Function Sequence and Series

Function Sequence✔

Pointwise Convergence✔

• $f_n \to f$ 또는 $\lim f_n = f$ 라고도 표기한다.

• 예시

  $n \in \N$ 에 대한 함수 $f_n(x): \R \to \R$ 를 $f_n(x) = (x^2+nx)/n$ 로 정의하면 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} f_n(x) = x$ 이다. 즉, 함수 $(f_n)$ 은 $\R$ 에서 $f(x) = x$ 로 점별 수렴한다. 다음 그림은 함수열 $(f_n)$ 이 $f(x) = x$ 로 점별 수렴하는 모습을 보여준다.

  

• 함수열을 이루는 함수가 연속이어도 극한 함수가 불연속 일 수도 있다. 또한 함수열을 이루는 함수가 미분가능이어도 극한 함수가 미분불가능 일 수도 있다.

• 예시

  구간 $[0, 1]$ 에서 정의된 함수 $g_n(x) = x^n$ 에 대하여 $0 \leq x < 1 \implies x^n \to 0$ 이고 $x = 1 \implies x^n \to 1$ 이다. 따라서 다음과 같은 함수 $g$ 에 대하여 점별로 $g_n \to g$ 이다.

  $$g(x) = \begin{cases} 0 & 0 \leq x < 1\\ 1 & x = 1 \\ \end{cases}$$

Uniform Convergence of Function Sequence✔

• 이는 어떤 $N$ 을 적절히 택하면 모든 $x \in A$ 에 대하여 $|f_n(x) - f(x)| < \epsilon$ 이 성립하게 할 수 있다는 것이다.

• 점별수렴과 균등 수렴을 차이를 이해하기 위하여 점별수렴을 $\epsilon , N, x$ 의 관계가 보이도록 재정의해보자.

  "$(f_n)$ 을 집합 $A \subset \R$ 에서 정의된 함수로 이루어진 함수열이라 하자. 임의의 $\epsilon > 0$ 와 $x \in A$ 에 대하여 다음을 만족하게 하는 $N \in \N$ 이 존재하면 함수열 $(f_n)$ 이 $A$ 에서 극한 함수 $f$ 로 점별 수렴한다고 한다."

  $$n \geq N \implies |f_n(x) - f(x)| < \epsilon$$

  점별 수렴의 경우 $N$ 이 $x$ 에 의존적이지만, 균등 수렴의 경우 $N$ 을 주어진 $\epsilon$ 과 모든 $x$ 에 대하여 독립적으로, 동일하게 설정할 수 있다. 균등 연속도 주어진 $\delta$ 를 독립적으로 설정할 수 있다.

• 예시

  함수 $g_n(x) = \displaystyle \frac{1}{n(1 + x^2)}$ 는 고정된 $x \in \R$ 에 대하여 $\lim g_n(x) = 0$ 이므로 함수 $g(x) = 0$ 에 대하여 함수열 $(g_n)$ 이 $g(x)$ 로 점별수렴한다.

  균등수렴 여부를 조사해보자. $\forall x \in \R:1/(1+x^2) \leq 1$ 이므로 다음이 성립한다.

  $$|g_n(x) - g(x)| = \left| \frac{1}{n(1+x^2)} - 0 \right| \leq \frac{1}{n}$$

  그러면 주어진 $\epsilon > 0$ 에 대하여 $x$ 에 의존하지 않는 $\displaystyle N > 1/ \epsilon (\iff 1/N < \epsilon)$ 을 택하여 모든 $x \in \R$ 에 대하여 다음을 성립시킬 수 있다.

  $$n \geq N \implies |g_n(x) - g(x)| < \epsilon$$

  정의에 의하여 $g_n$ 은 $\R$ 에서 $0$ 으로 균등수렴한다.

• 예시

  $f_n(x) = (x^2 + nx)/n$ 은 $\R$ 에서 $f(x) = x$ 로 점별수렴하지만 균등수렴하지 않는다. 다음이 성립한다.

  $$|f_n(x) - f(x)| = \left| \frac{x^2+nx}{n}-x \right| = \frac{x^2}{n}$$

  $|f_n(x) - f(x) | < \epsilon$ 을 만족시키기 위하여 $N$ 을 $N > x^2/\epsilon (\iff x^2/N < \epsilon)$ 로 택해야 한다. 이는 $x$ 에 의존적이므로 모든 $x$ 에 동시에 적용되는 동일한 $N$ 은 존재하지 않는다.

• 함수열 $(f_n)$ 이 균등수렴할 때 임의의 양수 $\epsilon$ 에 대하여 극한함수 $f$ 의 $\epsilon$ 밴드를 잡으면 $N \in \N$ 이 존재하여 $n \geq N$ 일 때 각 $f_n$ 들이 극한함수의 $\epsilon$ 밴드 안에 완전히 포함된다.

  

  함수열 $(g_n)$ 이 균등수렴하지 않을 때 임의의 양수 $\epsilon$ 에 대하여 극한함수 $g$ 의 $\epsilon$ 밴드를 잡으면 각 $g_n$ 들이 극한함수의 $\epsilon$ 밴드 안에 포함되지 않는다.

  

Cauchy Criterion for Uniform Convergence of Function Sequence✔

• 증명

Continuity of Limit Function✔

• 이 정리는 함수열의 극한 함수가 연속일 조건을 말해준다.

  점별수렴하는 함수열의 함수들이 연속이어도 극한 함수가 불연속일 수도 있었다. 그러나 이 정리는 균등수렴하는 함수열의 함수들이 연속이면 극한 함수도 연속임을 말해준다.

• 증명

  $c \in A$ 를 고정하고 임의의 양수를 $\epsilon$ 이라 하자. 함수열 $(f_n)$ 이 함수 $f$ 로 균등수렴하므로 임의의 $x \in A$ 에 대하여 다음을 만족시키는 $N$ 을 잡을 수 있다.

  $$|f_N(x) - f(x)| < \dfrac{\epsilon}{3}$$

  $f_N$ 이 $c \in A$ 에서 연속이므로 연속함수의 정의에 의하여 어떤 $\delta >0$ 가 존재하여 다음을 성립시킨다.

  $$|f_N(x) - f_N(c)| < \dfrac{\epsilon}{3}$$

  따라서 삼각부등식에 의하여 다음이 성립한다.

  $$\begin{align}\begin{split} |f(x) - f(c)|&=|f(x) - f_N(x) + f_N(x) - f_N(c) + f_N(c) - f(c)| \\ &\leq |f(x) - f_N(x)| + |f_N(x) - f_N(c) |+ |f_N(c) - f(c)| \\ &< \epsilon/3 + \epsilon/3 + \epsilon/3 = \epsilon \\ \end{split}\end{align} \tag*{}$$

  따라서 $f$ 는 $c \in A$ 에서 연속이다. ■

Differentiable of Limit Function✔

• 이 정리는 점별수렴하는 미분가능한 함수열의 도함수열이 어떤 함수로 균등 수렴하면, 도함수열의 극한함수가 극한 함수의 도함수가 된다는 것을 말해준다.

• 하지만 사실은 도함수열 $(f'_n)$ 이 균등 수렴한다는 조건은 $(f_n)$ 이 균등 수렴한다는 사실을 내포하므로 각 점에서 $f_n(x) \to f(x)$ 를 가정하지 않아도 된다. 다만 도함수가 같은 두 함수는 최대 상수만큼 차이가 나므로 $f_n(x_0) \to f(x_0)$ 인 점 $x_0$ 가 적어도 하나 존재한다는 것은 가정해야 한다. 이 사실은 정리 6.3.2 에서 정리된다.

• 증명

  임의의 양수를 $\epsilon$ 으로 두고, 실수 $c \in [a, b]$ 를 고정하자. $f'(c)$ 가 존재하고 $f'(c) = g(c)$ 임을 보이면 된다. 이때 $f'(c) = \displaystyle \lim_{x \to c} \frac{f(x) - f(c)}{x - c}$ 이므로 다음을 만족시키는 $\delta > 0$ 의 존재성을 보이면 된다.

  $$0 < |x - c| < \delta \implies \left| \frac{f(x) - f(c)}{x - c} - g(c) \right| < \epsilon$$

  ▲

  삼각부등식에 의하여 다음이 성립한다.

  $$\begin{align}\begin{split} \left| \frac{f(x) - f(c)}{x - c} - g(c) \right|& \leq \left| \frac{f(x) - f(c)}{x - c} - \frac{f_n(x) - f_n(c)}{x - c} \right| \\ & \qquad + \left| \frac{f_n(x) - f_n(c)}{x - c} - f'_n(c) \right| + |f'_n(c) - g(c)| \\ \end{split}\end{align} \tag{1}$$

  도함수열 $(f'_n)$ 이 $g$ 로 수렴하므로 다음을 성립하게 하는 $N_1$ 이 존재한다.

  $$m \geq N_1 \implies |f'_m(c) - g(c) | < \dfrac{\epsilon}{3} \tag{2}$$

  ▲

  $(f'_n)$ 이 균등수렴하므로 정리 6.2.5 에 의하여 다음을 성립하게 하는 $N_2$ 가 존재한다.

  $$m,n \geq N_2 \land x \in [a, b] \implies|f'_m(x) - f'_n(x)| < \dfrac{\epsilon}{3} \tag{3}$$

  $N = \max \{N_1, N_2\}$ 로 두면 함수 $f_N$ 은 $c$ 에서 미분가능하므로 다음을 성립하게 하는 $\delta > 0$ 가 존재한다.

  $$0 < |x - c| < \delta \implies \left| \frac{f_N(x) - f_N(c)}{x - c} - f'_N(c) \right| < \dfrac{\epsilon}{3} \tag{4}$$

  ▲

  $0 < |x - c| < \delta$ 인 $x$ 를 고정하고 와 $m \geq N$ 에 대하여 구간 $[c, x]$ 에서 $f_m - f_N$ 에 평균값 정리를 적용하면 다음을 만족하는 $\alpha \in (c, x)$ 가 존재한다.

  $$f'_m(\alpha) - f'_N(\alpha) = \dfrac{(f_m(x) - f_N(x)) - (f_m(c) - f_N(c))}{x-c}$$

  $(3)$ 에 의하여 $|f'_m(\alpha) - f'_N(\alpha)| < \epsilon/3$ 이 성립하므로 다음이 성립한다.

  $$\left| \dfrac{(f_m(x) - f_m(c)) - (f_N(x) - f_N(c))}{x-c} \right| < \dfrac{\epsilon}{3}$$

  $f_m \to f$ 이므로 $m \to \infty$ 일 때 극한과 부등식에 의하여 다음이 성립한다.

  $$\left| \dfrac{(f(x) - f(c)) - (f_N(x) - f_N(c))}{x-c} \right| \leq \dfrac{\epsilon}{3} \tag{5}$$

  ▲

  $(2)$, $(4)$, $(5)$ 에 의하여 $(1)$ 은 다음과 같다.

  $$\begin{align}\begin{split} \left| \frac{f(x) - f(c)}{x - c} - g(c) \right|& \leq \left| \frac{f(x) - f(c)}{x - c} - \frac{f_n(x) - f_n(c)}{x - c} \right| \\ & \qquad + \left| \frac{f_n(x) - f_n(c)}{x - c} - f'_n(c) \right| + |f'_n(c) - g(c)| \\ & < \epsilon/3+\epsilon/3+\epsilon/3=\epsilon \end{split}\end{align} \tag*{}$$

  ■

• 증명

  $x \in [a, b]$ 가 일반성을 잃지 않고 $x > x_0$ 라고 둘 수 있다. 각 $f_n$ 들이 미분가능하므로 평균값 정리를 함수 $f_n - f_m$ 에 대하여 구간 $[x_0 ,x]$ 에 적용하면 다음을 만족하는 $\alpha \in [x_0, x]$ 가 존재한다.

  $$(f_n(x) - f_m(x)) - (f_n(x_0) - f_m(x_0)) = (f'_n(\alpha) - f'_m(\alpha))(b - a)$$

  ▲

  임의의 양수를 $\epsilon$ 으로 두자. 도함수열 $(f'_n)$ 이 $[a, b]$ 에서 균등수렴하므로 함수열의 균등 수렴의 코시 판정법에 의하여 다음을 만족하는 $N_1$ 이 존재한다.

  $$n, m \geq N_1 \land c \in [a, b] \implies |f'_n(c) - f'_m(c)| < \dfrac{\epsilon}{2(b - a)}$$

  그러면 $b - a > 0$ 이므로 다음이 성립한다.

  $$n, m \geq N_1 \implies |(f'_n(\alpha) - f'_m(\alpha))(b - a)| < \dfrac{\epsilon}{2(b - a)}(b - a)$$

  한편, 함수열 $(f_n(x_0))$ 이 수렴하므로 코시 수렴 판정법에 의하여 이는 코시 수열이고, 코시 수열의 정의에 의하여 다음을 만족시키는 $N_2$ 가 존재한다.

  $$n, m \geq N_2 \implies |f_n(x_0) - f_m(x_0)| < \dfrac{\epsilon}{2}$$

  ▲

  그러면 $N = \max \{N_1, N_2\}$ 로 두면 삼각 부등식에 의하여 $n, m \geq N$ 에 대하여 다음이 성립한다.

  $$\begin{align}\begin{split} |f_n(x) - f_m(x)| & \leq |(f_n(x) - f_m(x)) - (f_n(x_0) - f_m(x_0))| + |f_n(x_0) - f_m(x_0)| \\ &=|(f'_n(\alpha) - f'_m(\alpha))(b-a)| + |f_n(x_0) - f_m(x_0)| \\ &< \dfrac{\epsilon}{2(b - a)}(b - a) + \dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon \end{split}\end{align} \tag*{}$$

  이 $N$ 은 $x$ 에 독립적이다. 따라서 함수열의 균등 수렴의 코시 판정법에 의하여 $(f_n)$ 은 $[a, b]$ 에서 균등 수렴한다. ■

• 정리 6.3.1 로부터 이어진 논증의 결론이 이 정리이고, 이 정리는 함수열의 극한 함수의 미분가능성의 조건을 말해준다.

• 이 정리는 정리 6.3.1 에 정리 6.3.2 를 적용하여 정리 6.3.1 보다 더 강한 정리를 얻어낸 것이다.

  정리 6.3.1 는 점별수렴하는 미분가능한 함수열의 도함수열이 어떤 함수로 균등 수렴하면, 도함수열의 극한함수가 극한 함수의 도함수가 된다는 것을 말해준다. 정리 6.3.2 는 도함수열 $(f'_n)$ 이 균등수렴하고, 어떤 점 $x_0 \in [a, b]$ 가 존재하여 각 $f_n(x_0)$ 이 수렴할 때 함수열 $(f_n)$ 이 균등수렴한다는 사실을 말해준다.

  따라서 정리 6.3.1 에서의 함수열 $(f_n)$ 이 점별수렴한다는 가정을 어떤 점 $x_0 \in [a, b]$ 가 존재하여 각 $f_n(x_0)$ 이 수렴한다는 가정으로 바꾼 것이다. 이는 강한 가정을 약한 가정으로 바꾼 것이다. 가정에 조건이 많을수록 정리를 적용할 수 있는 상황이 줄어들어서 쓸모없는 것이 되고, 가정이 약하면 정리는 범용적으로 적용할 수 있으므로 가치있는 것이 된다.

• 증명

  정리 6.3.1 과 정리 6.3.2 를 종합한 결과이다. ■

Function Series✔

• $f_n$ 이 연속함수면 연속성과 사칙연산에 의하여 함수급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}f_n$ 의 부분합도 연속함수이다.

  $f_n$ 이 미분가능하면 미분가능한 함수와 사칙연산에 의하여 함수급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}f_n$ 의 부분합도 미분가능하다.

Continuity of Function Series✔

• 정리 6.2.6는 함수열의 극한함수가 연속일 조건을 말해주고, 이 정리는 함수급수의 극한함수가 연속일 조건을 말해준다.

• 증명

  $f_n$ 이 $A$ 에서 연속이면 연속성과 사칙연산에 의하여 부분합 $s_k = f_1 + f_2 + \dots + f_k$ 도 $A$ 에서 연속이다. 부분합의 극한, 즉 함수급수 $\displaystyle \lim_{x \to \infty} s_k = \sum_{n=1}^{\infty}f_n$ 이 $f$ 로 균등수렴하고 각 $s_k$ 가 $A$ 에서 연속이므로 정리 6.2.6이 성립하여 $f$ 도 $A$ 에서 연속이다. ■

Differentiable of Function Series✔

• 증명

  부분합 $s_k = f_1 + f_2 + \dots + f_k$ 에 대하여 $s_k'$ 가 $A$ 에서 $g$ 로 균등수렴하고, 어떤 점 $x_0 \in [a,b ]$ 에서 각 $s_k(x_0)$ 가 수렴하므로 정리 6.3.3 이 성립하여 $\lim s_k = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ 이 미분가능한 함수 $f$ 로 균등수렴하고, $f' = g$ 이다. ■

Cauchy Criterion for Uniform Convergence of Function Series✔

• 증명

  부분합 $s_k = f_1 + f_2 + \dots + f_k$ 에 정리 6.2.5 를 적용하면 바로 증명된다. ■

Weierstrass M-test✔

• 이 정리가 일반적으료 사용되는 균등수렴 판정법이다.

• 증명

  $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}M_n$ 이 수렴하므로 임의의 양수 $\epsilon$ 에 대하여 다음을 만족하는 $N$ 이 존재한다.

  $$n > m \geq N \implies | M _{m+1} + M _{m+2} + \dots + M _{n}| < \epsilon$$

  그런데 다음이 성립하므로 정리 6.4.4 에 의하여 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}f_n$ 이 균등수렴한다.

  $$|f _{m+1}(x) + f _{m+2}(x) + \dots + f_n(x)| \leq | M _{m+1} + M _{m+2} + \dots + M _{n}| < \epsilon$$

  ■

Power Series✔

• 다음과 같은 중심이 $0$ 인 멱급수가 자주 사용된다.

  $$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^{n} = a_0 + a_1x + a_2x ^{2} + \dots$$

• 절대수렴 판정법에 의하여 무한급수가 절대수렴하면 수렴한다. 이 정리는 멱급수가 어떤 점 $R$ 에서 수렴하면 $|x| < |R|$ 인 모든 $x$ 에서 수렴한다는 것을 말해준다. 따라서 멱급수의 수렴하는 점의 집합은 $x = 0$ 을 중심으로 하는 유계구간이거나 $\{0\}$ 이거나, $\R$ 전체이다.

  수렴하는 점 집합이 유계 구간일 경우 부등식 $|x| < |R|$ 에 등호가 없으므로 구간의 경계점에서의 수렴 여부는 불명확하다. 즉, 수렴 구간이 $(-R, R), [-R, R), (-R, R], [-R, R]$ 일 수 있다.

  이 $R$ 을 멱급수의 수렴반지름(radius of convergence)라 하고, 수렴 구간이 $\{0\}$ 이거나 $\R$ 이면 $R$ 을 $0$ 또는 $\infty$ 로 쓴다.

• 증명

  $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_nx_0 ^{n}$ 가 수렴하므로 정리 2.7.3 에 의하여 수열 $(a_nx_0 ^{n})$ 은 $0$ 으로 수렴하고, 정리 2.3.2에 의하여 $(a_nx_0^n)$ 은 유계이다. 따라서 $\forall n \in \N: |a_nx_0^n| \leq M$ 인 $M>0$ 이 존재한다. $x \in \R$ 에 대해 $|x| < |x_0|$ 이면 다음이 성립한다.

  $$|a_nx ^{n}| = |a_nx_0 ^{n}|\left| \frac{x}{x_0} \right| ^{n} \leq M \left| \frac{x}{x_0} \right| ^{n}$$

  다음은 공비가 $\displaystyle \left| \frac{x}{x_0} \right| < 1$ 인 등비급수이므로 수렴한다.

  $$\sum_{n=0}^{\infty}M \left| \frac{x}{x_0} \right| ^{n}$$

  비교판정법에 의하여 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}|a_nx ^{n}|$ 은 수렴한다. 즉, $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_nx ^{n}$ 은 절대수렴한다. ■

Continuity of Power Series✔

• 증명

  $M_n = |a_nx_0^n|$ 로 두면 가정에 의하여 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}M_n$ 이 수렴한다. $x \in [-c , c]$ 에 대하여 다음이 성립한다.

  $$|a_nx^n| \leq |a_nx_0^n| = M_n$$

  바이어슈트라스 $M$-판정법에 의하여 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ 이 $[-c, c]$ 에서 균등 수렴한다. ■

• 증명

  $s_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$ 로 두면 가정에 의하여 $|s_n| \leq A$ 이다. 부분합 공식에 의하여 다음이 성립한다.

  $$\begin{align}\begin{split} \left| \sum_{k=1}^{n}a_kb_k \right| &= \left| s_nb _{n+1} + \sum_{k=1}^{n}s_k(b_k - b _{k+1}) \right| \\ &\leq Ab _{n+1} + \sum_{k=1}^{n}A(b_k - b _{k+1}) = Ab _{n+1} + (Ab_1 -Ab _{n+1}) = Ab_1 \\ \end{split}\end{align} \tag*{}$$

  ■

• 아벨의 극한 정리(Abel's Limit Theorem)이라고도 부르지만 이 정리가 너무 유명해져서 극한을 빼고 아벨 정리라고 부른다.

• 이 정리는 유한 수렴반경을 갖는 멱급수가 수렴 반경 끝점에서 수렴하면, 그곳에서의 멱급수의 연속성을 보장해준다.

• 증명

  먼저 $g(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n = \sum_{n=0}^{\infty}(a_nR^n)\left( \frac{x}{R}^{n} \right)$ 이다. 임의의 양수 $\epsilon$ 에 대하여 다음을 만족시키는 $N$ 의 존재를 보이면 정리 6.4.4 에 의하여 증명이 끝난다.

  $$n > m \geq N \land x \in [0, R] \implies$$
  $$\left| (a _{m+1}R ^{m+1})\left( \frac{x}{R} \right)^{m+1} + (a _{m+2}R ^{m+2})\left( \frac{x}{R} \right)^{m+2} + \dots + (a _{n}R ^{n})\left( \frac{x}{R} \right)^{n} \right| < \epsilon$$

  $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_nR^n$ 이 수렴하므로 무한급수의 코시 수렴 판정법에 의하여 임의의 양수 $\epsilon$ 에 대하여 다음을 만족시키는 $N$ 이 존재한다.

  $$n > m \geq N \implies |a _{m+1}R ^{m+1}+a _{m+2}R ^{m+2}+ \dots+a _{n}R ^{n}| < \dfrac{\epsilon }{2}$$

  $(x / R)^{m+j}$ 이 단조 감소하고, 급수 $\sum_{j=1}^{\infty}a _{m+j}R ^{m+j}$ 의 부분합이 유계 $\epsilon/2$ 를 가지고, $x \in [0, R]$ 에 대하여 $\left( \dfrac{x}{R} \right)^{m+1} \leq 1$ 이므로 보조정리 6.5.3 에 의하여 다음이 성립한다.

  $$\left| (a _{m+1}R ^{m+1})\left( \frac{x}{R} \right)^{m+1} + (a _{m+2}R ^{m+2})\left( \frac{x}{R} \right)^{m+2} + \dots + (a _{n}R ^{n})\left( \frac{x}{R} \right)^{n} \right|$$
  $$\leq \dfrac{\epsilon}{2}\left( \frac{x}{R} \right)^{m+1} < \epsilon$$

  ■