Topology in R

Open and Closed Sets✔

• $V_{\epsilon}(a)$ 은 중심이 $a$ 이고 길이가 $\epsilon$ 인 열린구간 $(a-\epsilon ,a+\epsilon )$ 이다.

Open Set✔

• 예시

  $\R$ 은 자명하게 열린 집합이다.

  공집합 $\varnothing$ 은 가정이 성립하지 않으므로 공진리에 의하여 $\varnothing$ 도 열린집합이다.

  열린구간 $(c, d)$ 에서 임의의 $x \in (c, d)$ 에 대하여 $\epsilon = \min \{|x-c|, |x-d|\}$ 를 택하면 $V_{\epsilon}(x) \subset (c, d)$ 이므로 $(c, d)$ 은 열린집합이다.

• 증명

  1:

  열린 집합 모임 $\mathcal{O} = \{O _{\lambda } : \lambda \in \Lambda \}$ 에 대하여 $O = \bigcup_{}^{}\mathcal{O}$ 라 하자. 임의의 $a \in O$ 에 대하여 $V_{\epsilon}(a) \subset O$ 인 $V_{\epsilon}(a)$ 을 찾으면 증명이 끝난다. $a$ 는 어떤 열린집합 $O _{\lambda '}$ 의 원소이다. 따라서 $V_{\epsilon}(a) \subset O _{\lambda '}$ 이 존재한다. $O _{\lambda '} \subset O$ 이므로 $V_{\epsilon}(a) \subset O$ 이다. ■

  2:

  유한개의 열린 집합 모임 $\{O_1, O_2, \dots, O_N\}$ 에 대하여 $a \in \displaystyle \bigcap_{k=1}^{N}O_k$ 라고 하면 각 $1 \leq k \leq N$ 마다 $V_{\epsilon_k}(a) \subset O_k$ 인 $V_{\epsilon_k}(a)$ 가 존재한다. $\epsilon = \min \{\epsilon _1, \epsilon _2, \dots, \epsilon _N\}$ 로 두면 $\forall k : V_{\epsilon}(a)\subset V_{\epsilon_k}(a)$ 이다. 따라서 $V_{\epsilon}(a) \subset \displaystyle \bigcap_{k=1}^{N}O_k$ 이다. ■

Limit Point✔

• 정리 3.2.5 는 $A$ 의 극한점이 $A$ 의 원소로 만든 수열을 극한으로 보낸 지점임을 말해준다.

• 예시

  열린구간 $(0, 2) = \{x \in \R : 0 < x < 2\}$ 은 극한점 $0$ 과 $2$ 를 갖는다.

  닫힌구간 $[0, 2] = \{x \in \R : 0 \leq x \leq 2\}$ 도 극한점 $0$ 과 $2$ 를 갖는다.

• 조건 $a_n \neq x$ 이 있는 이유가 뭘까? $a_n = x$ 일 경우 점 $x \in A$ 에 대하여 상수 수열 $(x, x, x, \dots)$ 의 극한값이 $x$ 가 되기 때문에 이렇게 자명한 상황을 피하기 위해서이다.

• 증명

  $x$ 의 $A$ 의 극한점이라고 가정하자. $x$의 모든 근방은 $x$ 가 아닌 다른 점에서 $A$ 와 교집합을 가진다. 따라서 각 $n \in \N$ 에 대하여 $a_n \neq x$ 이면서 다음을 만족하는 점이 존재한다.

  $$a_n \in V_{1/n}(x) \cap A$$

  이제 임의의 양수 $\epsilon$ 에 대하여 $1/N < \epsilon$ 인 $N$ 을 택하면 모든 $n \geq N$ 에 대하여 $|a_n - x| < \epsilon$ 이다. ▲

  $\forall n \in \N: a_n \neq x \land a_n \in A$ 인 수열 $(a_n)$ 에 대하여 $\lim a_n = x$ 임을 가정하자. $x$ 의 임의의 근방 $V_{\epsilon}(x)$ 에 대하여 수렴의 정의에 의하여 충분히 큰 $N$ 에 대하여 $a_N \in V_{\epsilon}(x)$ 인 항 $a_N$ 이 존재한다. 따라서 $x$ 는 $A$ 의 극한점이다. ■

Isolated Point✔

• 극한점이 아닌 점 $a \in A$ 를 $A$ 의 고립점이라 한다. 즉, 고립점 $a$ 에서는 $a$ 의 어떤 근방이 오직 $a$ 만을 포함한다.

• 고립점은 $A$ 의 원소여야 하지만 $A$ 의 극한점은 $A$ 에 포함되어 있지 않을 수도 있다.

  가령 열린구간 $A = (-a, a)$ 의 끝점 $a$ 는 $A$ 에 포함되어 있지 않지만, $a$ 의 모든 근방과 집합 $A$ 가 $a$ 와 다른 점에서 교집합을 갖는다.

• 예시

  집합 $S = \{0\} \cup [1,2]$ 는 고립점 $0$ 을 갖는다.

• 예시

  집합 $A = \bigg \{\dfrac{1}{n} : n \in \N \bigg \}$ 의 모든 점이 고립점임을 보이자. $1/n \in A$ 에 대하여 $\epsilon = 1/n - 1/(n+1)$ 을 정의하면 $1/n$ 의 $\epsilon$ 근방은 다음과 같다.

  $$V_{\epsilon}(1/n) = \bigg (\frac{1}{n} - \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1}, \frac{1}{n} + \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \bigg ) = \bigg (\frac{1}{n+1}, \frac{n + 2}{n(n+1)} \bigg )$$

  이 근방의 우측 끝점은 다음과 같다.

  $$\frac{n+2}{n(n+1)} - \frac{1}{n-1} = \frac{n ^{2} + n - 2 - n(n + 1)}{n(n+1)(n-1)} = \frac{-2}{n(n+1)(n-1)} = - \frac{2}{n(n^2-1)}$$

  즉, $n>2$ 일 때 $\dfrac{n+2}{n(n+1)} < \dfrac{1}{n-1}$ 이다. 따라서 $n > 2$ 일 때 $V_{\epsilon}(1/n) \cap A = \bigg \{\dfrac{1}{n} \bigg \}$ 이다. $n = 1$ 일 때는 $V_{\epsilon}(1) = \bigg (\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2} \bigg )$ 이므로 $V_{\epsilon}(1) \cap A = \{1\}$ 이다. 따라서 다음이 성립한다.

  $$V_{\epsilon}(1/n) \cap A = \bigg \{\frac{1}{n} \bigg \}$$

  그러므로 $A$ 의 모든 점은 고립점이다.

  한편 $A$ 는 극한점 $0$ 을 갖는다. $0$ 을 중심으로 하는 모든 근방이 $A$ 의 점을 포함하기 때문이다. $0 \not\in A$ 이므로 $A$ 는 닫힌 집합이 아니다. 닫힌 집합 $F = A \cap \{0\}$ 은 $A$ 의 폐포이다.

Closed Set✔

• 즉, 닫힌 집합이란 집합 내의 원소로 이루어진 수열이 수렴할 때 수열의 극한을 포함하는 집합이다.

• 수학에서 닫힌(closed) 이라는 용어는 보통 집합의 원소에 대한 연산 결과가 여전히 집합에 포함되어 있다는 의미로 사용된다. 선형대수학이 관심을 갖는 주제인 벡터공간은 덧셈과 스칼라 곱에 닫힌 집합이다. 해석학이 관심을 갖는 연산이란 극한이다.

  그래서 닫힌 집합이란 그 집합의 원소로 수열을 만들어서 극한으로 보내도 여전히 그 집합 안에 속해있다는 관점에서 "극한에 대하여 닫혀있다" 라는 뜻이다.

• 증명

  닫힌구간 $[c,d]$ 의 임의의 극한점 $x$ 에 대하여 정리 3.2.5 에 의하여 $\lim x_n = x$ 인 수열 $(x_n) \subset [c,d]$ 가 존재한다.

  $c \leq x_n \leq d$ 이므로 극한과 부등식 에 의하여 $c \leq x \leq d$ 이다. 따라서 닫힌구간 $[c, d]$ 는 닫힌 집합이다. ■

• 증명

• 증명

  임의의 $y \in \R$ 에 대한 어떤 근방 $V_{\epsilon}(y) = (y - \epsilon ,y + \epsilon )$ 에 대하여 유리수의 조밀성에 의하여 $r \in V_{\epsilon}(y)$ 인 유리수 $r \in \Bbb{Q}$ 가 존재한다. 따라서 $y$ 는 $\Bbb{Q}$ 의 극한점이다. 즉, $\Bbb{Q}$ 의 극한점 집합이 곧 $\R$ 이 된다.

  그러면 정리 3.2.5 에 의하여 임의의 실수 $y \in \R$ 에 대하여 $y$ 로 수렴하는 유리수열이 존재한다. ■

Closure✔

• 예시

  정리 3.2.10 에 의하여 $\overline{\Bbb{Q}} = \R$ 이다.

  열린구간 $A = (a, b)$ 에 대하여 $\overline{A} = [a, b]$ 이다. $A$ 가 닫힌구간이면 $A = \overline{A}$ 이다.

• 증명

  1:

  $x$ 가 $L$ 의 극한점이라고 가정하고, $x \in L$ 임을 보이자. 즉, $x$ 가 $A$ 의 극한점임을 보이는 것이다.

  $x$ 의 임의의 근방 $V_{\epsilon}(x)$ 은 극한점의 정의에 의하여 $l \neq x$ 인 $l \in L$ 에서 $L$ 과 교집합을 갖는다. 이제 $V_{\epsilon'}(l) \subset V_{\epsilon}(x)$ 이 되게 하는 충분히 작은 $\epsilon '>0$ 을 택할 수 있다.

  $l \in L$ 이므로 $l$ 도 $A$ 의 극한점이고, 이에 따라 $V_{\epsilon'}(l)$ 는 $A$ 와 교집합을 갖는다. 이는 $V_{\epsilon}(x)$ 가 $x$ 와 다른 어떤 점에서 $A$ 와 교집합을 갖는다는 것을 의미한다. 따라서 $x$ 는 $A$ 의 극한점이고, 이에 따라 $x \in L$ 이다. ■

  2:

  $x$ 가 $A \cup L$ 의 극한점이면 임의의 양수 $\epsilon$ 에 대한 근방 $V_{\epsilon}(x)$ 이 $A \cup L$ 과 $x$ 와 다른 점에서 교집합을 갖는다. 만약 $A$ 과 교집합을 갖는다면 자동으로 $x$ 가 $A$ 의 극한점이 되고 증명이 끝난다.

  그러니 $V_{\epsilon}(x)$ 이 $L$ 과 $l \in L$ 에서 교집합을 갖는다고 하자. 그러면 $x$ 가 $L$ 의 극한점임을 가정하는 것이기 때문에 1) 에 의하여 $L$ 이 닫힌 집합이므로 $x \in L$ 이고, $L$ 의 원소는 $A$ 의 극한점이므로 모든 증명이 끝난다. ■

• 증명

  $L$ 이 $A$ 의 모든 극한점 집합이므로 $\overline{A}$ 는 $A$ 의 극한점을 포함한다. $L$ 과 $A$ 의 합집합 연산에 의하여 새로운 극한점이 생겼을 수도 있지만 문제 3.2-7 에 의하여 이는 불가능하다. $A$ 를 포함하는 닫힌 집합은 항상 $L$ 을 포함해야 한다. 따라서 $\overline{A}$ 가 $A$ 를 포함하는 가장 작은 닫힌 집합이다. ■

• 증명

  1:

  $O$ 가 열린 집합임을 가정하자. $x$ 가 $O ^{c}$ 의 극한점이면 $x$ 의 모든 근방이 $O ^{c}$ 의 점을 포함해야 한다. $x \in O$ 이면 $V_{\epsilon}(x)\subset O$ 인 근방이 존재하므로 모순이다. 따라서 $x \not\in O$ 이다. 그러므로 $x \in O ^{c}$ 이고, $O ^{c}$ 는 닫힌 집합이다. ▲

  $O ^{c}$ 가 닫힌 집합임을 가정하면 임의의 점 $x \in O$ 에 대하여 $x$ 가 $O ^{c}$ 의 극한점이 아님을 보장받는다. 이는 $O ^{c}$ 와 교집합이 생기지 않는 $x$ 의 근방 $V_{\epsilon}(x)$ 이 존재한다는 것이다. 따라서 $V_{\epsilon}(x)\subset O$ 이다. 따라서 $O$ 는 열린집합이다. ■

  2:

  임의의 집합 $E$ 에 대하여 $(E ^{c})^{c} = E$ 이므로 1) 에 의하여 바로 증명된다. ■

• 정리 3.2.3 과 대조된다.

• 증명

  드모르간의 법칙에 의하여 임의의 집합의 모임 $\{E _{\lambda } : \lambda \in \Lambda \}$ 에 대하여 다음이 성립한다.

  $$\bigg (\bigcup_{\lambda \in \Lambda }^{} E _{\lambda }\bigg )^{c} = \bigcap_{\lambda \in \Lambda }^{} E ^{c}_{\lambda }, \qquad \bigg (\bigcap_{\lambda \in \Lambda }^{} E _{\lambda }\bigg )^{c} = \bigcup_{\lambda \in \Lambda }^{} E ^{c}_{\lambda }$$

  이 사실과 정리 3.2.3 에 의하여 바로 증명된다. ■

Compact Sets✔

• 증명

  닫힌 구간 $[c, d]$ 에 대한 수열 $(a_n) \in [c, d]$ 은 볼차노-바이어슈트라스 정리 에 의하여 수렴하는 부분수열 $(a _{n_k})$ 를 가진다. 또한 닫힌 구간은 닫힌 집합이므로 이 부분수열의 극한값이 $[c, d]$ 에 포함된다. 따라서 닫힌 구간은 콤팩트 집합이다. ■

• 위 증명에서는 콤팩트성을 확인하기 위하여 유계라는 조건(볼차노-바이어슈트라스 정리)과 닫힌 집합은 극한점을 포함한다는 사실을 사용했다. $\R$ 의 콤팩트 집합은 이 두 성질로 완전히 결정되며, 이를 정리 3.3.4 에서 증명한다.

Bounded Set✔

• 즉, 유계집합은 상한과 하한을 갖는 집합이다. $M = \max \{\sup A, \inf A\}$ 로 정의하면 유계 $M$ 을 얻는다.

• 이 정리는 콤팩트 집합이 유계이고 상한과 하한을 갖는다는 것을 말해준다.

• 증명

  $K$ 가 콤팩트하면 닫힌 집합이면서 유계집합이다:

  $K$ 가 유계가 아니면 임의의 $n \in \N$ 에 대하여 $|x_n| > n$ 인 $x_n \in K$ 가 존재한다. $K$ 가 콤팩트하니까 수열 $(x_n) \subset K$ 은 수렴하는 부분수열 $(x _{n_k})$ 를 갖는다. $K$ 가 유계가 아니라고 가정했으므로 부분수열의 항들은 $|x _{n_k}| > n_k$ 을 만족하며, 따라서 $(x _{n_k})$ 는 유계가 아니다. 그러나 정리 2.3.2 에 의하여 수렴하는 수열은 유계이므로 모순이다. 따라서 $K$ 는 유계여야 한다. ▲

  $K$ 가 닫힌 집합임을 보이기 위하여 수열 $(x_n) \subset K$ 가 수렴한다는 것을 가정하고 $\lim x_n = x$ 라 두자. $x \in K$ 임을 보이면 증명이 끝난다. $K$ 가 콤팩트하므로 부분수열 $(x _{n_k})$ 는 $K$ 안에서 수렴하고, 정리 2.5.2 에 의하여 $(x_n)$ 는 $(x _{n_k})$ 와 같은 극한값으로 수렴한다. 즉, $x \in K$ 이다. ■

  $K$ 가 닫힌 집합이면서 유계이면 콤팩트하다:

  $K$ 가 유계이면 볼차노-바이어슈트라스 정리 에 의하여 임의의 수열 $(a_n) \subset K$ 은 수렴하는 부분수열을 갖는다. $K$ 가 닫힌 집합이면 부분수열이 $K$ 안에서 수렴한다. 그러면 $K$ 는 콤팩트 집합이다. ■

• 상한 $\sup A$ 의 존재성은 완비성 공리가 보장한다.

• 증명

  $\sup A = s$ 가 상한이므로 임의의 양수 $\epsilon$ 에 대하여 $s - \epsilon < a \in A$ 가 존재한다. 즉, $a \in V_{\epsilon}(s)$ 이다. 따라서 $V_{\epsilon}(s)$ 는 $s$ 가 아닌 점 $a \in A$ 에서 $A$ 와 교집합을 갖는다. 그러므로 $s$ 는 $A$ 의 극한점이다. 따라서 $s \in \overline{A}$ 이다. ■

• 증명

  $K$ 가 콤팩트하면 정리 3.3.4 에 의하여 $K$ 는 닫혀있고 유계이다. 완비성 공리에 의하여 $K$는 상한 $\sup K$ 를 갖는다. 문제 3.2-11 에 의하여 $\sup K \in \overline{K}$ 이다. $K$ 가 닫혀있으므로 $K = \overline{K}$ 이다. 따라서 $\sup K \in K$ 이다. ▲

  하한의 경우도 같은 논리로 증명된다. ■

Nested Compact Set Property✔

• 이 정리는 닫힌 구간에서 성립하던 축소구간성질을 콤팩트 집합으로 일반화시킨 것이다. 이와 같이 콤팩트 집합을 닫힌 구간의 일반화라고 생각하면 유용할 때가 많다.

• 증명

  $n \in \N$ 에 대하여 $x_n \in K_n$ 을 택하면 수열 $(x_n)$ 은 수렴하는 부분수열 $(x _{n_k})$ 을 갖고, 이 부분수열은 극한값 $x = \lim x _{n_k} \in K_n$ 을 갖는다.

  임의의 $n_0 \in \N$ 에 대하여 $n \geq n_0$ 인 수열 $(x_n)$ 의 항은 $K _{n_0}$ 에 포함된다. 처음 몇몇 유한개의 항($n_k < n_0$)을 무시하면 궁극적으로 부분수열 $(x _{n_k})$ 또한 $K _{n_0}$ 에 포함된다. 따라서 $\lim x _{n_k} = x \in K _{n_0}$ 이다. $n_0$ 은 임의로 주어졌으므로 $\displaystyle x \in \bigcap_{n=1}^{\infty}K_n$ 이다. ■

Open Cover✔

• 열린 집합 모임 $\{O_{\lambda } : \lambda \in \Lambda \}$ 는 무한개의 열린 집합으로 이루어져있을 수도 있다.

• 예시

  열린 구간 $(0, 1)$ 와 점 $x \in (0, 1)$ 에 대한 열린 구간 $(x/2, 1) = O_x$ 에 대하여 무한 모임 $\{O_x : x \in (0, 1)\}$ 은 열린 구간 $(0, 1)$ 의 열린 덮개이다.

  임의의 유한 부분모임 $\{O_{x_1}, O_{x_2}, \dots, O_{x_n}\}$ 에 대하여 $x' = \min \{x_1, x_2, \dots, x_n\}$ 로 두면 $0<y<x'/2$ 인 실수 $y$ 에 대하여 $y \not\in \displaystyle \bigcup_{i=1}^{n}O_{x_i}$ 이다. 따라서 이 열린 덮개의 유한 부분덮개는 존재하지 않는다.

• 예시

  닫힌 구간 $[0, 1]$ 에 대하여 위 예시와 비슷한 덮개를 정의하면 집합 $O_x = (x/2, 1)$ 은 $[0, 1]$ 의 끝점을 덮지 못한다. 그러나 양수 $\epsilon$ 에 대하여 $O_o = (-\epsilon ,\epsilon ), O_1 = (1-\epsilon ,1+\epsilon )$ 을 정의하면 다음과 같은 열린 덮개를 만들 수 있다.

  $$\{O_{0}, O_{1}, O_{x} : x \in (0, 1)\}$$

  $x'/2 < \epsilon$ 인 $x'$ 을 택하면 $\{O_{0}, O_{x'}, O_{1}\}$ 은 유한 부분덮개가 된다.

Heine-Borel theorem✔

• 우리는 콤팩트성을 집합 안에서 수렴하는 부분수열이 있다고 정의했다. 그러나 이 정리는 2) 나 3) 으로 콤팩트 집합을 정의해도 된다는 것을 말해준다. 상황에 따라 적절하게 콤팩트성을 정의하여 논의를 전개시킬 수 있다.

• 증명

  $1 \iff 2$:

  정리 3.3.4 는 1) 과 2) 가 동치임을 보장한다. 이로써 3) 이 1) 또는 2) 와 동치임을 증명하면 증명이 끝난다.

  $3 \implies 2$:

  $x \in K$ 에 대하여 열린 집합을 $O_x = V_{1}(x)$ 로 정의하여 열린 덮개 $\{O_{x} : x \in K\}$ 를 만들자. 가정에 의하여 열린 덮개는 유한 부분덮개 $\{O_{x_1}, O_{x_2}, \dots, O_{x_n}\}$ 를 가지는데, 유한 부분덮개는 유계집합이고 $K$ 가 유한 부분덮개에 포함되므로 $K$ 도 유계집합이다. ▲

  코시수열 $(y_n) \in K$ 에 대하여 $\lim y_n = y$ 라고 하자. $y \in K$ 임을 보이면 $K$ 가 닫힌 집합임이 증명된다.

  $y \not\in K$ 를 가정하자. $O_x$ 를 $K$ 의 각 점 $x$ 를 중심으로 하고 반지름이 $|x - y|/2$ 인 열린 구간으로 택하여 열린 덮개를 구성하면, 3) 을 가정했으므로 유한 부분덮개 $\{O_{x_1}, O_{x_2}, \dots, O_{x_n}\}$ 가 존재한다.

  $\displaystyle \epsilon _0 = \min \bigg \{\dfrac{|x_i-y|}{2} : 1 \leq i \leq n \bigg \}$ 에 대하여 $(y_n)$ 가 $y$ 로 수렴하므로 $|y_N - y| < \epsilon _0$ 를 만족하는 항 $y_N$ 이 존재한다.

  $\epsilon _0$ 의 의미는 모든 $x \in K$ 에 대하여 $y$ 와의 거리의 $\dfrac{1}{2}$ 이 가장 작은 $x$ 와의 거리이다. 그러면 이 $y_N$ 은 $y$ 로부터의 거리가 $\epsilon _0$ 보다 작으므로 어떠한 $O_x$ 에도 포함되지 못한다. 즉, 다음이 성립한다.

  $$y_N \not\in \bigcup_{i=1}^{n}O_{x_i}$$

  따라서 이 부분덮개는 $K$ 를 포함하지 못하는데, 이는 모순이다. 따라서 $y \in K$ 이고, 이에 따라 $K$ 는 닫힌 집합이다. ■

  $2 \implies 3$:

  $K$ 의 열린 덮개 $\{ O_{\lambda }:\lambda \in \Lambda \}$ 가 유한 부분덮개를 가지지 않는다고 가정하자. $I_0$ 가 $K \subset I_0$ 인 닫힌 구간이라 하고, $I_0$ 를 $A_1$ 과 $B_1$ 으로 이등분하자.

  만약 $A_1 \cap K$ 와 $B_1 \cap K$ 모두가 $\{O_{\lambda }: \lambda \in \Lambda \}$ 의 집합으로 이루어진 유한 부분덮개를 가지면 $K$ 가 유한 부분덮개를 가진다. 이는 모순이다. 따라서 $A_1 \cap K$ 또는 $B_1 \cap K$ 는 유한 부분덮개를 가지지 않는다. ▲

  $K$ 와의 교집합이 유한 부분덮개를 가지지 않는 $I_0$ 의 반쪽을 $I_1$ 이라 하자. 그러면 $I_1 \cap K$ 는 유한 부분덮개를 가지지 않고 $I_1 \subset I_0$ 이다.

  다시 $I_1$ 을 이등분하고 $K$ 와의 교집합이 유한 부분덮개를 가지지 않는 반쪽을 $I_2$ 라 하자. 즉, $I_2 \cap K$ 는 유한 부분덮개를 가지지 않고 $I_2 \subset I_1$ 이다.

  이렇게 구간을 계속 이등분하여 구간 $I_n$ 을 얻을 수 있다. 그러면 $I_n \cap K$ 는 유한 부분덮개를 가지지 않고, $(I_n)$ 는 $I_0 \supset I_1 \supset I_2 \supset \dots$ 인 축소구간열이며, $\lim |I_n| = 0$ 이다. ▲

  $K$ 가 컴팩트하므로 각 $n$ 에 대한 $K \cap I_n$ 도 컴팩트하다. 축소 콤팩트 집합 성질에 의하여 $\bigcap_{n=1}^{\infty}I_n \cap K \neq \varnothing$ 이다. 따라서 $\forall n \in \N : x \in I_n$ 인 $x \in K$ 가 존재한다. ▲

  이 $x \in K$ 를 포함하는 열린 집합 $O_{\lambda _0} \in \{O_{\lambda }:\lambda \in \Lambda \}$ 가 존재한다. $O_{\lambda _0}$ 가 열린 집합이므로 $V_{\epsilon_0}(x)\subset O_{\lambda _0}$ 를 만족하는 $\epsilon_0>0$ 가 존재한다. 축소구간열 $(I_n)$ 들의 길이가 무한히 줄어들고 있기 때문에 $|I _{n_0}| < \epsilon_0$ 을 만족하는 $n_0$ 가 존재한다. $x \in I _{n_0}$ 이므로 $I _{n_0} \subset V_{\epsilon_0}(x) \subset O_{\lambda _0}$ 이다. 따라서 $I _{n_0}$ 는 유한 부분덮개를 가진다. 이는 모순이다. 그러므로 $A_1 \cap K$ 와 $B_1 \cap K$ 모두가 유한 부분덮개를 가지며, 결국 $K$ 도 유한 부분덮개를 가진다. ■

Perfect Set✔

• 비어있지 않은 완전집합은 비가산 집합이다.

• 예시

  $[a, a]$ 같은 한 원소 집합을 제외하면 닫힌 구간은 완전집합이다.

• 열린구간 (0, 1)은 비가산 집합이다. 그러나 일반적으로 공집합이 아닌 완전집합들은 모두 비가산 집합이다.

• 증명

  $P$ 가 공집합이 아니면서 완전집합이면 유한집합일 수 없다. 유한집합은 고립점으로만 이루어진 집합이기 때문이다. 따라서 $P$ 는 무한집합이다. ▲

  $P$ 가 가산집합이면 다음과 같이 $P$ 의 모든 원소에 자연수로 번호를 붙일 수 있다.

  $$P = \{x_1, x_2, \dots\}$$

  $x_1 \in I_1 \setminus \{\max I_1, \min I_1\}$ 인 닫힌 구간 $I_1 = [a, b]$ 을 정의하자. $x_1$ 은 고립점이 아니므로 또 다른 점 $y_2 \in P$ 가 존재하여 $y_2 \in I_1 \setminus \{\max I_1, \min I_1\}$ 를 만족한다.

  $\epsilon = \min \{y_2 - a, b - y_2, |x_1 - y_1|\}$ 에 대하여 구간 $I_2 = [y_2 - \epsilon /1, y_2 + \epsilon /2]$ 를 정의하면 $I_2 \subset I_1, x_1 \not\in I_2$ 이다.

  

  같은 방식으로 $x_2 \not\in I_3, I_3 \subset I_2$ 인 닫힌 구간 $I_3$ 를 만들 수 있다. 즉, $I_n$ 이란 $y_n$ 을 중심으로 하고 $I_n \subset I _{n-1}, x _{n-1} \not\in I _{n}$ 을 만족하는 닫힌 구간이다. 항상 $y_n \in I_n$ 이므로 $I_n \cap P \neq \varnothing$ 이다.

  $K_n = I_n \cap P$ 를 정의하자. $K_n$ 은 닫힌 집합의 교집합이므로 정리 3.2.14 에 의하여 닫힌 집합이고, 유계집합 $I_n$ 에 포함되므로 유계이다. 따라서 $K_n$ 은 콤팩트하다. 또한 $K_n \neq \varnothing$ 이고, $K _{n+1} \subset K_n$ 이다. 그러면 축소 콤패트 집합 성질이 만족되어 $\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}K_n \neq \varnothing$ 이 성립한다.

  그런데 모든 $K_n$ 들이 $P$ 의 부분집합이고 $x_n \not\in I _{n+1}$ 이므로 $\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}K_n = \varnothing$ 이다. 이는 모순이다. 따라서 $P$ 는 가산집합이 아니다. ■

Connected Set✔