명된다. ■

Weierstrass M-test✔

• 이 정리가 일반적으료 사용되는 균등수렴 판정법이다.

• 증명

  \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}M_n\) 이 수렴하므로 임의의 양수 \(\epsilon\) 에 대하여 다음을 만족하는 \(N\) 이 존재한다.

  \[ n > m \geq N \implies | M _{m+1} + M _{m+2} + \dots + M _{n}| < \epsilon \]

  그런데 다음이 성립하므로 정리 6.4.4 에 의하여 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}f_n\) 이 균등수렴한다.

  \[ |f _{m+1}(x) + f _{m+2}(x) + \dots + f_n(x)| \leq | M _{m+1} + M _{m+2} + \dots + M _{n}| < \epsilon \]

  ■

Power Series✔

• 다음과 같은 중심이 \(0\) 인 멱급수가 자주 사용된다.

  \[ \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^{n} = a_0 + a_1x + a_2x ^{2} + \dots \]

• 절대수렴 판정법에 의하여 무한급수가 절대수렴하면 수렴한다. 이 정리는 멱급수가 어떤 점 \(R\) 에서 수렴하면 \(|x| < |R|\) 인 모든 \(x\) 에서 수렴한다는 것을 말해준다. 따라서 멱급수의 수렴하는 점의 집합은 \(x = 0\) 을 중심으로 하는 유계구간이거나 \(\{0\}\) 이거나, \(\R\) 전체이다.

  수렴하는 점 집합이 유계 구간일 경우 부등식 \(|x| < |R|\) 에 등호가 없으므로 구간의 경계점에서의 수렴 여부는 불명확하다. 즉, 수렴 구간이 \((-R, R), [-R, R), (-R, R], [-R, R]\) 일 수 있다.

  이 \(R\) 을 멱급수의 수렴반지름(radius of convergence)라 하고, 수렴 구간이 \(\{0\}\) 이거나 \(\R\) 이면 \(R\) 을 \(0\) 또는 \(\infty\) 로 쓴다.

• 증명

  \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_nx_0 ^{n}\) 가 수렴하므로 정리 2.7.3 에 의하여 수열 \((a_nx_0 ^{n})\) 은 \(0\) 으로 수렴하고, 정리 2.3.2에 의하여 \((a_nx_0^n)\) 은 유계이다. 따라서 \(\forall n \in \N: |a_nx_0^n| \leq M\) 인 \(M>0\) 이 존재한다. \(x \in \R\) 에 대해 \(|x| < |x_0|\) 이면 다음이 성립한다.

  \[ |a_nx ^{n}| = |a_nx_0 ^{n}|\left| \frac{x}{x_0} \right| ^{n} \leq M \left| \frac{x}{x_0} \right| ^{n} \]

  다음은 공비가 \(\displaystyle \left| \frac{x}{x_0} \right| < 1\) 인 등비급수이므로 수렴한다.

  \[ \sum_{n=0}^{\infty}M \left| \frac{x}{x_0} \right| ^{n} \]

  비교판정법에 의하여 \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}|a_nx ^{n}|\) 은 수렴한다. 즉, \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_nx ^{n}\) 은 절대수렴한다. ■

Continuity of Power Series✔

• 증명

  \(M_n = |a_nx_0^n|\) 로 두면 가정에 의하여 \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}M_n\) 이 수렴한다. \(x \in [-c , c]\) 에 대하여 다음이 성립한다.

  \[ |a_nx^n| \leq |a_nx_0^n| = M_n \]

  바이어슈트라스 \(M\)-판정법에 의하여 \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\) 이 \([-c, c]\) 에서 균등 수렴한다. ■

• 증명

  \(s_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n\) 로 두면 가정에 의하여 \(|s_n| \leq A\) 이다. 부분합 공식에 의하여 다음이 성립한다.

  \[ \begin{align}\begin{split} \left| \sum_{k=1}^{n}a_kb_k \right| &= \left| s_nb _{n+1} + \sum_{k=1}^{n}s_k(b_k - b _{k+1}) \right| \\ &\leq Ab _{n+1} + \sum_{k=1}^{n}A(b_k - b _{k+1}) = Ab _{n+1} + (Ab_1 -Ab _{n+1}) = Ab_1 \\ \end{split}\end{align} \tag*{} \]

  ■

• 아벨의 극한 정리(Abel's Limit Theorem)이라고도 부르지만 이 정리가 너무 유명해져서 극한을 빼고 아벨 정리라고 부른다.

• 이 정리는 유한 수렴반경을 갖는 멱급수가 수렴 반경 끝점에서 수렴하면, 그곳에서의 멱급수의 연속성을 보장해준다.

• 증명

  먼저 \(g(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n = \sum_{n=0}^{\infty}(a_nR^n)\left( \frac{x}{R}^{n} \right)\) 이다. 임의의 양수 \(\epsilon\) 에 대하여 다음을 만족시키는 \(N\) 의 존재를 보이면 정리 6.4.4 에 의하여 증명이 끝난다.

  \[ n > m \geq N \land x \in [0, R] \implies \]
  \[ \left| (a _{m+1}R ^{m+1})\left( \frac{x}{R} \right)^{m+1} + (a _{m+2}R ^{m+2})\left( \frac{x}{R} \right)^{m+2} + \dots + (a _{n}R ^{n})\left( \frac{x}{R} \right)^{n} \right| < \epsilon \]

  \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_nR^n\) 이 수렴하므로 무한급수의 코시 수렴 판정법에 의하여 임의의 양수 \(\epsilon\) 에 대하여 다음을 만족시키는 \(N\) 이 존재한다.

  \[ n > m \geq N \implies |a _{m+1}R ^{m+1}+a _{m+2}R ^{m+2}+ \dots+a _{n}R ^{n}| < \dfrac{\epsilon }{2} \]

  \((x / R)^{m+j}\) 이 단조 감소하고, 급수 \(\sum_{j=1}^{\infty}a _{m+j}R ^{m+j}\) 의 부분합이 유계 \(\epsilon/2\) 를 가지고, \(x \in [0, R]\) 에 대하여 \(\left( \dfrac{x}{R} \right)^{m+1} \leq 1\) 이므로 보조정리 6.5.3 에 의하여 다음이 성립한다.

  \[ \left| (a _{m+1}R ^{m+1})\left( \frac{x}{R} \right)^{m+1} + (a _{m+2}R ^{m+2})\left( \frac{x}{R} \right)^{m+2} + \dots + (a _{n}R ^{n})\left( \frac{x}{R} \right)^{n} \right| \]
  \[\leq \dfrac{\epsilon}{2}\left( \frac{x}{R} \right)^{m+1} < \epsilon \]

  ■

• 이 정리와 정리 6.4.2 에 의하여 멱급수는 수렴하는 모든 지점에서 연속임을 알 수 있다.

  정리 6.5.2, 보조정리 6.5.3, 아벨정리의 결론이 이 정리이다.

• 증명

  문제 3.3-1에 의하여 콤팩트 집합 \(K\) 는 최댓값 \(x_1\) 와 최솟값 \(x_0\) 를 모두 포함하고, 가정에 의하여 \(x_1 \in A, x_0 \in A\) 이다.

  멱급수가 집합 \(A\) 에서 수렴하므로 아벨 정리에 의하여 구간 \([x_0, x_1]\) 에서 균등 수렴한다. 따라서 \(K\) 에서도 균등 수렴한다. ■

Differentiable of Power Series✔

• 정리 6.4.3

• 증명

  먼저 \(0 < s < 1\) 인 \(s\) 에 대한 \(ns ^{n-1}\) 이 모든 \(n \geq 1\) 에 대하여 유계임을 보이려 한다. \(a_n = ns ^{n-1}\) 로 두면 다음이 성립한다.

  \[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a _{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \dfrac{ns ^{n} + s ^{n}}{ns ^{n-1}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| s + \frac{1}{n}s \right| = s \]

  비율 판정법에 의하여 \(\sum a_n\) 은 수렴한다. 정리 2.7.3에 의하여 수열 \((ns ^{n-1})\) 은 \(0\) 으로 수렴한다. 따라서 이 수열은 모든 \(n \geq 1\)에 대하여 유계이다. ▲

  이제 \(\sum |na_nx ^{n-1}|\) 이 수렴함을 보이려 한다. 임의의 \(x \in (-R, R)\) 에 대하여 \(|x| < t < R\) 인 \(t\) 를 선택하자. 먼저 다음이 성립한다.

  \[ \sum_{n=1}^{\infty}|na_nx ^{n-1}| = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{t}\left( n \left| \frac{x}{t} \right|^{n-1} \right) |a_nt ^{n}| \]

  \(|x/t|<1\) 이므로 앞선 논의에 의하여 다음을 만족시키는 유계 \(L\) 이 존재한다.

  \[ \forall n \in \N: n \left| \frac{x}{t} \right| ^{n-1} \leq L \]

  이에 따라 다음이 성립한다.

  \[ \sum_{n=1}^{\infty}|na_nx ^{n-1}| = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{t}\left( n \left| \frac{x}{t} \right|^{n-1} \right) |a_nt ^{n}| \leq \frac{L}{t}\sum_{n=1}^{\infty}|a_nt ^{n}| \]

  \(t \in (-R, R)\) 이므로 가정에 의하여 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}|a_nt^n|\) 은 수렴한다. ★ 비교 판정법에 의하여 \(\sum na_nx ^{n-1}\) 은 절대수렴하고 절대수렴 판정법에 의하여 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}na_nx ^{n-1}\) 는 수렴한다. 그러면 정리 6.5.5 에 의하여 \((-R, R)\) 안의 콤팩트 집합에서 균등 수렴한다. ■

Properties of Power Series✔

• 지금까지의 논의의 결론이 이 정리이다.

• 이 정리는 멱급수를 직관적으로 이해하는 것을 허락해준다. 즉, 멱급수를 마치 다항함수처럼 받아들이는 것을 허락해준다. 수렴하는 구간에서 멱급수는 연속이고, 무한번 미분 가능하며, 도함수는 각 항을 미분하여 얻을 수 있다.

• 증명

  1:

  \(f\) 가 수렴하므로 정리 6.5.5에 의하여 \(f\) 는 균등 수렴한다. 정리 6.4.2 에 의하여 균등수렴하는 함수는 연속이다. ■

  2, 3:

  \(f\) 가 \(A\) 에서 수렴하므로 정리 6.5.6 에 의하여 \(f'\) 도 \(A\) 에서 수렴한다. 정리 6.5.5 에 의하여 \(f\) 와 \(f'\) 는 \((-R, R)\) 안의 콤팩트 집합에서 균등 수렴한다.

  \(f'\) 이 균등수렴하고 \(f\) 가 수렴하므로 정리 6.4.3이 성립하여 \(f\) 가 미분가능하고, 그 도함수를 3) 과 같이 구할 수 있다. ■

  4:

  미분한 급수도 멱급수이다. 정리 6.5.6 은 급수가 특정한 끝점에서 수렴하지 않을 수도 있지만 수렴반지름 자체는 불변함을 말해준다. 수학적 귀납법에 의하여 멱급수는 무한번 미분할 수 있다. ■

Taylor Series✔

• 이 정리는 중심 \(0\) 을 가지는 모든 멱급수의 계수를 일정한 규칙으로 결정할 수 있음을 말해준다.

  \[ f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots \]

  즉, 위와 같은 중심 \(0\) 을 가지는 모든 멱급수는 다음과 같다.

  \[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{f ^{(n)}(0)}{n!}x^n \]

• 수학자들은 \(\arctan (x)\) 같은 삼각함수나 \(\sqrt[]{1+x}\) 같은 함수들을 멱급수로 표현할 수 있는 방법을 알아냈다. 그런데 어떤 함수를 멱급수로 나타낼 수 있으면 정리 6.5.7에 의하여 다항함수처럼 다룰 수 있으므로 계산이 쉬워진다. 이로써 계산할 수 있는 함수의 종류가 많아진다.

  그렇다면 자연스럽게 "무한번 미분 가능한 성질 같이 미적분학에서 다루기 좋은 성질을 갖는 모든 함수를 멱급수로 나타내는 것이 가능한가?" 라는 질문이 생긴다. 또한 "만약 \(\sin (x)\) 를 무한번 미분가능한 다음과 같은 멱급수로 타나냈다면 그 계수 \(a_n\) 는 어떻게 찾아낼 수 있을까?" 라는 질문도 생긴다.

  \[ \sin (x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots \]

  이 정리는 무한번 미분가능하고 멱급수 전개를 가지는 함수의 멱급수 계수를 알려준다.

• 증명

  함수 \(f\) 를 미분해나가면 다음이 성립한다.

  \[ f ^{(1)}(x) = a_1 + 2a_2x + 3a_3x^2 + 4a_4x^3 \dots \]
  \[ f ^{(2)}(x) = 2a_2 + 2 \cdot 3a_3x + 3 \cdot 4 a_4x^2 \dots \]
  \[ f ^{(3)}(x) = 2 \cdot 3a_3 + 2 \cdot 3 \cdot 4a_4x \dots \]
  \[ \vdots \]
  \[ f ^{(n)}(x) = n! a_n + (n+1)!a _{n+1}x \dots \]

  따라서 \(a_n = \dfrac{f ^{(n)}(0)}{n!}\) 이고, 이 연산 과정이 정당함은 정리 6.5.7이 보장해준다. ■

• \(a = 0\) 일 때의 테일러 급수가 자주 사용된다.

• 예시

  \(\sin (x)\) 의 테일러 급수를 만들어보자. 정리 6.6.2 를 사용하면 \(\sin (x)\) 의 멱급수 계수는 다음과 같다.

  \[ a_0 = \sin (0) = 0 \]
  \[ a_1 = \cos (0) = 1 \]
  \[ a_2 = - \sin (0)/2! = 0 \]
  \[ a_3 = -\cos (0)/3! = -1/3! \]
  \[ \vdots \]

  이로써 다음을 얻는다.

  \[ x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \dfrac{x^7}{7!} + \dots \]

  이 급수가 \(\sin (x)\) 와 같다는 것을 증명하기 위해서는 아래의 정리 6.6.3 이 필요하다.

• 이렇게 멱급수 전개를 가지는 함수들을 쉽게 멱급수로 나타낼 수 있고, 정리 6.5.7 에 의하여 다항함수처럼 다룰 수 있어서 편하다. 그렇다면 그 역은 성립할까? 즉, \(a_n = \dfrac{f ^{(n)}(0)}{n!}\) 에 대한 멱급수

  \[ \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n \]

  가 \(f(x)\) 로 수렴하는가? 애초에 이 급수가 발산하지 않고 수렴하기는 할까? 만약 수렴한다면 정리 6.5.7에 의하여 그 극한함수가 무한번 미분가능하고, 원점에서의 도함수가 \(f\) 의 도함수와 같다. 그러면, 이 시점에서 테일러 급수가 원래의 함수와 다른 함수로 수렴하는지에 대한 여부를 밝히는 것이 중요해진다.

Lagrange's remainder theorem✔

• 이 정리는 테일러 급수가 원래의 함수와의 차이를 나타내는 오차함수를 쉽게 계산할 수 있도록 도와주고, 이로써 테일러 급수가 원래의 함수와 얼마나 다른 함수로 수렴하는지 판정할 수 있도록 해준다.

  \(S_N(x) \to f(x)\) 는 \(E_N(x) \to 0\) 와 동치이므로 테일러 급수가 원래의 함수로 수렴함을 보이는 것은 \(E_N(x) \to 0\) 을 보이는 것으로 귀결된다.

• 이 정리가 테일러 급수가 원래 함수로 수렴한다는 보장을 해주는 것이 아니다. 무한번 미분가능한 함수의 테일러 급수가 원래의 함수로 수렴하지 않는 경우도 있다.

• 예시

  \(\sin (x)\) 의 테일러 급수가 \(\sin (x)\) 와 같다는 사실을 증명해보자.

  가령 \([-2, 2]\) 에서 \(f ^{(N+1)}(c)\) 의 절댓값이 \(1\) 을 넘지 않으므로 \(x \in [-2, 2] \setminus \{0\}\) 에 대하여 \(|c| < |x|\) 인 점 \(c\) 가 존재하여 다음이 성립한다.

  \[ |E_N(x)| = \left| \dfrac{f ^{(N+1)}(c)}{(N + 1)!}x ^{N+1} \right| \leq \frac{1}{(N+1)!}2 ^{N+1} \]

  팩토리얼은 지수함수보다 훨씬 빠르게 증가하므로 함수열 \(E_N(x)\) 은 \([-2, 2]\) 에서 \(0\) 으로 균등 수렴한다. 이 \(2\) 를 임의의 \(R \in \R\) 로 바꾸어도 되므로 테일러 급수가 \([-R, R]\) 에서 \(\sin (x)\) 로 균등수렴한다고 할 수 있다.

• 증명

  \(S_N\) 의 계수는 \(0\) 부터 \(N\)계도함수까지 \(f\) 의 \(N\)계도함수와 같다. 즉, 모든 \(0 \leq n \leq N\) 에 대하여 \(f ^{(n)}(0) = S_N ^{(n)}(0)\) 이므로 다음이 성립한다.

  \[ \forall n \in \{0,1, \dots,N\}:E_N ^{(n)}(0) = f ^{(n)}(0) - S_N ^{(n)}(0) = 0 \]

  양수 \(x\) 에 대한 구간 \([0, x]\) 에서 \(E_N(x)\) 와 \(x ^{N+1}\) 에 대하여 코시 평균값 정리를 적용하면 다음을 만족시키는 점 \(x_1 \in (0, x)\) 가 존재한다.

  \[ \dfrac{E_N(x)}{x ^{N+1}} = \dfrac{E'_N(x_1)}{(N + 1)x_1^N} \]

  구간 \([0, x_1]\) 에서 함수 \(E'_N\) 와 \((N+1)x^N\) 에 대하여 코시 평균값 정리를 적용하면 다음을 만족하는 점 \(x_2 \in (0, x_1)\) 를 얻는다.

  \[ \dfrac{E_N(x)}{x ^{N+1}} = \dfrac{E'_N(x_1)}{(N + 1)x_1^N} = \dfrac{E''_N(x_2)}{(N+1)Nx_2 ^{N-1}} \]

  이 과정을 \(N+1\)번 반복하면 다음을 만족하는 점 \(x _{N+1}\in (0, x_N) \subset \dots \subset (0, x)\) 을 얻는다.

  \[ \dfrac{E_N(x)}{x ^{N+1}} = \dfrac{E ^{(N+1)} _N(x _{N+1})}{(N+1)!} \]

  \(c = x _{N+1}\) 로 두자. \(S_N ^{(N+1)}(x) = 0\) 이므로 \(E_N ^{(N+1)}(x) = f ^{(N+1)}(x)\) 이고 다음이 성립한다.

  \[ E_N(x) = \dfrac{f ^{(N+1)}(c)}{(N+1)!}x ^{N+1} \]

  ■

Power Series Expansion for Sine/Cosine✔

• 증명

  \(\sin (x)\) 의 테일러 급수를 만들어보자. 정리 6.6.2 를 사용하면 \(\sin (x)\) 의 멱급수 계수는 다음과 같다.

  \[ a_0 = \sin (0) = 0 \]
  \[ a_1 = \cos (0) = 1 \]
  \[ a_2 = - \sin (0)/2! = 0 \]
  \[ a_3 = -\cos (0)/3! = -1/3! \]
  \[ \vdots \]

  이로써 다음을 얻는다.

  \[ x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \dfrac{x^7}{7!} + \dots \]

  이 급수가 \(\sin (x)\) 와 같다는 것을 증명하기 위해서는 정리 6.6.3 이 필요하다. ▲

  가령 \([-2, 2]\) 에서 정리 6.6.3 의 오차함수의 \(f ^{(N+1)}(c)\) 의 절댓값이 \(1\) 을 넘지 않으므로 \(x \in [-2, 2] \setminus \{0\}\) 에 대하여 \(|c| < |x|\) 인 점 \(c\) 가 존재하여 다음이 성립한다.

  \[ |E_N(x)| = \left| \dfrac{f ^{(N+1)}(c)}{(N + 1)!}x ^{N+1} \right| \leq \frac{1}{(N+1)!}2 ^{N+1} \]

  팩토리얼은 지수함수보다 훨씬 빠르게 증가하므로 함수열 \(E_N(x)\) 은 \([-2, 2]\) 에서 \(0\) 으로 균등 수렴한다. 이 \(2\) 를 임의의 \(R \in \R\) 로 바꾸어도 되므로 테일러 급수가 \([-R, R]\) 에서 \(\sin (x)\) 로 균등수렴한다고 할 수 있다. ■

• 증명

• 증명

  사인함수의 멱급수 전개에 의하여 다음이 성립한다.

  \[ \dfrac{\sin x}{x} = 1 - \dfrac{x^2}{3!} + \dfrac{x^4}{5!} - \dfrac{x^6}{7!} + \dots \]

  이 멱급수는 \(\R\) 에서 수렴하므로 정리 6.5.7 에 의하여 다항함수(유한합)처럼 다룰 수 있다.

  이 멱급수의 해는 \(\sin x\) 의 \(0\) 이 아닌 근 \(x = \pm \pi , \pm 2 \pi , \pm 3 \pi , \dots\) 이다. 따라서 다음이 성립한다.

  \[ \begin{align}\begin{split} \dfrac{\sin x}{x} &= 1 - \dfrac{x^2}{3!} + \dfrac{x^4}{5!} - \dfrac{x^6}{7!} + \dots \\ &= \left( 1 - \dfrac{x}{\pi } \right)\left( 1 + \dfrac{x}{\pi } \right)\left( 1 - \frac{x}{2\pi} \right)\left( 1 + \frac{x}{2\pi} \right)\left( 1 - \frac{x}{3\pi} \right)\left( 1 + \frac{x}{3\pi} \right)\dots \\ &=\left( 1 - \dfrac{x^2}{\pi ^2} \right)\left( 1-\frac{x^2}{4\pi^2} \right)\left( 1 - \frac{x^2}{9\pi^2} \right)\dots \\ &= 1 + \left( - \frac{1}{\pi^2} - \frac{1}{4\pi^2} - \frac{1}{9\pi^2} - \dots \right) x ^{2} + \left( \frac{1}{4\pi^4} + \frac{1}{9\pi^4} + \dots \right) x ^{4} + \dots \end{split}\end{align} \tag*{} \]

  \(x^2\) 의 계수에 의하여 다음이 성립한다.

  \[ - \frac{1}{3!} = - \frac{1}{\pi^2} - \frac{1}{4\pi^2} - \frac{1}{9\pi^2} - \dots \]

  이 식에 \(-\pi ^2\) 를 곱하면 다음이 성립한다.

  \[ \therefore \dfrac{\pi ^2}{6} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \dots \tag*{■}\]

Analytic Function✔

• 위에서 살펴보았듯이 사인함수와 코사인함수는 해석함수이다.

The Weierstrass Approximation Theorem✔

• 이 정리는 닫힌 구간에서 정의된 연속함수를 어떤 다항함수로 균등하게 근사시킬 수 있다는 것을 말해준다.

• 바이어슈트라스 근사 정리는 페예르 정리의 따름정리이다.

• 증명

Interpolation✔

• Interpolation(보간)이란 주어진 점들을 지나가는 함수를 찾는 과정이다.

• 예시

  가령 다음과 같은 점들을 지나는 다각형 함수가 있는 것은 자명하다.

  \[ (0, 1), \left( \frac{1}{4}, \dfrac{\sqrt[]{3}}{2} \right), \left( \frac{3}{4}, \frac{1}{2} \right), (1,0) \]

  한편, 함수 \(f(x) = \sqrt[]{1 - x}\) 가 위 점들을 모두 지나가는데, 위 점들을 지나는 다각형 함수가 함수 \(f\) 를 근사했다.

  

  정리 6.7.3 은 이러한 다각형 함수가 연속함수에 항상 존재한다는 것을 보장해준다.

• 이 정리는 연속함수를 다각형 함수로 균등하게 근사시킬 수 있다는 것을 말해준다.

• 증명