Operations
Summation✔
Summation
Summation 은 수열 \(g(i)\) 의 덧셈으로써 다음과 같이 재귀적으로 정의된다.
-
수열은 숫자, 함수, 벡터, 행렬, 다항식 등 임의의 타입의 수학적 대상들로 구성 될 수 있다.
-
무한수열의 Summation 을 series 라고 한다.
-
쉽게 말해 Summation 은 다음과 같다.
\[ \sum_{i=m}^{n}a_i = a_m + a _{m+1} + \dots + a _{n-1} + a_n \]\(i\) 를 summation 의 index 라고 한다. \(m\) 을 summation 의 하계(lower bound)라고 하고, \(n\) 을 summation 의 상계(upper bound)라고 한다.
-
예시
\[ \sum_{i=3}^{6}i ^{2} = 3 ^{2} + 4 ^{2} + 5 ^{2} + 6 ^{2} = 86 \] -
만약 index 와 하계, 상계를 일일이 표기하지 않아도 될 정도로 맥락이 명확하다면 다음과 같이 생략을 하기도 한다.
\[ \sum a_i ^{2} = \sum_{i=1}^{n}a ^{2}_i \]임의의 논리 조건이 필요하다면 Summation 의 표기법을 일반화시켜서 조건을 충족하는 모든 수열의 덧셈을 표현할 수도 있다.
-
예시
다음은 특정 범위 내의 \(k\) 에 대한 \(f(k)\) 의 덧셈을 표현한다.
\[ \sum_{0 \leq k < 100}^{}f(k) \]다음은 집합 \(S\) 의 원소 \(x\) 에 대한 \(f(x)\) 의 덧셈을 표현한다.
\[ \sum_{x \in S}^{}f(k) \] -
Summation 의 index 를 다음과 같이 일반화할 수도 있다.
\[ \sum_{i}^{}\sum_{j}^{} = \sum_{i,j}^{} \]이러한 표기법들은 \(\displaystyle \prod_{}^{}\) 에서도 통용된다.
Properties of Summation✔
Distributivity (1)
- 증명
Commutativity and Associativity (1)
- 증명
Commutativity and Associativity (2)
- 증명
Commutativity and Associativity (3)
- 증명
Distributivity (2)
- 증명
Distributivity (3)
- 증명
Powers and logarithm of arithmetic progression✔
등차수열의 합(Sum of arithmetic progression)
자연수 \(i, n \in \N\) 에 대하여 다음이 성립한다.
- 증명
홀수의 합(Sum of odd natural numbers)
자연수 \(i, n \in \N\) 에 대하여 다음이 성립한다.
- 증명
짝수의 합(Sum of even natural numbers)
자연수 \(i, n \in \N\) 에 대하여 다음이 성립한다.
- 증명
제곱수의 합(Sum of squares)
자연수 \(i, n \in \N\) 에 대하여 다음이 성립한다.
- 증명
Nicomachus's theorem
자연수 \(i, n \in \N\) 에 대하여 다음이 성립한다.
- 증명
Faulhaber's formula
\(p > 1\) 와 Bernoulli number \(B_k\) 와 binomial coefficient \(\displaystyle \binom{p}{k}\) 에 대하여 다음이 성립한다.
- 증명
Summation index in exponents✔
등비수열의 합(sum of a geometric progression) (1)
자연수 \(i, n \in \N\) 에 대하여 다음이 성립한다.
- 증명
등비수열의 합(sum of a geometric progression) (2)
자연수 \(i, n \in \N\) 에 대하여 다음이 성립한다.
- 증명
산술기하수열의 합(sum of an arithmetico-geometric sequence)
- 증명
Multiplication✔
곱셈(Multiplication)
덧셈의 반복이다.
-
곱셈은 덧셈 \(+\) 이 정의된 수학적 대상에 대하여 덧셈을 반복하는 것이다. 가령 다음과 같이 \(3 \times 4\) 는 \(4\) 를 \(3\) 번 더한 것이다.
\[ 3 \times 4 = 4 + 4 + 4 = 12 \] -
곱셈(Multiplication) 의 결과를 product 라 한다.
수열의 곱셈(Product of a sequence)
수열 \(x_i\) 의 곱셈은 다음과 같이 정의된다.
-
수열은 숫자, 함수, 벡터, 행렬, 다항식 등 임의의 타입의 수학적 대상들로 구성 될 수 있다.
-
예시
\[ \prod_{i=1}^{4} i = 24 \]
Properties of Multiplication✔
Properties of Multiplication
실수체 또는 복소수체에서 곱셈에 대하여 다음이 성립한다.
-
\(x \cdot y = y \cdot x\) (Commutative property)
-
\((x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)\) (Associative property)
-
\(x \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z\) (Distributive property)
-
\(x \cdot 1 = x\) (Identity property)
-
\(x \cdot 0 = 0\) (Zero property)
-
\((-x) + x = 0\) 인 \(-x\) 에 대하여 \((-1) \cdot x = (-x)\) 이다. 또한 \((-1) \cdot (-1) = 1\) 이다. (Negation)
-
\(0\) 이 아닌 \(x\) 에 대하여 \(x \cdot \bigg (\dfrac{1}{x} \bigg ) = 1\) 인 \(\dfrac{1}{x}\) 가 존재한다. (Inverse element)
Associativity and Commutativity (1)
- 증명
Associativity and Commutativity (2)
- 증명
- 증명
Exponentiation✔
Integer Exponent✔
정수 제곱(integer exponent)
\(a \in \R, n \in \Bbb{Z}_{>0}\) 에 대하여 \(a\) 의 \(n\)제곱을 다음과 같이 정의한다.
Rational Exponent✔
유리수 제곱(rational exponent)
\(m,n \in \Bbb{Z}, n > 0, \gcd (m, n) = 1\) 인 \(m, n\) 에 대하여 다음과 같이 정의한다.
-
\(n\) 이 홀수면 \(a \in \R\) 에 대하여 \(a ^{m/n} = \sqrt[n]{a ^{m}}\) 로 정의한다.
-
\(n\) 이 짝수면 \(a \in \R _{\geq 0}\) 에 대하여 \(a ^{m/n} = \sqrt[n]{a ^{m}}\) 로 정의한다.
- \(n\) 이 짝수일 경우 음의 실수를 밑으로 가지는 유리수 제곱은 정의하지 않는다. 왜냐하면 그 값이 복소수가 되기 때문이다. 가령 \(\sqrt[]{-1} = i\) 가 된다.
Natural Exponential Function✔
자연지수함수(natural exponential function)
자연지수함수 \(\exp:\R \to \R\) 를 다음과 같이 정의한다.
-
이항정리에 의하여 이 무한급수는 다음과 같다.
\[ \exp (x) = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{x}{n} \right) ^{n} \]
자연지수함수의 성질 (1)
자연지수함수 \(\exp (x)\) 에 대하여 다음이 성립한다.
-
\(\exp (x)\) 가 모든 \(x \in \R\) 에 대하여 절대수렴한다.
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\(\exp (x)\) 가 \(\R\) 에서 미분가능하고, \(\exp '(x) = \exp (x)\) 이다.
-
\(\forall x, y \in \R : \exp (x + y) = \exp (x)\exp (y)\)
-
\(\exp (0) = 1, \exp (-x) = \dfrac{1}{\exp (x)}\)
-
\(\forall x \in \R : \exp (x) > 0\)
-
이 정리에 의하여 \(\exp (x)\) 가 실질적으로 지수함수의 모든 기능을 한다는 것이 증명되었다.
-
증명
오일러의 수(Euler's number)
자연지수함수 \(\exp (x)\) 에 대하여 \(e = \exp (1)\) 라고 정의한다.
-
다음과 같이 정의된 것과 동치이다.
\[ \lim_{n \to \infty } \left( 1 + \frac{1}{n} \right) ^{n} = e \]\(t = \dfrac{1}{n}\) 로 두면 \(x \to \infty \implies t \to 0\) 이므로 다음과 같이 정의할 수 있다.
\[ \lim_{t \to 0} (1 + t)^{1/t} = e \] -
\(e\) 는 다음과 같은 값을 갖는다.
\[ e = 2.718281 \dots \]
자연지수함수의 성질 (2)
자연지수함수 \(\exp (x)\) 에 대하여 다음이 성립한다.
-
\(\forall m, n \in \Bbb{Z} : \exp \left( \frac{m}{n} \right) = (\sqrt[n]{e})^{m}\)
-
\(\displaystyle \forall n \in \N : \lim_{x \to \infty} x ^{n}e ^{-x} = 0\)
-
\(e ^{x}\) 가 다음을 만족하는 역함수 \(\ln x:\R _{>0} \to \R\) 를 가진다.
\[ (\forall y \in \R : \ln e ^{y} = y) \land (\forall x > 0 : e ^{\ln x} = x) \] -
\((\ln x)' = \dfrac{1}{x}\)
-
\(x,y > 0 : \ln xy = \ln x + \ln y\)
-
\(n \in \N, t > 0 : t ^{n} = e ^{n \ln t}\)
-
\(x \in \R, t > 0 : t ^{x} = e ^{x \ln t}\)
-
1) 에 의하여 \(\exp (x)\) 를 \(e\) 를 \(x\) 만큼 거듭제곱한 것으로 볼 수 있다.
7) 로 실수 지수 함수를 정의할 수 있다.
-
증명
Real Exponent✔
정의 8.4.2 실수 제곱(real exponent)
\(a \in \R _{>0}, x \in \R\) 에 대하여 실수 제곱을 다음과 같이 정의한다.
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이 정의에 의하여 \(3^{\pi }\) 같은 제곱도 정의할 수 있다.
-
코시 수열을 통하여 유리수로 실수를 얻어내는 다음과 같은 방식으로도 실수 제곱을 정의할 수 있다.
\[ a \in \R _{>0}, x \in \R, r \in \Bbb{Q} : a ^{x} = \lim_{r \to x} a ^{r}\]가령 \(3 ^{\pi }\) 를 다음과 같이 정의된 모든 축소구간열에 포함되는 원소로 정의한다.
\[ [3 ^{3}, 3 ^{4}], [3 ^{3.1}, 3 ^{3.2}], [3 ^{3.14}, 3 ^{3.15}], [3 ^{3.141}, 3 ^{3.142}], \dots \]축소구간성질에 의하여 극한 구간의 길이는 \(0\) 이고, 이 축소구간열들은 하나의 공통된 원소를 가지며, 이 원소를 \(3 ^{\pi }\) 로 정의하는 것이다.
Complex Exponents✔
복소수 제곱(complex exponents)
\(a \in \R _{>0}, z \in \Bbb{C}\) 에 대하여 복소수 제곱을 다음과 같이 정의한다.
-
복소수 제곱은 자연 지수 함수에 의하여 정의된 실수 제곱을 단지 복소수로 바꾸어 정의한 것이다.
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오일러 공식에 의하여 다음이 성립한다.
\[ a ^{x + iy} = a ^{x}(\cos (y \ln a) + i \sin (y \ln a)) \]
Euler's Formula✔
오일러 공식(euler's formula)
\(x \in \R\) 에 대하여 다음이 성립한다.
-
증명
자연지수함수의 정의와 사인/코사인 함수의 멱급수 전개에 의하여 이 증명이 성립한다.
복소수 \(z = r(\cos \theta + i \sin \theta)\) 에 대하여 다음이 성립한다.
-
증명
복소수의 극형식과 오일러 공식에 의하여 증명된다. ■
Most Beautiful Theorem in Mathematics✔
오일러 항등식(Euler's identity)
-
수학에서 가장 아름다운 정리라고 알려져있다.
\(\pi \approx 3.14\) 이고 \(e \approx 2.71\) 이므로, 러프하게 \(3.14\) 에 허수 \(i\) 를 곱한 것을 \(2.71\) 에 제곱하면 \(-1\) 이 나온다는 것이다.
-
다음과 같이 쓰면 수학의 최중요 다섯 원소 \(e, i, \pi , 0, 1\) 와 수학의 근본 기호 \(+, =\) 이 가장 아름답고 간결한 형태로 나타난다고 하여 이 형태로도 많이 쓴다.
\[ e ^{i \pi } + 1 = 0 \] -
증명
오일러 공식에 \(x = \pi\) 를 대입하면 바로 나온다. ■
Trigonometry✔
Radian✔
라디안(호도법, radian)
주어진 각에 대하여 각의 꼭짓점을 중심으로 하고 반지름 \(r > 0\) 을 갖는 원 \(O\) 를 취하자. \(O\) 에서 주어진 각에 대한 호의 길이 \(l\) 에 대하여 다음과 같은 \(l\) 과 \(r\) 의 비를 각의 라디안 값으로 정의한다.
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주의해야 할 점은 \(x\)축으로부터 시계방향으로 라디안을 측정하면 음수이고, 반시계방향으로 라디안을 구하면 양수로 정의한다는 것이다.
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\(l/r\) 은 원의 선택과 관계없이 주어진 각을 특정할 수 있기 때문에 이 값으로 각을 잘 정의 수 있다.
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라디안의 장점은 길이와 길이의 비율로 정의되어 길이라는 단위가 사라져서 무차원 단위가 된다는 것이다. 즉, 라디안은 단위를 생략할 수 있는 순수한 수이다. 따라서 수학에서 각을 표현할 때 라디안을 널리 사용한다.
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예시
\(180 \degree\) 는 길이가 \(\pi r\) 인 호를 대하므로 \(\pi\) 라디안이다.
Trigonometric Ratio✔
밑변(adjacent), 높이(opposite), 빗변(hypotenuse)
직각삼각형의 직각이 아닌 각 \(\theta\) 에 대하여 다음과 같이 정의한다.
-
\(\theta\) 로부터 직각으로 향하는 선분을 밑변이라 한다.
-
\(\theta\) 로부터 직각으로 향하지 않는 선분을 빗변이라 한다.
-
\(\theta\) 와 마주보는 선분을 높이라 한다.
-
다음 그림은 직각삼각형의 밑변, 빗변, 높이를 보여준다.
삼각비(trigonometric ratio)
삼각비는 직각삼각형의 두 변의 길이의 비율로써 직각삼각형의 직각이 아닌 각 \(\theta\) 에 대한 빗변 \(h\), 밑변 \(b\), 높이 \(a\) 에 대하여 다음과 같이 정의한다.
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빗변에 대한 높이의 비율을 사인(sine) \(\sin \theta = \dfrac{a}{h}\) 이라 한다.
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빗변에 대한 밑변의 비율을 코사인(cosine) \(\cos \theta = \dfrac{b}{h}\) 이라 한다.
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밑변에 대한 높이의 비율을 탄젠트(tangent) \(\tan \theta = \dfrac{a}{b}\) 이라 한다.
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높이에 대한 빗변의 비율을 코시컨트(cosecant) \(\csc \theta = \dfrac{h}{a}\) 이라 한다.
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밑변에 대한 빗변의 비율을 시컨트(secant) \(\sec \theta = \dfrac{h}{b}\) 이라 한다.
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높이에 대한 밑변의 비율을 코탄젠트(cotangent) \(\cot \theta = \dfrac{b}{a}\) 이라 한다.
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삼각법은 이를 통하여 각도만으로 변의 길이를 비교 할 수 있었기에 고대로부터 개발되었다.
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삼각비의 정의역은 \(0 \degree < x < 90 \degree\) 이다.
Trigonometric Functions✔
삼각함수(trigonometric functions)
\(\R\) 에서 정의된 삼각함수는 단위원 \(x ^{2} + y ^{2} = 1\) 의 좌표 \(P(x, y)\) 에 대하여 주어진 라디안 각 \(\theta\) 을 삼각비로 나타내는 함수로써 다음과 같이 정의된다.
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사인함수를 \(\sin \theta = y\) 로 정의한다.
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코사인함수를 \(\cos \theta = x\) 로 정의한다.
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탄젠트함수를 \(\tan \theta = \dfrac{y}{x} = \dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}\) 로 정의한다.
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코시컨트함수를 \(\csc \theta = \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{\sin \theta}\) 로 정의한다.
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시컨트함수를 \(\sec \theta = \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{\cos \theta}\) 로 정의한다.
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코탄젠트함수를 \(\cot \theta = \dfrac{x}{y} = \dfrac{\cos \theta}{\sin \theta}\) 로 정의한다.
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다음 표는 삼각함수의 정의역과 치역을 보여준다.
-
다음 그림은 단위원의 좌표 \(P(x, y)\) 와 반지름 \(r = 1\) 과 주어진 라디안 각 \(\theta\) 를 보여준다. 위 정의는
\[\sin \theta = \dfrac{y}{r} = y, \enspace \cos \theta = \dfrac{x}{r} = x, \enspace \csc \theta = \dfrac{r}{y} = \dfrac{1}{y}, \enspace \sec \theta = \dfrac{r}{x} = \dfrac{1}{x}\]와 같이 유도된다.
<p = align="center">
-
다음 그림은 \(\sin \theta = y\) 와 \(\cos \theta = x\) 와 \(\tan \theta = \dfrac{y}{x}\) 의 그래프를 보여준다.
-
다음 그림은 \(\sec \theta = \dfrac{1}{x}\) 와 \(\csc \theta = \dfrac{1}{y}\) 와 \(\cot \theta = \dfrac{x}{y}\) 의 그래프를 보여준다.
코시컨트 함수 \(\csc \theta = \dfrac{1}{y}\) 그래프는 다음과 같이 그려진다.
삼각함수의 특수각
직각삼각형의 성질에 의하여 특정한 각에서 삼각함수의 정확한 값을 알 수 있다.
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탄젠트 함수 \(\tan \theta = \dfrac{y}{x}\) 는 분모 \(x\) 가 \(0\) 이 되는 지점인 \(90 \degree = \dfrac{\pi }{2}\) 와 \(-90 \degree = -\dfrac{\pi }{2}\) 에서 값이 정의되지 않는다.
-
증명
피타고라스의 정리에 의하여 직각삼각형이 다음과 같은 특정한 각을 이루면 변들이 특수한 비율을 갖는다.
나머지 값들은 삼각함수의 정의에 의하여 자명하다. ■
Properties of Trigonometric Functions✔
주기함수(periodic function)
함수 \(f(x)\) 가 \(p > 0\) 에 대하여 \(f(x + p) = f(x)\) 이면 주기 \(p\) 를 갖는 주기함수라 한다.
삼각함수의 주기(periods of trigonometric functions)
\(\tan (x), \cot (x)\) 는 주기 \(\pi\) 를 갖는 주기함수이고, \(\sin (x), \cos (x), \sec (x), \csc (x)\) 는 주기 \(2 \pi\) 를 갖는 주기함수이다. 즉, 다음이 성립한다.
-
증명
삼각함수 그래프를 적절히 이동시켜보면 바로 알 수 있다. ■
Even/Odd Function✔
홀함수(기함수, odd function), 짝함수(우함수, even function)
함수 \(f: D \to \R\) 의 정의역 \(D \subset \R\) 이 \(-D = D\) 인 구간일 때 다음과 같이 정의한다.
-
\(\forall x \in D : f(-x) = -f(x)\) 이면 \(f\) 를 홀함수라 한다.
-
\(\forall x \in D : f(-x) = f(x)\) 이면 \(f\) 를 짝함수라 한다.
-
홀함수는 원점에 대한 대칭 함수이고, 짝함수는 \(y\)축 대칭 함수이다.
-
예시
삼각함수의 홀짝성
삼각함수의 홀짝성은 다음과 같다.
-
\(\cos x, \sec x\) 는 짝함수이다.
\[ \cos (-x) = \cos x, \qquad \sec (-x) = \sec x \] -
\(\sin x, \tan x, \csc x, \cot x\) 는 홀함수이다.
\[ \sin (-x) = - \sin x, \qquad \tan (-x) = - \tan x \]\[ \csc (-x) = - \csc x, \qquad \cot (-x) = - \cot x \]
-
증명
삼각함수 그래프를 적절히 원점, 또는 \(y\)축에 대하여 대칭시켜보면 바로 알 수 있다. ■
삼각함수의 대칭
-
증명
삼각함수의 그래프를 보면서 적절히 \(y\)축 대칭, 원점 대칭을 시행하고 \(k \pi\) 만큼 이동시켜보면 바로 알 수 있다. ■
삼각함수의 주기성
-
증명
삼각함수 그래프를 적절히 이동시켜보면 바로 알 수 있다. ■
Theorem of Trigonometric Functions✔
Trigonometric Identities
삼각함수에 대하여 다음이 성립한다.
-
\(\cos ^{2}\theta + \sin ^2 \theta = 1\)
-
\(1 + \tan ^{2}\theta = \sec ^2 \theta\)
-
\(1 + \cot ^{2}\theta = \csc ^2 \theta\)
-
증명
1:
\(\sin \theta = y, \cos \theta = x\) 을 단위원의 방정식 \(x^2 + y^2 = 1\) 에 대입하면 바로 나온다. ■
2, 3:
1) 에 \(\cos ^2 \theta\) 를 나누면 2) 를 얻고 \(\sin ^2 \theta\) 를 나누면 3) 을 얻는다. ■
삼각함수의 덧셈정리(Addition Formulas)
삼각함수에 대하여 다음이 성립한다.
-
\(\sin(x +y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y\)
-
\(\sin (x - y ) = \sin x \cos y - \cos x \sin y\)
-
\(\cos (x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y\)
-
\(\cos (x - y ) = \cos x \cos y + \sin x \sin y\)
-
\(\tan (x + y) = \dfrac{\tan x + \tan y }{1 - \tan x \tan y }\)
-
\(\tan (x - y) = \dfrac{\tan x - \tan y }{1 + \tan x \tan y }\)
-
증명
1, 2, 3, 4:
오일러 공식에 의하여 다음이 성립한다.
\[ \begin{align}\begin{split} \cos (x + y) + i \sin (x + y)&= e ^{i(x + y)} = e ^{ix}e ^{iy}\\ &= (\cos x + i \sin x)(\cos y + i \sin y) \\ &= (\cos x \cos y - \sin x \sin y) + i(\sin x \cos y + \cos x \sin y) \end{split}\end{align} \tag*{} \]이 결과의 허수부에 의하여 1) 이 증명되고, 실수부에 의하여 3) 이 증명된다. 2) 는 1) 에 \(\sin (-x) = - \sin x\) 를 적용하여 얻고, 4) 는 3) 에 \(\cos (-x) = \cos x\) 를 적용하여 얻는다. ■
5, 6:
5) 는 이 증명에 의하여 증명되고, 6) 은 \(\tan (-x) = - \tan x\) 를 적용하여 얻는다. ■
배각의 공식(Double-Angle Formulas)
삼각함수에 대하여 다음이 성립한다.
-
\(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\)
-
\(\cos 2x = \cos ^2 x - \sin ^2x\)
-
\(\tan 2x = \dfrac{2 \tan x}{1 - \tan ^2x}\)
-
증명
1:
사인함수의 덧셈정리 \(\sin(x +y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y\) 에 \(x = y\) 로 두면 다음이 성립한다.
\[ \sin 2 x = 2 \sin x \cos x \tag*{■}\]2:
코사인함수 덧셈정리 \(\cos (x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y\) 에 \(x = y\) 로 두면 다음이 성립한다.
\[ \cos 2 x = \cos ^{2}x - \sin ^{2} x \tag*{■} \]3:
탄젠트함수 덧셈정리 \(\tan (x + y) = \dfrac{\tan x + \tan y }{1 - \tan x \tan y }\) 에 \(x = y\) 로 두면 다음이 성립한다.
\[ \tan 2x = \frac{2\tan x}{1 - \tan ^{2} x} \tag*{■} \]
반각의 공식(Half-Angle Formulas)
삼각함수에 대하여 다음이 성립한다.
-
\(\sin ^{2} \dfrac{a }{2} = \dfrac{1 - \cos a }{2}\)
-
\(\cos ^{2}\dfrac{a }{2} = \dfrac{1+\cos a }{2}\)
-
\(\tan ^{2} \dfrac{a }{2} = \dfrac{1-\cos a }{1+\cos a }\)
-
증명
1:
배각의 공식으로부터 \(\cos 2 a = 1 - 2 \sin ^{2} a\) 를 얻고, 곧 다음이 성립한다.
\[ \sin ^{2} a = \dfrac{1 - \cos 2 a }{2} \]\(a\) 대신 \(\dfrac{a }{2}\) 를 대입하면 정리가 나온다. ■
2:
배각의 공식으로부터 \(\cos 2 a = 2 \cos ^{2} a -1\) 를 얻고, 곧 다음이 성립한다.
\[ \cos ^{2} a = \dfrac{1 + \cos 2 a}{2} \]\(a\) 대신 \(\dfrac{a }{2}\) 를 대입하면 정리가 나온다. ■
3:
탄젠트는 코사인 값에 대한 사인 값의 비이므로 다음이 성립한다.
\[ \tan ^{2} \dfrac{a }{2} = \dfrac{\sin ^{2} \dfrac{a }{2}}{\cos ^{2} \dfrac{a }{2}} = \dfrac{\dfrac{1-\cos a }{2}}{\dfrac{1+\cos a }{2}} = \dfrac{1-\cos a }{1+\cos a } \tag*{■} \]
코사인 법칙(Law of Cosines)
삼각형 \(ABC\) 에 대하여 \(A\) 를 마주보는 변 \(a\), \(B\) 를 마주보는 변 \(b\), \(C\) 를 마주보는 변 \(c\) 에 대하여 다음이 성립한다.
-
\(a^2 = b^2 + c^2 -2bc \cos A\)
-
\(b^2 = c^2 + a^2 -2ca \cos B\)
-
\(c^2 = a^2 + b^2 -2ab \cos C\)
-
증명
3:
다음 그림처럼 삼각형 \(ABC\) 의 세 점 \(A, B, C\) 의 각을 각각 \(\alpha , \beta , \gamma\) 로 두고 마주하는 변을 각각 \(a, b, c\) 로 잡자.
다음 그림은 코사인의 정의에 의하여 \(c = a \cos \beta + b \cos \alpha\) 가 성립함을 보여준다.
같은 원리로 다음을 얻는다.
\[ a = c \cos \beta + b \cos \gamma \]\[ b = c \cos \alpha + a \cos \gamma \]이를 기반으로 다음이 성립한다.
\[ a ^{2} = ac \cos \beta + ab \cos \gamma \tag{1} \]\[ b ^{2} = bc \cos \alpha + ab \cos \gamma \tag{2} \]\[ c ^{2} = ac \cos \beta + bc \cos \alpha \tag{3} \]\((1)\) 과 \((2)\) 를 더하고 \((3)\) 을 빼면 다음이 성립한다.
\[ a ^{2} + b ^{2} - c ^{2} = 2ab \cos \gamma \]이것을 다음과 같이 정리하여 코사인 법칙을 얻는다.
\[ \therefore c ^{2} = a ^{2} + b ^{2} -2ab \cos C \tag*{■} \]1, 2:
3) 을 증명했듯이 1), 2)도 같은 논리로 증명할 수 있다. ■
사인법칙(Law of Sines)
삼각형 \(ABC\) 와 각 \(A, B, C\) 와 각각 마주보는 변 \(a, b, c\) 와 삼각형 \(ABC\) 의 외접원의 반지름 \(R\) 에 대하여 다음이 성립한다.
Inverse Trigonometric Functions✔
삼각함수의 역함수(inverse trigonometric functions)
정의역이 제한되어 전단사 함수가 된 삼각함수의 역함수를 다음과 같이 정의한다.
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삼각함수는 전단사가 아니므로 역함수를 갖지 않는다. 그러나 다음과 같이 정의역을 제한하면 전단사가 되고, 역함수를 갖게 된다.
이것을 통하여 삼각함수의 역함수가 다음과 같이 정의된다.
Hyperbolic Functions✔
쌍곡선 함수(hyperbolic functions)
쌍곡선 함수를 다음과 같이 정의한다.
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Hyperbolic sine: \(\sinh x = \dfrac{e^x - e ^{-x}}{2}\)
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Hyperbolic cosine: \(\cosh x = \dfrac{e^x + e ^{-x}}{2}\)
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Hyperbolic tangent: \(\tanh x = \dfrac{\sinh x}{\cosh x} = \dfrac{e^x - e ^{-x}}{e ^{x} + e ^{-x}}\)
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Hyperbolic cosecant: \(\operatorname{csch} x = \dfrac{1}{\sinh x} = \dfrac{2}{e ^{x} - e ^{-x}}\)
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Hyperbolic secant: \(\operatorname{sech} x = \dfrac{1}{\cosh x} = \dfrac{2}{e ^{x} + e ^{-x}}\)
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Hyperbolic cotangent: \(\coth x = \dfrac{\cosh x}{\sinh x} = \dfrac{e^x + e ^{-x}}{e ^{x} - e ^{-x}}\)
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삼각함수를 단위원으로 정의했듯이, 쌍곡함수는 쌍곡선으로 정의한다. 삼각함수와 쌍곡함수는 매우 유사한 성질을 가지지만, 쌍곡함수는 주기함수가 아니다.
단위원 \(x ^{2} + y ^{2} = 1\) 의 좌표를 임의의 실수 \(u\) 에 대하여 \((\cos u, \sin u)\) 로 나타낼 수 있고, 곧 다음이 성립한다.
\[ \sin ^2u + \cos ^2u = 1 \]단위 쌍곡선 \(x^2 - y^2 = 1\) 의 좌표는 \((\cosh u, \sinh u)\) 로 나타낼 수 있고, 이에 따라 다음이 성립한다.
\[ \cosh ^2u - \sinh ^2u = 1 \] -
쌍곡함수는 다음과 같은 그래프를 갖는다.
Theorems of hyperbolic functions✔
Identities for hyperbolic functions
쌍곡함수에 대하여 다음이 성립한다.
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\(\cosh ^2 x - \sinh ^2x = 1\)
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\(\sinh 2x = 2 \sinh x \cosh x\)
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\(\cosh 2x = \cosh ^2x + \sinh ^2x\)
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\(\cosh ^2x = \dfrac{\cosh 2x + 1}{2}\)
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\(\sinh ^2x = \dfrac{\sinh 2x - 1}{2}\)
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\(\tanh ^2x = 1 - \operatorname{sech} ^2x\)
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\(\coth ^2x = 1 + \operatorname{csch} ^2x\)
- 증명