Continuity

Continuity✔

• 직관적으로 펜을 떼지 않고 그래프를 그릴 수 있으면 연속함수라 한다.

• 이 정의는 고등학교 때 배웠던 연속의 정의를 엄밀하게 바꾼 것이다. 즉, 다음이 성립하면 함수 $f$ 가 $a$ 에서 연속이라고 한다.

  1. $f(a)$ 가 정의된다.

  2. $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)$ 가 존재한다.

  3. $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

• 함수의 극한과 정의가 비슷하다. 극한의 정의에서 첫번째 부등식은

  $$0 < |x - c| < \delta$$

  였다. 이는 $x \neq c \land |x - c| < \delta$ 를 한번에 표현한 것이다. 반면 연속의 정의에서는 $x = c$ 일 때도 성립해야 한다.

  함수의 극한에서는 점 $c$ 가 $A$ 의 극한점이고, 따라서 $c \not\in A$ 이어도 되었다. 그러나 함수의 연속에서는 점 $c$ 가 반드시 $f$ 의 정의역에 있어야 한다.

• 예시(https://math.stackexchange.com/questions/1924770/why-is-y-1-x-a-continuous-function-but-not-y-1-x2)

  

  $\R \setminus \{0\}$ 에서 정의된 함수 $1/x$ 의 그래프를 보면 $0$ 에서 불연속인 것 같다. 그러나 연속성은 정의역이 존재하는 곳에서만 정의되기 때문에 $1/x$ 는 연속함수이다.

  같은 이유로

  $$f(x) = \begin{cases} -1 & x < 0\\ +1 & x \geq 0\\ \end{cases}$$

  는 불연속함수이지만

  $$f(x) = \begin{cases} -1 &x<0\\ +1 &x > 0\\ \end{cases}$$

  은 연속함수이다.

• 만약 $c$ 가 $A$ 의 고립점이면 $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x)$ 는 정의되지 않는다. 그러나 $c$ 가 고립점이어도 $f$ 는 $c$ 에서 연속일 수 있다.

• 증명

  1:

  단지 절댓값 표현을 위상수학의 근방으로 표현한 것이다. ■

  2:

  $x_n = c$ 인 경우까지 포함하면 정리 4.2.3 과 같은 방식으로 동치임을 보일 수 있다. ■

  3:

  $f$ 가 $c$ 에서 연속임을 가정하고 $c$가 $A$ 의 극한점이라는 조건을 추가하면 정의에 의하여 자연스럽게 $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = f(c)$ 가 성립한다.

  역으로 $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = f(c)$ 가 성립하면 자명하게 $x = c \implies f(c) \in V_{\epsilon}(f(c))$ 이므로 $f$ 는 $c$ 에서 연속이다. ■

• 증명

  $c$ 가 $A$ 의 고립점이면 $c$ 의 $\delta$ 근방 $V_{\delta}(c)$ 는 $A$ 와 오직 점 $c$ 에서 교집합을 갖는다. 따라서 $x \in V_{\delta}(c) \cap A \implies x = c$ 이다. 이는 $f(x) = f(c) \in V_{\epsilon}(f(c))$ 을 의미한다. 정리 4.3.2(1) 에 의하여 $f$ 는 고립점 $c$ 에서 연속이다. ■

Criterion for Discontinuity✔

• 정리 4.3.2(2) 는 함수가 어떤 점에서 연속이 아님을 보이는데 유용하다.

• 증명

  단지 정리 4.3.2(2) 을 부정한 것 뿐이다. ■

Algebraic Continuity Theorem✔

• 증명

  따름정리 4.2.4 와 정리 4.3.2 로 쉽게 증명할 수 있다. ■

• 예시

  $g(x) = x$ 는 임의의 양수 $\epsilon$ 와 $c \in \R$ 에 대하여 $\delta =\epsilon$ 으로 택하면 다음이 성립하므로 모든 $\R$ 에서 연속이다.

  $$|x - c| < \delta \implies |g(x) - c| < \epsilon$$

  상수함수 $f(x) = k$ 가 연속임을 보이는 것은 더 쉽다.

  그러면 정리에 의하여 임의의 다항함수 $p(x) = a_0 + a_1x + \dots + a_nx ^{n}$ 는 $\R$ 에서 연속이다.

Composition of Continuous Functions✔

• 증명

  $g$ 가 $f(c) \in B$ 에서 연속이므로 임의의 양수 $\epsilon$ 와 $y \in f(A)$ 에 대하여 다음을 만족하는 양수 $\alpha$ 가 항상 존재한다.

  $$|y - f(c)| < \alpha \implies |g(y) - g(f(c))| < \epsilon$$

  $f$ 가 $c \in A$ 에서 연속이므로 이 $\alpha$ 와 $x \in A$ 에 대하여 다음을 만족하는 양수 $\delta$ 가 항상 존재한다.

  $$|x - c| < \delta \implies |f(x) - f(c)| < \alpha$$

  즉, 임의의 양수 $\epsilon$ 에 대하여 다음을 만족하는 양수 $\delta$ 가 항상 존재한다.

  $$|x - c| < \delta \implies |g(f(x)) - g(f(c))| < \epsilon$$

  그러므로 $g \circ f$ 는 $c$ 에서 연속이다. ■

Continuous Functions on Compact Sets✔

• 증명

  임의의 수열 $(y_n) \subset f(K)$ 에 대하여 각 $n \in \N$ 마다 $f(x_n) = y_n$ 인 $x_n \in K$ 가 존재한다. 그러면 수열 $(x_n) \subset K$ 은 $K$ 가 콤팩트하므로 수열하는 부분수열 $(x _{n_k})$ 을 가지며, 극한값 $\lim x _{n_k} = x$ 은 $x \in K$ 이다.

  $f$ 가 $A$ 에서 연속이므로 $x \in K \subset A$ 에서도 연속이다. 따라서 정리 4.3.2(2) 에 의하여 $(x _{n_k}) \to x$ 에 대하여 $(y _{n_k}) \to f(x)$ 이다. 또한 $x \in K \implies f(x) \in f(K)$ 이므로 $f(K)$ 는 콤팩트하다. ■

Extreme Value Theorem✔

• 이 정리는 콤팩트 집합 $K$ 에서 정의된 연속함수 $f$ 에 대하여 다음을 만족하는 $x_0, x_1 \in K$ 의 존재성을 보장한다.

  $$\forall x \in K: f(x_0) \leq f(x) \leq f(x_1)$$

• 증명

  정리 4.4.1 에 의하여 연속함수는 콤팩트 집합을 보존하므로 $f(K)$ 는 콤팩트하다. 콤팩트 집합에는 상한이 존재하며, 문제 3.3-1 에 의하여 $\sup f(K) \in f(K)$ 이다. 따라서 $\sup f(K) = f(x_1)$ 인 $x_1 \in K$ 이 존재한다. 최솟값이 존재한다는 것도 같은 논리로 쉽게 보일 수 있다. ■

Uniformly Continuous✔

• $f$ 가 $A$ 에서 연속이라는 것은 $f$ 가 각 $c \in A$ 와 임의의 양수 $\epsilon$ 에 대하여

  $$|x - c| < \delta \implies |f(x) - f(c)| < \epsilon$$

  을 만족하게 하는 $\delta > 0$ 가 존재한다는 것이다. 이때 $\delta$ 가 $c$ 에 의존할 수도 있고, $c$ 와 독립적일 수도 있다.

• $c$ 와 독립적인 $\delta$

  함수 $f(x) = 3x + 1$ 가 $\R$ 에서 연속임을 증명하자. 이는 $f$ 가 임의의 점 $c \in \R$ 에서 연속임을 보이는 것이다. 임의의 양수 $\epsilon$ 에 대하여

  $$|x - c| < \delta \implies |f(x) - f(c)| < \epsilon$$

  을 만족하게 하는 $\delta$ 의 존재성을 보이면 된다. $|f(x) - f(c)| = |3x + 1 -3c - 1| = 3|x - c|$ 이므로 $\delta = \epsilon /3$ 으로 두면 다음이 성립한다.

  $$|x - c|<\delta \implies |f(x) - f(c)| = 3|x - c| < 3 \cdot \dfrac{\epsilon }{3} = \epsilon$$

• $c$ 에 의존적인 $\delta$

  $g(x) = x ^{2}$ 가 $\R$ 에서 연속임을 증명하자. 임의의 양수 $\epsilon$ 와 각 $c \in \R$ 에 대하여 다음을 성립시키는 $\delta$ 가 항상 존재한다는 것을 보이면 된다.

  $$0 < |x-c| < \delta \implies |g(x) - g(c)| < \epsilon$$

  $|g(x) - g(c)| = |x + c||x - c|$ 인데 $x$ 가 $c$ 로 다가가는 극한이므로 $|x - c|$ 는 임의로 작게 만들 수 있다. 따라서 $|x - c|$ 는 걱정할 필요가 없다.

  $c$ 를 중심으로 하는 $\delta$-근방의 반지름이 $\delta = 1$ 보다 크지 않는 한 다음이 성립한다.

  $$\forall x \in V_{\delta}(c) : |x + c| \leq |x| + |c| \leq (|c| + 1) + |c| = 2|c| + 1$$

  따라서 $\sup |x + c| = 2|c| + 1$ 이다. 그러면 $\delta = \min \{1, \epsilon /2|c| + 1\}$ 에 대하여 다음이 성립한다.

  $$0 < |x - c| < \delta \implies |x ^{2} - c ^{2}| = |x + c||x - c| < \bigg (\dfrac{\epsilon }{2|c| + 1} \bigg )(2|c| + 1) = \epsilon$$

  따라서 $g$ 는 $\R$ 에서 연속이다.

  위 예시에서 $c$ 에 의존적인 $\delta = \min \{1, \epsilon /2|c| + 1\}$ 를 살펴보았다. 사실상 $1$ 은 너무 크므로 임의의 양수 $\epsilon$ 에 대하여 $\delta = \dfrac{\epsilon }{2|c| + 1}$ 로 정의된다고 봐도 된다. 이는 $c$ 가 커질수록 $\delta$ 를 작게 선택해야 함을 의미한다.

  실제로 다음과 같은 $g(x) = x ^{2}$ 에 대하여 고정된 $\epsilon$ 에 대하여 $c$ 가 커질수록 $\delta$ 를 점점 더 작게 택해야만 한다.

  

  균등 연속이란 $\delta$ 가 $c$ 와 무관하게 동일한 값으로 선택되어도 연속임을 보일 수 있다는 성질이다. 다음과 같은 함수 $1/x$ 와 $\sqrt[]{x}$ 에서는

  

• 참고 : 논의영역 $\Bbb{D}$ 와 명제 $P(x)$ 에 대하여 다음이 성립한다.

  $$\neg (\forall x \in \Bbb{D} )[P(x)] \equiv (\exists x \in \Bbb{D} )(\neg P(x))$$
  $$\neg (\exists x \in \Bbb{D} )[P(x)] \equiv (\forall x \in \Bbb{D} )(\neg P(x))$$

• 증명

  먼저 $f$ 가 균등 연속이 아님을 가정하자.

  정의 4.4.4 균등 연속의 부정은 다음과 같다.

  $$\exists \epsilon_0 > 0, \forall \delta > 0, \exists x, y \in A : (|x - y| < \delta \land |f(x) - f(y) \geq \epsilon _0)$$

  즉, $\delta > 0$ 를 어떻게 선택하든 어떤 $\epsilon _0 > 0$ 과 $x, y$ 가 존재하여 $|x - y| < \delta, |f(x) - f(y)| \geq \epsilon_0$ 을 만족한다는 것이다.

  그러면 임의의 $n \in \N$ 에 대하여 $\delta _n = 1/n$ 로 두면 $|x_n - y_n| < 1/n, |f(x_n) - f(y_n)| \geq \epsilon _0$ 를 만족하는 $\epsilon _0 > 0, x_n, y_n$ 가 존재한다. 이 두 수열 $(x_n)$ 과 $(y_n)$ 이 정리에서 말하는 수열이다. ▲

  역으로 $\epsilon _0$ 와 두 수열 $(x_n), (y_n)$ 를 가정하면 $\epsilon _0$ 에 대한 균등 연속을 만족하게 하는 $\delta$ 가 존재하지 않음을 쉽게 보일 수 있다. ■

Uniform Continuity Theorem✔

• $g(x) = x ^{2}$ 가 $\R$ 에서 균등 연속이 아닌 이유는 $x$ 가 커질수록 $\delta$ 가 계속 작아지기 때문이었다. 그러나 $g$ 는 유계집합 $[-10, 10]$ 에서는 균등 연속이다. 사실 일반적으로 $g$ 가 $\R$ 의 임의의 유계집합 $A$ 에서 균등연속임을 보일 수 있다.

  그러나 유계인 정의역에서 연속인 함수가 반드시 균등 연속이라는 보장은 없다. 가령 다음과 같은 $\sin 1/x$ 함수는 $(0, 1)$ 에서 연속이지만 균등 연속은 아니다.

  

  하지만 이 정리는 콤팩트한 정의역에서 연속인 함수는 반드시 균등 연속임을 보장해준다.

• 증명

  $f: K \to \R$ 가 콤팩트 집합 $K \subset \R$ 에서 연속인데도 $K$ 에서 균등 연속이 아니라고 해보자. 그러면 정리 4.4.5 에 의하여 어떤 $\epsilon _0 > 0$ 에 대하여 다음을 만족하는 수열 $(x_n), (y_n) \subset K$ 이 존재한다.

  $$\lim |x_n - y_n| = 0 \land |f(x_n) - f(y_n)| \geq \epsilon _0$$

  $K$ 는 콤팩트하므로 수열 $(x_n)$ 는 수렴하는 부분수열 $(x _{n_k})$ 를 가지며, 정리 3.3.4 에 의하여 콤팩트 집합은 닫혀있으므로 $\lim x _{n_k} = x \in K$ 이다. 같은 이유로 $(y_n)$ 의 수렴하는 부분수열을 만들 수 있다. 그러나 $(y_n)$ 의 항에서 $(x _{n_k})$ 의 $n_k$ 에 대한 부분수열 $(y _{n_k})$ 를 만들면 어떻게 되나 보자.

  $\lim |x_n - y_n| = 0$ 라는 조건은 다음을 만족하는 $N$ 이 존재한다는 것이다.

  $$n \geq N \implies ||x_n - y_n| - 0| < \epsilon$$
  $$\iff n \geq N \implies |y_n - x_n| < \epsilon$$
  $$\iff n \geq N \implies |(y_n - x_n) - 0| < \epsilon$$
  $$\iff \lim_{n \to \infty} (y_n - x_n) = 0$$

  즉, 수열 $(x_n)$ 와 $(y_n)$ 의 아래첨자를 똑같이 유지한채 극한으로 보내면 극한값 $0$ 를 얻는다. 따라서 극한과 사칙연산 에 의하여 다음이 성립한다.

  $$\lim y _{n_k} = \lim ((y _{n_k} - x _{n_k}) + x _{n_k}) = 0 + x$$

  즉, $(x _{n_k})$ 와 $(y _{n_k})$ 이 모두 $x \in K$ 로 수렴한다. $f$ 가 $x$ 에서 연속이므로 정리 4.3.2(3) 에 의하여 $\lim f(x _{n_k}) = f(x), \lim f(y _{n_k}) = f(x)$ 이고, 다음이 성립한다.

  $$\lim (f(x _{n_k}) - f(y _{n_k})) = 0$$

  그러나 임의의 $n \in \N$ 에 대하여 $|f(x_n) - f(y_n) \geq \epsilon _0$ 을 만족해야 하므로 모순이다. 따라서 $f$ 는 $K$ 에서 균등 연속이다. ■

Intermediate Value Theorem✔

• 이 정리는 닫힌 구간 $[a, b]$ 에서 연속함수 $f$ 는 다음과 같이 $f(a)$ 와 $f(b)$ 사이에 있는 모든 값을 함수값으로 가진다는 것을 말해준다.

  

• 정리 4.5.2 을 사용한 증명

  $[a, b]$ 가 연결되어 있으므로 정리 4.5.2 에 의하여 $f([a, b])$ 도 연결되어 있다. $f(a) \in f([a, b])$ 이고 $f(b) \in f([a, b])$ 이므로 정리 3.4.7 에 의하여 $L \in f([a, b])$ 이다. 따라서 $L = f(c)$ 인 $c \in (a, b)$ 가 존재한다. ■

• 사잇값 정리는 보통 근의 존재성을 증명하는데 사용된다. 가령 $f(x) = x ^{2}-2$ 가 $f(1) = -1$ 이고 $f(2) = 2$ 이므로 $f(c) = 0$ 인 점 $c \in (1, 2)$ 가 존재한다. 그런데 $c = \sqrt[]{2}$ 이므로 이는 사잇값 정리로 $\sqrt[]{2}$ 의 존재성을 증명한 것이 된다.

  그런데 $\sqrt[]{2}$ 의 존재성은 완비성 공리로 실수를 구성하는 과정에서 증명된다. 이는 사잇값 정리와 완비성 공리에 관계가 있음을 의미한다.

• 완비성 공리를 사용한 증명

  잠시 $L = 0$ 으로 두고 $f(a) < 0 < f(b)$ 라 하자. 그리고 $f(c) = 0$ 를 만족하는 $c \in (a, b)$ 가 존재함을 보이자.

  $$K = \{x \in [a, b] : f(x) \leq 0\}$$

  위와 같이 정의된 $K$ 는 $b$ 에 의하여 위로 유계이고 $a \in K$ 이므로 $K \neq \varnothing$ 이다. 따라서 완비성 공리에 의하여 $\sup K = c$ 가 존재한다.

  

  수론 정리 2.3.1, 수론 정리 2.4.2에 의하여 다음 중 오직 한 경우만 성립한다.

  $$f(c) > 0, f(c) < 0, f(c) = 0$$

  $f(c) > 0$ 인 경우 $\epsilon _0 = f(c)$ 로 둘 수 있다. $f$ 가 연속이므로 정리 4.3.2 에 의하여 다음을 만족하게 하는 $\delta _0 > 0$ 가 존재한다.

  $$x \in V_{\delta_0}(c) \implies f(x) \in V_{\epsilon_0}(f(c))$$

  $V_{\epsilon_0}(f(c)) = (f(c) - \epsilon_0, f(c) + \epsilon _0) = (0, 2f(c))$ 이므로 모든 $x \in V_{\delta_0}(c)$ 에 대하여 $f(x) > 0$ 이고, 이에 따라 $x \not\in K$ 이다. 그러므로 $c - \delta _0$ 는 $c$ 보다 작은 $K$ 의 상계가 된다. 이는 $c$ 가 최소상계라는 것에 모순이다. 따라서 $f(c) > 0$ 일 수 없다. ▲

  $f(c) < 0$ 을 가정하면 $x \in V_{\delta_1}(c) \implies f(x) < 0$ 을 만족하게 하는 근방 $V_{\delta_1}(c)$ 가 존재한다. 그러나 이를테면 $c + \delta _1 / 2$ 이 $K$ 이 포함된다. 이는 $c$ 가 $K$ 상계라는 사실에 모순이다. 즉, $f(c) < 0$ 일 수 없다. ▲

  즉, $f(c) = 0$ 이다. 이는 사잇값 정리를 $L = 0$ 일 때 증명한 것이 된다. 이것을 일반화시켜서 사잇값 정리를 일반적으로 증명하는 것은 쉽다. 사잇값 $L$ 과 $f(c) = L$ 를 만족하는 함수 $f(x)$ 에 대하여 $h(x) = f(x) - L$ 을 정의하면 위와 똑같은 증명을 $h(x)$ 에 적용할 수 있다. ■

• 축소구간성질을 사용한 증명

  잠시 $L = 0$ 으로 두고 $f(a) < 0 < f(b)$ 라 하자. $I_0 = [a, b]$ 라 두고 구간의 중점 $z = \dfrac{a+b}{2}$ 를 정의하자. $f(z) \geq 0$ 일 때 $a_1 = a, b_1 = z$ 로 두면 $f(z) < 0$ 일 때 $a_1 = z, b_1 = b$ 로 두어 구간 $I_1 = [a_1, b_1]$ 을 정의하자. 그러면 $f(a_1) < 0$ 이고 $f(b_1) \geq 0$ 이다.

  이 방법으로 닫힌구간열 $I_n$ 을 만들면 축소구간성질 에 의하여 $\displaystyle c \in \bigcap_{n=1}^{\infty}I_n$ 이 존재한다. 닫힌구간열의 길이는 $0$ 으로 수렴하므로 수열 $(a_n), (b_n)$ 모두 $c$ 로 수렴한다.

  $f$ 가 $c$ 에서 수렴하므로 정리 4.3.2 에 의하여 $\lim f(a_n) = f(c)$ 인데 모든 $n$ 에 대하여 $f(a_n) < 0$ 이므로 극한과 부등식 에 의하여 $f(c) \leq 0$ 이다. 또한 $f(c) = \lim f(b_n)$ 인데 모든 $n$ 에 대하여 $f(b_n) \geq 0$ 이므로 $f(c) \geq 0$ 이다. 따라서 $f(c) = 0$ 이다. ▲

  이는 $L = 0$ 일 때의 사잇값 정리를 증명한 것이다. 이 논리대로 일반적인 경우의 사잇값 정리를 증명하는 것은 쉽다. ■

• 이 정리는 연속함수가 연결집합을 보존한다는 것을 말해준다.

• 증명

  $f(E) = A \cup B$ 을 만족하는 공집합이 아닌 서로소 집합 $A, B$ 를 선택할 수 있다. 정리 3.4.6 에 의하여 $A, B$ 둘 중 하나에 포함되는 수열의 극한값이 다른 하나에 포함됨을 증명하면 된다.

  다음과 같이 $A, B$ 의 원상 $C, D$ 를 정의하자.

  $$C = \{x \in E : f(x) \in A\}$$
  $$D = \{x \in E : f(x) \in B\}$$

  함수의 정의 에 의하여 $A, B$ 가 공집합이 아니므로 $C, D$ 도 공집합이 아니다. 또한 함수의 정의에 의하여 정의역의 원소는 유일한 함수값을 가진다. 따라서 $A, B$ 가 서로소이므로 $C, D$ 도 서로소이다. 또한 $C, D$ 가 $A, B$ 의 원상이므로 $f(E) = A \cup B$ 에서 $E = C \cup D$ 이다.

  $E$ 가 연결집합이면 정리 3.4.6 에 의하여 $C, D$ 둘 중 하나에 포함되는 수열 $(x_n)$ 이 존재하여 극한값 $x = \lim x_n$ 이 다른 하나에 포함된다.

  $f$ 는 $x$ 에서 연속이므로 정리 4.3.2(3)에 의하여 $\lim f(x_n) = f(x)$ 이다. 따라서 $f(x_n)$ 은 수렴하는 수열이고, $f(x_n)$ 은 $A, B$ 둘 중 하나에 포함되며, 극한값 $f(x)$ 는 다른 하나에 포함된다. ■

Intermediate Value Property✔

• 이 정의를 사용하면 정리 4.5.1 사잇값 정리를 다음과 같이 말할 수 있다.

  연속함수는 사잇값 성질을 가진다.

• 그렇다면 사잇값 정리의 역은 성립할까? 즉, 함수가 사잇값 성질을 가지면 연속함수 인가? 그렇지 않다.

  • 증명

    함수 $g(x) = \begin{cases} \sin (1/x) &x \neq 0\\ 0 & x = 0\\ \end{cases}$ 는 $[0, 1]$ 에서 사잇값 성질을 가지지만 $x = 0$ 에서 불연속이다.

  그러나 단조함수가 사잇값 성질을 가지면 연속함수이다.

Sets of Discontinuity✔

Monotone Function✔

Classification of Discontinuity✔

• 다음은 제거 가능함 불연속의 예시이다.

  

• 다음은 비약 불연속점의 예시이다.

  

• 다음은 본질적 불연속점의 예시이다.

  

  위 그래프는 다음 함수로 그린 것이며 $x_0 = 1$ 에서 본질적으로 불연속이다.

  $$f(x) = \begin{cases} \sin \frac{5}{x - 1} & x < 1\\ 0 & x = 1\\ \frac{1}{x-1} & x > 1\\ \end{cases}$$

• 임의의 함수의 불연속점을 밝히는 것은 약간 까다롭지만, 이렇게 단조함수일 때는 불연속점들이 비약 불연속점 뿐이다.

• 증명