Derivative

Derivative✔

• $\Delta x = b - a$ 와 $\Delta y = f(b) - f(a)$ 로 두고 다음과 같이 표기할 수도 있다. 이때 $\Delta$ 는 "~의 변화"를 뜻한다.

  $$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} = \frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}$$

• 평균변화율이란 $x \in X$ 가 $a$ 에서 $b$ 까지 변할 때의 $y \in Y$ 가 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 만큼 변한다는 의미이다.

• 평균변화율은 기하학적으로 $y = f(x)$ 위의 두 점 $(a,f(a)),(b,f(b))$ 를 지나는 직선의 기울기이다.

• 예시

  함수 $f(x) = x^2 + 2$ 에 대하여 $x$ 값이 $0$ 에서 $2$ 로 변할 때 평균변화율을 다음과 같다.

  $$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(2) - f(0)}{2 - 0} = \frac{(2^2+2)-2}{2} = 2$$

  이는 $x$ 가 $1$ 변할 때 $y$ 가 평균적으로 $2$ 변했다는 뜻이다.

• $\Delta x = x - c$ 로 두고 다음과 같이 표기할 수도 있다. 이때 $\Delta$ 는 "~의 변화"를 뜻한다.

  $$f'(c) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(\Delta x + c) - f(c)}{\Delta x}$$

  일반적으로 $\Delta x = h$ 로 더욱 간단히 표기하여 다음과 같이 표기하는 것이 일반적이다.

  $$f'(c) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h + c) - f(c)}{h}$$

• $c$ 에서 미분가능한 함수 $f$ 에 대한 $f'(c)$ 는 $\dfrac{df}{dx}(c)$ 라고도 표기한다. $dx$ 란 $x$ 의 무한히 작은 변화량을 뜻한다.

• 함수 $y = f(x)$ 의 $x$ 에 대한 미분은 변수 $x$ 가 변할 때 변수 $y$ 가 변하는 변화율을 측정하는 도구이다. 따라서 이 경우 미분은 그래프의 각 지점에서의 기울기를 의미한다.

  

  위와 같은 선형 함수의 경우 $x$ 가 변할 때 변수 $y$ 가 변하는 변화율이 일정하다. 그래서 이 함수의 미분계수는 상수로 일정하다. 위 그림에서 선형 함수 $y = f(x) = mx + b$ 의 기울기는 다음과 같이 표현된다.

  $$m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$$

  "$\Delta x$" 라는 표현은 "$x$에서의 변화" 라고 읽으면 된다.

  만약 그래프가 선형이 아닐 경우 각각의 지점에서 $\Delta x$ 가 $0$ 으로 수렴할 때의 $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ 를 미분값으로 구하게 된다.

  

  위 그림은 $x$ 가 $x + h$ 까지 변할 때의 평균변화율을 측정한다. 이때 $\Delta x = x + h - x = h$ 이다.

  

  그러나 위 그림은 $h \to 0$ 로 보내서 $\Delta x$ 가 $0$ 로 수렴할 때의 순간변화율을 측정한다. 이것이 미분계수가 된다.

• 예시

  $f(x) = x ^{n}$ 의 $c \in \R$ 에서 미분계수를 구해보자. 미분계수의 정의에 의하여 다음이 성립한다.

  $$\begin{align}\begin{split} f'(c) = \lim_{x \to c} \dfrac{x ^{n} - c ^{n}}{x - c}&= \lim_{x \to c} \dfrac{(x - c)(x ^{n-1} + c x ^{n-2} + \dots + c ^{n-1})}{x - c} \\ &=\lim_{x \to c} (x ^{n-1} + c x ^{n-2} + \dots + c ^{n-1}) = n c ^{n-1} \\ \end{split}\end{align} \tag*{}$$

• 예시

  $g(x) = |x|$ 의 $c = 0$ 의 미분계수는 $g'(0) = \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{|x| }{x}$ 인데 우극한과 좌극한이 각각 $+1$ 과 $-1$ 로 서로 다르므로 정리 4.6.3 에 의하여 미분불가능하다.

• $y - x = \Delta x$ 로 두고 다음과 같이 표기할 수 있다.

  $$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(\Delta x + x) - f(x)}{\Delta x}$$

  이때 $\Delta x = h$ 로 간단히 표현해서 다음과 같이 편하게 표기하는 것이 일반적이다.

  $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h + x) - f(x)}{h}$$

• 도함수를 구하는 과정인 미분(differentiation)을 정의역에서 미분가능한 함수 집합을 정의역으로 갖고, 공역을 함수 집합으로 갖는 연산자 $D$ 로 정의할 수 있다. 그러면 미분가능한 함수 $f$ 에 대하여 $D(f) = f'$ 로 쓸 수 있다.

• 도함수를 미분이라는 용어로 사용하면 derivative 이고, 도함수를 구하는 과정 자체를 미분이라는 용어로 사용하면 differentiation 이다. 영어에서는 이렇게 derivative 와 differentiation 을 구별하지만 한글에서는 미분이라는 용어가 다양하게 사용되니 주의해야 한다.

• 함수 $y = f(x)$ 를 미분할 때 수학자들마다 다양한 표기법을 사용했다.

• 라이프니츠 표기법

  $y = f(x)$ 를 $x$ 에 대하여 미분할 때 다음과 같이 표기한다. $x$ 가 변할 때($dx$) $y$ 가 변하는($dy$) 변화율($dy/dx$)을 표현한 것이다. $dx$ 를 "$x$ 의 무한히 극미한 변화량" 으로 읽으면 된다. 한 없이 $0$ 에 가까워지는 $\Delta x$ 를 $dx$ 로 표현한다고 보면 된다. 그래서 $\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{dy}{dx}$ 로 표현하는 것이다.

  $$\frac{dy}{dx}, \quad \frac{df}{dx}, \quad \frac{d}{dx}f$$

  이계도함수는 다음과 같이 표기한다.

  $$\frac{d}{dx}\bigg (\frac{dy}{dx} \bigg ) = \dfrac{d ^{2}y}{dx ^{2}}$$

  $n$계도 함수는 다음과 같이 표기한다.

  $$\dfrac{d ^{n}y}{dx ^{n}}, \quad \dfrac{d ^{n} f}{dx ^{n}}, \quad \dfrac{d ^{n}}{dx ^{n}}f$$

  라이프니츠의 표기법에서 특정한 점 $x = a$ 에서의 미분계수는 다음과 같이 표기한다.

  $$\dfrac{dy}{dx}\bigg |_{x = a} = \frac{dy}{dx}(a)$$

• 라그랑주 표기법(prime notation)

  라그랑주는 함수 $f$ 의 미분을 $f'$ 로 표기했다. 고차 미분은 다음과 같이 표기했다.

  $$(f')', \quad (f'')' = f'''$$

  이 표기법은 프라임 기호($'$)를 여러번 쓸 수 없어서 $f^{(n)}$ 로 발전했다. 가령 4번 미분하면 $f^{(4)}$ 로 표기한다.

• 오일러 표기법

  오일러는 미분 연산자 $D$ 를 함수 $f$ 에 적용한다는 의미로 $f$ 의 도함수를 $Df$ 로 썼다. $n$계도 함수는 $D ^{n}f$ 로 표기한다.

  $y = f(x)$ 에서 독립변수 $x$ 에 $y$ 가 의존하면 독립변수 $x$ 를 표기하기 위하여 $D _{x}y$ 와 같이 표기했다. 그러나 이 경우 변수가 $x$ 밖에 없는 일변수함수인 자명한 상황이기 때문에 $x$ 를 생략하여 $Dy$ 또는 $Df(x)$ 로 표기한다.

Differentiable and Continuity✔

• 함수가 연속이라고 해서 미분가능한 것은 아니다. 다음과 같이 $y = |x|$ 는 연속이지만 $0$ 에서 미분불가능하다.

  

  그러나 이 정리는 미분가능이면 연속임을 말해준다.

• 증명

  $g$ 가 $c$ 에서 미분가능하면 극한값 $\displaystyle g'(c) = \lim_{x \to c} \frac{g(x) - g(c)}{x - c}$ 가 존재한다. 이를 기반으로 $\displaystyle \lim_{x \to c} g(x) = g(c)$ 를 증명하면 정리 4.3.2에 의하여 증명이 끝난다. 함수의 극한과 사칙연산에 의하여 다음이 성립한다.

  $$\lim_{x \to c} (g(x) -g(c)) = \lim_{x \to c} \bigg (\frac{g(x) - g(c)}{x - c} \bigg )(x - c) = g'(c) \cdot 0 = 0$$

  이는 $\lim_{x \to c} g(x) = g(c)$ 을 뜻한다. ■

Differentiability classes✔

• $C ^{k}$ 집합은 $C ^{k+1}$ 집합을 진부분집합으로 가진다. 즉, 다음이 성립한다.

  $$C ^{0} \supsetneq C ^{1} \supsetneq \dots \supsetneq C ^{k} \supsetneq C ^{k+1} \supsetneq \dots \supsetneq C ^{\infty } \supsetneq C ^{\omega }$$

• 미분가능한 함수는 다음과 같이 국소적으로 선형근사 가능하다.

  

Combinations of Differentiable Functions✔

• 곱함수를 $fg$ 라고 표기하고 합성함수를 $f \circ g$ 라고 표기한다. 3) 의 $(fg)'(c)$ 는 합성함수의 미분법이 아니라 곱의 미분법이다.

• 증명

  1:

  함수의 극한과 사칙연산에 의하여 다음이 성립한다.

  $$\begin{align}\begin{split} (f + g)'(c)&= \lim_{x \to c} \dfrac{(f + g)(x) - (f + g)(c)}{x - c} \\ &= \lim_{x \to c} \dfrac{f(x) - f(c) + g(x) - g(c)}{x - c} \\ &=\lim_{x \to c} \dfrac{f(x) - f(c)}{x - c} + \lim_{x \to c} \dfrac{ g(x) - g(c)}{x - c} = f'(c) + g'(c) \end{split}\end{align} \tag*{}$$

  ■

  2:

  함수의 극한과 사칙연산에 의하여 쉽게 증명할 수 있다.

  3:

  먼저 다음이 성립한다.

  $$\begin{align}\begin{split} \dfrac{(fg)(x) - (fg)(c)}{x - c} & = \dfrac{f(x)g(x) - f(x)g(c) + f(x)g(c) - f(c)g(c)}{x - c} \\ &= f(x)\frac{g(x)-g(c)}{x-c} + g(c) \frac{f(x) - f(c)}{x - c} \\ \end{split}\end{align} \tag*{}$$

  $f$ 는 $c$ 에서 미분가능하므로 정리 5.2.3 에 의하여 $c$ 에서 연속이고 정리 4.3.2 에 의하여 $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = f(c)$ 이다. 그러면 함수의 극한과 사칙연산에 의하여 다음이 성립한다.

  $$\lim_{x \to c} \dfrac{(fg)(x) - (fg)(c)}{x - c} = f(c)g'(c) + f'(c)g(c)$$

  ■

  4:

  먼저 다음이 성립한다.

  $$\begin{align}\begin{split} \dfrac{(f/g)(x) - (f/g)(c)}{x - c}&= \frac{1}{x- c}\bigg (\frac{f(x)}{g(x)} - \frac{f(c)}{g(c)} \bigg ) = \frac{1}{x-c}\bigg (\frac{f(x)g(c) - f(c)g(x)}{g(x)g(c)} \bigg ) \\ &= \frac{1}{x - c}\bigg ( \frac{f(x)g(c) - f(c)g(c) + f(c)g(c) - f(c)g(x)}{g(x)g(c)}\bigg ) \\ &= \frac{1}{g(x)g(c)}\bigg ( g(c)\frac{f(x)-f(c)}{x-c} - f(c) \frac{g(x) - g(c)}{x-c} \bigg ) \end{split}\end{align} \tag*{}$$

  따라서 다음이 성립한다.

  $$\bigg (\frac{f}{g} \bigg )'(c) = \frac{1}{[g(c)]^{2}}(g(c)f'(c) - f(c)g'(c))$$

  ■

Chain Rule✔

• 증명

  합성함수 $g \circ f$ 의 미분계수를 다음과 같이 구할 수 있다.

  $$(g \circ f)'(c) = \lim_{x \to c} \dfrac{g(f(x)) - g(f(c))}{x - c}$$
  $$= \lim_{x \to c} \frac{g(f(x)) - g(f(c))}{f(x) - f(c)} \cdot \frac{f(x) - f(c)}{x - c} = g'(f(c)) \cdot f'(c)$$

  그러나 임의의 근방 $V_{\epsilon}(c)$ 에 속하는 $x \in V_{\epsilon}(c)$ 에 대하여 $f(x) = f(c)$ 이면 분모가 $0$ 이 된다. 그러면 극한값이 정의되지 않고, 결국 미분계수도 존재하지 않아 미분 불가능하다는 것인가? 그렇지 않다. 이 문제를 해결해보자. ▲

  일단 $g$ 가 $f(c)$ 에서 미분가능하므로 다음 극한값이 존재한다.

  $$g'(f(c)) = \lim_{y \to f(c)} \frac{g(y) - g(f(c))}{y - f(c)}$$

  이때 다음과 같은 함수를 정의하자.

  $$d(y) = \dfrac{g(y) - g(f(c))}{y - f(c)} \tag{1}$$

  그러면 $\displaystyle \lim_{y \to f(c)} d(y) = g'(f(c))$ 이다. $d(y)$ 에서 $y = f(c)$ 이면 분모가 $0$ 이 되므로 정의되지 않지만, $y = f(c)$ 인 경우에는 $d(y)$ 를 $(1)$ 로 정의하는 것이 아니라 $d(f(c)) = g'(f(c))$ 로 정의하자.

  그러면 $\displaystyle \lim_{y \to f(c)} d(y) = g'(f(c)) = d(f(c))$ 이므로 정리 4.3.2에 의하여 $d(y)$ 는 $f(c)$ 에서 연속이다. ▲

  $y \neq f(c)$ 일 때 $(1)$ 이 성립하는데 $(1)$ 은 다음과 같이 쓸 수 있다.

  $$g(y) - g(f(c)) = d(y)(y - f(c)) \tag{2}$$

  그런데 이 식은 $y = f(c)$ 일 때에도 성립한다. 따라서 $(2)$ 는 임의의 $x \in A$ 에 대한 $y = f(x)$ 에 대하여서도 성립한다.

  그러면 $x \neq c$ 인 $x$ 에 대하여 $(2)$ 를 $x - c$ 로 나누면 다음이 성립한다.

  $$\frac{g(f(x)) - g(f(c))}{x - c} = d(f(x)) \cdot \frac{f(x) - f(c)}{x - c}$$

  여기에 $x \to c$ 의 극한을 취하면 함수의 극한과 사칙연산에 의하여 다음이 성립한다.

  $$\begin{align}\begin{split} (g \circ f)'(c) &= \lim_{x \to c} \frac{g(f(x)) - g(f(c))}{x - c} \\ &= \lim_{x \to c} \bigg \{ d(f(x)) \cdot \frac{f(x) - f(c)}{x - c} \bigg \}\\ &= \lim_{y \to f(c)} d(y) \cdot \lim_{x \to c} \frac{f(x) - f(c)}{x - c} = g'(f(c)) \cdot f'(c)\\ \end{split}\end{align} \tag*{}$$

  즉, $g \circ f$ 의 $c$ 에서의 미분계수가 존재하므로 $c$ 에서 미분가능하고, 그 값은 정리의 결론대로 증명되었다. ■

Interior Extremum Theorem✔

• 이 정리는 미분가능한 함수의 최댓값과 최솟값은 미분계수가 $0$ 이라는 것을 말해준다.

  

• 증명

  1:

  $c$ 가 열린 구간 $(a, b)$ 에 속해 있으므로 모든 $n \in \N$ 에 대하여 $x_n < c < y_n$ 이면서 $c$ 로 수렴하는 수열 $(x_n), (y_n) \subset (a, b)$ 이 존재한다. $f(c)$ 가 최대값이므로 모든 $n$ 에 대하여 $f(y_n) - f(c) \leq 0$ 이고 극한과 부등식에 의하여 다음이 성립한다.

  $$f'(c) = \lim_{n \to \infty} \frac{f(y_n) - f(c)}{y_n - c} \leq 0$$

  같은 논리로 $x_n$ 에 대한 부등식도 취할 수 있는데 $(x_n)$ 에 대해서는 $x_n - c \leq 0$ 이므로 다음이 성립한다.

  $$f'(c) = \lim_{n \to \infty} \frac{f(x_n) - f(c)}{x_n - c} \geq 0$$

  따라서 $f'(c) = 0$ 이다. ■

  2:

  1) 을 증명한 논리와 같은 논리로 쉽게 증명할 수 있다. ■

Darboux's theorem✔

• 이 정리는 도함수는 사잇값 성질을 만족한다는 것을 말해준다. 만약 도함수가 서로 다른 값 $f'(a)$ 와 $f'(b)$ 를 가지면 그 사이 모든 값을 함수값으로 가진다. 이로써 도함수는 불연속일 수도 있지만 사잇값 성질은 반드시 만족한다.

• 그런데 연속함수는 반드시 사잇값 성질을 만족한다. 그러므로 모든 연속함수는 어떤 함수의 도함수이다. 이로써 도함수 집합은 적어도 연속함수를 포함하지만, 도함수 집합을 간결하게 특정하는 일은 지금도 성공적이지 못하다.

• 증명

  $[a, b]$ 에서 새로운 함수 $g(x) = f(x) - \alpha x$ 를 정의하면 $g$ 는 $[a, b]$ 에서 미분가능하고 $g'(x) = f'(x) - \alpha$ 이다. 그러면 $g'(a) < 0 < g'(b)$ 일 때 어떤 $c \in (a, b)$ 에 대하여 $g'(c) = 0$ 임을 보이면 된다. ▲

  먼저 $g(x) < g(a)$ 를 만족하는 $x \in (a, b)$ 가 존재함을 보이자. $a$ 로 수렴하는 수열 $(x_n) \subset (a, b)$ 에 대하여 다음이 성립한다.

  $$g'(a) = \lim_{n \to \infty} \dfrac{g(x_n) - g(a)}{x_n - a} < 0$$

  분모는 반드시 양수다. 분자가 음수가 아니면 극한과 부등식에 의하여 모순이므로 분자는 음수이다. 따라서 $a$ 와 가까운 어떤 점 $x \in (a, b)$ 가 존재하여 $g(a) > g(x)$ 를 만족시킨다. 마찬가지의 이유로 $b$ 와 가까운 어떤 점 $y \in (a, b)$ 가 존재하여 $g(y) < g(b)$ 를 만족시킨다. ▲

  이제 어떤 점 $c \in (a, b)$ 가 $g'(c) = 0$ 를 만족시킨다는 것을 보이자. 먼저 닫힌 구간은 콤팩트하므로 $[a, b]$ 은 콤팩트하다. 또한 $g$ 가 $[a, b]$ 에서 미분가능하므로 $g$ 는 $[a, b]$ 에서 연속이다. 그러면 최대-최소 정리에 의하여 $g$ 는 어떤 점 $c \in (a, b)$ 에서 최소값을 갖는다.

  위의 논의에 의하여 $g(a)$ 와 $g(b)$ 는 항상 어떤 점보다 크므로 둘 다 최솟값이 아니다. 그러면 페르마의 정리에 의하여 $g'(c) = 0$ 이고, $c \in (a, b)$ 이며, 다음이 성립한다.

  $$g'(c) = 0 \implies f'(c) = \alpha$$

  ■

Mean Value Theorem✔

Rolle's theorem✔

• 롤의 정리는 평균값 정리의 특수한 경우이다.

• 롤의 정리의 기하학적 의미는 다음과 같이 구간의 최솟값과 최댓값이 같을 때 미분계수가 $0$ 인 점 $c$ 가 존재한다는 것이다.

  

• 증명

  닫힌 구간은 콤팩트하므로 $[a, b]$ 은 콤팩트하다. 또한 $f$ 가 $[a, b]$ 에서 연속이므로 최대-최소 정리에 의하여 $f$ 는 최댓값과 최솟값을 갖는다.

  $a$ 와 $b$ 가 최댓값과 최솟값이 되면 $f$ 는 상수함수가 되고 $(a, b)$ 전체에서 $f'(x) = 0$ 이 된다. 이 경우 $c$ 의 존재성은 자명하다. ▲

  $f$ 가 $(a, b)$ 내부의 어떤 점 $c$ 에서 최댓값 또는 최솟값을 가지면 페르마의 정리에 의하여 $f'(c) = 0$ 이다. ■

Mean Value Theorem✔

• 즉, 평균값 정리는 구간 $[a, b]$ 에서 미분가능한 함수 $f$ 에 대한 양 끝점 $(a, f(a)), (b, f(b))$ 를 잇는 직선의 기울기와 기울기가 같은 접선의 존재성을 보장해준다. 다음 그림은 평균값 정리의 기하학적 의미를 바로 보여준다.

  

• 이 정리에서 $f(a) = f(b)$ 인 경우가 롤의 정리이다.

• 증명

  두 점 $(a, f(a)), (b, f(b))$ 를 지나는 직선의 방정식은 다음과 같다.

  $$y = \bigg (\frac{f(b) - f(a)}{b - a} \bigg )(x - a) + f(a)$$

  이 직선과 $f(x)$ 의 차이를 나타내는 함수를 다음과 같이 정의하자.

  $$d(x) = f(x) - \bigg \{ \bigg (\frac{f(b) - f(a)}{b - a} \bigg )(x - a) + f(a) \bigg \}$$

  연속성과 사칙연산에 의하여 $d$ 는 $[a, b]$ 에서 연속이다. 또한 $d$ 는 $(a, b)$ 에서 미분가능하고 $d(a) = 0 = d(b)$ 이다. 그러면 롤의 정리에 의하여 $d'(c) = 0$ 인 점 $c \in (a, b)$ 가 존재한다. 이때 $d'(x)$ 는 다음과 같다.

  $$d'(x) = f'(x) - \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

  $d'(c) = 0 = f'(c) - \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$ 이므로 증명이 끝났다. ■

• 이 정리는 모든 미분계수가 $0$ 이면 그 함수는 상수함수임을 말해준다. 상수함수의 도함수가 $0$ 임은 자명하지만, 이 정리는 그 역을 증명한 것이다.

• 증명

  $x < y$ 인 임의의 $x, y \in A$ 에 대하여 구간 $[x ,y]$ 에서 $g$ 에 대하여 평균값 정리를 적용하면 다음을 만족하는 $c \in A$ 가 존재한다.

  $$g'(c) = \dfrac{g(y) - g(x)}{y - x}$$

  $g'(c) = 0$ 이므로 $g(y) = g(x)$ 이다. 이 값을 $k$ 라고 하자. $x, y$ 를 임의로 선택했으므로 $\forall x \in A : g(x) = k$ 이다. ■

• 증명

  함수 $h(x) = f(x) - g(x)$ 를 정의하면 $\forall x \in A : h'(x) = 0$ 이다. 따름정리 5.3.3 에 의하여 $h(x) = k = f(x) - g(x)$ 이다. ■

Generalized Mean Value Theorem✔

• GMVT 라고도 부른다.

• 증명

  함수 $h$ 를 다음과 같이 정의하자.

  $$h(x) = [f(b) - f(a)]g(x) - [g(b) - g(a)]f(x)$$

  연속성과 사칙연산에 의하여 $h$ 는 $[a, b]$ 에서 연속이고, 정리 5.2.4 에 의하여 $h$ 는 $(a, b)$ 에서 미분가능하다. 또한 다음이 성립한다.

  $$h(a) = g(a)f(b) - f(a)g(b) = h(b)$$

  그러면 롤의 정리에 의하여 $h'(c) = 0$ 인 $c \in (a, b)$ 가 존재한다. $h'(x)$ 에 $c$ 를 대입하면 다음이 성립한다.

  $$h'(x) = [f(b) - f(a)]g'(x) - [g(b) - g(a)]f'(x) \implies$$
  $$[f(b) - f(a)]g'(c) - [g(b) - g(a)]f'(c) = 0$$

  ■