Real Numbers

• 증명

• 이에 따라 $\sup (c + A) = c + \sup A$ 이다.

• 증명

  $a = b$ 를 가정하면 바로 증명된다. ▲

  그 역을 증명하기 위하여 결론을 부정해보면 $a \neq b$ 이다. 그러나 $\epsilon_0 = |a - b|$ 을 택하면 $|a - b| < \epsilon_0$ 이 성립하지 않으므로 모순이다. 따라서 $a = b$ 이다. ■

Supremum, Infimum✔

• 증명

  1:

  $s = \sup A$ 는 $\forall a \in A : a \leq s$ 이므로 $c + a \leq c + s$ 이다. 따라서 $c + s$ 는 $c + A$ 의 상계이다.

  $c + A$ 의 임의의 상계 $b$ 에 대하여 $\forall a \in A : c + a \leq b \implies a \leq b - c$ 이므로 $b - c$ 는 $A$ 의 상계이다. $s$ 가 $A$ 의 상한이므로 $s \leq b - c$ 인데 이는 $c + s \leq b$ 를 의미한다. 따라서 $c + s$ 는 $c + A$ 의 상한이다. ■

  2:

  $s = \inf A$ 는 $\forall a \in A : s \leq a$ 이므로 $c + s \leq c + a$ 이다. 따라서 $c + s$ 는 $c + A$ 의 하계이다.

  $c + A$ 의 임의의 하계 $b$ 에 대하여 $\forall a \in A : b \leq c + a \implies b - c \leq a$ 이므로 $b - c$ 는 $A$ 의 하계이다. $s$ 가 $A$ 의 하한이므로 $b - c \leq s$ 인데 이는 $b \leq c + s$ 를 의미한다. 따라서 $c + s$ 는 $c + A$ 의 하한이다. ■

• 증명(https://proofwiki.org/wiki/Supremum_of_Sum_equals_Sum_of_Suprema)

  1:

  임의의 $a \in A, b \in B$ 에 대하여 $a \leq \sup A, b \leq \sup B$ 이다. 따라서 $a + b \leq \sup A + \sup B$ 이다. 따라서 $\sup A + \sup B$ 는 $A+ B$ 의 상계이다. 따라서 $\sup (A + B) \leq \sup A + \sup B$ 이다. 그러면 $\sup (A+B) = \sup A + \sup B$ 이거나 $\sup (A+B) < \sup A + \sup B$ 이다. ▲

  $\sup (A+B) < \sup A+\sup B$ 를 가정하자. $\epsilon = \sup A + \sup B - \sup (A + B)$ 로 두면 $\epsilon>0$ 이다. 그러면 $\exists x \in A : x > \sup A - \dfrac{\epsilon}{2}$ 이고 $\exists y \in B : y > \sup B - \dfrac{\epsilon}{2}$ 이다. 따라서 다음이 성립한다.

  $$\exists x \in A, \exists y \in B : x + y > \sup A + \sup B - \epsilon = \sup (A + B)$$

  이는 모순이다. 따라서 $\sup (A + B) = \sup A + \sup B$ 이다. ■

• 증명

  1:

  $c = 0$ 이면 $cA = \{0\}$ 이므로 $\sup (cA) = 0 = c \sup A$ 이다. ▲

  $c > 0$ 인 경우를 생각하자. 먼저 $c \sup A$ 는 $cA$ 의 상계이다.

  $cA$ 의 임의의 상계 $d$ 에 대하여 $\forall a \in A: ca \leq d$ 이므로 $a \leq d/c$ 이다. 즉, $d/c$ 는 $A$ 의 상계이다. 따라서 $\sup A \leq d/c$ 이다. 따라서 $c \sup A \leq d$ 이다. 따라서 $c \sup A$ 는 최소상계이다. ■

  2:

  $\forall a \in A: \inf A \leq a$ 이므로 $c \inf A \geq ca$ 이다. 따라서 $c \inf A$ 는 $cA$ 의 상계이다.

  $cA$ 의 임의의 상계 $d$ 에 대하여 $\forall a \in A: ca \leq d$ 이므로 $a \geq d/c$ 이다. 따라서 $d/c$ 는 $A$ 의 하계이고, $d/c \leq \inf A$ 이다. 그러므로 $d \geq c \inf A$ 이다. 따라서 $c \inf A$ 는 최소상계이다. ■

  3:

  $c = 0$ 이면 $cA = \{0\}$ 이므로 $\inf (cA) = 0 = c \inf A$ 이다. ▲

  $c > 0$ 인 경우를 생각하자. 먼저 $c \inf A$ 는 $cA$ 의 하계이다.

  $cA$ 의 임의의 하계 $d$ 에 대하여 $\forall a \in A: d \leq ca$ 이므로 $d/c \leq a$ 이다. 즉, $d/c$ 는 $A$ 의 하계이다. 따라서 $d/c \leq \inf A$ 이다. 따라서 $d \leq c \inf A$ 이다. 따라서 $c \inf A$ 는 최대하계이다. ■

  4:

  $\forall a \in A: a \leq \sup A$ 이므로 $ca \geq c \sup A$ 이다. 따라서 $c \sup A$ 는 $cA$ 의 하계이다.

  $cA$ 의 임의의 하계 $d$ 에 대하여 $\forall a \in A: d \leq ca$ 이므로 $d/c \geq a$ 이다. 따라서 $d/c$ 는 $A$ 의 상계이고, $\sup A \leq d/c$ 이다. 그러므로 $c\sup A \geq d$ 이다. 따라서 $c \sup A$ 는 최대하계이다. ■

Nested Interval Property✔

• 즉, 다음과 같은 관계를 갖는 닫힌구간열들이 공집합이 아닌 교집합을 갖는다는 것이다.

  $$I_1 \supset I_2 \supset \dots$$

• 증명

  집합 $A = \{a_n : n \in \N \}$ 를 정의하면 이는 닫힌구간열 $I_n$ 들의 최솟값들의 집합이 된다. 따라서 모든 $b_n$ 이 $A$ 의 상계이다. 완비성 공리에 의하여 $A$ 는 상한 $\sup A := x$ 을 가진다. $x$ 는 최소상계이므로 $\forall n \in \N : a_n \leq x$ 이고 각 $b_n$ 이 $A$ 의 상계이므로 $\forall n \in \N : x \leq b_n$ 이다. 따라서 $\displaystyle x \in \bigcap_{n=1}^{\infty}I_n$ 이다. ■

Archimedean Property✔

• 아르키메데스의 성질을 단순히 특정 조건을 만족하는 성질이라고 설명했었는데, 여기에서는 완비성 공리에 의하여 실수체에서 아르키메데스 성질이 만족한다는 것을 증명한다. 그러니까 어떻게 보면 아르키메데스 성질이 아니라 아르키메데스 성질이 실수체에서 성립한다는 정리이다.

• 증명

  1:

  (수론의 정리 2.5.1 의 증명과도 같다.)

  $\N$ 이 위로 유계라고 가정하면 완비성 공리에 의하여 $\sup \N = \alpha$ 가 존재한다. $\alpha -1$ 는 상한이 아니므로 $\alpha -1<n$ 인 $n \in \N$ 이 존재한다. 즉, $\alpha < n+1$ 인데 $n+1 \in \N$ 이므로 모순이다. 따라서 $\N$ 은 위로 무계이다. ■

  2:

  이미 증명한 1) 에서 $x = \dfrac{1}{y}$ 로 두면 바로 증명된다. ■

Density of Irrational Number✔

• 이 정리는 수론의 정리 2.5.2 의 따름정리이다.

• 이 정리는 유리수 집합 $\Bbb{Q}$ 뿐만 아니라 무리수 집합 $\Bbb{I}$ 도 조밀하다는 것을 말해준다.

• 증명

• 여기에서는 수론의 정리 2.4.2 를 기반으로 완비성공리에 의하여 $\alpha ^{2} < 2$ 또는 $\alpha ^{2} > 2$ 일 수 없으므로 $\alpha ^{2} = 2$ 임을 증명한다. 이는 데데킨트 절단으로 무리수를 생성하여 실수를 구성하는 방법이다.

• 증명

Countable and Uncountable✔

• 실수가 유리수와 무리수의 합집합 $\R = \Bbb{Q}\cup \Bbb{I}$ 이다. 실수체는 완비적으로 채워진 수직선을 의미한다. 그러면 이 빼곡히 채워진 수직선을 $\Bbb{Q}$ 가 더 많이 채우고 있을까 $\Bbb{I}$ 가 더 많이 채우고 있을까? 무리수 $\Bbb{I}$ 가 훨씬 더 많다. 왜냐하면 $\Bbb{Q}$ 가 가산집합이기 때문이다. $\Bbb{I}$ 까지 가산집합이라면 $\Bbb{Q}\cup \Bbb{I}$ 이 가산집합이 되버려서 모순이다.

• 증명

  1:

  $\N \approx \Bbb{Z} \approx \Bbb{Q}$ 에 의하여 증명된다. ■

  2:

  전단사 함수 $f: \N \to \R$ 가 존재한다고 하면 다음과 같이 모든 실수에 자연수 아래첨자를 붙일 수 있다.

  $$\R = \{x_1, x_2, \dots, x_i, \dots\} \tag{1}$$

  $I_1 \subset \R$ 를 $x_1$ 를 포함하지 않는 닫힌구간이라 하자. $I_2$ 를 $I_2 \subset I_1$ 와 $x_2 \not\in I_2$ 를 만족하는 닫힌구간이라 하자. 즉, 닫힌구간열 $I _{n+1}$ 를 다음과 같이 정의하는 것이다.

  1. $I _{n+1} \subset I_n$

  2. $x _{n+1} \not\in I _{n+1}$

  어떤 실수 $x _{i} \in \R$ 이 $(1)$ 에 속한다면 $x_i \not\in I _{i}$ 이다. 따라서 다음이 성립한다.

  $$x_i \not\in \bigcap_{n=1}^{\infty } I_n$$

  그러나 $(1)$ 에 모든 실수가 포함되어 있기에 다음이 성립한다.

  $$\bigcap_{n=1}^{\infty }I_n = \varnothing$$

  하지만 정리 1.4.1 축소구간성질에 의하여 $\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}I_n \neq \varnothing$ 이다. 이는 모순이다. 따라서 $x_i$ 는 $(1)$ 에 포함될 수 없다. 이는 $\R$ 과 $\N$ 사이에 일대일 대응(전단사 사상)이 존재할 수 없다는 것이다. ■

Cantor's Theorem✔

• 증명

  전단사 사상 $f: \N \to S$ 이 존재하지 않음을 보이자. 다음과 같이 $\N$ 에 대응하는 함수 $f$ 를 만들자. $\forall m,n \in \N : a _{mn} = 1 \lor a _{mn} = 0$ 이다.

  

  이제 수열 $(x_n) = (x_1, x_2, x_3, \dots) \in S$ 을 다음과 같이 정의하자.

  $$x_n = \begin{cases} 0 &a _{nn} = 1\\ 1 & a _{nn} = 0\\ \end{cases}$$

  그러면 이 수열은 어떠한 $f(n)$ 과도 같지 않다. 따라서 $\N$ 과 $S$ 사이에 전단사 사상은 존재하지 않는다. ■

• 이 정리는 어떤 집합보다 그 집합의 멱집합의 기수가 더 크다는 것을 말해준다. 따라서 $\mathcal{P}(\N )$ 은 비가산집합이다. 사실 $\mathcal{P}(\N )\approx \R$ 이다.

• 증명

  전사함수 $f$ 가 존재한다면 $A$ 의 모든 부분집합을 어떤 $a \in A$ 에 대응시킬 수 있다.

  각 $a \in A$ 에 대한 $f(a)$ 는 $A$ 의 부분집합이므로 $a$ 를 포함할 수도 있고 포함하지 않을 수도 있다. 집합 $B$ 를 이렇게 만들어보자. $a \not\in f(a)$ 이면 $a$ 를 $B$ 에 넣자. 즉, 다음과 같이 $B$ 를 정의한다.

  $$B = \{a \in A : a \not\in f(a)\}$$

  $B \subset A$ 이므로 $\exists a' \in A: f(a') = B$ 이다. $a' \in B$ 이면 $B$ 의 정의에 의하여 $a' \not\in f(a') = B$ 이고, $a' \not\in B$ 이면 $B$ 의 정의에 의하여 $a' \in B$ 이다. 이는 모순이므로 $a'$ 은 존재하지 않는다.

  즉, 어떤 $A$ 의 원소에도 대응되지 않는 부분집합 $B$ 이 존재하므로 $f$ 는 존재하지 않는다. ■

• 대등 관계 는 동치관계이므로 $\N$, $\Bbb{Z}$, $\Bbb{Q}$ 는 같은 동치류에 포함된다. 반면 $\R$ 과 구간 $(0, 1)$ 과 $\mathcal{P}(\N )$ 은 또 다른 동치류로 묶인다. 칸토어의 정리에 의하여 $\mathcal{P}(\R )$ 은 또 다른 동치류로 들어간다. 마찬가지로 $\mathcal{P}(\mathcal{P}(\R ))$ 은 훨씬 더 큰 기수를 가지는 또 다른 동치류에 포함된다.

  이 과정은 무한히 반복된다. 즉, 실수 집합보다 큰 집합, 그것보다 더 큰 집합, 그것보다 훨씬 더 큰 집합이 항상 존재한다.

  이 사실은 가장 큰 집합이 존재하지 않음을 시사한다. 그런데 이는 형이상학적 문제를 발생시킨다. 가령 가능한 모든 것의 집합 $U$ 를 만들어도 항상 $\mathcal{P}(U)$ 가 존재하여 $U$ 보다 더 크게 된다. 이는 모순이다. 모순은 수학 체계를 무의미하게 만든다. 따라서 수학자들은 집합론의 공리로부터 $U$ 같은 집합이 생성되지 않도록 하는 제한을 걸기로 했다.

• 이렇게 집합론이 엄밀해지는 과정 중에 칸토어는 집합 $X, Y$ 에 대하여 $X \to Y$ 로 가는 단사 함수와 $Y \to X$ 로 가는 단사 함수가 존재하면 $X \to Y$ 사이에 일대일 대응이 존재한다는 사실을 증명하려 애썼지만, 증명하지 못했고 결국 베른슈타인이 이를 증명해내었다.

• 칸토어가 또 해결하려고 애쓴 문제 중 하나는 두 기수 사이에 존재하는 기수를 밝히는 것이다. 구체적으로 $\aleph _0 < \mathfrak{c}$ 사이에 있는 기수의 존재성을 밝히려 했다. 칸토어는 이러한 기수가 존재하지 않는다고 생각했고 이것이 연속체 가설이다.

  그러나 연속체 가설은 괴델과 코언이 집합론의 공리체계에서 증명하거나 반박하는 것이 불가능하다는 것을 보임으로써 결정 불가능한 명제임이 밝혀졌다. 이는 마치 기하학의 평행선 공리처럼 증명할 수도 없고 반박할 수도 없는 공리와도 같다. 평행선 공리를 가정하면 유클리드 기하학이 펼쳐지고, 평행선 공리를 부정하면 비유클리드 기하학이 펼쳐진다. 마찬가지로 연속체 가설을 공리로써 가정해도 되고, 부정해도 상관없다.

  괴델은 "산술을 포함할 수 있는 무모순인 공리 체계에는 항상 증명 불가능한 참인 명제가 존재한다" 고 주장하는 불완전성 정리를 증명한 것으로 유명하다.

• 증명